De HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng GD Lâm Hà

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9</b>

Trường THCS Từ Liêm Năm học

2008 – 2009

<i><b>Thời gian làm bài: 120 phút</b></i>

<i>(Không kể thời gian phát đề)</i>

<b>Câu 1:</b> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a> x2_-8x+7

b><i>x</i>2



<i>y</i> <i>z</i>



<i>y</i>2



<i>z</i> <i>x</i>



<i>z</i>2



<i>x</i> <i>y</i>



<b>Câu 2:</b> Giải phương trình : (x2_+x+1)(x2_{+x+2) =12}

<b>Câu 3:</b> Xác định hằng số a sao cho 2x2_{+ x + a chia hết cho x+3}
<b>Câu 4: C</b>hứng minh rằng: x2_{–x +}

2
1

>0 với mọi giá trị của x

<b>Câu 5: </b>Tính tổng ... ₂₀₀₈1_.₂₀₀₉
4

.
3

1
3
.
2

1
2
.
1

1







<i>S</i>

<b>Câu 6:</b> Tìm số nguyên x để biểu thức B=₂ 6 ₁


<i>x</i> có giá trị nguyên

<b>Câu 7:</b> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q= -3x2_+6x+27

<b>Câu 8: </b> Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với ca nơ xi từ bến A có một chiếc
bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B, ca nô trở về bến A ngay và gặp bè khi bè đã
trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nơ, biết rằng vận tốc riêng của ca nô không thay đổi.

<b>Câu 9:</b> Cho a,b



N. Chứng tỏ rằng nếu a có số tận cùng là 7, số b có số tận cùng là 3 thì

10

)
( 2 2



<i>b</i>
<i>a</i> 

<b>Câu 10:</b> Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMC cắt AC tại H,
đường phân giác của góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK song song với BC

<b>Câu 11:</b> Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.

Chứng minh rằng 1

'
'
'

'
'

'






<i>CC</i>

<i>HC</i>
<i>BB</i>

<i>HB</i>
<i>AA</i>

<i>HA</i>

<b>Câu 12: </b>Cho tam giác ABC có  

 <i>C</i>

<i>B</i> 2 , AB = 4cm; BC = 5cm. Tính AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>CÂU 1: (2đ)</b>

<b>a>x2_-8x+7</b>_=x2_{–x -7x +7 (0,25) ;b}_><i>_x</i>2

_

<i>_y</i>_ <i>_z</i>

_

_<i>_y</i>2

_

<i>_z</i>_ <i>_x</i>

_

_<i>_z</i>2

_

<i>_x</i>_ <i>_y</i>

_

=x2_y-x2_z+y2_z-y2_x+z2_(x-y)(0,25)

=(x2_{–x) –(7x -7) (0,25) =xy(x-y) –z(x}2 _{- y}2_{)+ z}2_{(x-y) (0,25)}

=x(x-1) -7(x-1) (0,25) =xy(x-y) –z(x-y)(x+y) +z2_{(x-y)=(x-y)(xy-xz-yz+z}2_)(0,25)

=(x-1)(x-7) (0,25) =(x-y)(x-z)(y-z) (0,25)
Câu 2: (2đ): (x2_+x+1)(x2_{+x+2) =12}

Đặt :x2_{+x+1=t, ta có phương trình: t}2_{+t-12 =0 (0,25)}
Giải tìm được t=3 hoặc t=4 (0,5)

t=3 ta có x2_{+x+1=3 , giải phương trình tìm được x=-2 hoặc x=1 (0,75)}
t=-4 ta có x2_{+x+1=-4 chứng minh phương trình này vô nghiệm (0,5)}

Câu 3: (1đ) Để 2x2_{+ x + a chia hết cho x+3 thì 2(-3)}2_{+(-3)+a =0 (0,5)}

Tìm ra a=-15 (0,5)
Câu 4: : (1ñ) x2_{–x +}

2
1

=(x2_-x+
4
1

) +₄1 (0,5)

=(x-₂1 )2₊
4
1

>0 với mọi x (0,5)

Vaäy x2_{–x +}

2
1

>0 với mọi giá trị của x

<b>Câu 5: (1đ)</b> ... ₂₀₀₈1_.₂₀₀₉
4

.
2

1
3
.
2

1
2
.
1

1







<i>S</i> 

=1-2009
1
2008

1
...
3
1
3
1
2
1
2
1








 (0,5)

=1-2009
2008
2009

1

 (0,5)

<b>Câu 6: (1đ)</b> Để B=₂ 6 ₁


<i>x</i> có giá trị ngun thì 62x-1 tức là 2x-1



Ư(6)=



1;2;3;6



(0,25)

Tìm được x=0, x=1; x= ₂3 ; x=₂1; x=2; x=-1; x=₂7 ; x=₂5 (0,5)
Kết luận x=0; x=1; x=2; x=-1 thì B=₂ 6 ₁



<i>x</i> có giá trị nguyên (0,25)

<b>Câu 7: (1đ)</b>: Q= -3x2_{+6x+27=30 -3(x}2_{-2x+1) (0,25)}

=30-3(x-1)2

 30 (0, 5)

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất là 30 khi x-1=0 tức là x=1 (0,25)

