Bien ngau nhien va phan phoi xac suat

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (212.15 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Biến ngẫu nhiên



Biểu diễn định lượng các kết quả của thí

nghiệm ngẫu nhiên



X

là biến ngẫu nhiên

(

:

)

X

X



 





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu 
nhiên
Biến ngẫu nhiên

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vơ hạn đếm

được

 Ví dụ

 Tung một con xúc sắc 2 lần

Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.

 Tung đồng xu 5 lần

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Ví dụ

Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất

Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm
xuất hiện.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

rời rạc

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị

x1, x2, …, xn.

 Hàm xác suất của X:

 Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi)
 ĐK




( )i ( i)

f x P X x

( ) 0i

f x 

( ) 1

n
i
i
f x






x1 x2 Xn-1 xn

f(x1)

f(x2)

f(xn-1) f(xn)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

rời rạc

Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất
hiện mặt hình.

S

H

4 khả năng có thể xảy ra

Phân phối xác suất

x P(x) 
 0 1/4 = .25

1 2/4 = .50
 2 1/4 = .25

.50

u

ất

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Biến ngẫu nhiên liên tục

 Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R.

 Ví dụ

- Chiều cao, cân nặng.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

liên tục

 Hàm mật độ xác suất

f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên liên tục X nếu

) ( ) 0

)

( )

1 x

ii

f x dx

i f x



 







</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

liên tục



Tìm P(a<X<b)?

f(x) P (a ≤ x ≤ b)

P (a < x < b)

(

)

( )

b

a

P a X



b





f x dx

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

liên tục

 Lưu ý:

 Do đó

( ) ( ) 0

c

P X c 



f x dx 

(

)

(

)

(

)

X

P

b

P a X b

a X b

P a









 





</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Hàm phân phối xác suất

 Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác

suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như
sau

 Xác suất X thuộc (a,b]





( )

x

F x



P X



)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Hàm phân phối xác suất

 Tính chất

1) .

2) F(x) là hàm khơng giảm: nếu a<b thì F(a) 

F(b).

0 

F x

( ) 1



) lim
(

(

( ) 0

) lim ( ) 1

x
x
F
F
F x
F x
  
 
 
 





</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên rời rạc

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1,

x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất

tương ứng p1, p2, …, pn.

Với pi = P(X=xi).

 Bảng phân phối xác suất của X

X x1 x2 … xn-1 xn

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên rời rạc

 Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x0

 Cụ thể

)

x

P(X

)

F(x

0





0

x x

F(x )

i

p



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên rời rạc

1
1 2
2 3
1
1
1 2

2 1 1

0 ,

,

)

( )

(

,

1

n n n
n

p

p p

F x

P

x x

x x x

x

x x

x

p p

p

x

x x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên rời rạc



Ví dụ

Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất.

Đặt

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên rời rạc



Ví dụ

Tung một đồng xu cân đối.

Đặt

X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện

mặt hình.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu

nhiên liên tục



Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm

mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác

suất của X





( )

x

F x

P X

x

f u du

 



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu

nhiên liên tục

 Ví dụ

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất

 Tìm hàm phân phối F(x).
 Tính P(1<X<3/2).

2 ,0 2

( 8

,
)

x

f x  x 




</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên



Là giá trị trung bình theo xác suất của tất

cả các giá trị có thể có của biến ngẫu

nhiên.



Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân

phối xác suất

Với pi = P(X=xi) và .

X x1 x2 … xn-1 xn

P p1 p2 … pn-1 pn

n

i
i

p



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc



Kỳ vọng của X



Kỳ vọng thường được ký hiệu là



.



Tổng quát

n

i i
i

EX

x p





(

)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc



Ví dụ

Tung con xúc sắc. Đặt

X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX.

EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2
X 1 2 3 4 5 6

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục



Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm

mật độ xác suất f(x).



Kỳ vọng của X

( )

EX

xf x dx



 






Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

2 ,0 1
( ) x x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tính chất của kỳ vọng

1) EC = C, C: hằng số
2) E(CX) = C.EX

3) E(X + Y)=EX + EY

4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y độc lập
5) Cho hàm số h(x), khi đó

nếu X rời rạc
nếu X liên tục

( ) n ( )i i

i

Eh x h x p





( ) ( ) ( )

Eh x h x f x dx



 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Tính chất của kỳ vọng

 Ví dụ

Cho h(x) = x2, h(X)=X2

nếu X rời rạc
nếu X liên tục

1
2
2

i
n

i
i

EX x p





2 2 ( )

EX x f x dx


 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Phương sai của biến ngẫu nhiên

 Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu
nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu
phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung
bình.

 Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai của
X

 Phương sai thường được ký hiệu là 2.

2 2

(

)

(

)

=

VarX

E X EX

EX





</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

 Ký hiệu  = EX.

hoặc





( ) n i i

i

VarX E X EX x  p



  









2 2
1
2
n
i
i

VarX EX EX x p 



</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Ví dụ

Tung 2 đồng xu. Đặt

X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính VarX.



Bảng phân phối xác suất

X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25

EX=0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1

VarX = EX2 – (EX)2 =

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục

 Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật

độ xác suất f(x).

 Ký hiệu  = EX.

hoặc





( ) ( )

VarX E X EX x  f x dx


 

  









2 2 ( ) 2

VarX EX EX x f x dx 



</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục

 Ví dụ

Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất

Tính EX, VarX.

2 ,0 2

( 8

,
)

x

f x  x 




</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Độ lệch tiêu chuẩn



Độ lệch tiêu chuẩn của một biến ngẫu

nhiên, là căn bậc hai của phương sai.

Ký hiệu:



.

VarX



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Tính chất của phương sai

1) Var(c)=0, c:hằng số

2) Var(cX)=c2VarX

Var(X+c)=VarX

3) Var(X + Y) = VarX + VarY nếu X và Y độc

</div>

Bien ngau nhien va phan phoi xac suat

Bài 2

Biến ngẫu nhiên

Biểu diễn định lượng các kết quả của thí

nghiệm ngẫu nhiên

<i>X</i>

là biến ngẫu nhiên

(

:

)

X

<i>X</i>





 





Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

rời rạc



Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

rời rạc

<b>S</b>

<b>S</b>

<b>S</b>

<b>S</b>

<b>H</b>

<b>H</b>

Biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

liên tục

) ( ) 0

)

( )

1

<i>x</i>

<i>ii</i>

<i>f x dx</i>

<i>i f x</i>







Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

liên tục

Tìm P(a<X<b)?

(

)

( )

<i>P a X</i>





<i>b</i>



<sub></sub>

<i>f x dx</i>

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

liên tục

<sub></sub>

(

(

)

(

)

(

)

)

<i>X</i>

<i>P</i>

<i>b</i>

<i>P a X b</i>

<i>P a X b</i>

<i>a X b</i>

<i>P a</i>







