Một phương pháp lặp giải bài toán điểm bất động tách trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ MAI

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ MAI

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành:
Mã số:

TOÁN ỨNG DỤNG
8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Bảng ký hiệu

2

Mở đầu

3

Chương 1. Một phương pháp lặp giải bài tốn điểm bất động tách
trong khơng gian Hilbert hữu hạn chiều
5
1.1 Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert . . . . . . 5
1.1.1 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Bài toán điểm bất động tách . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Một phương pháp lặp giải bài tốn điểm bất động tách trong
khơng gian Hilbert hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Tốn tử chỉ hướng trong khơng gian RN . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Bài toán và phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của
bài tốn điểm bất động tách
16
2.1 Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất . . . . . . . . . 17
2.1.1 Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán
điểm bất động tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


iv

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


1

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng
dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn
này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc, động viên khích lệ tơi trong suốt q trình nghiên
cứu và làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 11 năm 2020
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Mai


2

Bảng ký hiệu
R
R+
RN
H
B(a, r)
∅
∀x
∈

D(A)
R(A)
A∗
I
d(x, C)
Fix(T )
Γ
PC (x)
∇f

tập các số thực
tập các số thực không âm
không gian Euclid N chiều
không gian Hilbert thực
hình cầu đóng tâm a bán kính r
tập rỗng
với mọi x
thuộc
miền xác định của toán tử A
miền ảnh của toán tử A
toán tử liên hợp của toán tử A
toán tử đồng nhất
khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C
tập điểm bất động của ánh xạ T
tập nghiệm của bài toán SFP
phép chiếu trực giao (mêtric) của phần tử x lên tập C
gradient của f


3

Mở đầu
Bài toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), viết tắt là (SFPP)
được phát biểu như sau:
Tìm phần tử x∗ ∈ Fix(U ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(V ),

(SFPP)

ở đây, U : H1 → H1 và V : H2 → H2 lần lượt là các các toán tử xác định
trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 tương ứng, A : H1 → H2 là một
toán tử tuyến tính bị chặn, Fix(U ), Fix(V ) lần lượt là ký hiệu tập điểm bất
động của toán tử U và V tương ứng, tức là Fix(U ) = {x ∈ H1 : x = U (x)} và
Fix(V ) = {x ∈ H2 : x = V (x)}.
Nếu đặt C = Fix(U ) và Q = Fix(V ), ta nhận được bài tốn chấp nhận tách
(Split Feasibility Problem):
Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q.

(SFP)

Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài tốn xử lý
tín hiệu và khơi phục ảnh (xem [5]), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem
[10, 11]), hay có thể áp dụng cho việc giải các bài tốn cân bằng trong kinh tế,
lý thuyết trị chơi (xem [13]). Bài tốn chấp nhận tách trong các khơng gian
Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy
Elfving (xem [9]). Để giải bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian hữu hạn
chiều, Charles Byrne (xem [4]) đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãy
lặp

xk+1 = PC (xk − γAT (I − PQ )Axk ),

n ≥ 0,

(CQ1)

trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM ,

A là ma trận thực cỡ M × N , AT là ma trận chuyển vị của ma trận A, L là


4

giá trị riêng lớn nhất của ma trận AT A và γ ∈ 0, L2 . Năm 2010, Hong-Kun
Xu (xem [7]) đã giải bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert thực vơ
hạn chiều trong đó phương pháp CQ có dạng

xk+1 = PCH1 (I H1 − γA∗ (I H2 − PQH2 )A)xk ,
với γ ∈ 0,

2
A

n ≥ 0,

(CQ2)

, I H1 và I H2 lần lượt là các toán tử đơn vị trong H1 và H2 , A∗

là toán tử liên hợp của A, PCH1 và PQH2 lần lượt là các phép chiếu mêtric từ H1
lên C và từ H2 lên Q. Tác giả đã chứng minh được dãy lặp {xn } xác định bởi
(CQ2) hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) nếu bài toán

chấp nhận tách có nghiệm.
Luận văn nghiên cứu về phương pháp lặp giải bài toán điểm bất động tách,
một suy rộng của bài tốn chấp nhận tách, trong khơng gian Hilbert hữu hạn
chiều và tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài tốn điểm bất động tách trong
khơng gian Hilbert vơ hạn chiều cùng đề xuất ví dụ số minh họa.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày
phương pháp giải bài tốn điểm bất động tách trong không gian Hilbert hữu
hạn chiều. Chương 2 trình bày một phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ
nhất của bài tốn điểm bất tách động trong khơng gian Hilbert vô hạn chiều.
Phần cuối của chương đưa ra ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp
lặp giải bài toán.


