Một số định lý về luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên có mô men tuyệt đối vô hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒ MINH CHÂU

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ LUẬT SỐ LỚN
ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ
MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VƠ HẠN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng – Năm 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒ MINH CHÂU

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ LUẬT SỐ LỚN
ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ
MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VƠ HẠN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Lê Văn Dũng

Đà Nẵng – Năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài, tuy em gặp khơng ít khó khăn nhưng nhờ sự giúp
đỡ từ phía thầy cơ, gia đình, bạn bè cũng như sự nỗ lực của bản thân, em đã tìm tịi,
học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và hoàn thành bài luận văn.
Lời đầu tiên của đề tài luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên
hướng dẫn TS. Lê Văn Dũng đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên em trong suốt
q trình thực hiện đề tài, để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả quý thầy cơ đã tận tình
dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của mình dưới mái trường Đại học Sư phạm –
Đại học Đà Nẵng.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hồ Minh Châu


MỤC LỤC

Lời cam đoan .............................................................................................................
Danh mục kí hiệu .......................................................................................................
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................ 3
CHƯƠNG 2: LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ MÔ MEN
TUYỆT ĐỐI VÔ HẠN............................................................................................ 7
2.1. LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP .............. 7
2.2. LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT
.............................................................................................................................. 13
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 23

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng em. Các kết quả nêu
trong khóa luận là trung thực và chưa được công bố trong các cơng trình khác. Nếu
khơng đúng như đã nêu trên, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình.

Hồ Minh Châu


DANH MỤC KÝ HIỆU
Với  an ; n  1 và  bn ; n  1 là dãy các số thực dương.

an

bn

: 0  liminf

an
a
 limsup n  
bn
bn

an
0
n b
n

an  o  bn  : lim

an

bn

an
1
n  b
n

: lim

(Những kí hiệu này cũng được sử dụng cho hai hàm thực dương f  x  và g  x  ).

I  A

: Hàm chỉ tiêu tập hợp của A


1

MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong Giải tích thực, Hàm biến phân chậm là hàm của một biến thực có đặc tính
tương tự như một hàm hội tụ ở vô cực. Lớp hàm này đã được giới thiệu bởi Jovan
Karamata vào năm 1987. Từ đó đến nay, Hàm biến phân chậm đã có nhiều ứng dụng
quan trọng trong các ngành Toán học, đặc biệt là trong Lý thuyết xác suất – bộ mơn
tốn học nghiên cứu những quy luật khách quan của hiện tượng ngẫu nhiên. Một trong
những kết quả quan trọng của Lý thuyết xác suất là Luật số lớn, và Hàm biến phân

chậm đóng vai trị rất lớn trong việc phát triển lý thuyết này.
Tuy nhiên các khái niệm về Hàm biến phân chậm và Luật số lớn cịn khá xa lạ
với nhiều sinh viên khoa tốn và còn nhiều vấn đề mở chưa được giải đáp. Với mong
muốn cung cấp khái niệm, và nghiên cứu một số tính chất mới của Luật số lớn đối với
hàm biến phân chính quy, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Văn Dũng, em chọn đề tài
nghiên cứu: Một số định lý về Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên có mơ men
tuyệt đối vơ hạn.
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
Giới thiệu về hàm biến phân chậm, đồng thời chứng minh các định lý và bổ đề
liên quan đến Luật yếu số lớn đối dãy biến ngẫu nhiên độc lập và dãy biến ngẫu nhiên
độc lập đôi một có mơ men tuyệt đối vơ hạn, nhằm đưa ra một số kết quả mới và chứng
minh tính đúng đắn của chúng.
III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, bài nghiên cứu khoa học của
em được trình bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về Hàm biến phân chậm và Luật số
lớn, như định nghĩa Hàm biến phân chậm, một số định nghĩa và tính chất trong Lý
thuyết xác suất như khái niệm Độ đo xác suất, khái niệm và tính chất của Biến ngẫu
nhiên, khái niệm Hội tụ theo xác suất, khái niệm tổng quát Luật số lớn, định nghĩa
Luật yếu số lớn, định lý Markov, định lý Chebyshev.


2

Chương 2 trình bày bổ đề và các định lý liên quan, từ đó trình bày một số kết
quả chính về Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi một có mơ men tuyệt
đối vơ hạn.
IV. HƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Bài nghiên cứu khoa học của em sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Đồng
thời, nghiên cứu kết quả của các tác giả đi trước để tìm ra những điều mới.

V. BỐ CỤC ĐỀ TÀI
Mở đầu
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương 2. Luật số lớn đối với dãy biến ngãu nhiên có mơ men tuyệt đối vô hạn
2.1. Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập
2.2. Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một


3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
Định nghĩa 1.1.1. Cho

P:



là một  -đại số trên không gian mẫu  . Hàm tập hợp

được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

(1) Với mọi A  F , 0  P( A)  1 ;
(2) P()  1 ;
(3) Nếu A1 , A2 ,..., An ,... 

đôi một xung khắc ( Ai  Aj   với mọi i  j ) thì


P(

n 1



An )   P( An )
n 1

Khi đó, P( A) được gọi là xác suất biến cố A . ( ; ; P ) được gọi là không gian
xác suất.
Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất cơ bản của xác suất như sau.
Tính chất 1.1.2.
(1) P()  0
(2) P ( A)  P ( A)  1
(3) Nếu A  B thì P( A)  P( B) .
(4) Cho A1 , A2 ,..., An 
n

P(
i 1

. Khi đó ta có:

n

Ai )   P( Ai )   P( Ai1 Ai1 )  (1) r
i 1

i1 i2



i1 i2 ...ir

P( Ai1 Ai1 ... Air )

 (1) n1 P( A1 A2 ... An )

1.2. BIẾN NGẪU NHIÊN
1.2.1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian xác suất (, , P) . Ánh xạ X :  
gọi là Biến ngẫu nhiên nếu với mọi a

được

:

X 1 ((; a))  {  : X ()  a}
Tập tất cả các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X và kí hiệu là X () .
1.2.2. Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2.2. Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số: F ( x)  P( X  x), x 


4

được gọi là hàm phân phối xác suất của X .
1.2.3. Kì vọng
Định nghĩa 1.2.3. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên khơng gian xác suất
(, , P) có hàm phân phối xác suất FX ( x) . Kì vọng của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu

là E ( X ) , được định nghĩa:

E ( X )   xdFX ( x)

trong đó tích phân vế phải là tích phân Lebesgue - Stieljes.
Tính chất 1.2.4.
(1) Nếu X  C là hằng số thì E(C)  C.
(2) Nếu a, b 

và X , Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian

mẫu  thì:
E(aX  b)  aE( X )  b và E( X  Y )  E( X )  E(Y )

1.2.4. Phương sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.2.5. Cho biến ngẫu nhiên X . Khi đó, đại lượng:

V ( X )  E( X  E( X ))2
được gọi là phương sai của X , SD( X )  V ( X ) được gọi là độ lệch chuẩn của X .
Tính chất 1.2.6.
(1) V ( X )  0 , V ( X )  0 khi và chỉ khi X  C (hằng số).
(2) V ( X )  E( X 2 )  ( E( X ))2 .
(3) V (aX  b)  a2V ( X ) với mọi a, b 

.

1.2.5. Biến ngẫu nhiên độc lập
Định nghĩa 1.2.7.
(1) Các biến ngẫu nhiên X1 , X 2 ,..., X n ( n  2 ) được gọi là độc lập nếu với mọi
x1 , x2 ,..., xn 

ta có:

n

P(

{X k  xk })  P ({ X 1  x1}) P ({ X 2  x2 })...P({ X n  xn }).

k 1

(2) Các biến ngẫu nhiên X1 , X 2 ,..., X n ( n  2 ) được gọi là độc lập đôi một nếu với
mọi i  j , X i và X j là hai biến ngẫu nhiên độc lập.


5

Định lý 1.2.8. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì:
(1) E ( XY )  E ( X ) E (Y ) .
(2) V ( X  Y )  V ( X )  V (Y ).
1.3. HỘI TỤ THEO XÁC SUẤT
Định nghĩa 1.3. Dãy biến ngẫu nhiên  X n , n  1 được gọi là hội tụ theo xác suất
P
 X ) nếu:
đến biến ngẫu nhiên X ( và viết X n 





lim P  : X n    X      0 với   0
n 

1.4. LUẬT YẾU SỐ LỚN
Định nghĩa 1.4.1. (Khái niệm tổng quát) Cho X 1 , X 2 ,..., X n ,... là dãy biến ngẫu
nhiên. Xét biến ngẫu nhiên Yn là một hàm đối xứng của n biến ngẫu nhiên đầu tiên của
dãy: Yn  f n  X 1 , X 2 ,..., X n 
Nếu tồn tại một dãy các hằng số a1 , a2 ,..., an ,... sao cho với mọi   0 :
lim P  Yn  an     1
n 

thì dãy X 1 , X 2 ,..., X n ,... được gọi là tuân theo Luật số lớn với hàm f n đã cho.
Định nghĩa 1.4.2. (Luật yếu số lớn) Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 ,..., X n
có kì vọng E  X  . Xét biến ngẫu nhiên Yn là trung bình tích lũy của dãy  X n , n  1 :
Yn 

X 1 , X 2 ,..., X n
n

Dãy  X n  được gọi là tuân theo Luật yếu số lớn nếu với mọi   0 :





lim P Yn  E  X     0
n 

Định lý 1.4.3. (Bất đẳng thức Markov) Cho biến ngẫu nhiên X. Với   0 :
P X    

E X





Định lý 1.4.4. (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu biến ngẫu nhiên X có phương sai
hữu hạn Var  X   E

 X  E  X   thì với mọi   0 :
2


6





P X  EX    

Var  X 

2

1.5. HÀM BIẾN PHÂN CHẬM
Định nghĩa 1.5.1. Hàm đo được f ( x ) xác định trên  0;  được gọi là hàm biến phân
chậm ở  nếu:
lim

x 

f (tx)
 1 với mọi t  0
f ( x)

Ví dụ 1.5.2. Nếu hàm L( x) có: lim L( x)  a   0;   thì L( x) là hàm biến phân chậm
x 

ở .
Ví dụ 1.5.3. Với mọi   , hàm L( x)  log  x biến phân chậm ở  .
Ví dụ 1.5.4. Hàm L( x )  x và hàm L( x)  x  với   0 không là hàm biến phân
chậm ở  .


7

CHƯƠNG 2: LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ
MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VƠ HẠN

2.1. LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP
Định nghĩa 2.1.1. Dãy biến ngẫu nhiên  X n , n  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến
ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số dương c sao cho với mọi t  0,

sup P   X n   t   cP  X  t 
n

Bổ đề 2.1.2. Cho  X n , n  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X . Khi đó tồn
tại hằng số dương c sao cho  p, q, t  0 và  n  1,
q
q
(1) E X n I  X n  t   c t q P  X  t   E X I  X  t  




(2) E X n I  X n  t   cE X I  X  t 
p

p





Bổ đề 2.1.3. Cho 1  r  2 , giả sử: H  x   E X I  X  x  là hàm biến phân
r

chậm ở  . Khi đó:
(1)

(2)

(3)



P X x

  0 khi x  

x H  x
r



E X I  X  x
x H  x
1 r



  0 khi x  

E X 2I  X  x
x

2r

H  x

  0 khi x  

Bổ đề 2.1.4. Cho 1  r  2 và l  x  là hàm biến phân chậm tại  . Khi đó:


 t l  t  dt

(1)

x

x

r

x l  x
1 r

 t l  t  dt
(2)

0



1
khi x  
1 r

1 r

x 2 r l  x 



1
khi x  
2r


8

Bổ đề 2.1.5. Cho biến ngẫu nhiên X thỏa P  X  x 

x r l  x  với l  x  là hàm

biến phân chậm tại  . Khi đó với 1  r  2 thì:



(1) E X I  X  x 





(2) E X I  X  x 
2

x1r l  x 



x 2 r l  x 

Chứng minh:









x

x







(1) E X I  X  x    tdP  X  t    td 1  P  X  t     tdP  X  t 
x





x

x

 tP  X  t  |   P  X  t  dt  xP  X  x    P  X  t 

x



x1r l  x    t  r l  t 

x1r l  x 

x1r l  x   x1r l  x 

x







x

(2) E X I  X  x    t dP  X  t     t 2 dP  X  t 
2

2

0

x
x

 t 2 P  X  t    P  X  t  dt 2
x

0

0
x

 x 2 P  X  x   2 P  X  t  dt
0

x

x

 x 2r l  x   2 t.t  r l  t  dt
0

x l  x  2x l  x
2 r

2 r

 x 2r l  x   2 t1r l  t dt

x l  x

0

2 r

Định lý 2.1.6. Cho 1  r  2 và  X n ; n  1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử

 X n ; n  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên



r

hàm biến phân chậm ở  . Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 là dãy số thực sao cho:
mn



sup  cnk H cnk
n

r

k 1

1

   và max c
1 k  mn

nk

 0 khi n  

Khi đó:
mn

c  X

k 1

nk

k



X và H  x   E X I  X  x  là

P
 E  X k   
 0 khi n  

Chứng minh. Với n  1 , 1  k  mn , đặt:

X nk'  X k I  cnk X k  1 và X nk''  X k I  cnk X k  1


9



mn

S   cnk X  E  X
'
n

k 1

'
nk

 và S   c  X
mn

"
n

'
nk

nk

k 1



 E  X nk"  .

"
nk

P
'
0
 Ta chứng minh: Sn 

Với   0 , ta có:





 

P S   E S
'
n

 C

2

mn

2

c

2
nk

k 1



E X

' 2
nk



mn

 C 2  P X  cnk
k 1

' 2
n

 mn

  E   cnk X nk'  E  X nk'  
 k 1


  C

1





2

2

mn

c

2
nk

k 1






 .

E X k I  cnk X k  1
2

 

mn

2
 C 2  cnk
E X 2 I X  cnk
k 1

cnk 1

2

1

cnk  0

Với   0 , tồn tại x0  0 sao cho x  x0 :





P  X  x    x  r H  x  và E X I  X  x    x 2r H  x 
2

Với 1  k  mn và cnk  0 , ta có:



P X  cnk



1



1

r

nk

E X I X  cnk
2

 c Hc 
   c H  c 
nk

1

2 r

1

nk

nk

Nghĩa là:





mn



P Sn'    C 2  cnk H cnk
r

k 1

1

  C



2

Do đó:





P S n'    0 khi n   và   0 .
Vậy:
P
Sn' 
 0 khi n  

(1)

P
"

0
 Ta chứng minh: Sn 

Ta có:





 

P S   E S
"
n

1

"
n

 mn

"
"
  E   cnk X nk
 E  X nk

 k 1

1






10



1



mn

c
k 1

nk

E X

"
nk

  C  c E  X I  X  c 
1

mn

k 1

1

nk

nk



r
 o   cnk H  cnk  1   o
 k 1

mn

Vậy:
P
Sn'' 
 0 khi n  

(2)
Từ (1) và (2), ta được:
mn

c  X
k 1

nk

k

P
 E  X k   
 0 khi n  

Hệ quả 2.1.7. Cho dãy  X n ; n  1 như trong Định lý 2.1.6. Giả sử:

max cnk Dn1  0 khi n  .

1 k  mn

Với 1  r  2 , khi đó:

1 mn
P
cnk  X k  E  X k   
 0 khi n  

Dn k 1
Hệ quả 2.1.8. Cho dãy  X n ; n  1 như trong Định lý 2.1.6. Với 1  r  2 , khi đó:

1 mn
P
X k  E  X k   
 0 khi n  .


Dn k 1

Định lý 2.1.9. Cho  X n ; n  1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có mơ men cấp r vơ
hạn với 1  r  2 . Giả sử
P  X  x

 X n ; n  1

bị chặn bởi biến ngẫu nhiên X sao cho

x  r . Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 mảng số thực sao cho:
mn

c
k 1

nk

r

 0.

Khi đó:
mn

c  X
k 1

nk

k

P
 E  X k   
 0 khi n   .

Chứng minh. Với n  1, 1  k  mn , đặt:

X nk'  X k I  cnk X k  1 và X nk"  X k I  cnk X k  1 ;


11



mn

S   cnk X  E  X
'
n

k 1

'
nk

 và S   c  X
mn

"
n

'
nk

k 1

nk

"
nk

 E  X nk" 



P
'
0
 Ta chứng minh: Sn 

Với   0 , áp dụng Bất đẳng thức Chebyshev và Bổ đề 2.1.2 ta được:





2

 



' 2
nk

P S   E S



'
n

2

mn

c
k 1
mn

2
nk

E X



1



2



 C 2  P X  cnk
k 1

 mn

  E   cnk X nk'  E  X nk'  
 k 1


' 2
n



2

mn

c

2
nk

k 1





E X k I  cnk X k  1
2





mn

2
 C 2  cnk
E ( X 2 I X  cnk
k 1

cnk  0

2

1



cnk  0



C



2

n

c
k 1

r

nk

 0 khi n   .

P
"
0
 Ta chứng minh: Sn 

Ta có:





 

P S   E S

"
n

mn

1



"
n

 mn

"
"
  E   cnk X nk
 E  X nk

 k 1




1



mn

 

"
  1  cnk E X nk
 C 1  cnk E X I X  cnk
k 1

k 1



1



cnk  0

n

 C 1  cnk  0 khi n  
r

k 1

Hệ quả 2.1.10. Cho  X n ; n  1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có momen cấp r vô
hạn với 1  r  2 . Giả sử  X n ; n  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X sao cho

P  X  x

x r . Cho  bn ; n  1 là dãy số thực dương sao cho:

n1 r
0
n b
n

lim

Khi đó:

1 n
P
X k 
 0 khi n  

bn k 1
Ví dụ 2.1.11. Cho  X n ; n  1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập P  X n  0   1  cn r
và:


12

P  X n  x 

1

 x  cn 

r

với x  0

Khi r  0 ,  cn ; n  1 là dãy số dương sao cho: inf cn   c  1
Dễ dàng ta thấy,  X n ; n  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X được xác
định bởi P  X  0   1  c  r và:
P  X  x 

1

 x  c

r

x  r với x  0

Ví dụ 2.1.12. Cho  X , X n ; n  1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập với:



1 2r 

P X   2k 

  2k1 1  2k k  2

2 k

với k  , k  1 và r  0 .

Với 1  r  2 , ta có m  E  X    0;   và P  X  x 

P  X  m  x


2

x  r sao cho:

x r

Áp dụng Định lý 2.1.9 với mn  n và cnk  k 1 r  log n  l  n  , với l  n    khi

n 
n
1
1
P
X k  m  
 0 khi n   .

1r 
 log n  l  n  k 1 k

Hơn nữa, E X   với 0  s  r , áp dụng luật yếu Marcinkiewicz-Zygmund:
s

1
n1 r

n

 X
k 1

k

P
 m  
 0 khi n   .

Mặt khác, áp dụng Hệ quả 2.1.10, ta có:
n
1
P
 0 khi n   .
 X k  m 

1r
n l  n  k 1

Với l  n    khi n   .


13

2.2. LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT
Bổ đề 2.2.1. Cho X 1 , X 2 ,..., X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập trực giao có kì vọng
0. Khi đó tồn tại hằng số dương c không phụ thuộc n sao cho:

(1) E  max
 1 k  n



n

2
X

c
ln
4
n
E  X i2 





i

i 1
i 1



(2) E  max
 1k n

 n
X


i    E Xi
i 1
 i 1

2

k

k

Định lý 2.2.2. Cho 1  r  2 và  X n , n  1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi một
có mơ men cấp r vơ hạn. Giả sử dãy  X n , n  1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên





X và H  x   E X I X  x là hàm biến phân chậm ở  . Giả sử Tn , n  1 là dãy biến
r

ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, độc lập với ( X n , n  1), thỏa mãn:

P Tn  mn   0 khi n  
Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 là một dãy số thực sao cho:
 1
r
sup ln  4n   cnk H 
n
k 1
 cnk

mn

2


cnk  0 khi n  
   và 1max
 k  mn


Khi đó với 1  r  2 thì:
Tn

c  X
k 1

nk

nk

P
 E  X nk   
 0 khi n  

Chứng minh. Với n  1,1  k  mn
Đặt: X nk'  X nk I  cnk X nk  1 ; X nk''  X nk I  cnk X nk  1
'
"
"
Khi đó: X nk  X nk  X nk và E  X nk   E  X nk'   E  X nk


Tn



  ; S   c  X

Đặt: S   cnk X  E X
'
n

k 1

'
nk

'
nk

''
n

Tn

k 1

nk

"
nk

 E  X nk" 

'
"
Khi đó: Sn  Sn  Sn
P
 S n' 
0
 0 , ta chứng minh:  '' P
Để chứng minh Sn 
0
 S n 

P




14
P
'
0
 Đầu tiên ta chứng minh Sn 

Do ( X n , n  1) độc lập đôi một nên ( X nk'  E  X nk'  ,1  k  mn ) là dãy biến ngẫu nhiên
trực giao. Do đó, với 𝜀 > 0 bé tùy ý:

 Tn


P S    P   cnk X nk'  E  X nk'    
 k 1

   Tn



'
'
X nk  E  X nk      Tn  mn     P   cnk X nk'  E  X nk'      Tn  mn  
   k 1






  Tn
  P   cnk
  k 1







'
n






 P  max
 1l mn



c  X
l

k 1

nk

'
nk




 E  X nk'      P Tn  mn 




Với   0 , áp dụng bất đẳng thức Markov:


P S    2 E  max
 1l mn







'
n

1

c  X
l

k 1

nk

'
nk

 EX

'
nk



2


  P Tn  mn 



Ta được:





P Sn'   













P S  

k 1

2

 







2

 P Tn  mn 

ln 2  4n   cnk2 E X nk'  E  X nk'   P Tn  mn 
k 1

mn



2





ln 2  4n   cnk2 2 E  X nk' 2   E E  X nk' 2   P Tn  mn 

2

c



k 1

mn

ln 2  4n   cnk2 E  X nk' 2   P Tn  mn 
2

c



k 1

c



mn

2





ln  4n   cnk2 E X nk2 I  cnk X nk  1  P Tn  mn 
2

k 1

 2 
1
2
ln
4
n
c
E
X




nk  X nk I 
nk
2



cnk
k 1


cnk  0

c

Với q  2 và t 

'
n



mn

c



mn

ln 2  4n   E cnk X nk'  E  X nk' 
2

c

mn

2


   P Tn  mn 


1
(cnk  0) ta được:
cnk

 1 
 2 
1 
1 
2

ln
4
n
c
P
X


E
X
I
X







    P Tn  mn 


nk


 cnk2 
2
cnk 
c
k 1
nk

  


cnk  0
c

2

mn


15



 
1  2  2 
1 


ln
4
n
P
X


c
E
X
I
X







    P Tn  mn 

nk


 
2
cnk 
c
k 1
nk


  

c 0 
c

mn

2

nk

Với max cnk  0 thì
1 k  mn

1

cnk

Với   0 bé tùy ý và xn 

1
và   2 ta được:
cnk
 1

 1
H
   


r
c

 cnk
 nk


1
P  X 
cnk


 2 
1
E  X I  X 

cnk




 


 1

 1
H
    


2r
c

 cnk
nk



 


Thay vào biểu thức trên, ta được:



 1
r
ln
4
n
c
H




nk
2
k 1
 cnk

c 0



c

P S  
'
n

mn

2


  P Tn  mn 


nk

Khi n   và   0 thì:
P
Sn' 
 0 khi n  

(1)

P
"
0

 Tiếp theo ta chứng minh Sn 

Với   0 bé tùy ý:

 Tn

"
"
P S    P   cnk X nk
 E  X nk
 
 k 1

   Tn



"
"
"
"
X nk
 E  X nk



T

m


P
c
X

E
X



T

m




  n n     nk nk  nk   n n 
   k 1






  Tn
  P   cnk
  k 1







"
n






 P  max
 1l mn



c  X
l

k 1

nk

"
nk


 E  X nk"      P Tn  mn 




Áp dụng bất đẳng thức Markov:





P Sn"   
Ta được:

1 
E  max
  1l mn

c  X
l

k 1

nk

"
nk


 E  X nk"    P Tn  mn 







16



  E c X



nk

c



Với p  2 và t 





nk

mn



c

k 1
cnk  0

n

nk


1
E X nk I  X nk 
cnk



  P Tn  mn 


1
(cnk  0) ta được:
cnk



P S  
"
n

Với max cnk  0 thì
1 k  mn

Với xn 

nk

mn

1

n

E X nk I  cnk X nk  1  P Tn  mn 

c
k 1

"
nk

E  X nk"   P Tn  mn 

c

1



"

nk

nk

mn

1



 E  X nk"   P Tn  mn 

 E  X   E  E  X     P T  m 

mn

1

"
nk

E X nk"  E  X nk"   P Tn  mn 

c


k 1





mn

1

k 1



nk

k 1

k 1



mn

1

P S  
"
n

c



mn

c

nk

k 1
cnk  0



1
E  X I  X 

cnk




   P Tn  mn 


1

cnk

1
ta được:
cnk





P S n"   

 1 
r
cnk H 
  P Tn  mn   0
 k 1
c
nk


c 0
c

mn


nk

Vậy:
P
Sn" 
 0 khi n  

(2)
Từ (1) và (2) ta được:

Tn

c  X
k 1

nk

nk

P
 E  X nk   
 0 khi n  

Định lý 2.2.3. Cho 1  r  2 và ( X n , n  1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi một
có mơ men cấp r vô hạn. Giả sử ( X n , n  1) bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X


17

sao cho P  X  x 

x  r l  x  . Giả sử Tn , n  1 là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên

không âm, độc lập với ( X n , n  1), thỏa mãn:

P Tn  mn   0 khi n  
Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 là một dãy số thực thỏa mãn:
mn

c

k 1

r

nk

 1 
l 
  0
c
 nk 

Khi đó với 1  r  2 thì:
Tn

c  X
nk

k 1

nk

P
 E  X nk   
 0 khi n  

Chứng minh. Với n  1,1  k  mn
Đặt: X nk'  X nk I  cnk X nk  1 ; X nk''  X nk I  cnk X nk  1
'
"

"
Khi đó: X nk  X nk  X nk và E  X nk   E  X nk'   E  X nk




Tn

  ; S   c  X

Đặt: S   cnk X  E X
'
n

k 1

'
nk

Tn

''
n

'
nk

k 1

nk

''
nk

 E  X nk'' 



P
 S n' 
0
P
''
0
 S n 

P
 0 , ta chứng minh: 
Để chứng minh Sn 

P
'
0
 Đầu tiên ta chứng minh Sn 

Với   0 bé tùy ý:

 Tn

P S    P   cnk X nk'  E  X nk'    

 k 1

   Tn



X nk'  E  X nk'      Tn  mn     P   cnk X nk'  E  X nk'      Tn  mn  
   k 1






  Tn
  P   cnk
  k 1







'
n







l


 P  max  cnk X nk'  E  X nk'      P Tn  mn 
 1l mn k 1

Áp dụng bất đẳng thức Markov:




P S    2 E  max
 1l mn





'
n



1



l



 cnk X
k 1

'
nk

 EX

'
nk



2


  P Tn  mn 






18

Ta được:





P Sn'   


mn



 

ln 2  4n   E cnk X nk'  E  X nk' 
2

c

k 1



mn





2

 P Tn  mn 

ln 2  4n   cnk2 E X nk'  E  X nk'   P Tn  mn 
2

c

2


k 1
m
c 2
 2 ln  4n   cnk2 2 E  X nk' 2   E E  X nk' 2   P Tn  mn 

k 1
m
c 2
 2 ln  4n   cnk2 E  X nk' 2   P Tn  mn 

k 1
n







n




c







P S  



2





ln  4n   cnk2 E X nk2 I  cnk X nk  1  P Tn  mn 
k 1

 2 
1
2
ln

4
n
c
E
X




nk  X nk I 
nk
2



cnk
k 1


cnk  0
c

Với q  2 và t 

'
n

mn

2

mn

2


   P Tn  mn 


1
(cnk  0) ta được:
cnk

 1 
 2 
1 
1 
2

ln
4
n
c
P
X


E
X
I

X







    P Tn  mn 

nk


 cnk2 
2
cnk 
c
k 1
nk

  


cnk  0
c

mn

2

mn 

1  2  2 
1 
2

ln
4
n
P
X


c
E
X
I
X

    
 nk 

    P Tn  mn 

2
c
c
k 1
nk 
nk   




cnk  0 

c

Ta được:



P Sn'  

mn 
r  1
2
ln
4
n
    cnk l 
2

k 1 
 cnk
cnk  0



c


r  1
ln
4
n
c
l 




nk

2
k 1 
 cnk
cnk  0
c

2

mn

 2
  cnk cnk


r 2



r  1
  cnk l 

 cnk

 1 
l 
   P Tn  mn 
c
 nk  


   P Tn  mn 


mn
r  1 
2
ln
4
n
cnk l 


  P Tn  mn   0

2

c
k 1

nk


c 0

c

nk

Vậy:
(3)

P
Sn' 
 0 khi n  


19
P
"
0
 Tiếp theo ta chứng minh Sn 

Với   0 bé tùy ý:

 Tn

"
"
P S    P   cnk X nk

 E  X nk
 
 k 1

   Tn



"
"
"
"
X nk  E  X nk      Tn  mn     P   cnk X nk
 E  X nk
     Tn  mn 
   k 1






  Tn
  P   cnk
  k 1







"
n






 P  max
 1l mn



c  X
l

nk

k 1

"
nk




 E  X nk"      P Tn  mn 




Áp dụng bất đẳng thức Markov:





P Sn"   

1 
E  max
  1l mn

c  X
l

k 1

nk

"
nk


 E  X nk"    P Tn  mn 




Ta được:

  E c X





c


nk

k 1



mn

1

c


nk

k 1




Với p  2 và t 



1



mn

c



 E  X nk"   P Tn  mn 

"
nk

"
nk

n

n

E  X nk"   P Tn  mn 
E X nk I  cnk X nk  1  P Tn  mn 


1
E X nk I  X nk 
cnk


c

k 1
cnk  0

"
nk

 E  X   E  E  X     P T  m 

mn

1



nk

k 1

nk

k 1

mn

1

mn

1

P Sn"   

nk


  P Tn  mn 


1
(cnk  0) ta được:
cnk



P S  
"
n

c



mn

c

k 1
cnk  0

nk



1
E  X I  X 

cnk




   P Tn  mn 


Ta được:



P S 
"
n



c



mn



k 1
cnk  0

cnk cnk

r 1

 1 
l 
  P Tn  mn 
 cnk 