Tài liệu Toán cực trị

Vận dụng hằng đẳng thức
vào giảI các bài toán cực trị.
+ (a+b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
+ (a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
Vận dụng 1. Vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai. A
2

0
+ (a+b)
2

0
Suy ra: + (a+b)
2
+ K

K
ị
Min[(a+b)
2
+ K] = K ; khi a = -b

+ K - (a+b)
2

Ê
K
ị
Max[K- (a-b)
2
] = K ; khi a = -b
+ (a-b)
2


0
Suy ra: + (a-b)
2
+ K

K
ị
Min [(a-b)
2
+ K] = K ; khi a = b.
+ K- (a-b)
2

Ê
K
ị
Max [K- (a-b)

2
] = K ; khi a = b.
Bài toá1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2C x x= - +

Giải:
2
2 2 2 2 2 2 2 1 3C x x x x= + - + - = + - + + -

2
( 2 1) 3 3x= + - - -
Suy ra : Min C = -3 , khi
2 1 1x x+ = = -
Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = (x + 2)
2
+ (x-1)
2
Giải:
A = x
2
+4x+4 + x
2
- 2x +1= 2(x
2
+x+5/2) = 2 ( x
2
+ 2x.1/2+ 1/4+ 9/4)
= 2(x+1/2)
2

+ 9/2
9
2

Suy ra Min A= 9/2 khi x = -1/2.
Bài toán.3. Cho biểu thức P = x
2
+ xy + y
2
- 3x- 3y + 2009.
Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải
P = x
2
- 2x + 1+y
2
- 2y + 1 + xy- x- y + 1 + 2006
= ( x- 1)
2
+ (y- 1)
2
+ (x-1)(y-1) + 2006.
= (x- 1)
2
+ 2(x- 1).
1
2
(y- 1)+
1
4

(y-1)
2
+
3
4
(y-1)
2
+ 2006

2
2
1 3
1 ( 1) 2006 2006
2 4
y
x y
-ổ ử
ữ
ỗ
= - + + - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Suy ra Min P= 2006 khi y = 1; x= 1.
Bài toán .4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = (x- ay)
2

+ 6(x-ay) +x
2
+ 16y
2
- 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : là các số
nguyên)
Giải: P = [(x-ay)
2
+6(x-ay)+9] + (x
2
- 8xy + 16y
2
)+2(x-4y)+1
= (x-ay+3)
2
+ (x-4y)
2
+ 2(x-4y) + 1.
= (x-ay+3)
2
+(x-4y+1)
2


0
GV: Nguyn Th Hng Nhn
Suy ra Min P = 0 khi và chỉ khi
3 0 4 2;(1)
4 1 0
4 1;(2)

x ay ay y
x y
x y
ỡ
- + = - =ỡ
ù
ù
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
- + =
= -
ù ù
ợ
ù
ợ
(1)

(a-4)y = 2 ; do x ; y ; a là số nguyên nên ta có: (a-4;y)={(1;2),(2;1),(-1;-
2),(-2;-1)
Thế vào ta có (x;y;a)={(3;1;6),(7;2;5),(-5;-1;2),(-9;-2;3)}
Bài toán .5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 3 2 1M x xy y x= - + - +
Giải:
2 1 2( ) 2 2M x xy y x y y y= - + + - - - +

2

1 1
( ) 2( ) 1 2 2
2 2
x y x y y y= - - - + + - + -

2 2
1 1 1
( 1) (2 1)
2 2 2
x y y= - - + - - -
Suy ra: Min M = -1/2, khi y= 1/4 ; x = 9/4.
Bài toán .6. Cho hàm số:
2
2
2 2005
( )
x x
f x
x
- +
=
; với x khác 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
Giải:

2 2 2 2
2 2005 1 1 1 1 2005
( ) 1 2005 2. . 1
2005 2005 2005
f x

x x x x
ổ ử
ữ
ỗ
= - + = - + - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

2
1 1 2004 2004
2005
2005 2005 2005x
ổ ử
ữ
ỗ
= - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Suy ra Min f(x) =
2004
2005
khi x= 2005.
Bài toán .7. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
2

2
1
( 1)
x x
D
x
+ +
=
+
.
Giải:
2
2
2 2
( 2 1) ( 1) 1
1
( 1) ( 1)
x x x
x x
D
x x
+ + - + +
+ +
= =
+ +

2
2
1 1 1 1 1 1 3
1 2 .