5

Chương 1

Một phương pháp lặp giải bài toán
điểm bất động tách trong không gian
Hilbert hữu hạn chiều
Chương này nghiên cứu một phương pháp lặp hiện giải bài toán điểm bất
động tách trong không gian Hilbert thực hữu hạn chiều. Nội dung của chương
được trình bày trong ba mục. Mục 1.1 giới thiệu về một số tốn tử trong khơng
gian Hilbert thực vơ hạn chiều và bài tốn điểm bất động tách trong khơng gian
này. Mục 1.2 giới thiệu bài tốn điểm bất động tách trong không gian Hilbert
hữu hạn chiều, trình bày phương pháp lặp hiện giải bài tốn này và trình bày
chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Nội dung của chương được viết trên cơ
sở bài báo "The Split Common Fixed Point Problem for Directed Operators"
của Yair Censor và Alexander Segal [12] công bố năm 2010 và một số tài liệu
trích dẫn trong đó.

1.1

Bài tốn điểm bất động tách trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng và chuẩn được ký
hiệu tương ứng là ., . và . .


6

1.1.1

Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Hilbert thực H.
(a) Ánh xạ V : C → H được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn
tại hằng số L ≥ 0 sao cho

V (x) − V (y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

(1.1)

(b) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì V được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì V
được gọi là ánh xạ không giãn.
Dưới đây là khái niệm và một số tính chất của phép chiếu mêtric.
Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong

không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C thỏa mãn

x − PC (x) = min x − z
z∈C

được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C .
Định lý 1.1.3 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong
khơng gian Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử

y = PC (x) ∈ C sao cho
x − y = min x − u .

(1.2)

u∈C

Bổ đề 1.1.4 (xem [2]). Cho x ∈ H và y ∈ C, khi đó

PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y

∀x, y ∈ H.

Từ kết quả của bổ đề này ta nhận thấy ánh xạ PC (x) là ánh xạ không giãn,

PC (x) − PC (y) ≤ x − y

∀x, y ∈ H.

Ví dụ 1.1.5. Giả sử a, b ∈ RN , a = 0. Xét nửa không gian C ⊂ RN và mặt
phẳng Q ⊂ RN cho bởi

C = {x ∈ RN :

a, x − b ≤ 0},

Q = {x ∈ RN :

a, x − b = 0}.


7

Khi đó tốn tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi


x,
nếu
PC (x) =
a, x − b a

,
nếu
x −
a 2



x,
nếu
PQ (x) =
a, x − b a

,
nếu
x −
a 2
1.1.2

a, x − b ≤ 0
a, x − b > 0.
a, x − b = 0
a, x − b = 0.

Toán tử tuyến tính bị chặn

Cho X và Y là hai khơng gian tuyến tính trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.6 (xem [1]). Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến
tính (hay tốn tử tuyến tính) nếu A thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R.
Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]).
(a) Tốn tử tuyến tính A : X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng
số M > 0 sao cho

Ax ≤ M x

∀x ∈ C.

(1.3)

(b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chuẩn của toán tử A
ký hiệu là A .
Ví dụ 1.1.8. Cho A : R2 → R2 là một tốn tử tuyến tính xác định bởi

A(x, y) = (x , y ),
trong đó

x = x cosγ + y sinγ,
y = −x sinγ + y cosγ,
và (x, y) =

x2 + y 2 , (x, y)T ∈ R2 .


8

Dễ thấy A là một tốn tử tuyến tính. Ngồi ra,

A(x, y)

2

= (x , y )

2

= (x )2 + (y )2 = x2 + y 2 = (x, y) 2 .

