Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cực trị hình học

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t(X) = AX + BX + CX

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s(X) = mAX + nBX + pCX

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✤→♥❣ ❦➸ ❦❤✐ t❛ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✳ Ð ✤➙② ❝❤ó♥❣
t❛ s➩ ①❡♠ ①➨t ♠ët tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤♦ ✹ ✤✐➸♠
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s(X) = AX + BX + CX + DX

❧➔ tè✐ t❤✐➸✉✳
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AP.AG + BP.BG + CP.CG

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k1 + k2 + . . . + kn = k = 0.

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t❤ü❝ k1, k2, . . . , kn t❤ä❛ ♠➣♥ k1 + k2 + . . . + kn = k = 0 ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d ✭❤♦➦❝
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❦❤✐ M ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❝õ❛ I ❧➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d✳
❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë ❖①② ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â A(−1; 0)✱
B(2; 3)✱ C(3; −6) ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ∆ : x − 2y − 3 = 0✳ ❚➻♠ ✤✐➸♠ M tr➯♥ ∆ s❛♦
−−→ −−→ −−→
❝❤♦ M A + M B + M C ♥❤ä ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✶✻✳

−−→

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−−→

❑➳t q✉↔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿ M A + M B + M C ♥❤ä ♥❤➜t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
M

19 −13
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.
15 15

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❖①②③ ❝❤♦ ✷ ✤✐➸♠ A(3; 1; 1) ✈➔ B(7; 3; 9) ✈➔
−−→ −−→
♠➦t ♣❤➥♥❣ (α) : x+y +z +3 = 0✳ ❚➻♠ ✤✐➸♠ M tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (α) ✤➸ |M A+ M B|
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✶✼✳

−−→

−−→

❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿ M (0; −3; 0) t❤➻ M A + M B ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä
♥❤➜t✳
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❖①②③ ❝❤♦ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥ ABCD ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤
A(3; 4; −1)✱ B(−5; 3; −2)✱ C(3; −1; 2)✱ D(1; 1; 4)✳ ❚➻♠ ✤✐➸♠ M tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
s❛♦ ❝❤♦
−−→ −−→ −−→ −−→

M A + M B + M C + M D ♥❤ä ♥❤➜t✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✶✽✳

❑➳t q✉↔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿ ⇔ M ≡ G ❤❛② M

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k1 , k2 , . . . , kn t❤ä❛ ♠➣♥ k1 + k2 + . . . + kn = k > 0✳ ❚➻♠ ✤✐➸♠ M t❤✉ë❝ ♠➦t ♣❤➥♥❣

✭✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✮ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ S = k1 M A21 + k2 M A22 + . . . + kn M A2n ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä
♥❤➜t✳
❚➻♠ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC s❛♦
❝❤♦ tê♥❣ M A2 + 2M B 2 + 3M C 2 ♥❤ä ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✵✳

❑➳t q✉↔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿ M A2 + 2M B 2 + 3M C 2 ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ M ≡ I.
❚➻♠ ✤✐➸♠ M tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC s❛♦ ❝❤♦

tê♥❣ M A2 + 2M B 2 − 6M C 2 ✤↕t ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✶✳

✾


❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿ M A2 + 2M B 2 − 6M C 2 ✤↕t ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ M ≡ I.
❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❖①② ❝❤♦ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ∆ : x + y + 2 = 0 ✈➔ ❝→❝
✤✐➸♠ A(2; 1)✱ B(−1; −3)✱ C(1; 3)✳ ❚➻♠ ✤✐➸♠ M t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ∆ s❛♦ ❝❤♦✿
M A2 + M B 2 − M C 2 ♥❤ä ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✷✳

❑➳t q✉↔ ❧í✐ ❣✐↔ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ M

3 −7
2; 2

.