<b>Câu 8 (2,5đ)</b>

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x(km/h) (ĐK: x>0) (0,25)
Vận tốc ca nơ lúc xi dịng là: x+3 (0,25)
Vận tốc của ca nô lúc ngược dòng là: x-3 (0,25)
Thời gian ca nô đi tứ A đến B là: ( )

3
40

<i>h</i>

<i>x</i> (0,25)
Thời gian ca nô đi ngược từ B đến khi gặp bè là: ( )

3
32

<i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

B

A

C
M

K H

H
A

B

C
A'

B'
C'

5
5

4
B

A _C

D
Ta có phương trình:

3
8
3
32
3
40





 <i>x</i>

<i>x</i> (0,25)

Giải phương trình, tìm ra được x=27 và x=0( loại) (0,5)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27km/h (0,25)

<b>Câu 9:(1đ)</b>
)
(<i>_a</i>2 <i>_b</i>2

 =(a-b)(a+b) (,25)

Vì a, b



N, mà a có chữ số tận cùng bằng 7, b có chữ số tận cùng là 3 nên a+b10 (0,25)
Do đó (a-b)(a+b) 10 (0,25)

Vậy ( 2 2) 10



<i>b</i>

<i>a</i>  (0,25)

<b>Caâu 10: </b>

Vì MH là tia phân giác của góc AMC nên ta có:<i>_HCHA</i> <i>_MCAM</i> (0,5)
Vì MKlà tia phân giác của góc AMBnên ta có:<i>_KBKA</i><i>AM_MB</i> (0,5)
Mà MB =MC (0,5)

Neân <i>_KBKA</i> <i>_HCHA</i> (0,5)

Vậy theo định lí ta lét đảo ta có KH//BC (0,5)

<b>Câu 11: (2,5đ)</b>

Ta có : <i>SHBC</i> <i>SHAC</i> <i>SHAB</i> <i>SABC</i> (0,5)

Suy ra   1

<i>ABC</i>
<i>HAB</i>
<i>ABC</i>

<i>HAC</i>
<i>ABC</i>

<i>HBC</i>

<i>S</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

<i>S</i>
<i>S</i>

<i>S</i>

(0,75)

Tức là 1

'.
'.

'.

'.
'.

'.






<i>AB</i>
<i>CC</i>

<i>AB</i>
<i>HC</i>
<i>AC</i>

<i>BB</i>
<i>AC</i>
<i>HB</i>
<i>BC</i>

<i>AA</i>
<i>BC</i>
<i>HA</i>

(0,75)

Hay 1

'
'
'

'
'

'






<i>CC</i>
<i>HC</i>
<i>BB</i>

<i>HB</i>
<i>AA</i>

<i>HA</i>

(0,5)

<b> Câu 12: (2,5đ)</b>

Trên tia AB lấy điểm D sao cho BC =BD =5cm. Suy ra BCD cân tại B (0,5)

Do đó <i>D</i> <i>BC</i> <i>D</i> (0,25)

Maø    




 <i>ACB</i> <i>D</i> <i>BCD</i>

<i>C</i>
<i>B</i>

<i>A</i> 2 (0,25)

Neân <i>D</i> <i>AC</i> <i>B</i> (0,25)

Xét DAC và CAB có : (0,25)


<i>D</i> chung; <i>D</i> <i>AC</i> <i>B</i> (chứng minh trên) (0,25)

Suy ra DAC ∽ CAB (g.g) (0,25)

Do đó 2 . 9.4 36







 <i>AC</i> <i>DAAB</i>

<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>CA</i>
<i>DA</i>

(0,5)
Vaäy AC =6 cm (0,25)

Cho tam giác ABC , ba đường phân giác AN, BM, CP. Chứng minh rằng : <i>AP BN CM</i>. . 1

<i>PB NC MA</i> 

<b>Câu 11</b>: Cho tam giác ABC có AB=4cm, AC=5cm, BC=6cm.Chứng minh rằng  

 <i>C</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Câu 1</b>: Chứng minh rằng 3 1

5 2

<i>n</i>
<i>n</i>



 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

<b>Câu 5</b>: Cho 3x-y =3z và 2x+y = 7z. Tính giá trị của biểu thức: M 2 2

2

₂

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>xy</i>

<i>x</i>







Chứng minh rằng : <i>_a</i>4 <i>_b</i>4 <i>_a</i>3<i>_b</i> <i>_ab</i>3





Tính diện tích tam giác ABC, biết AB=3cm, AC =5cm, đường trung tuyến AM=2cm

ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1(0.5 đ) :A 10 2 21 34 2 189 =



7 3



2 



27 7



2 (0.25)

= 7 3 3 3 72 7 4 3 (0.25)

Câu 2 (0.5) Tính



2005 2007



2 2005 2007 2 2005.2007 4012 2 2005.2007 4012 2 20062 1
















2 2006



2 4.2006802440122.2006(0.25)

Suy ra 2.2006>2 20062 _1 . Do đó

2007

2005 <2 2006(0.25)

Câu 3 (0.5) 3











<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>x</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>x</i>

 1 1 10













<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>x</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

(0.25)





<i>x</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>












































0
1
1
1

0 _(0.25)

</div>

<!--links-->