De thi HSG Toan 8 cac nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (87.59 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 8 VỊNG I
MƠN TỐN

Năm học 2009 – 2010
Thời gian: 150 phút
Câu 1:

Cho biểu thức: A =

)
1
)(
(
1
)
3
1
(
4
3
)
4
1
)(
(
2
2
2
2
2
2

y
y
x
y
x
y
y
x
y
y
x










a) Chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A?

Câu 2:

a) Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng :
ab – a – b + 1 chia hết cho 192

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn đẳng thức:

y(y + 1)2 + x(x + 1) = 8xy

Câu 3:

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

b) Cho x + y + z = 111 0

z
y
x

Chứng minh rằng: xyz
z
y
x
z
y
x





3
3
3
6
6
6

Câu 4:

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm nằm giữa B và C, gọi
E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC . N là trung điểm của
AM.

a)Tứ giác HENF là hình gì? Chứng minh.

b) Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng
MI, NH, EF đồng quy.

Câu 5:

M là điểm nằm bên tromng hình bình hành ABCD. Đặt SMAB = S1 ; SMCD =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SABCD = S. Chứng minh rằng: S1.S2 ≤ 16

S2.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

NĂM HỌC 2009 – 2010
Câu 1: (2,5 đ)

a) x2y2 + 1 + (x2 – y)(1 – y) = (x2 + 1)(y2 – y + 1) ≠ 0 , với mọi x,y

(x2 + y)(y +

4
1

) + x2y2 + y +

4
1

= (x2 + 1)(y2 + y +

4
1

)
Rút gọn được A =

1
4
1

2
2







y

y
y

. Chứng tỏ A không phụ thuộc và x

b) A = 0

4
3
)
2
1
(

)
2
1
(

2
2






y

y

, với mọi y.
Dấu “ =” xảy ra  y = -1/2

Vây GTNN của A bằng 0 khi y = -1/2
Câu 2: (2,5 đ)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vì a, b là hai số chính phương liên tiếp nên giả sử a < b, ta có: a = (2k –
1)2 ;

b = (2k + 1)2 với k



Z

;

k



0

ab – a – b + 1 = (a – 1)(b – 1) = 16k2(k – 1)(k + 1)

Vì k(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 3 với mọi k thuộc Z
và k2(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 4 , với mọi k thuộc Z

Kết hợp với (3,4) = 1

nên ab – a – b + 1 chia hết cho 16.12 = 192 (đpcm)
b) (1 đ)

(y + 1)2 ≥ 4y

(x +1)2 ≥ 4x , với mọi x,y

 y(y + 1)2 + x(x + 1)2 ≥ 4(x2 + y2) ≥ 8xy

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

Vậy cặp số nguyên dương duy nhất tìm được là x = y = 1
Câu 3: (1,5 đ)

a) (1 đ)

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (0,5 đ)

Vì x,y,z khác 0 và 1110 xyyzzx0

z
y
x

 x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2

Lại có: x + y + z = 0  x3 + y3 + z3 = 3xyz

Suy ra: 














3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
6
6

6 ( ) 2( )

z
y
x
x

z
z
y
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x

= xyz

xyz
z
y
x
z
y
x


3
3
.
2

9 2 2 2 2 2 2

(Đpcm)

Câu 4: (2,5 đ) Hình vẽ đúng (0,25 đ) (Hình vẽ ban đầu)
a) (1,25 đ)

EN = HN = 21 AM   ENH cân tại N.

EAH
HNM

ENM

ENH    

 2

Tam giác ABC là tam giác đều nên AH là

B C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

phân giác của góc BAC

 300



EAH  600


ENH

 Tam giác ENH là tam giác đều.

Chứng minh tương tự được tam giác HFN
là tam giác đều

 HE = EN = NF = HF 
 HENF là hình thoi.

b) (1 đ)

Gọi O là giao điểm của EF và HN,
K là trung điểm của AI.

Có NK là đường trung bình của tam giác AMI.

 MI//NK (1)

Tam giác ABC là tam giác đều nên trực tâm I

là trọng tâm của tam giác nên I là trung điểm của HK

 OI//NK (2)

Từ (1) và (2)  M,O,I thẳng hàng  (đpcm)

Câu 5 : (1 đ)

Qua M vẽ EF  AB ( E thuộc AB; F thuộc CD)

 EF  CD

Có S1 + S2 = 2

ME . AB + 12 MF . CD =
=

2
1

AB.EF =

2
1

S.
4S1S2 ≤ (S1 + S2)2 .

Suy ra: S1.S2 

S2.

A E B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5></div>

De thi HSG Toan 8 cac nam

<b>ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM</b>

<sub></sub>

<i>Z</i>

;

<i>k</i>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về