Tải bản đầy đủ (.ppt) (34 trang)

Bien ngau nhien va phan phoi xac suat

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (212.15 KB, 34 trang )

(1)

Bài 2




(2)

Biến ngẫu nhiên



Biểu diễn định lượng các kết quả của thí



nghiệm ngẫu nhiên



X

là biến ngẫu nhiên



(


:



)





X



X





 





B



(3)

Biến ngẫu nhiên




Biến ngẫu
nhiên
Biến ngẫu nhiên



(4)

Biến ngẫu nhiên rời rạc



 Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vơ hạn đếm


được


 Ví dụ


 Tung một con xúc sắc 2 lần


Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.


 Tung đồng xu 5 lần



(5)

Biến ngẫu nhiên rời rạc



Ví dụ


Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất


Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm
xuất hiện.



(6)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên


rời rạc




 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị


x1, x2, …, xn.


 Hàm xác suất của X:


Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi)
 ĐK





( )i ( i)


f xP Xx


( ) 0i


f x


1


( ) 1


n
i
i
f x





x1 x2 Xn-1 xn


f(x1)


f(x2)


f(xn-1) f(xn)



(7)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên


rời rạc



Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất
hiện mặt hình.


S


S



S


S



H


H



4 khả năng có thể xảy ra


Phân phối xác suất



x P(x)
0 1/4 = .25


1 2/4 = .50
2 1/4 = .25


.50


u


ất



(8)

Biến ngẫu nhiên liên tục



 Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R.


 Ví dụ


- Chiều cao, cân nặng.



(9)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên


liên tục



 Hàm mật độ xác suất


f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên liên tục X nếu


) ( ) 0




)

( )

1



x


ii

f x dx



i f x






 







(10)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên


liên tục



Tìm P(a<X<b)?



f(x) P (a x b)


P (a < x < b)


=


(

)

( )



b



a


P a X

b

f x dx




(11)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên


liên tục



 Lưu ý:


 Do đó


( ) ( ) 0


c


c


P Xc

f x dx


(

(

)



(

)

(

)



)

X



P

b



P a X b

P a X b



a X b

P a




 





(12)

Hàm phân phối xác suất



 Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác


suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như
sau


 Xác suất X thuộc (a,b]




( )

x



F x

P X



)




(13)

Hàm phân phối xác suất



 Tính chất


1) .


2) F(x) là hàm khơng giảm: nếu a<b thì F(a) 


F(b).


3)


0

F x

( ) 1


) lim
(


(


( ) 0


) lim ( ) 1


x
x
F
F
F x
F x
  
 
 
 






(14)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu


nhiên rời rạc




 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1,


x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất


tương ứng p1, p2, …, pn.


Với pi = P(X=xi).


 Bảng phân phối xác suất của X


X x1 x2 … xn-1 xn



(15)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu


nhiên rời rạc



 Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x0


 Cụ thể


)


x


P(X



)



F(x

0

0


0



0


x x


F(x )



i


i


p






(16)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu


nhiên rời rạc



1
1 2
2 3
1
1
1 2


2 1 1


0 ,


,


,


)



( )

(


,


,


1



n n n
n


p



p p


F x

P



x x



x x x



x

x x


x



p p

p

x

x x




(17)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu


nhiên rời rạc



Ví dụ



Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất.


Đặt





(18)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu


nhiên rời rạc



Ví dụ



Tung một đồng xu cân đối.


Đặt



X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện


mặt hình.




(19)

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu


nhiên liên tục



Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm



mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác


suất của X





( )

( )



x


F x

P X

x

f u du



 






(20)

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu


nhiên liên tục



Ví dụ


Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất


 Tìm hàm phân phối F(x).
 Tính P(1<X<3/2).


2 ,0 2


3


( 8


,
)


0


x


f xx







(21)

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên



Là giá trị trung bình theo xác suất của tất



cả các giá trị có thể có của biến ngẫu


nhiên.



Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của




(22)

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc



 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân


phối xác suất


Với pi = P(X=xi) và .


X x1 x2 … xn-1 xn


P p1 p2 … pn-1 pn


1


1


n


i
i



p







(23)

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc



Kỳ vọng của X



Kỳ vọng thường được ký hiệu là

.


Tổng quát



1


n


i i
i


EX

x p







(

)




(24)

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc




Ví dụ



Tung con xúc sắc. Đặt


X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX.


EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2
X 1 2 3 4 5 6



(25)

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục



Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm



mật độ xác suất f(x).



Kỳ vọng của X



( )



EX

xf x dx





 




Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ



2 ,0 1
( ) x x



(26)

Tính chất của kỳ vọng



1) EC = C, C: hằng số
2) E(CX) = C.EX


3) E(X + Y)=EX + EY


4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y độc lập
5) Cho hàm số h(x), khi đó


nếu X rời rạc
nếu X liên tục


1


( ) n ( )i i


i


Eh x h x p






( ) ( ) ( )



Eh x h x f x dx





 



(27)

Tính chất của kỳ vọng



 Ví dụ


Cho h(x) = x2, h(X)=X2


nếu X rời rạc
nếu X liên tục


1
2
2


i
n


i
i


EX x p







2 2 ( )


EX x f x dx



 



(28)

Phương sai của biến ngẫu nhiên



 Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu
nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu
phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung
bình.


 Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai của
X


 Phương sai thường được ký hiệu là 2.


2


2 2


(

)



(

)



=




VarX

E X EX


EX

EX






(29)

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc


 Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.


 Ký hiệu = EX.


hoặc


2


2


1


( ) n i i


i


VarX E X EX xp




  



2


2 2
1
2
n
i
i


VarX EX EX x p





(30)

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc



Ví dụ


Tung 2 đồng xu. Đặt


X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính VarX.




Bảng phân phối xác suất


X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25


EX=0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1



VarX = EX2 – (EX)2 =



(31)

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục



 Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật


độ xác suất f(x).


 Ký hiệu = EX.


hoặc


2


2


( ) ( )


VarX E X EX xf x dx



 


  



2


2 2 ( ) 2


VarX EX EX x f x dx







(32)

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục



Ví dụ


Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất


Tính EX, VarX.


2 ,0 2


3


( 8


,
)


0


x


f xx







(33)

Độ lệch tiêu chuẩn



Độ lệch tiêu chuẩn của một biến ngẫu



nhiên, là căn bậc hai của phương sai.


Ký hiệu:

.



2

VarX






(34)

Tính chất của phương sai



1) Var(c)=0, c:hằng số


2) Var(cX)=c2VarX


Var(X+c)=VarX


3) Var(X + Y) = VarX + VarY nếu X và Y độc





×