Luận văn tốt nghiệp áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ bose einstein hai thành phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ NGỌC THÚY

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC
CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

ThS. HOÀNG VĂN QUYẾT

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo
Th.S Hoàng Văn Quyết người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn
để em có thể hồn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng
dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức
cơ bản trong học tập, nghiên cứu khố luận cũng như trong cơng việc sau
này.
Trong q trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cơ

và các bạn để đề tài này được hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Ngọc Thúy


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “Áp dụng phương pháp gần đúng
hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ Bose- Einstein hai thành phần
bị giới hạn bởi cấu trúc trụ ” được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S Hồng Văn Quyết.
Tơi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tơi và khơng
trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Ngọc Thúy


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
NỘI DUNG ..................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN ............... 3
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển ........................................................... 3
1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose Einstein Condensates ......................................................................................... 10
1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý.......................................... 10
1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng ............................................. 12
1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein

có liên quan đến khóa luận ................................................................................ 15
1.3.1. Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 15
1.3.2. Toán tử Hamilton .................................................................................. 23
1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii .............................................................. 25
1.3.3.1. Hệ riêng biệt ................................................................................ 25
1.4. Sơ lược về phương pháp hydrodynamics .......................................... 30
CHƯƠNG

2.

ÁP

DỤNG

PHƯƠNG

PHÁP

GẦN

ĐÚNG

HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ ........... 37
KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN .................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 43


MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Ý tưởng ngưng tụ Bose- Einstein Condensates (BEC) là của Satyendra

Nath Bose (Ấn Độ) và Albert Einstein (Mỹ) tiên đoán từ năm1924. Nhưng
mãi tới năm 1980 kỹ thuật laze phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử
đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được và đến năm 1995 mới quan
sát được bằng thực nghiệm. BEC là trạng thái vật chất hết sức quan trọng
trong phịng thí nghiệm để quan sát nhiều hiệu ứng vật lý mà các vật chất
khác không có, nhất là đối với các hiệu ứng lượng tử. Trong một thập niên
qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực
nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các
BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau và điều
quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa hai thành phần
này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một mơi trường
lý tưởng để kiểm chứng trong phịng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử
khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xốy Abrikosov, các vách ngăn giữa
hai thành phần, các trạng thái soliton, các trạng thái ripplon, các đơn cực...
Ở Việt Nam BEC vẫn còn là một vấn đề mới mẻ, nhất là đối với học sinh
và sinh viên. Vì vậy việc tìm hiểu BEC đối với sinh viên là hết sức cần thiết.
Do điều kiện nghiên cứu thực nghiệm ở Việt Nam đối với sinh viên còn gặp
nhiều khó khăn (thiết bị, kinh phí,…) nên để tìm hiểu về BEC chúng ta chỉ
mới có thể tìm hiểu trên phương diện lí thuyết. Vì thời gian và kiến thức hạn
hẹp nên đối với sinh viên chúng em chỉ có thể tìm hiểu về một khía cạnh nhỏ
của BEC. Vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài: “ÁP DỤNG PHƯƠNG
PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC
CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI
CẤU TRÚC TRỤ’’ làm đề tài nghiên cứu của mình.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hệ thức tán sắc của phonon trong hệ ngưng tụ Bose- Einstein

bằng phương pháp Hydrodynamics
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính
thống kê của hệ BCE hai thành phần
Phạm vi: chỉ nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn
nhau
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan được các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BCE
Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii
Xây dựng phương trình liên tục
Áp dụng phương pháp gần đúng Hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc
của phonon trong hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp
gần đúng Hydrodynamics
6. Đóng góp của đề tài
Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.