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❖①②③ ❝❤♦ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (P ) : x − y + 2z = 0 ✈➔
❝→❝ ✤✐➸♠ A(1; 2; −1)✱ B(3; 1; −2)✱ C(1; −2; 1)✳ ❚➻♠ ✤✐➸♠ M t❤✉ë❝ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (P )
s❛♦ ❝❤♦ M A2 − M B 2 − M C 2 ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✸✳

❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔✿ M (2; −2; −2) ❧➔ ✤✐➸♠ ❝➛♥ t➻♠✳

✶✵

❈❤÷ì♥❣ ✷
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐ sè ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤
✷✳✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐
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✷✳✶✳✶ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦✐♥❤ ✤✐➸♥
◆❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❝ü❝ trà ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ❜→t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✳ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè õ t ữủ
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❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ①❂②✳P❤→t ❜✐➸✉ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣
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▼ư❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✈➲ ❝ü❝ trà ❜➡♥❣
❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❦✐♥❤ ✤✐➸♥✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝➛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❜➜t
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ỵ t tự AM GM ✮✳❱ỵ✐ n sè t❤ü❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ❜➜t ❦➻

a1 , a2 , . . . , an

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a1 + a2 + . . . + an

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ỵ t tự tr ụ tứ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❜ë sè ❦❤ỉ♥❣ ➙♠
a1 , a2 , . . . , an

✈➔ m = 1, 2, . . . t❛ ✤➲✉ ❝â
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1 + a2 + . . . + an
n

a1 + a2 + · · · + an
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ỵ t tự r t ở số tỹ tũ ỵ
a1 , a2 , Ã · · , an

✈➔ b1, b2, · · · , bn✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2

(a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ),

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ab 1 = ab 2 = · · Ã = ab n .
1
2
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❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥

❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❜➢t ✤➛✉ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➥♥❣ ❝❤✉ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✳ ❚r♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â trữợ t ởt t
õ t ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳
❑➳t ❧✉➟♥✿ ❚r♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â trữợ t õ
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❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳ ❚r♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❤ë♣ ❝❤ú ♥❤➟t ❦❤æ♥❣ ❝â ♥➢♣ ✈➔ ❝â ❞✐➺♥
t➼❝❤ ❜➲ ♠➦t ♥❤➜t ✤à♥❤✱ t➻♠ ❝→✐ ❝â t❤➸ t➼❝❤ tè✐ ✤❛✳
❑➳t ❧✉➟♥✿ ❧➔ ở õ tữợ x = y = S3 ✈➔ z = 12 S3 , tr♦♥❣
✤â ❙ ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➲ ♠➦t ✤➣ ❝❤♦✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✸✳ ❍❛✐ số ữỡ p q trữợ ởt ✤✐➸♠ M ð ❜➯♥
tr♦♥❣ ♠ët ❣â❝ ❝â ✤➾♥❤ O✳ ▼ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ ▼ ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❣â❝ t↕✐ ❝→❝
✤✐➸♠ A ✈➔ B ✳ ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝❤♦ ✤➸ t➼❝❤ OAp.OB q ❧➔ tè✐ t❤✐➸✉✳
❑➨t ❧✉➟♥✿ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ M ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ✈➩ t❤❡♦ t➾ ❧➺ AM : M B = q : p
ữ ỵ r tỗ t ởt ữớ t t õ t ❝❤➜t ♥➔②✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✹✳ ●å✐ X, Y ✈➔ Z ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤÷đ❝ ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ①✐➯♥ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣✮ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤ ❧➟♣

♣❤÷ì♥❣ ✤➣ ❝❤♦✳ ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ❜❛ ✤✐➸♠ ♥➔② s❛♦ ❝❤♦ ❝❤✉ ✈✐ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ XY Z
❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✺✳ ❈❤♦ ✤✐➸♠ X ❜➜t ❦ý tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ ❣å✐ ❧➛♥ ❧÷đt ①✱ ② ✈➔ ③
❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø X ✤➳♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ BC, AC ✈➔ AB ✳ ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ X ✤➸
tê♥❣ x2 + y2 + z2 ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✻✳ ❚r♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ♥ë✐ t✐➳♣ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ ✤➣ ❝❤♦✱
❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ♥➔♦ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t❄ ❚➻♠ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ➜② t❤❡♦ ❜→♥
❦➼♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥✳
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❑➳t ❧✉➟♥✿ ❍➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ➜② ❜➡♥❣
2R2 .

