Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
PHẦN THỨ NHẤT.
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát
triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng
đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ
động trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho
học sinh (HS) nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên (GV) còn phải
dạy cho HS biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức
trong quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá
trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những
thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến
thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em. HS không những nắm vững, nhớ lâu
mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy
sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, HS có
phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới
thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay.
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán
hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen
là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục
suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn. Tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp
tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, . . . cứ như thế
chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị.
Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, tôi đã tích cực tự bồi
dưỡng và hướng dẫn các em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến
việc khai thác bài toán. Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết
quả một bài toán hình học” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
1
SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1. Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8, lớp 9 THCS Yên Bình.
2. Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS.
PHẦN THỨ HAI.
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự
mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh
hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần
phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô
giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá
trình lâu dài.
*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập
khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở
nhiều khía cạnh.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác
nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.
*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó.
Rút ra các kinh nghiệm giải toán.
- Tìm thêm các cách giải khác.
- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới.
2
SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và

dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng
tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- HS yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán quỹ tích
hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ,
lười tư duy trong quá trình học tập.
- Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,
chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến
thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng
lực cá nhân không được phát huy hết.
- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán
trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển
một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao
được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy,
tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức
như:
3
SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để
đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác
không? . . ..

Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả
một bài toán quen thuộc (bài toán quỹ tích hình học lớp 8). Nhằm giúp HS thấy
được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói
riêng. Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp HS thêm
yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
IV. NỘI DUNG CỤ THỂ
Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét
tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài
toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Sau đây là ví dụ minh hoạ:
1. Bài toán gốc:

♦
Bài toán 1.

(Bài toán quỹ tích lớp 8).
Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM,
điểm I di chuyển trên đường nào? (Bài 126 - SBT Toán 8 - Trang 73)
1.1/ Phân tích tìm cách giải: A
∆ABC, M
∈
cạnh BC,
GT
2
AM
IMAI
==

P I Q

d

KL I di chuyển trên đường nào?
B M C
Hình 1
Ở bài toán này, ta dễ nhận thấy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC cố định thì
điểm I di chuyển theo và luôn là trung điểm của AM. Để xác định được quỹ tích
điểm I, ta xét 2 vị trí đặc biệt của M:
4
SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
+Khi M
≡
B thì I
≡
P (P là trung điểm của AB, P cố định),
+Khi M
≡
C thì I
≡
Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định).
Từ đó suy ra được I
∈
PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC).
1.2/ Lời giải: (tóm tắt theo SBT)
Qua I kẻ đường thẳng d // BC, d cắt AB, AC lần lượt tại P và Q (Hình 1).
∆AMB có AI = IM, IP // BM => P là trung điểm của AB.
Tương tự , ta có: Q là trung điểm của AC. Các điểm P, Q cố định.
Vậy I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC).
2. Khai thác bài toán:
2.1/ Khai thác theo hướng tìm cách giải khác:
*Từ phân tích ở trên, thông qua dự đoán quỹ tích, ta dễ dàng tìm ra hướng chứng

minh điểm I cách BC một khoảng không đổi. Từ đó có cách giải thứ 2:
Cách 2:
Kẻ AH, IK vuông góc với BC (Hình 2). A
∆AMH có IA = IM (GT), IK // AH (cùng
⊥
BC) P I Q
=> IK là đường trung bình của ∆AMH
=>
2
AH
IK
=
không đổi (vì AH không đổi).
B H K M C
Mà K
∈
BC cố định nên I nằm trên đường thẳng // BC, Hình 2
cách BC một khoảng bằng
2
AH
.
-Khi M
≡
B thì I
≡
trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M
≡
C thì I
≡

trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Từ việc xét 2 vị trí đặc biệt của M, cùng với nhận xét rằng đường trung
bình PQ cố định và I lại là trung điểm của AM giúp ta nghĩ đến đi chứng minh
I, P, Q thẳng hàng và ta có cách giải khác:
5
SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
Cách 3:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có P, Q cố định.
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta suy ra: PQ//BC và PI//BC
=> I, P, Q thẳng hàng.
-Khi M
≡
B thì I
≡
trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M
≡
C thì I
≡
trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Tiểu kết:
Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớn
trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc
sáng tạo cho HS. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác
nhau của bài toán HS sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài
toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng thời,
việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp HS có dịp so sánh các cách giải đó,
chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán. Ngoài

ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu HS được biết rằng dù khó như vậy
nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải
hơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong HS.
Chẳng hạn, ở bài toán gốc, nếu mỗi chúng ta hiểu, nắm được 3 cách giải bài
toán này thì ít nhất từ HS (vốn sợ bài toán quỹ tích hình học) cũng sẽ thấy sự thú vị
của một bài toán. Từ đó, bản thân sẽ bớt “sợ quỹ tích” hơn, khơi dậy tính tò mò
muốn được tự khám phá, ham tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức hơn.
2.2/ Khai thác theo hướng thay đổi giả thiết, tìm bài toán mới:
Có thể nói, Bài toán 1 là một bài tập hết sức cơ bản về quỹ tích. Khai thác
bài toán gốc này không phải theo hướng tìm lời giải khác, mà theo hướng thử sáng
tạo: thay đổi dữ kiện - tìm bài toán mới, chúng ta có thêm một chuỗi các bài toán
mới với lời giải dễ dàng tìm được.
6
SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học"
*Khai thác 2.2.1:
Nếu qua M, ta kẻ MD//AB và ME//AC (D
∈
AC, E
∈
AB) thì ta dễ dàng
chứng minh được AEMD là hình bình hành => I cũng là trung điểm của DE. Ta có
bài toán mới:
♦
Bài toán 2.

Cho ∆ABC, từ điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song
song với AB, AC lần lượt cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Gọi I là trung điểm của
DE. Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên cạnh BC. A
Gợi ý giải: Hình 3 E
Ta có ME // AD, MD // AE (GT)

I

D

=> AEMD là hình bình hành B
M
C
mà I là trung điểm của DE Hình 3
=> I cũng là trung điểm của AM.
Đến đây, ta dễ dàng làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả:
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.2:
Từ bài toán 2, tiếp tục thay đổi giả thiết: “ME, MD lần lượt song song với
AC, AB” bởi quan hệ vuông góc và thêm giả thiết  = 90
0
, ta có bài toán tương tự:
♦
Bài toán 3.

Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh huyền. Gọi E và D lần
lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Trung điểm I của ED di chuyển trên
đường nào?
Gợi ý giải: Hình 4 A
-Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật E
I D
Mà I là trung điểm của ED
=> I cũng là trung điểm của AM B
M
C
Đến đây, làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả: Hình 4

Các điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
7