2


NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển
Albert Einstein (1897-1955) là một nhà vật lí lý thuyết sinh ra ở Đức.
Khi bước vào sự nghiệp của mình, Eisntein đã nhận ra cơ học Newton khơng
cịn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các định luật của
trường điện từ. Từ đó ơng phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với các bài
báo đăng trong năm 1905. Tuy nhiên, ơng thấy ngun lý tương đối có thể

mở rộng cho cả trường hấp dẫn, và đến năm 1916 ông đã xuất bản một bài
báo cáo về thuyết tương đối tổng quát. Ông cũng là người đặt cơ sở cho lý
thuyết lượng tử ánh sáng. Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng
qt để miêu tả mơ hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ...
Một trong những thành tựu khoa học của ơng đó là ý tưởng về ngưng tụ
Bose-Einstein Condensates bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ
Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem
photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia
sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý
thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các ngun tử và tiên đốn rằng nếu
các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức
chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạng
thái lượng tử vĩ mơ hay nói cách khác một siêu nguyên tử - tức là một BEC
Về mặt lý thuyết các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp
các boson và lớp các fermion. Boson là những hạt có ''spin nguyên'' (0, 1, 2,
...), fermion là những hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2, 3/2...). Các hạt boson
tuân theo thống kê Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê
Fecmi- Dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý ngoại trừ
Pauli, ''hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng

3


tử''.
Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất giống nhau, giống
hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống
kê Bose-Einstein và thống kê Fecmi- Dirac đều tiệm cận đến thống kê
Mắcxoen- Bônxơman ở nhiệt độ phịng). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ
thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn như khí điện tử
tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson khơng chịu sự chi phối của

nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ khơng tuyệt đối tất cả đều có năng lượng

  0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E  0 . Cịn
đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T  0oK các hạt lần lượt chiếm các
trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lượng của cả
hệ khác không (E # 0).
Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng khơng (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn,...) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose.
Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc nào đó thì theo ngun lý bất định
Heisenberg các hạt boson có bước sóng Đơbrơi là B=(2ħ2/mkBT)1/2 do đó
B tăng lên khi nhiệt độ giảm. Khi B có thể so sánh được với kich thước
khơng gian giữa các ngun tử thì các sóng Đơbrơi này sẽ chồng chất lên
nhau tạo thành bó sóng và khi đó các hạt đều có cùng một trạng thái lượng tử
ta gọi là trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC).
Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện khi nhiệt độ
của hệ ở dưới nhiệt độ giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt
khơng tương tác mà khơng có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi cơng
thức:
Tc= (

𝑛

2/3 2πћ2

)
Ϛ(3/2)

𝑚𝑘𝐵

4

≈ 3.3125

ћ2 𝑛2/3
𝑚𝑘𝐵


Tc là nhiệt độ giới hạn
n là mật độ hạt
m là khối lượng của từng boson
ћ là hằng số Plăng thu gọn
kB là hằng số Boltzmann
ς là hàm Zeta Riemann; ς(3/2)≈ 2.6124
Về thực nghiệm các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc
biệt mang lại một hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản.
Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu là Frencesca Ferlaino thuộc
Viện Vật lí Thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một ngun tố rất
lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và
hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử.
"Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn
tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", Ferlaino cho biết.
Cùng nới nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp
đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện
laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ BoseEinstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. " Những thí nghiệm với erbium
cho phép chúng tơi thu được kết quả sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt, chúng ta mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên

tử lạnh", Franlaino nói.
Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí
ở Innsbbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu

5


của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium
hồi năm 2009. . Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì cơng này với ngun
tố erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp
của một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phịng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ
Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh
khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian
này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được
ngưng tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000
nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của
hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm
2001.

6


Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là
các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng
vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi
ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất
nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng

Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của
một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh
được gọi là "polariton". Mặc dù những khăng định tương tự đã từng được
cơng bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài
nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của trùm laser được dùng để tạo ra
các polariton, có nghĩa là hệ khơng chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới
này đã hồn tồn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polariton từ các
chùm.
Tuy nhiên, các polariton - các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống
và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có
thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên
về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại
học Tổng hợp Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp
Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của

7


các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt đô khá cao 19 k.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu

hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác
trong lĩnh vực này lại nghi nghờ rằng các polarition dù ở trạng thái BEC thật,
nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được
kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp rồi.

