Bài soạn giaoanchuyen de HHGT RAT HOT

CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
( 6 tiết , từ 29 / 03 đến 03/ 04 / 2010 )
MỤC TIÊU
Kiến thức cơ bản cần nhớ
1. Hệ tọa độ trong không gian, tọa độ một vec tơ , khoảng cách giữa hai điểm , biểu thức
tọa độ của các phép toán vec tơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích có hướng của hai
vec tơ. Phương trình mặt cầu
2. Phương trình mặt phẳng: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát
của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
3. Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường
thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau , song song nhau hoặc vuông
góc nhau
Các dạng toán cần luyện tập
1. Tính toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số ; tính được tích vô hướng của hai
vectơ, tích có hướng của hai vectơ. Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng, tính thể tích của
khối tứ diện.
2. Tính khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trước. Xác định toạ độ tâm và bán kính
của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và đi qua một
điểm cho trước, biết đường kính).
3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tính góc.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song
song.
4. Viết phương trình tham số của đường thẳng (biết đi qua hai điểm cho trước, đi qua một
điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với một
mặt phẳng cho trước). Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối
của hai đường thẳng đó. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng hoặc
trên một mặt phẳng.
CHUẨN BỊ
Học sinh : Ôn tập lý thuyết ở nhà và giải trước các bài tập giáo viên đưa trước ở nhà
Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập để học sinh luyện tập ở nhà

TIẾN TRÌNH ÔN TẬP
Hoạt động 1 : Ôn tập hệ thống lý thuyết
Hoạt động 2 : Luyện tập các dạng toán cần biết
Bài 1 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5) . Tính
tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Các mặt của hình hộp là hình
gì ?
Các mặt hình hộp là hình
bình hành
ABCD là hình hành
DC AB⇒ =
uuur uuur
(*)
Gọi
( ; ; )C x y z
là điểm cần
Nêu hệ thức vec tơ khi
ABCD là hình bình hành ?
Với cách làm tương tự tìm
các đỉnh còn lại.
ABCD là hình hành
DC AB⇒ =
uuur uuur
tìm. Ta có :
( 1; 1; 1)DC x y z= − + −
uuur
(1;1;1)AB =
uuur
1 1 2

(*) 1 1 0
1 1 2
x x
y y
z z
− = =
 
 
⇔ + = ⇔ =
 
 
− = =
 
Vậy : C(2 ; 0; 2 )
Tương tự : A’(3;5;-6) ,
B’(4;6;-5) , D’(3;4;-6)
Bài 2 : Trong không gian cho ba điểm A( -1 ; 2; 3) , B( 2; -4;3) và C( 4; 5; 6)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc mặt phẳng
( )
α
:
2 3 1 0x y z− + − =
c. Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB
d. Tính khoảng cách từ C đến (P)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu cách tìm vec tơ pháp
tuyến của một mặt phẳng :
+ Đi qua ba điểm không
thẳng hàng A, B, C

+ Đi qua A,B và vuông góc
với (P)
Mặt trung trực của đoạn
AB có những tính chất
nào ?
Mặt phẳng (ABC) có vec tơ
pháp tuyến là :
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
Mặt phẳng đi qua A, B và
vuông góc với
α
có vec tơ
pháp tuyến là
,n AB n
α
 
=
 
r uuur uur
Mặt trung trực của đoạn AB
đi qua trung điểm I của
đoạn AB và vuông góc với
AB. Do đó nó nhận vec tơ
AB
uuur
làm vec tơ pháp tuyến

a. Ta có :
(3; 6;0)
(5;3;3)
, ( 18; 9;39)
AB
AC
n AB AC
= −
=
 
= = − −
 
uuur
uuur
r uuur uuur
Phương trình mặt phẳng là :
18( 1) 9( 2) 39( 3) 0
6 3 13 39 0
x y z
x y z
− + − − + − =
⇔ + − + =
b. Mặt phẳng
( )
α
có vec tơ pháp
tuyến là :
(2; 1;3)n
α
= −

