Tài liệu ĐỀ HSG TOÁN 8

phòng giáo dục - đào tạo
huyện kim sơn
Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2010 - 2011
Môn: toán - lớp 8
Ngày thi: .... tháng .... năm 2011
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1. (3 điểm).
Cho x + y = 5 và x.y = -84. Tính giá trị của biểu thức:
a.
2 2
A x y= +
.
b.
3 3
B x y=
.
Bài 2. (2 điểm).
Tìm a để đa thức
3 2
2x 3x 2x a + +
chia hết cho
x 2
Bài 3. ( 5 điểm). Cho phân thức
4 2
3
x 2x 1
A
x 3x 2
+

=

.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 4.
c. Chứng minh rằng khi x >2 thì A luôn có giá trị dơng.
Bài 4. (8 điểm)
Câu 1 ( 2 điểm).
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có gócB=gócB

. Chứng minh:
/ / /
ABC
/ / / /
A B C
S AB.CB
S A B .C B
=
Câu 2 ( 6 điểm).
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lần lợt lấy các điểm M và E sao cho AM
= ME = EB. Gọi N là trung điểm của CD. Điểm G thuộc NE thoả mãn
=
1
EG EN
3
. Đ-
ờng thẳng AG cắt các đờng thẳng BC; DC theo thứ tự ở I và P
a. Biết AB = 5 (cm). Hãy tính độ dài CP .
b. Tìm tỷ số
IB

IC
.
c. Gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh M; G; K thẳng hàng.
Bài 5. (2 điểm). Cho dãy số sau
1
1a =
;
2
1
1
2
a = +
;
3
1 1
1
2 3
a = + +
; ;
1 1 1
1 .....
2 3
n
a
n
= + + + +
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1

...... 2
2 3
n
a a a na
+ + + + <
với mọi n >1
----- Hết -----
Lai thành 30 tháng 11 năm 2010
Ngời ra đề
Trung văn Đức
1
phòng giáo dục - đào tạo
huyện Kim sơn
hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: toán - lớp 8
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
3 điểm
a)
1 điểm
( )
( )
2
2 2 2 2
A x y x 2xy y 2xy x y 2xy= + = + + = +
0,5
( )
2
5 2. 84 193= =

0,5
b)
2 điểm
Ta có:
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
x y x 2xy y x y 2xy 193 2 84 361
= + = + = =
0,5
x y 19 =
hoặc
x y 19 =
0,5
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
B x y x y x xy y x y x y xy

= = + + = +

0,5
- Nếu
( )
x y 19 B 19 193 84 2071 = = =
0,25

- Nếu
( )
x y 19 B 19 193 84 2071 = = =
0,25
Bài 2
2 điểm
Gọi thơng của phép chia đa thức
3 2
2x 3x 2x a + +
cho
x 2
là
Q(x)
.
Để
3 2
2x 3x 2x a + +
chia hết cho
x 2
thì
( )
3 2
2x 3x 2x a x 2 .Q(x) + + =
.
1
Đẳng thức trên đúng với mọi giá trị của x.
cho x = 2 ta có
( )
3 2
2.2 3.2 2.2 a 2 2 Q(2) + + =

a 8 0 a 8
+ = =
0,75
Vậy với
a 8=
thì
3 2
2x 3x 2x a + +
chia hết cho
x 2
0,25
Bài 3
5 điểm
a)
2 điểm
Tử thức:
( )
( ) ( )
2
2 2
4 2 2
x 2x 1 x 1 x 1 x 1 + = = +
0,5
Mẫu thức:
( )
( )
3 3 2
x 3x 2 x x 2x 2 x x 1 2 x 1 = = +
( ) ( ) ( ) ( )
( )

( ) ( )
2
2
x x 1 x 1 2 x 1 x 1 x x 2 x 1 x 2= + + = + = +
1
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
x 1 x 1 x 1
A
x 2
x 1 x 2
+
= =

+
0,5
b) ĐKXĐ:
x 1
và
x 2
. 0,5
( )
( ) ( )
2
2
x 1
A 4 4 x 1 4 x 2

x 2

= = =

0,5
2
2 điểm
( )
2
2 2
x 2x 1 4x 8 x 6x 9 0 x 3 0 x 3 + = + = = =
0,75
x = 3 thỏa mãn đkxđ. Vậy x = 3 thì A = 4 0,25
c)
1 điểm
Khi x > 2 ta có
( )
2
x 1
A
x 2

=

0,25
x 2 x 2 0
> >
mà
( )
2

x 1 0 x 1 >
0,5
( )
2
x 1
A 0 x 2
x 2

= > >

.
Hay khi x > 2 thì A luôn có giá trị dơng
0,25
Bài 4
8 điểm
Câu 1
2 điểm
H
'
C
'
B
'
A
'
H
C
B
A
Vẽ

AH BC; A'H' B'C'
. ta có
ABC A 'B 'C '
1
S AH.BC; S A'H'.B'C '
2
= =
1
ABC
A 'B 'C '
S AH.BC AH BC
.
S A'H'.B'C ' A'H' B'C'
= =
(1) 0,5
Xét
ABH
và
A'B'H'
có gócAHB=gócAHB và gócB=gócB

ABH ~ A'B'H'

(g.g)
0,5
AB AH
A'B' A'H'
=
(2) 0,5
Từ (1) và (2)

ABC
A 'B 'C '
S AB BC AB.BC
.
S A'B' B'C ' A'B'.B'C '
= =
0,5
Câu 2
6 điểm
E
N K
P
M
G
I
D
C
B
A
3
a)
3 điểm

G NE
;
=
1
EG EN
3
nên

1
GE GN
2
=
0,5
áp dụng hệ quả định lý Talet trong
NGP
với AE // NP ta có:
GE AE
GN NP
=
1,0
Thay
GE 1 10
; AE
GN 2 3
= =
ta tính đợc
20
NP
3
=
0,75
Tính
20 5 25
CP NP NC
3 2 6
= = =
(cm) 0,75
b)

1 điểm
Vì AB // CP
ABI ~ PCI

0,5
IB AB
IC CP
=
. Thay AB = 5;
25 IB 6
CP
6 IC 5
= =
0,5
c)
2 điểm
Chứng minh
AMG ~ PKG
0,5
gócAGM=gócKGP 0,5
Mà gócAGM+gócMGP=180
0
( kề bù) suy ra gócKGP+ gócMGP=180
0
0,5
Suy ra gócMGK=180
0
. Vậy M, G, K thẳng hàng 0,5
Bài 5
2 điểm

k 2
ta có
2
k k 1 k
1 1
k.a k.a .a

<
( vì
k k 1
a a

>
). 0,25
Ta có:
k k 1
k 1 k k 1 k k 1 k
a a
1 1 1
a a a .a k.a .a



= =
0,25
Suy ra
2
k k 1 k
1 1 1
k.a a a

<
0,5
Cho k = 2; 3; ...; n ta có:
2
2 1 2
1 1 1
2a a a
<
;
2
3 2 3
1 1 1
3a a a
<
;.....;
2
n n 1 n
1 1 1
na a a

<
0,25
Cộng từng vế các bđt trên ta đợc:
2 2
2 n 1 2 2 3 n 1 n 1 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... 1
2a na a a a a a a a a a

+ + < + + + = < =
0,5
2 2 2
1 2 n
1 1 1
... 1 1 2
a 2a na
+ + + < + =
(đpcm) 0,25
Ghi chú: Làm theo cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tơng đơng đáp
án.
Điểm toàn bài bằng tổng các điểm thành phần, không làm tròn.
4
Lai thµnh 30 th¸ng 11 n¨m 2010
Ngêi ra ®Ò
Trung v¨n §øc
5