▼ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❧➔ ✶ ✈➔ ❞ ✤÷đ❝ ❝➢t t❤➔♥❤
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tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ t❤ù t÷ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✷✳ ❚➻♠ sè ♥❤ä ♥❤➜t ❞ ✤➸
❝→❝ ✤✐➲✉ ♥â✐ tr➯♥ ①↔② r❛✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✼✳

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❑➳t ❧✉➟♥✿ min(d) = 3 + 2 2.
❱ỵ✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❳ ❜➯♥ tr♦♥❣ t ỵ
tø ❳ ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❇❈✱ ❈❆✱ ❆❇✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❳ ✤➸
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✽✳

(a)

a b c
1
1
1
+ + , (b) +
+
x y z
ax by cz

❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳✭Ð ✤➙② ❛❂❇❈✱ ❜❂❈❆✱ ❝❂❆❇✮✳

❑➳t ❧✉➟♥✿ ✭❛✮ ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❳ ❧➔ t➙♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣❀
✭❜✮ ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ax = by = cz.
●✐↔ sû ❳ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥ ❆❇❈❉✱ ❝á♥ d1 , d2 , d3 , d4
❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ❳ ✤➳♥ ❝→❝ ♠➦t ❝õ❛ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥✳ ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ❳ ✤➸ d1 d2 d3 d4
❧➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✾✳

❑➳t ❧✉➟♥✿ d1 d2 d3 d4 ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❳ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥✳
❈❤♦ ✤✐➸♠ ❳ ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳ ◗✉❛ ❳ ✈➩ ❝→❝ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ợ ừ t ữớ t❛♠ ❣✐→❝ t❤➔♥❤
s→✉ ♣❤➛♥ ♥❤ä✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❜❛ ♣❤➛♥ ỳ t ợ t tữỡ ự
S1 , S2 ✈➔ S3 . ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ❳ ✤➸ S1 + S2 + S3 ❝â ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✵✳

❑➳t ❧✉➟♥✿S1 + S2 + S3 ❝â ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 ✈➔ ❳
❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳
❇❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈➩ q✉❛ ✤✐➸♠ ▼ ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ♥❤÷
s❛✉✿ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤ù ♥❤➜t ❝➢t ❝↕♥❤ ❆❇ ✈➔ ❇❈ t↕✐ C1 , A2 , ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤ù ❤❛✐

❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ ❇❈ ✈➔ ❈❆ t↕✐ A1 ✈➔ B2 , ❝á♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤ù ❜❛ ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ ❈❆
✈➔ ❆❇ t↕✐ B1 ✈➔ ✈➔ C2 . ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ tê♥❣
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✶✳

1
SA 1 A 2 M

+

1
SB 1 B 2 M

+

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1
SC 1 C 2 M

.


❑➳t ❧✉➟♥✿ ▼ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✷✳ ◗✉❛ ✤✐➸♠ ❳ ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ✈➩ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❆❳
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❤ì♥ 13 SABC .
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a+b+c

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2
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2R
PC = √ .

3

3

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♠➔ t❤➸ t➼❝❤ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥ ❖❆❇❈ ❧➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳
❑➳t ❧✉➟♥✿ ❚❤➸ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ OA = OB = OC = m3 .
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✽✳ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ tr➯♥ ✤→② ❆❇❈ ❝õ❛ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥ ❆❇❈❉ ✈➔ ❣✐↔ sû
A1 , B1 , C1 ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø ▼ ①✉è♥❣ ❝→❝ ♠➦t BCD, ACD ✈➔
ABD t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ✈à tr➼ ♥➔♦ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ▼ t❤➻ tù ❞✐➺♥ M A1 B1 C1 ❝â t❤➸
t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t❄
❑➳t ❧✉➟♥✿ ✣✐➲✉ ♥➔② ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ▼ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳
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số ữủ ồ t ỗ tr ❦❤♦↔♥❣ ①→❝
✤à♥❤ (a, b), ♥➳✉

f (x1 ) < f (x2 ),

∀x1 < x2 , x1 , x2 ∈ (a, b).

❚÷ì♥❣ tü✱ ❤➔♠ sè ❢✭①✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐↔♠✱ ❤❛② ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ①→❝ ✤à♥❤
(a, b), ♥➳✉
f (x1 ) > f (x2 ),

∀x1 < x2 , x1 , x2 ∈ (a, b).

ỵ sỷ số ✈✐ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a, b). ❑❤✐ ✤â ❤➔♠ sè f (x)

❧➔ t➠♥❣ ✭❣✐↔♠✮ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a, b) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f ′ (x) ≥ 0(≤ 0), ∀x ∈ (a, b), tr♦♥❣
✤â f ′ (x) = 0 t↕✐ ❦❤æ♥❣ q✉→ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ x ∈ (a, b).

✣à♥❤ ỵ rt sỷ số f (x) ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ x0. ❑❤✐ ✤â ❤➔♠

sè ❢✭①✮ ✤↕t ❝ü❝ trà t↕✐ x0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f (x0 ) = 0.
✷✳✷✳✷

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tr➯♥ ❝♦♥ ✤÷í♥❣✱ s❛♦ ❝❤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤➸ →♥❤ s→♥❣ ✈÷đt q✉❛ ✤♦↕♥ ✤÷í♥❣
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tr♦♥❣ ổ trữớ ữợ v2

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❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✼✳

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❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tr♦♥❣ t➜t ❝→❝ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ❝â ❝ị♥❣ ❝❤✉
✈✐ t❤➻ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✽✳

●✐↔ sû ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➯♥ tr♦♥❣ ✤❛ ỗ A1 A2 ...An . ú
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❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✾✳

M A1 A2 , M A2 A3 , ..., M An−1 An , M An A1

❦❤ỉ♥❣ ✈÷đt q✉→

π(n − 2)
.
2n

❈❤♦ tù ❞✐➺♥ ❆❇❈❉ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❑✱ ▼ ✈ỵ✐ AB = a, CD =
b, M K = c, tr♦♥❣ ✤â ▼ ✈➔ ❑ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❆❇ ✈➔ ❈❉✳ ❚➻♠ ❣✐→
trà ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠➦t ✈➔ t❤➸ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥✳

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✵✳

❑➳t q✉↔✿

√
1 √

(a) max S = (a 4c2 + b2 + b 4c2 + a2 ),
2

(b) max VABCD =

abc
.
6

❚r♦♥❣ t➜t ❝→❝ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❘✱
t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ♠➔ AB 2 + BC 2 + CA2 ❝â ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✶✳

❑➳t ❧✉➟♥✿ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳
✶✾


✸✳✷ ✣✐➸♠ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ tr♦♥❣ tù ❞✐➺♥
❚r♦♥❣ ♠é✐ t❛♠ ❣✐→❝ ✭tù ❞✐➺♥✮ ❝â ♥❤✐➲✉ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣
♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ✣➙② ❧➔ ❝→❝❤ ♥❣÷í✐ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ trå♥❣ t➙♠✱
✤✐➸♠ ❜➯♥ tr♦♥❣✱ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥✭❤➻♥❤ ❝➛✉✮ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✱ ✤✐➸♠ ▲❡♠♦✐♥❡✱✳✳✳✳ ❍â❛
r❛ ♥❤✐➲✉ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ sè ♥➔② ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ♥❤÷ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ✤÷đ❝
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♠ tü ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❤♦➦❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤↕t
✤÷đ❝ ❝ü❝ ✤↕✐ ❤♦➦❝ ❝ü❝ t✐➸✉✳ ▼ư❝ ♥➔② ✤÷đ❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝
t❤✉ë❝ t➼♥❤ ❝ü❝ trà ừ ú ỵ tr t tù ❞✐➺♥✳ ✣✐➸♠
▲❡♠♦✐♥❡ ❝â ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉ ✤➙②

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ✣✐➸♠ ▲❡♠♦✐♥❡ ▲ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ❧➔ t➙♠ t✛ ❝ü ❝õ❛ ❜❛
✤✐➸♠ ❆✱ ❇✱ ❈ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➺ sè a2 .b2 , c2 ♥❣❤➽❛ ❧➔

−→
−→
−→ →
−
a2 LA + b2 LB + c2 LC = O .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ✣✐➸♠ ▲❡♠♦✐♥❡ ❧➔ ✤✐✐➸♠ ð ❜➯♥ tr♦♥❣ ❛♠ ❣✐→❝✱ s❛♦ ❝❤♦ ♥â ❧➔

trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤ ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø ✤✐➸♠
✤â ①✉è♥❣ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ ❝❤♦✭❚❛♠ ❣✐→❝ ♣❡❞❛❧✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳ ✣✐➸♠ ▲❡♠♦✐♥❡ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ✤✐✐➸♠ ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠

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A, B ✈➔ C ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➣ ❝❤♦✱ ✤➦t x = AP, y = BP, z = CP, α1 =
BP C, β1 = AP C ✱ ✈➔ γ1 = AP B ✳ ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ P s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣
q(P ) = x sin α1 + y sin β1 + z sin γ1

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AB.M C 2 + BC.M A2 + CD.M B 2 → min .

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M A1 M A2 M A3

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M A .M B .M C
M A.M B.M C

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