Bài soạn Đề + đáp án đề thi HSG Huyện Nghi Lộc năm học 2010_2011

PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm n ∈ N để A là số nguyên tố biết A = n
3
- n
2
- n - 2
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m
2
– n
2
) M 6
Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P =
( ) ( )
3 1 2 5 4 2
2 3 1
2 3 1
x x x x
x x
x x
− − + +
− −
+ −
+ −
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P =
4
3
Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình :





=−−+
+=−++
xyx
xyx
2323
42323
b) Giải phương trình:
31x2x
3
=++−
Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
F =
13
618
12
28
+
−
+
+
−
x
x
x

x
Bài 5: (6,5 điểm)
Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và MA
< MB. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc
với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường
tròn (O).
b) Chứng minh CA = CH.
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình
chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O).
Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng.
d) Gọi S
1
; S
2
là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh CM < .
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 9
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011
Bµi 1: (4,5 ®iÓm)
C©u a) (2,0 ®)
Ph©n tÝch A = n
3
- 2n
2
+ n
2

- 2n + n - 2
= (n - 2) (n
2

+ n + 1)
Do n - 2 < n
2
+ n + 1 ∀n ∈ N
VËy A lµ sè nguyªn tè ⇔



++
=−
tènªnguysèlµ1nn
12n
2
⇔



=++=
=
13133A
3n
2
lµ sè nguyªn tè
VËy víi n = 3 th× A lµ sè nguyªn tè
0,75®
0,25®
0,5®
0,5®
Câu b) (2,5 đ)
( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
. ( ) 1 1 1 1 1 1m n m n mn m n mn m m mn n n
 
− = − − − = − + − − +
 

0.5 đ
Vì m(m-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên
M
2
⇒
m(m – 1)(m + 1)
M
2
0,5 đ
m(m – 1)(m + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
mà (2;3)=1. Do đó m(m – 1)(m+1)
M
6
⇒
nm(m – 1)(m + 1)
M
6 (1)
Tương tự n(n – 1)(n + 1)
M
6
⇒
mn(n – 1)(n +1)

M
6 (2)
Từ (1)(2)
⇒
2 2
( ) 6mn m n
−
M
với mọi số nguyên m, n
Bài 2: (3,0 điểm) ĐKXĐ của biểu thức P là: x › 0và x
9
1
≠
0,25
a) P =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
3 1 2 2 5 4 2
2 3 1
x x x x x
x x
− − − + − + +
+ −

0,5
P =
( ) ( )
3 10 3
2 3 1

x x
x x
− +
+ −
0,5
P =
2
3
+
−
x
x
0,75
b) P =
3 3
4
2
x
x


+
=
( ) ( )
3423
=+
xx
0,5
32418
==

xx
TMK 0,5
Bi 3: (4,0 im)
a) (2,0 im)Vi iu kin
2
3


x
;
2
3

y
0,25
Tr v theo v ta c phng trỡnh
223
=
y
3 2y = 4 y =
2
1

(t/món) 0,5
Cng hai phng trỡnh ca h ó cho ta c phng trỡnh

x23
+
= x+2 0,25
3+2x = (x +2)

2

x
2
+2x +1 = 0 0,5
(x+1)
2
= 0 x =-1(tha món) 0,25
Vy h phng trỡnh cú nghim l (x; y) = (-1 ;
2
1

) 0,25
b)
(2,0đ)
Giải phơng trình
a.
3
2 1 3 : 1x x dK x + + =
Đặt
)0v(v1x,u2x
3
=+=
=>u
3
= x - 2, v
2
= x+1
=> v
2

- u
3
= (x + 1) - (x - 2) = 3
=> v
2
- u
3
= 3(1)
u + v = 3 (2)
Rút v = 3 - u từ (2) thay vào (1)
=> (3 - u)
2
- u
3
= 3
9 - 6u + u
2
- u
3
= 3
=> u
3
- u
2
+ 6u - 6 = 0
=> u
2
(u - 1) + 6 (u - 1) = 0
=> (u - 1) (u
2

+ 6) = 0
u - 1 = 0 do u
2
+ 6 > 0 u
=> u = 1; v = 2.
Thay
12xu2x
33
==>=
x - 2 = 1
x = 3 (TMĐK)
Vậy pt có 1 nghiệm x = 3;
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bi 4: (2,0 im)
k : x
0

, 0,25
Ta cú: F- 5= (
12
28
+

x
x
- 2) +(
13
618
+

x
x
- 3) 0,75
=
12
)1(4
2
+

x
x
+
13
)1(9
2
+

x
x
0,5
Lớ lun i n F 5
0

kt lun F
max
= 5 ti x=1 0,5