1 ( 1) 1 1 2 4 4x x x x
ổ ử
ữ
ỗ
= - + = - + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + +

2
1 1 3 3
1 2 4 4x
ổ ử
ữ
ỗ
= - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
Suy ra Min D= 3/4 khi x = 1.
Bài toán 8. Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
D = 15- 10x- 10x
2
+ 24xy- 16y

2
.
Giải:
D = - (16y
2
- 24xy + 9x
2
)- (x
2
+ 10x + 25) + 35.
= 35 (4y- 3x)
2
- (x+ 5)
2

Ê
35.
Suy ra Max D = 35 khi x =-5 ; y = -15/4.
GV: Nguyn Th Hng Nhn
Bài toán 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
( 1)
x
G
x
=
+
Giải:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. .
( 1) 1 ( 1) 4 ( 1) 1 2 4
x
G
x x x x x
ổ ử
+ -
ữ
ỗ
ữ
= = - = - - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+ + + + +
ố ứ

2
1 1 1 1
4 1 2 4x
ổ ử
ữ
ỗ
= - - Ê
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
+
Suy ra Max G = 1/4 ; khi x= 1
Bài toán 10.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho BĐT sau đây luôn
đúng
x R" ẻ

(x+1)(x+2)
2
(x+3)

m.
Giải: Ta có A = (x+1)(x+2)
2
(x+3) = (x
2
+4x+3)(x
2
+4x+4).
= (x
2
+4x+3)
2
+(x
2
+4x+3) +1/4- 1/4.
= (x
2
+4x+3+1/2)

2
- 1/4

-1/4.
Suy ra Min A =-1/4 khi x
2
+4x+3 = -1/2

x = -2+
2
2
hoặc x = -2-
2
2
.
Vì m
Ê
A ,
x R" ẻị
m
Ê
Min A = -1/4
Suy ra giá trị nguyên lớn nhất của m là -1.
Bài toán 11. Cho x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x
2
+ y
2
+
z
2

Giải: Từ x + y + z = 3
ị
(x+y+z)
2
= 9
Hay x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + xz) = 9; (1)
Mà (x-y)
2


0

x
2
+ y
2


2xy , dấu = xảy ra khi x = y.
(y-z)
2


0

y
2
+ z
2


2yz , dấu = xảy ra khi y = z.
(z- x)
2

0

z
2
+ x
2

2zx , dấu = xảy ra khi z = x.
Nên : 2(x
2
+ y
2
+ z
2
)

2(xy+yz+zx) hay x
2
+y

2
+z
2


xy + yz + zx; (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 9 = x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy+yz+zx)
Ê
3(x
2
+y
2
+z
2
)
Nên x
2
+y
2
+z
2


3.

Vậy Min G = 3 khi và chỉ khi x = y = z =1.
Bài toán 12. Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
Giải: Với x, y
ẻ
R ta có.
(x+y)
2
+ (x-y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
+ x
2
- 2xy + y
2
= 2(x
2
+y
2
) = 2
Do (x-y)
2

0, với mọi x, y; dấu = xảy ra khi x = y.
Suy ra (x+y)
2

Ê
2
2 2 2x y x y+ - + Ê Ê Ê
Khi x = y ta có x
2
= y
2
= 1/2
2
2
x y= =ị
hoặc
2
2
x y= = -
Vậy Max (x+y) =
2
2
2
x y= =
GV: Nguyn Th Hng Nhn
Min (x+y) =
2
2
2

x y- = = -Û

GV: Nguyễn Thị Hồng Nhạn