uur
Mặt phẳng (P) có vec tơ pháp
tuyến là :
, ( 18; 9;9)n AB n
α
 
= = − −
 
r uuur uur
Phương trình mặt phẳng (P) là :
18( 1) 9( 2) 9( 3) 0
2 3 0
x y z
x y z
− + − − + − =
⇔ + − + =
c. Mặt trung trực của đoạn AB
đi qua trung điểm I của đoạn AB
và vuông góc với AB
Ta có :
1
( ; 1;3)
2
I −
và vec tơ pháp
tuyến là
(3; 6;0)AB = −
uuur
Phương trình cần tìm là :
1

3( ) 6( 1) 0
2
2 4 15 0
x y
x y
− − + =
⇔ − − =
d. Khoảng cách từ C đến (P) là :

10
( ;( ))
6
d C P =
Bài 3 : Viết phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau :
a. Đường thẳng đi qua hai điểm A(4 ; 1 ; -2 ) và B( 2 ; -1 ; 9 )
b. Đường thẳng d đi qua A(3 ; 2 ; -1 ) và song song với đường thẳng
1 1
2 3 4
x y z− +
= =
−
c. Đường thẳng d đi qua M( - 2 ; 3 ; 4 ) và vuông góc với mặt phẳng
( ) : 2 3 10 0P x y z+ − + =
d. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
2 3 1 0 ; 2 3 2 0x y z x y z− + + = + − + =
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Để viết phương trình tham số
của đường thẳng ta cần xác
định các yếu tố nào ?
Hãy nêu cách xác định vec tơ

chỉ phương của đường thẳng
trong các trường hợp đã nêu
Cần xác định 2 yếu tố :
+ Tọa độ của vec tơ chỉ
phương của đường thẳng
+ Tọa độ của một điểm mà
đường thẳng đi qua
a. Vec tơ chỉ phương là
AB
uuur
b. Hai đường thẳng song
song thì có cùng vec tơ chỉ
phương
c. Vec tơ chỉ phương của
đường thẳng là vec tơ được
xác định bởi tích có hướng
của hai vec tơ pháp tuyến của
hai mặt phẳng cắt nhau tạo
nên giao tuyến
a. Đường thẳng có vec tơ chỉ
phương là
( 2; 2;11)AB = − −
uuur
Phương trình tham số của
đường thẳng AB là :

4 2
1 2
2 11
x t

y t
z t
= −


= −


= − +

b. d có vec tơ chỉ phương là
(2; 3;4)a = −
r
, phương trình
cần tìm là :
3 2
2 3
1 4
x t
y t
z t
= +


= −


= − +

Bài 4 : Cho ba điểm A( 2 ;0 ;0) , B( 0 ;1 ;0) và C( 0 ;0 ;3).

a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b. Tìm hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Em có nhận xét gì về vị trí
của ba điểm A, B, C với các
trục tọa độ ?
Nhắc lại cách tìm hình chiếu
của một điểm lên trên mặt
phẳng ?
A thuộc Ox , B thuộc Oy , C
thuộc Oz. Do đó mặt phẳng
(ABC) là mặt phẳng theo
đoạn chắn
- Viết phương trình đường
thẳng d đi qua O và vuông
góc với (ABC)
- Hình chiếu vuông góc của
O lên (ABC) là giao điểm của
d và (ABC)
a. Phương trình mặt phẳng
(ABC) là :
1
2 1 3
3 6 2 6 0
x y z
x y z
+ + =
⇔ + + − =
b. Gọi d là đường thẳng đi
qua O và vuông góc với mặt

phẳng (ABC) . Khi đó d có
vec tơ chỉ phương là :
(3;6;2)a =
r
Phương trình tham số của d là
:
3
6
2
x t
y t
z t
=