Hình 1.2: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007)
Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng
hợp Pittsburgh và các cộng sự ở phịng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ
tượng tự mà trong đó các polarition được tạo bởi các tia laser sau đó di
chuyển khỏi vung kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một
ghim nhỏ chiều ngang 50 micron, để tạo ra một ứng suất bất đồng trên vi
cầu, có nghĩa là

tạo ra như một cái bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ

này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K.
Mặc dù nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của
Kasprzak đã cơng bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi
xuất bản cơng trình này nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32
K.

8


Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc-microcavity) được tạo ra bởi vật liệu
bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tượng tự từng được dùng trong các khí
nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.

Hình 1.3: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316,
1007)

Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm
Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì
các polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được
trạng thái chuẩn cân bằng. "Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái
niệm BEC cho một hệ ở trong trạng thái cân bằng thực sự" - Snoke nói "Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa chung trong một
loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất
thuật ngữ thì đúng hơn" .

9


1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein
Condensates
1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon
sang trạng thái đốm màu.

Hình 1.4: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm
lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ BoseEinstein"
Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó
từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ khơng thể tạo ra nó bằng các hạt
vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ cùng lúc điều bất khả thi. Do
photon là các hạt khơng có khối lượng, chỉ mang năng lượng nên chúng đơn
giản dễ bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất, đặc biệt là khi
chúng bị làm lạnh.

10

Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt
photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để duy trì số lượng hạt
photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng
những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1 micromet.
Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" (về cơ bản
chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những
phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó được tái tạo. Các tấm gương đã
"tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến - lui trong một trạng
thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt photon trao đổi nhiệt lượng mỗi
khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị
làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Mặc dù không thể đạt độ không tuyệt đối
nhưng nhiệt độ phịng thơi, cũng đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một
hạt khổng lồ, hay trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin
thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm
trên là "một thành tựu mang tính bước ngoặt".
Ứng dụng phát kiến này vào thực tế, chúng ta có thể tạo các loại laser
mới có bước sóng cực ngắn, trong dải tia cực tím, hoặc tia X.
Ví dụ ứng dụng quan trọng của laze nguyên tử: Là in hôlôgraf (“in ba
chiều”). Giống như hôlôgraf quang học nhưng nó có thể phân giải mịn gấp
70 ngàn lần ánh sáng.
Làm các gia tốc kế siêu nhạy.
Làm chip: Bằng cách rọi một chùm laze nguyên tử qua nột mặt nạ
hơlơgraf các nhà sản xuất có thể xây dựng các mạch với các đường dẫn mảnh
đúng bằng nguyên tử. Tương tự, kĩ thuật hơlơgraf có thể dùng vào việc chế
tạo ra các chi tiết linh kiện nano khác.
Du hành: Các con quay dùng dùng laze nguyên tử có thể gắn vào các hệ

11


thống dẫn đường qn tính, hoặc tương tự. Có thể dùng cho máy bay, tầu
ngầm và các loại tầu thuyền khác với tính năng định vị chính xác mà khơng
cần tham chiếu bất kỳ trạm bên ngồi nào, khơng như các hệ định vị vệ tinh
GPS thường làm.
Đo lường và phát hiện: Các giao thoa kế dùng các laze nguyên tử sẽ đủ
nhạy để phát hiện được cả những biến đổi nhỏ của trường hấp dẫn đến từ các
trầm tích dầu mỏ, các đường hầm hoặc các mắcma sâu trong lịng đất
1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khơi phục ánh sáng
Các nhà vật lý Mỹ giờ đây đã có thể ghi một xung ánh sáng đồng bộ vào
một tập hợp các ngun tử siêu lạnh - và sau đó khơi phục lại nguyên dạng
xung sáng đó từ một tập hợp các nguyên tử thứ hai ở cách đó một khoảng cách
nào đó.
Thí nghiệm đã chứng tỏ rằng các hạt vĩ mơ là khó có thể phân biệt một
cách rạch rịi như cơ học lượng tử đã nói mặc dù chúng có thể tách biệt về
mặt vật lý. Thí nghiệm được tiến hành bằng cách sử dụng các nguyên tử
ngưng tụ Bose Einstein được làm lạnh tới nhiệt độ mà tất cả chúng ở cùng
một trạng thái lượng tử (Theo bài báo đăng trên tạp chí Nature).
Để bắt ánh sáng "nhảy" từ chỗ này sang chỗ khác, Lene Hau và các
đồng nghiệp ở Đại học Harvard đã khai thác một kỹ thuật được họ phát triển
từ năm 2001 để giữ các xung ánh sáng trong trạng thái ngưng tụ BoseEinstein, có thể làm cho ánh sáng laser đi chậm đến mức gần như đứng
lại. Kỹ thuật này bao gồm việc chiếu một xung từ một đầu phát laser vào các
nguyên tử Na ở trạng thái BEC, làm cảm ứng đến việc phân bố các dao động
nhỏ của điện tích trong nguyên tử.
Nhà vật lý Lene Vestergaard Hau sử dụng những tia laser và các đám
mây cực nhỏ để che nguyên tử siêu lạnh làm cho ánh sáng đi chậm đến mức
gần như đứng lại. Thông thường các lưỡng cực sẽ phát xạ và nhanh tróng bị

12


phân rã, nhưng khi chiếu một chùm laser có điều khiển vào các chuyên tử,
chúng sẽ chuyển các dao động trong điện tử thành các dao động của spin mà
dao động này ổn định hơn. Vì thế, khi mà xung laser này tắt đi, thông tin của
đầu phát laser sẽ được ghi lại trên dao động của lưỡng cực spin của nguyên
tử. Đảo tia laser điều khiển để giải phóng ánh sáng, cho phép các nguyên tử
bức xạ lại kết hợp (ví dụ như đồng pha với xung dị ban đầu).
Điểm khác biệt trong kỹ thuật mới là xung được làm chậm để tái hiện
lại tại vị trí BEC cách đó khoảng 1,6 mm. "Thủ đoạn đánh lừa" ở đây là hàm
sóng của lưỡng cực spin thực ra là một sự chồng chập của các nguyên tử
trong trạng thái cơ bản và trong trạng thái kích thích spin. Nhờ có nguyên lý
bảo toàn xung lượng mà các nguyên tử ở trạng thái kích thích spin sẽ di
chuyển khỏi BCE ban đầu khi nguyên tử hấp thụ photon từ xung laser, trong
khi nguyên tử ở trạng thái cơ bản thì đứng n tại vị trí đó.
Nội dung thơng tin của xung đầu dò đã được "in dấu" trên dao động
quay tròn các lưỡng cực của nguyên tử BEC đầu tiên (trên). Trong thí
nghiệm mới này xung cản trở được làm để xuất hiện BEC thứ 2 cách xa
khoảng 160 µm (dưới).

13


Một điểm sáng tạo là nhóm ở Harvard đã quyết định đợi cho đến khi
nguyên tử kích thích spin đi đến vị trí ngưng tụ thứ hai trước khi tác dụng lại
các laser điều khiển. Và họ nhận ra rằng tập hợp các nguyên tử tách biệt một
cách vật lý này sau đó có thể phát xạ lại ánh sáng ban đầu. Xung ánh sáng
được khôi phục này lan truyền một cách chậm rãi khỏi vị trí BEC thứ hai
trước khi đạt vận tốc 300000 km/s như vốn có của ánh sáng.

Vì hai vị trí BEC được tạo ra hồn tồn độc lập, nên ta có thể hy vọng
sự gửi đi các bó sóng từ vị trí đầu tiên đến một vị trí xa lạ BEC thứ hai. Thực
tế khơng hẳn là hàm sóng ở trạng thái cơ bản có một thành phần trên cả hai
vị trí BEC trong cùng một thời điểm để có thể tổ hợp với thành phần bị kích
thích spin khi nó đến vị trí thứ hai.
Thí nghiệm là một minh chứng hùng hồn của việc không phân biệt
lượng tử. "Bằng cách thao tác cho vật chất sao chép lại nguyên bản ánh
sáng ban đầu, chúng ta có thể sử dụng trong việc xử lý thơng tin quang" -

14


Hau phát biểu. Bài phát biểu trên Physics Web rằng thí nghiệm này có thể sẽ
đưa đến kỹ thuật xử lý thông tin quang trong viễn thông quang và mạng
thông tin lượng tử. Một ứng dụng khác có thể là cảm biến quay siêu nhạy
hoặc detetor trọng trường.
Ngoài vài ứng dụng đã kể trên thì cịn rất nhiều ứng dụng khác nữa và
khả năng tiềm tàng của BEC còn rất lớn và đang tiếp tục được khám phá.
1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có
liên quan đến khóa luận
1.3.1. Thống kê Bose – Einstein
Trong mục này chúng ta cần chỉ ra rằng khi nhiệt độ xuống thấp hơn
nhiệt độ Tc nào đó thì xuất hiện một số hạt nằm ở cùng một mức năng lượng
thấp nhất hay còn gọi là cùng trạng thái lượng tử.
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ cơng thức chính tắc lượng tử :
wk 

1

  Ek 
exp 
 gk ,
N!
  

(1.1)

Trong đó gk là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hoạt động tương tác thì ta có
∞

𝐸𝑘 = ∑ 𝑛𝑙 𝜀𝑙 ,

(1.2)

𝑙=0

Ở đây  l là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chưa đầy tức
là số có cùng năng lượng  l .
Số hạt trong hệ có thể nhận các giá trị từ 0   với xác suất khác nhau.
Độ suy biến g k trong (1.1) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì

15


số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê
cố điển thay thế cho phân số chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân số
chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.

Phân bố chính tắc lượng tử có dạng
∞

1
𝑊(𝑛0 , 𝑛1 , … ) = 𝑒𝑥𝑝 {𝛺 + 𝜇𝑁 − ∑ 𝑛𝑙 𝜀𝑙 } 𝑔𝑘
𝑁!
𝑙=0

(1.3)

∞

, Ω là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa.

Trong đó 𝑁 = ∑ 𝑛𝑙
𝑙=0

Sở dĩ có thừa số

1
xuất hiện trong cơng thức (1.3) là vì có kể đến tính
N!

đồng nhất của các hạt và tính khơng phân biệt cuả các trạng thái mà ta thu
được do hốn vị các hạt.
Ta kí hiệu
gk
 G (n0 , n1 ,...)
N!

.

(1.4)

Khi đó (1.3) được viết lại như sau:





nl (    l ) 



l 0
W  n0 , n1 ,...  exp 
 G (n0 , n1 ,...) . (1.5)






Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau
Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đón
nhận cơng thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt

16

nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do dó nhờ cơng thức này
ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng





nl (    l ) 



l 0
nl   ...nl 
G (n0 , n1 ,...)

n0 n1





. (1.6)

Hai là đại lượng G(n0 , n1 ,...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện
các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ bonson và hệ
fermion, tức là hệ được mơ tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hốn vị đều khơng đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàn sóng của hệ sẽ chỉ hoặc khơng đổi dấu, hoặc dổi dấu nhĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta
có

G(n0 , n1 ,...) 

1
n0 !n1 !...

.

(1.7)

Trong phân số Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia
cho số hốn vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n0 !n1 !...
Khi đó
gk 

N!
,
n0 !n1 !...

(1.8)

thay giá trị của g k vào (1.4) ta được (1.7). Để tính trị trung bình của các
số chưa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn
cho dại lượng  trong công thức (1.5) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình
như khơng phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thể hóa
học l . Và cuối phép tính ta cho l   .

17

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như
sau

 ...W

( n0 , n1 ,...)

n0

n1

 
 exp   Z  1
 

 

n
(



)

1
l
l



Z   ...  exp  l  0
 G (n0 , n1 ,...)

n0 n1





với

   ln Z

nghĩa là

,

(1.9)

, (1.10)

.

(1.11)

Khi đó đạo hàm của  theo l dựa vào (1.10) và (1.11)






nl (    l ) 



1 Z


l 0
 
   ...nk exp 
G (n0 , n1 ,...)
 l
Z  l

n0 n1





(1.12)

Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt l   thì theo (1.6) vế phải của cơng
thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu được
nl 



 l

.

(1.13)

Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ
0   ) và G (n0 , n1 ,...)  1 do đó theo (1.9) ta có

 

  n1 ( l   l )   
  ( l   l  
Z   ...exp  l  0
   exp 
 n

n0 n1
   

 l 0 n0




 
l 0

1
   l 
1  exp  l


  

,

(1.14)

khi đó

18






l 0



 l   l  
 .
  

    ln 1  exp 

(1.15)

Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
nl 

1
   
exp  l
 1
  

(1.16)

ta có (1.16) là cơng thức của thống kê Bose – Einstein. Thể hóa học 
trong cơng thức (1.16) được xác định từ điều kiện
∞

∑ 𝑛̅𝑙 = 𝑁

(1.17)

𝑙=0

Đối với khí lí tưởng, theo cơng thức của thống kê Bose – Einstein, số
hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ     d  bằng
dn( ) 

dN ( )
   
exp 
 1
  

(1.18)

trong đó dN ( ) là số các mức năng lượng trong khoảng     d 
Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể
xem như các sóng dừng Broglie. Vì vậy có thể xác định dN ( ) bằng cách áp
dụng công thức
k 2 dk
dN (k ) 
V
2 2

(1.19)

Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véctơ sóng k
⃗
𝑃⃗ = ћ𝑘

(1.20)

khi đó (1.19) có thể được viết dưới dạng
p 2 dp
dN ( p)  2 3 V
2 h

19

(1.21)


Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vân tốc v≪c thì ɛ=

𝑝2
2𝑚

suy ra

p 2  2m
𝑝2 𝑑𝑝 = √2𝑚3 ɛ dɛ
Do đó (1.21) có dạng
2 m 3V
dN ( ) 
 d
2 2 h3

Vì các hạt có thể có xác định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g = 2s+1. Do đó, số các mức
năng lượng trong khoảng     d  là
2m3Vg
dN ( ) 
 d
2 2 h3

(1.22)

Theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng     d  là
2m3Vg
dn( ) 
2 2 h3

 d
   

exp 
 1
  

(1.23)

Vì số hạt tồn phần là N nên ta có phương trình sau




2m3Vg
N   dn( ) 
2 2 h3 0
0

1

2
 

d

(1.24)

e KT  1

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thể hóa học  . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thể hóa học  đối với khí bose lí tưởng. Đầu
tiên là chúng ta chứng minh rằng

0

(1.25)

Thật vậy, số hạt trung bình dn( ) chỉ có thể là một số dương, trong đó,
theo (1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luân luôn dương

20


 
 luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của
  


(nghĩa là khi   0 , để cho exp 

 ).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ
tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta có:
N
 T

T N


 
 
0 eKT  1 d 0 T  KT   d

 e 1
e







 
d






 0 KT 1
0   KT   d
e
 e 1

T



 



1 (   )e
0 kT 2     2  d
KT
 e  1





 

1

e


e

KT

 
KT


 1


2

 

     e KT  d
   2


KT

 kT 
0





0



 d

1
T

 KT

 e  1





0

, (1.26)

 



KT

e

 

e


KT


 1


2

 d

Nhưng do (1.24) nên     0 , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải (1.26) ln ln dương với mọi giá trị của  , vì vậy
chất   0 và


 0 . Từ các tính
T


 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá
T

trị âm tăng lên đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào
đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max  0 ).
Xác định nhiệt độ T0
Chọn   0 và T  T0 . Khi đó phương trình


N   dn( ) 
0

3



2m Vg
2 h3 0

21

e

1

2

 

e KT

d
1