Do đó A(x, y) = (x, y) ≤ M (x, y) với mọi M ≥ 1. Vậy A là toán tử
tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]). Cho A : X → Y là một tốn tử tuyến tính bị
chặn. Toán tử liên hợp A∗ : Y → X của toán tử A được định nghĩa bởi

Ax, y = x, A∗ y .
∞

(xn )2 < ∞

Ví dụ 1.1.10. Trong l2 là không gian các dãy số thực thỏa mãn
n=1

∞

với chuẩn x

2

(xn )2 và tích vơ hướng xác định bởi

=
n=1

x, y = x1 y1 + x2 y2 + . . . ,

∀x = (xn ) , y = (yn ) ∈ l2 .

Toán tử liên hợp của toán tử A : l2 → l2 được cho bởi
1

1

x = (x1 , x2 , x3 , . . . ) ∈ l2

Ax = αx1 , 0, α 2 x2 , 0, α 3 x3 , . . . ,
là A∗ : l2 → l2 xác định bởi
1

1

A∗ y = αy1 , α 2 y3 , α 3 y5 , . . . ,

y = (y1 , y2 , y3 , . . . ) ∈ l2 ,

trong đó α là số thực cho trước.
Thật vậy, với mọi x = (x1 , x2 , x3 , . . . ) , y = (y1 , y2 , y3 , . . . ) ∈ l2

Ax, y =

1

1

αx1 , 0, α 2 x2 , 0, α 3 x3 , . . . , (y1 , y2 , y3 , . . . )
1

1

= αx1 y1 + α 2 x2 y3 + α 3 x3 y5 + . . .
1

1

= (x1 , x2 , x3 , . . . ) , αy1 , α 2 y3 , α 3 y5 , . . .
1.1.3

= x, A∗ y .

Bài toán điểm bất động tách

Trước hết ta định nghĩa bài tốn điểm bất động trong khơng gian Hilbert
thực vô hạn chiều H.


9

Định nghĩa 1.1.11 (xem [2]). Cho C là tập con khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C . Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động
của ánh xạ T nếu T (x) = x.
Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), nghĩa là
Fix(T ) := x ∈ C :

T (x) = x .

Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
không gian Hilbert thực H, ánh xạ T : C → C được gọi là

(i) Ánh xạ tựa không giãn trên C nếu Fix(T ) = ∅ và
T (x) − x∗ ≤ x − x∗

∀x ∈ C,

∀x∗ ∈ Fix(T );

(ii) Ánh xạ thỏa mãn nguyên lý đóng nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu
đến x và (T (xk ) − xk → 0 thì x ∈ Fix(T ).
Tính chất lồi đóng của tập điểm bất động được nêu trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.1.13 (xem [2]). Giả sử C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong khơng
gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C là ánh xạ khơng giãn. Nếu T có
điểm bất động thì Fix(T ) là tập lồi đóng.
Bài tốn điểm bất động tách được phát biểu như sau:
Tìm phần tử x∗ ∈ Fix(U ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(V ),

(1.4)

ở đây, U : H1 → H1 và V : H2 → H2 lần lượt là các các tốn tử xác định
trong các khơng gian Hilbert thực H1 và H2 tương ứng, A : H1 → H2 là một
tốn tử tuyến tính bị chặn.

1.2

1.2.1

Một phương pháp lặp giải bài tốn điểm bất động tách
trong khơng gian Hilbert hữu hạn chiều
Tốn tử chỉ hướng trong khơng gian RN

Lớp các toán tử chỉ hướng I được giới thiệu và nghiên cứu bởi Bauschke và
Combettes (xem [8]).


10

Cho không gian Euclide N chiều RN với ., . và . tương ứng là ký hiệu
tích vơ hướng và chuẩn Euclide. Với x, y ∈ RN , ta định nghĩa
H (x, y) := {u ∈ RN | u − y, x − y ≤ 0}.

(1.5)

Định nghĩa 1.2.1 (xem [8]). Một toán tử V : RN → RN được gọi là một toán
tử chỉ hướng nếu
Fix(V ) ⊆ H (x, V (x))

∀x ∈ RN .

(1.6)

Định nghĩa này tương đương với:
Nếu q ∈ Fix(V ) thì V (x) − x, V (x) − q ≤ 0 ∀x ∈ RN .

(1.7)

Lớp các toán tử chỉ hướng được ký hiệu là I, nghĩa là
I := { V : RN → RN | Fix(V ) ⊆ H (x, V (x)) ∀x ∈ RN }.

(1.8)

Ta có các tính chất sau đây liên quan đến tốn tử chỉ hướng.
Tính chất 1.2.2 (xem [8]).

(i) Tập tất cả điểm bất động Fix(V ) của toán tử chỉ hướng V khác rỗng là
tập lồi đóng.
Tính chất này thỏa mãn bởi vì
Fix(V ) = ∩x∈RN H (x, V (x)) .

(1.9)

I + λ (V − I) ∈ I ∀λ ∈ [0, 1] ,

(1.10)

(ii) Nếu V ∈ I thì

trong đó I là toán tử đơn vị trong H.
Lớp các toán tử này rất quan trọng bởi vì rất nhiều loại tốn tử thơng thường
phát sinh trong bài tốn tối ưu lồi đều thuộc lớp này.
Ví dụ 1.2.3. Tốn tử Ω : RN → RN thỏa mãn

Ω (x) − Ω (y)

2

≤ Ω (x) − Ω (y) , x − y

∀x, y ∈ RN

(1.11)

được gọi là tốn tử khơng giãn vững. Ta thấy tốn tử khơng giãn vững là một
tốn tử chỉ hướng.


11

Định nghĩa về một tốn tử đóng được đưa ra đầu tiên bởi Browder (xem [6])
được trình bày như sau.
Định nghĩa 1.2.4 (xem [6]). Một toán tử V : RN → RN được gọi là đóng
tại điểm y ∈ RN nếu với mọi x ∈ RN và mọi dãy xk

∞
k=0

trong RN sao cho

limk→∞ xk = x và limk→∞ V xk = y , thì ta có V x = y.
Nhận xét 1.2.5. Nếu V : RN → RN là toán tử khơng giãn thì V − I là tốn
tử đóng trên RN .
1.2.2

Bài toán và phương pháp lặp

Bây giờ cho RN là một khơng gian Euclid với tích vơ hướng và chuẩn được
ký hiệu tương ứng là ., . và . . Cho {xk } là một dãy trong không gian RN .
Ta ký hiệu xk → x nghĩa là dãy {xk } hội tụ đến x.
Cho U : RN → RN và V : RM → RM là hai tốn tử xác định trên các khơng
gian RN và RM tương ứng, A là một ma trận cỡ M × N . Bài tốn điểm bất
động tách trong khơng gian Hilbert hữu hạn chiều là bài tốn

Tìm x∗ ∈ Fix(U ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(V ).

(1.12)

Ký hiệu tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (1.12) như sau

Γ ≡ Γ (U, V ) := {y ∈ C|Ay ∈ Q},

C := Fix(U ), Q := Fix(V ).

(1.13)

Thuật toán sau đây được xây dựng để giải bài toán (1.12).
Thuật toán 1.2.6 (xem [12]). Cho x0 ∈ RN bất kỳ. Với k ≥ 0 tính

xk+1 = U xk + γAT (V − I) Axk ,

(1.14)

trong đó γ ∈ 0, L2 , L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận AT A và I là ma
trận đơn vị cấp M .
Ta sẽ sử dụng định nghĩa dãy đơn điệu Fejér để phân tích sự hội tụ của thuật
tốn này.
Định nghĩa 1.2.7 (xem [12]). Một dãy xk

∞
k=0

được gọi là đơn điệu Fejér

trên tập khác rỗng S ⊆ RN nếu với ∀x ∈ S ,

xk+1 − x ≤ xk − x

∀k ≥ 0.

(1.15)


12

1.2.3

Sự hội tụ

Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 1.2.6 ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.8 (xem [12]). Cho một ma trận thực A cỡ M × N , U : RN → RN
và V : RM → RM là những toán tử chỉ hướng với giả thiết tập các điểm bất
∞
k=0

động Fix(U ) = C và Fix(V ) = Q là khác rỗng. Khi đó dãy xk

được sinh

ra bởi Thuật toán 1.2.6 là một dãy đơn điệu Fejér trên tập nghiệm Γ.
Chứng minh. Lấy y ∈ Γ, từ (1.15) ta được

xk+1 − y

2

= U xk + γAT (V − I) Axk
≤ xk + γAT (V − I) Axk − y
= xk − y

2

−y

2

2

+ γ 2 AT (V − I) Axk

2

+ 2γ xk − y, AT (V − I) Axk
= xk − y

2

+ γ 2 (V − I) Axk , AAT (V − I) Axk

+ 2γ xk − y, AT (V − I) Axk

.

(1.16)

Từ định nghĩa của L suy ra

γ 2 (V − I) Axk , AAT (V − I) Axk
≤ Lγ 2 (V − I) Axk , (V − I) Axk
= Lγ 2 (V − I) Axk
Đặt Θ := 2γ xk − y, AT (V − I) Axk

2

.

(1.17)

và sử dụng (1.7) ta được

Θ = 2γ A xk − y , (V − I) Axk
= 2γ A xk − y + (V − I) Axk − (V − I) Axk , (V − I) Axk
= 2γ

V Axk − Ay, (V − I) Axk

≤ −2γ (V − I) Axk

2

− (V − I) Axk

2

.

(1.18)

Từ (1.16), (1.17) và (1.18) ta suy ra

xk+1 − y

2

≤ xk − y

2

+ γ (Lγ − 2) (V − I) Axk

2

.

(1.19)

Từ đây, sử dụng định nghĩa của γ ta được

xk+1 − y

2

≤ xk − y 2 .

(1.20)


13

Chứng tỏ dãy {xk } đơn điệu Fejér trên Γ.
Bổ đề tiếp theo trình bày một tính chất của tốn tử chỉ hướng mà ta sẽ sử
dụng trong phân tích tính hội tụ của dãy lặp.
Bổ đề 1.2.9 (xem [12]). Cho V : RN → RN là một toán tử chỉ hướng với
Fix(V ) = ∅. Khi đó, với bất kỳ q ∈ Fix(V ) và x ∈ RN ,

V (x) − q

2

≤ x−q

2

− V (x) − x 2 .

(1.21)

Chứng minh. Vì V là tốn tử chỉ hướng, từ (1.7) ta có

x−q

2

2

= (V (x) − x) − (V (x) − q)
= V (x) − x

2

+ V (x) − q

2

≥ V (x) − x

2

+ V (x) − q 2 .

− 2 V (x) − x, V (x) − q
(1.22)

Bây giờ chúng ta trình bày kết quả về sự hội tụ của Thuật toán 1.2.6.
Định lý 1.2.10 (xem [12]). Cho một ma trận thực cỡ M × N , U : RN → RN
và V : RM → RM là những toán tử chỉ hướng với tập các điểm bất động
Fix(U ) = C và Fix(V ) = Q là khác rỗng. Giả sử (U − I) và (V − I) là các
tốn tử đóng tại 0. Nếu Γ = ∅ thì dãy lặp xk

∞
k=0

được sinh bởi Thuật toán

1.2.6 sẽ hội tụ tới một điểm bất động tách x∗ ∈ Γ.
Chứng minh. Từ (1.19) suy ra dãy

xk − y

∞
k=0

là dãy đơn điệu giảm. Vì

= 0.

(1.23)

vậy,

lim

k→∞

(V − I) Axk

Từ tính đơn điệu Fejér của dãy {xk } suy ra dãy đó bị chặn. Gọi x∗ là một điểm
tụ của dãy {xk }, cho l = 0, 1, 2, . . . là một dãy chỉ số sao cho

lim xkl = x∗ .

l→∞

(1.24)

Khi đó, từ (1.23) và tính đóng của (V − I) tại 0 ta được

V (Ax∗ ) = Ax∗ ,

(1.25)


14

suy ra Ax∗ ∈ Q. Định nghĩa

uk := xk + γAT (V − I) Axk .