=


=

Tọa độ hình chiếu H của O là
nghiệm của hệ phương trình
3
6
2
3 6 2 6 0
x t
y t
z t
x y z

=


=


=


+ + − =

6
49 6
49
t t⇒ = ⇔ =
Vậy tọa độ cần tìm là :
18 36 12
( ; ; )
49 49 49
H
Bài 5 : Cho mặt phẳng (P) :
2 2 10 0x y z− + − =
và điểm A( 2; 5; -2)
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với mặt phẳng (P)
b. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q)
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua đường thẳng
1 2 1
:
3 2 1
x y z

d
− − +
= =
và vuông
góc với (P)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Khi hai mặt phẳng song
song thì hai vec tơ pháp
tuyến của nó như thế nào
với nhau ?
Hãy nêu cách tính khoảng
cách giữa hai mặt phẳng
song song (P) và (Q)
Hãy nêu cách tính vec tơ
pháp tuyến của mp(R)
Hai mặt phẳng song song
thic có cùng vec tơ pháp
tuyến
Khoảng cách giữa (P) và
(Q) chính là khoảng cách từ
A đến (P)
Mặt phẳng ( R) có vec tơ
pháp tuyến là tích coa
hướng của vec tơ chỉ
phương của d và vec tơ
pháp tuyến của (P)
a. Do (Q) song song với (P) nên
phương trình của (Q) có dạng :
( )
2 2 0 10x y z D D− + + = ≠ −

(Q) qua A nên :
4 10 2 0
8
D
D
− − + =
⇔ =
Phương trình của (Q) là :

2 2 8 0x y z− + + =
b. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là
:
4 10 2 10
18
( ;( )) 6
3 3
d A P
− − −
= = =
c. d đi qua M(1; 2; -1 ) và có vec
tơ chỉ phương
(3;2;1)a =
r
, mặt
phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến
là
(2; 2;1)n = −
r
Vec tơ pháp tuyến của mp(R) là
' , (4; 1; 10)n a n

 
= = − −
 
ur r r
Phương trình mặt phẳng cần tìm
là :
4( 1) ( 2) 10( 1) 0
4 10 12 0
x y z
x y z
− − − − + =
⇔ − − − =
Bài 6 : Cho A( 2; 3; 1 ), B(4;1; -2), C(6;3;7) , D(-5;-4;8).
a. Chứng minh ABCD là tứ diện . Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và cách C một khoảng bằng
17
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu cách chứng minh
ABCD là tứ diện
ABCD là tứ diện
A
⇔

không thuộc mặt phẳng
(BCD)
a. Ta có :
( )
( )
2;2;9
9; 5;10

BC
BD
=
= − −
uuur
uuur
Mặt phẳng (BCD) có vec tơ pháp
tuyến là :
, (65; 101;8)n BC BD
 
= = −
 
r uuur uuur
Phương trình mặt phẳng (BCD) là :
65 101 8 143 0x y z− + − =
Thế tọa độ điểm A vào phương trình
của (BCD) ta được : -143 = 0 ( sai )
Vậy A không thuộc (BCD) hay
ABCD là tứ diện
Ta có :

308
( ;( ))
14490
AH d A BCD= =
b. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB
nên có vec tơ pháp tuyến là
(2; 2; 3)AB = − −
uuur
Phương trình của (P) có dạng

2 2 3 0x y z D− − + =
( ;( )) 17
12 6 21
17
17
d C P
D
=
− − +
⇔ =
32
15 17
2
D
D
D
=

− + = ⇔

= −

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là :
2 2 3 32 0;2 2 3 2 0x y x y z− − + = − − − =
Bài 7 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và măt phẳng (P) :
2 2 1 0x y z− + + =
a. Viết phương tình mặt cầu tâm B và đi qua A
b. Viết phương trình mặt cầu đường kính BC
c. Viết phương trình mặt cầu tâm C và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung