Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thường Tín

∗∗ ∗∗ AMS∗ ∗∗ ∗

Newthink - Newlife

UBND HUYỆN THƯỜNG TÍN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO II
Ngày thi 01/12/2020
Đề thi gồm có 01 trang

Năm học: 2020 − 2021
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (4,0 điểm)

√
√
√
2x + x − 1 2x x − x + x
√
−
1. Cho P = 1 +
1−x
1−x x
2
Rút gọn P và chứng minh P > .
3

2. Tính giá trị biểu thức A = x2 +

√

√
x− x
· √
.
2 x−1

1
x4 + x + 1 với x =
2

√

√
1
2
2+ −
.
8
8

Bài 2. (4,0 điểm)
1. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn ( x − y) (y − z) (z − x ) = x + y + z.
Chứng minh rằng x + y + z chia hết cho 27.
2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x3 + 2x2 y + x2 + 2xy = x + 10.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p, q) thỏa mãn p2 + pq + q2 là số chính phương.
2. Cho số nguyên tố p và hai số nguyên dương x, y thỏa mãn 4x2 − 3xy − y2 − p (3x + 2y) =

2p2 . Chứng minh rằng 5x − 1 là số chính phương.
Bài 4. (7,0 điểm)
Cho một điểm C di động trên đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. I là tâm đường trịn
nội tiếp tam giác ABC, vẽ CH vng góc với AB tại H.
1. Vẽ CM song song với BI (M thuộc AI); lấy điểm F thuộc AB sao cho AC = AF. Tính
CMF.
2. P thuộc tia đối của tia AC sao cho AP = AC; Q là trung điểm của HB. Chứng minh
rằng PH vng góc với CQ.
3. K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC; CK cắt AB tại E. Tìm vị trí của C trên cung
AB để diện tích tam giác CEF đạt giá trị lớn nhất.
4. Chứng minh rằng MH, BI, CF đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm k ∈ Z+ thỏa mãn
1+

1
1
+ 2+
2
1
2

1+

1
1
+ 2 +···+
2
2
3

1+

1
1
20202 − 1
+
=
.
2020
k 2 ( k + 1)2

-------------------- HẾT -------------------1