(1.26)

ukl = xkl + γAT (V − I) Axkl

(1.27)

Khi đó

và từ (1.23) và (1.24) ta có

lim ukl = x∗ .

(1.28)

l→∞

Tiếp theo ta chỉ ra rằng x∗ ∈ C . Giả sử ngược lại, x∗ ∈
/ C , nghĩa là U x∗ = x∗ .
Khi đó từ tính đóng của tốn tử (U − I) tại 0, suy ra

lim U ukl − ukl

= 0.

l→∞

Vì vậy, ∃ ε > 0 và một dãy con ukls

∞
s=0

trong dãy ukl

U ukls − ukls ≥ ε,

(1.29)
∞
l=0

sao cho

s = 0, 1, . . .

(1.30)

Vì U là một tốn tử chỉ hướng, với mỗi z ∈ Γ ta áp dụng Bổ đề 1.2.8 với

s = 0, 1, . . . và nhận được
U ukls − z

2

≤ ukls − z

2

− U ukls − ukls

< ukls − z

2

− ε2 .

2

(1.31)

Giống như chứng minh của Bổ đề 1.2.8, với mỗi z ∈ Γ ta có

xk + γAT (V − I) Axk

− z ≤ xk − z .

(1.32)

Vì xk+1 = U uk , k = 0, 1, . . . từ (1.15) ta có

xk+1 − z ≤ uk − z .

(1.33)

Từ (1.32) và (1.33) chỉ ra rằng dãy {x1 , u1 , x2 , u2 , . . . } đơn điệu Frejér trên Γ.
Bởi vì U ukls = xkls +1 , sử dụng (1.31) ta được dãy ukls

∞
s=0

cũng đơn điệu

Frejér trên Γ. Hơn nữa,

ukls+1 − z

2

< ukls − z

2

− ε2 ,

s = 1, 2, . . .

(1.34)

15

và điều này không thể đúng cho nhiều véc-tơ vô hạn ukls . Vì thế, x∗ ∈ C và
suy ra x∗ ∈ Γ.
Thay y bởi x∗ trong (1.19) ta được dãy
con của nó

xkl − x∗

∞
l=0

xk − x∗

∞
k=0

đơn điệu giảm và dãy

hội tụ tới 0. Do đó limk→∞ xk = x∗ .


16

Chương 2

Phương pháp lặp tìm nghiệm có
chuẩn nhỏ nhất của bài tốn điểm bất
động tách

Trong chương này, ta trình bày một phương pháp lặp giải bài tốn tìm
nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán điểm bất động tách trong không gian
Hilbert thực H. Nội dung của chương được viết trên cơ sở kết quả trong [3] về
phương pháp lặp tìm nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập
nghiệm của bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert thực. Tác
giả đã xét trường hợp đặc biệt của kết quả này khi cho ánh xạ giá F : C → H
xác định bởi F (x) = x với mọi x ∈ C . Nội dung của chương được viết thành
hai mục. Mục 2.1 giới thiệu về bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của
bài tốn điểm bất động tách trong không gian Hilbert thực vô hạn chiều, mơ
tả phương pháp lặp giải bài tốn này và trình bày định lý hội tụ mạnh của
phương pháp. Mục 2.2 đưa ra một ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương
pháp lặp trong không gian Hilbert hữu hạn chiều. Chương trình thực nghiệm
được viết trên ngôn ngữ MATLAB. Kiến thức của chương được tham khảo từ
tài liệu [3] và các tài liệu trích dẫn trong đó.


17

2.1
2.1.1

Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài tốn điểm bất
động tách

Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng khác rỗng trong các khơng gian
Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử T : C → C , S : Q → Q là các ánh xạ khơng
giãn. Bài tốn điểm bất động tách (SFPP) trong khơng gian Hilbert thực là
bài tốn
Tìm phần tử x∗ ∈ Fix(T ) sao cho A(x∗ ) ∈ Fix(S),

(2.1)

ở đây Fix(T ) và Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của các ánh xạ T và S .
Ký hiệu Ω là tập nghiệm của bài toán (2.1). Bây giờ ta cho A : H1 → H2 là
tốn tử tuyến tính bị chặn. Ta xét bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của
bài toán điểm bất động tách (2.1) sau đây:
Tìm phần tử x∗ ∈ Ω sao cho x∗ ≤ x với mọi x ∈ Ω.
2.1.2

(2.2)

Phương pháp lặp

Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho bài tốn (2.2) được mơ tả trong thuật
toán dưới đây.
Thuật toán 2.1.1 (xem [3]). Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác
rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là tốn tử
tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ . Giả sử T : C → C , S : Q → Q là
các ánh xạ không giãn. Với điểm xuất phát x0 ∈ C tùy ý cho trước, dãy lặp

{xk } được xác định bởi:


uk = PQ (Axk )






y k = PC (xk + δA∗ (Suk − Axk ))


z k = PC ((1 − λk µ)y k )




xk+1 = α xk + (1 − α )T (z k ) ∀k ≥ 0,
k
k


18

trong đó µ và δ là các tham số dương, {λk } và {αk } là các dãy tham số thỏa
mãn một số điều kiện nào đó.
Để trình bày chứng minh sự hội tụ của dãy lặp {xk } trong Thuật toán 2.1.1
ta cần một số bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.2 (xem [7]). Cho {ak } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn

ak+1 ≤ (1 − αk )ak + αk ξk

∀n ≥ 0,

trong đó {αk }, {ξk } là hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện
∞

(i) {αk } ⊂ (0, 1) và

αk = ∞.
k=1

(ii) lim sup ξk ≤ 0.
k→∞

Khi đó lim ak = 0.
k→∞

Bổ đề 2.1.3 (xem [2]). Cho F : C → H là ánh xạ β -đơn điệu mạnh trên C và
2β
L-liên tục Lipschitz trên C, λ ∈ (0, 1) và µ ∈ 0, 2 . Khi đó
L
x − λµF (x) − [y − λµF (y)] ≤ (1 − λτ ) x − y
∀x, y ∈ C,
trong đó

τ =1−

1 − µ (2β − µL2 ) ∈ (0, 1].

Bổ đề 2.1.4 (xem [13]). Cho {xk }, {y k } là hai dãy bị chặn trong không gian
Hilbert thực H, {αk } là một dãy số nằm trong đoạn [0, 1] thỏa mãn

0 < lim inf αk ≤ lim sup αk < 1
k→∞

k→∞

và

lim sup

y k+1 − y k − xk+1 − xk

≤ 0.

k→∞
k

Khi đó lim y k − x

= 0.

k→∞

Bổ đề 2.1.5 (Opial). Cho dãy {xk } ⊂ H thỏa mãn xk
đẳng thức

lim inf xk − x < lim inf xk − y
k→∞

với mọi y ∈ H, y = x.

k→∞

x, khi đó ta có bất


19

2.1.3

Sự hội tụ

Sự hội tụ của dãy lặp {xk } xác định trong Thuật tốn 2.1.1 được trình bày
trong định lý sau đây.
Định lý 2.1.6 (xem [3]). Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng
trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A: H1 → H2 là tốn tử tuyến tính
bị chặn với toán tử liên hợp A∗ . Giả sử T : C → C , S : Q → Q là các ánh
xạ không giãn. Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy xk , uk , y k và z k xác
1
định trong Thuật toán 2.1.1 với δ ∈ 0,
, 0 < µ < 2, {λk } và {αk }
A 2+1
là hai dãy số nằm trong khoảng (0, 1) và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(C1) lim λk = 0,
k→∞
∞

λk (1 − αk ) = ∞,

(C2)
k=0

(C3) lim αk = α ∈ (0, 1).
k→∞

Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán điểm bất động tách (2.1) khác rỗng. Khi đó
dãy xk hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán (2.2).

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bài tốn (2.2) có nghiệm duy nhất.
Thật vậy, vì Ω = ∅ nên Fix(T ) = ∅ và Fix(S) = ∅. Theo Bổ đề 1.1.13 thì
Fix(T) và Fix(S) là các tập lồi đóng, do đó

Ω = {x∗ ∈ Fix(T ) : Ax∗ ∈ Fix(S)}
cũng là một tập lồi đóng. Vì vậy bài tốn (2.2) có nghiệm duy nhất x∗ . Ký
hiệu tập nghiệm của bài toán (2.2) là Ω+ . Phép chứng minh định lý được chia
ra thành các bước như sau:
Bước 1: Với mọi k ∈ N, ta có

y k − x∗

2

≤ xk − x∗

2

− δ(1 − δ A 2 ) Suk − Axk

2

− δ uk − Axk 2 .
(2.3)


20

Vì x∗ ∈ Ω+ nên x∗ ∈ Ω, tức là T (x∗ ) = x∗ và S(Ax∗ ) = Ax∗ . Theo Bổ đề
1.1.4, ta có:

uk − Ax∗

2

= PQ (Axk ) − PQ (Ax∗ )

2

≤ PQ (Axk ) − PQ (Ax∗ ), Axk − Ax∗
= uk − Ax∗ , Axk − Ax∗
1
=
uk − Ax∗ 2 + Axk − Ax∗
2

2

− uk − Axk

2

hay

uk − Ax∗

2

≤ Axk − Ax∗

2

− uk − Axk 2 .

(2.4)

Vì S là ánh xạ khơng giãn và S(Ax∗ ) = Ax∗ nên từ (2.4), ta nhận được

Suk − Ax∗

2

= Suk − S(Ax∗ )
≤ uk − Ax∗

2

2

≤ Axk − Ax∗

2

− uk − Axk 2 .

Do đó

Suk − Ax∗

2

− Axk − Ax∗

2

≤ − uk − Axk 2 .

(2.5)

Từ (2.5), ta có

A(xk − x∗ ), Suk − Axk
= A(xk − x∗ ) + Suk − Axk − (Suk − Axk ), Suk − Axk
= Suk − Ax∗ , Suk − Axk − Suk − Axk 2
1
Suk − Ax∗ 2 + Suk − Axk 2 − Axk − Ax∗
=
2
1
=
Suk − Ax∗ 2 − Axk − Ax∗ 2 − Suk − Axk
2
1
1
≤ − uk − Axk 2 − Suk − Axk 2 .
2
2

2

− Suk − Axk

2

2

(2.6)

Vì δ > 0 nên từ (2.6), ta nhận được

2δ A(xk − x∗ ), Suk − Axk ≤ −δ uk − Axk

2

− δ Suk − Axk 2 .

(2.7)


21

Sử dụng tính chất khơng giãn của phép chiếu PC , (2.7) và chú ý rằng vì A∗ là
tốn tử liên hợp của A nên A

y k − x∗

2

∗

= A , ta có

= PC xk + δA∗ (Suk − Axk ) − PC (x∗ )
≤ (xk − x∗ ) + δA∗ (Suk − Axk )
= xk − x∗

2

2

2

+ δA∗ (Suk − Axk )

2

+ 2δ (xk − x∗ ), A∗ (Suk − Axk )
≤ xk − x∗

2

+ δ 2 A∗

2

Suk − Axk

2

+ 2δ A(xk − x∗ ), Suk − Axk

≤ xk − x∗

2

+ δ 2 A∗

− δ Suk − Axk
= xk − x∗

2

2

Suk − Axk

2

− δ uk − Axk

2

2

− δ(1 − δ A 2 ) Suk − Axk

2

− δ uk − Axk 2 .

Bước 2: Chứng minh các dãy xk , y k bị chặn. Thật vậy từ (2.3) và chú ý

1
rằng δ ∈ 0,
, ta được
A 2+1

y k − x∗ ≤ y k − x∗

∀k ∈ N.

(2.8)

Kết hợp tính chất không giãn của phép chiếu PC với Bổ đề 2.1.3 trong trường
hợp F (x) = x với mọi x ∈ C , ta có

z k − xk = PC (y k − λk µy k ) − PC (x∗ )
≤ y k − λk µy k − x∗
= y k − λk µy k − [x∗ − λk µx∗ ] − λk µx∗
≤ y k − λk µy k − [x∗ − λk µx∗ ] + λk µ x∗
≤ (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ x∗

(2.9)