SANG KIEN KINH NGHIEM CAP TINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
“TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải
bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm. Thực tiễn dạy và
học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải
toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh còn
rất yều. Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán
để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,... Một
trong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”.
Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của
mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HS
nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các
kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán
II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU
Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 và
mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vả
nhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên
lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời
gian của tiết dạy. Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia
hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có
những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp,
thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rất
đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này
vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên không
nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học
sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn
luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về
dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường. Từ những suy nghĩ đó

và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này
III/ GIẢI PHÁP
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải
toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào
để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao
kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các
phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbg
chương, từng khối lớp. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán
khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không
chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy
luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi.
Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri
thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học
tập hơn rất nhiều
B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ
I/CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể
hiện dạng toán “chia hết”. Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học
môn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh
bằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy
trong quá trình giảng dạy bài mới. Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán
“chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán. Nó giúp học sinh phát
triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh
hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic
II./GIẢ THUYẾT
Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã

trang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng
giải các bài tập dạng này
1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích
-Nếu a

m và b

m thì a+b

m , a -b

m, a.b

m
-Nếu a

m thì a
n


m (n là số tự nhiên)
2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11
Chia hết cho Dấu hiệu
2 Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
3 số có tổng các chữ số chia hết cho 3
4 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 4
5 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3
8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số

chia hết cho 8
9 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
10 Số có chữ số tận cùng là 0
11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng
ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang
phải) chia hết cho 11
3.Đồng dư
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số
dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu
(mod )a b c≡
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

(mod )a a m≡

(mod ) (mod )a b m b a m≡ ⇔ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m≡ ≡ ⇒⇒ ≡

(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇔ ≡
4.Nguyên tắc Đirichlê
Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu

nhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con
thỏ.
5.Phương pháp chứng minh quy nạp
Muốn chứng minh một khẳng định A
n
đúng với mọi n=1,2,3... ta chứng
minh như sau:
-Khẳng định A
1
đúng
-Giả sử A
k
đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định A
k+1
đúng
Kết luận: Khẳng định A
n
đúng với mọi n=1,2,3...
6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau:
-Giả sử P sai
-Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý
-Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng
*CÁC DẠNG TOÁN
Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người
học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó. Một bài có thể
vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá
trình giải toán
1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số
Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho

ab19
chia hết cho 5 và 8
Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết
cho 5 và 8
Vì
ab19
chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và
ab19
chia hết cho 8 nên suy ra b=0
Mặt khác ,
019a
chia hết cho 8 nên
019a
chia hết cho 4 khi
0a
chia hết cho 4
suy ra a
∈
{0;2;4;6;8}. Ta có
019a
chia hết cho 8 khi
09a
chia hết cho 8 nên
a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và
1960
Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để
96aaaaa
chia hết cho cả 3 và 8
vì
96aaaaa


8
↔

96a

8
↔
100a + 96

8 suy ra 100a

8
vậy a là số chẵn
→
a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1).
vì
96aaaaa


3
↔
(a + a + a + a + a + 9 + 6 )

3
↔
5a + 15

3

mà 15

3
→
5a

3
mà (5, 3) = 1
Suy ra a

3 vậy a ∈{ 3, 6 ,9} (2).
từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
KL: Vậy dố phải tìm là 6666696.
Bµi to¸n 3 : Tìm chữ số a để
11aaa

11.
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a.
*Nếu 2a ≥ a + 2
→
a ≥ 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7
mà (a - 2)

11 nên a - 2 = 0
↔
a = 2
*Nếu 2a ≤ a + 2

↔
a <2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc là 1 không chia hết
cho 11.vậy a=2
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm x,y sao cho
721994 xy
HD:
xy1994


72 = 72. 2769 + 32 +
xy


72 ↔ 32 +
xy


72
Vì 32 ≤ 32 +
xy
≤ 32 + 99 = 131 nên 32 +
xy
= 72 ↔
xy
= 40 vậy x = 4 , y
= 0.
Bài 2; Tìm x để
1994x
3 nhưng không chia hết cho 9

HD: Vì
1994x
chia hết cho 3 ↔ (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3
Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1≤ x ≤ 9 nên 24 ≤ 23 + x ≤ 32
Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết
cho 9.
Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3
HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2
nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được có
cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phải
chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếp
nhau
2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
Bài toán 1 : Chứng minh rằng 21
39
+39
21
chia hết cho 45
*Cách 1: Ta có 21
39
+ 39
21
= (21
39
- 1 ) + (39
21
+ 1)
Vì 21
39
- 1 = 20 (21

38
+ 21
37
+ …+ 1) chia hết cho 5
Vậy 39
21
+ 1 = 40 (39
20
- 39
19
+ …+1) chia hết cho 5
Suy ra: (21
39
- 1 ) + (39
21
+ 1) chia hết cho 5
Mặt khác 21
39
- 39
21
= (21
39
- 3
39
) + (39
21
- 3
21
) + (3
39

+ 3
21
)
Mà 21
39
- 3
39
= 18 (21
38
+ …+3
38
) chia hết cho 9
21
39
- 3
39
= 36 (39
20
+…+3
20
) chia hết cho 9
Vậy 3
39
+ 3
21
= 3
21
(3
18
+ 1) = (3

3
)
7
(3
18
+ 1) chia hết cho 9
Mà ( 5,9) = 1 nên 21
39
+ 39
21

45
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
*Cách 2: vì 45 = 5.3
2
nên để chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45 thì ta
chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 5.3
2

Ta có: 21

39
= (20 + 1)
39
= 20
39
+ 39. 20
38
+ …+ 39.20 + 1= 10M + 1.39
21
= (30 + 9)
21
= 30
21
+ 21.30
20
.9 + 9 +…+ + 21.30.9
20
+ 9
21
= 10N + 9
Như vậy: 21
39
+ 39
21
= 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5
Mặt khác 21
39
+ 39
21
= (7.3)

39
+ (13.3)
21
= 7
39
.3
39
+ 13
21
+ 3
21
= 3
21
. 7
39
. 3
18
+ 13
21
. 3
21
= 3
21
(7
39
. 3
18
+ 13
21
) = (3

3
)
7
(7
39
. 3
18
+ 13
21
) chia hết cho 9
*C¸ch 3 Ta có: 21
≡
1 (mod 20)
39
≡
-1 (mod 20)
Vậy 21
39
+ 39
21

≡
1
39
+ (-1)
21

≡
0 (mod 20)
Như vậy 21

39
+ 39
21
chia hết cho 20; do đó 21
39
+ 39
21
chia hết cho 5 (*)
Tương tự ta chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 9
KL: Vậy 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45
Bài toán 2 : Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
60
Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15.
Ta có: A =2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2

60
A = 2(1+2)+ 2
3
(1+2)+…+ 2
59
(1+2) = 3 (2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2
59
)
A = 3 (2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2
59
) chia hết cho 3
Ta có A = 2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2
60

A = 2 (1 + 2 + 2
2
) + 2
4

(1 + 2 + 2
2
) + … + 2
58
(1 + 2 + 2
2
)
A = 2 . 7 + 2
4
.7 + … + 2
58
.7
A = 7 (2 + 2
4
+ …+ 2
58
) chia hết cho 7
Ta có A = 2 (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + 2
5
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + … +2
57
(1 + 2 + 2

2
+ 2
3
)
A = 2. 15 + 2
5
.15 + …+ 2
57
.15
A = 15( 2 + 2
5
+ … + 2
57
) chia hết cho 15
KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15.
Bài toán 3:Chứng minh rằng 43
43
-17
17
chia hết cho 5
Ta có 43
43
= 43
40
. 43
3
= (43
4
)
10

.43
43
Ta có 43
3
có tập cùng là chữ số 1 nên 43
4
có tận cùng là chữ số 1 hay 43
40
có tận
cùng là chữ số 1
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
43
43
có tận cùng là chữ số 7. Vậy 43
40
.43
3
có tận cùng là chữ số 7 hay 43
3
có tận
cùng là chữ số 7
Ta có 17
17
= 17
16
.17 = (17
4
)

4
. 17
Vì 17
4
có tận cùng là 1 nên
44
)17(
cũng có tận cùng là 1 hay 17
6
cũng có tận
cùng là 1. Do đó 17
16
.17 có tận cùng là 7
Hai số 43
43
và 17
17
có chữ số tận cùng giống nhau nên 43
43
-17
17
có chữ số tận
cùng là 0, Suy ra 43
43
-17
17
chia hết cho 5
Bài tập tương tự
Bài1 Cho B = 3 + 3
3

+ 3
5
+ …+ 3
1991
.
Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41
Bài 2 Cho C = 11
9
+ 11
8
+ 11
7
+ …+ 11 + 1.
Chứng minh rằng C chia hết cho 5
Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …+ 99
3
+ 100
3

B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100
Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ
Bài toán 1: Chứng minh rằng n
3

-n chia hết cho 6 với n nguyên
*Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n
3
– n chia hết cho 2 và chia
hết cho 3. Ta có n
3
– n = n(n
2
– 1) = n(n + 1)(n - 1)
Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)

2.
Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k
∈ Z)
+ Nếu n = 3k thì n
3
– n = (3k)
2
- 3k = 3k (9k
2
– 1)

3
+ Nếu n = 3k + 1 thì n
3
– n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2)

3.
+ Nếu n = 3k + 2 thì n
3

– n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3)
= 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2)

3.
KL: Vậy n
3
– n

6 với n nguyên
*Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các
dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6)
+ Nếu n = 6p thì n
3
– n = 6p (6p + 1)(6p - 1)

6
+Nếu n = 6p + 1 thì n
3
– n = 6p(6p + 1)(6p + 2)

6.
+ Nếu n = 6p + 2 thì n
3
– n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1)

6.
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
6