Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ): Phần 2 - Trường Đại học Vinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (467.72 KB, 134 trang )
CHƯƠNG 5
CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM
V.1. GIỚI THIỆU
Trong chương này chúng tơi trình bày những kết quả cơ bản của lý thuyết chuỗi
số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi lượng giác, mà chúng có nhiều ứng dụng trong
ngành tốn học khác và các ngành kỹ thuật, kinh tế,...
V.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số;
chuỗi hàm và miền hội tụ, chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.
V.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Trình bày được định nghĩa và các tính chất cơ bản của chuỗi số hội tụ.
2. Tính được tổng của một số chuỗi số đặc biệt.
3. Sử dụng được dấu hiệu hội tụ để xét sự hội tụ của chuỗi số dương.
4. Sử dụng được dấu hiệu Lepnit để xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu. Khảo
sát được sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số.
5. Trình bày được các khái niệm về miền hội tụ của chuỗi hàm, tổng của chuỗi
hàm.
6. Tìm được miền hội tụ của chuỗi hàm.
7. Tìm được bán kính hội tụ, miền hội tụ và tính được tổng của chuỗi lũy
thừa. Viết được khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa.
8. Trình bày được các khái niệm hệ số Fourier, chuỗi Fourier. Viết được khai
triển thành chuỗi Fourier của các hàm chẵn, lẻ, tuần hồn và khơng tuần hồn.
V.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
144
145
Giáo trình Giải tích
Trong chương này chúng ta trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản về
chuỗi số và chuỗi hàm số thực.
1
Chuỗi số
1.1
Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Cho dãy số thực {an }∞
n=1 . Ta gọi tổng hình thức
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
∞
∑
là một chuỗi số và ký hiệu là
(5.1)
an , an được gọi là số hạng thứ n của chuỗi số (5.1).
n=1
Với mỗi n = 1, 2, ... đặt
Sn = a1 + a2 + ... + an =
n
∑
ai
i=1
và gọi Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi số (5.1). Dãy {Sn } được gọi là dãy tổng riêng
của chuỗi (5.1).
Nếu tồn tại lim Sn = S hữu hạn thì chuỗi (5.1) được gọi là hội tụ và có tổng
n→∞
∞
∑
an = S.
bằng S. Khi đó ta ký hiệu
n=1
Nếu chuỗi khơng hội tụ thì nó được gọi là phân kỳ. Trong trường hợp lim Sn =
n→∞
∞
∑
an = ±∞.
±∞ thì ta viết là
n=1
∞
∑
Như vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó hội tụ trong R, và
an = S khi và chỉ khi lim Sn = S. Hơn nữa, nếu chuỗi (5.1) có tổng bằng S thì
n=1
với mỗi n = 1, 2, ... chuỗi
n→∞
∞
∑
ai cũng hội tụ và có tổng bằng S − Sn−1 .
i=n
1.1.2 Định nghĩa. Với mỗi n = 1, 2, ... ta đặt rn =
∞
∑
ai và gọi rn là phần dư
i=n+1
thứ n của chuỗi (5.1).
Như vậy nếu chuỗi (5.1) hội tụ và có tổng S thì rn = S − Sn hội tụ tới 0 khi
n → ∞.
146
1.1.3 Ví dụ. 1) Xét chuỗi số
Giáo trình Giải tích
∞
∑
1
n=1
n(n + 1)
. Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi là
1
1
1
+
+ ... +
1.2 2.3
n(n + 1)
1 1 1
1
1
1
= 1 − + − + ... + −
=1−
.
2 2 3
n n+1
n+1
Sn =
(
Từ đó ta có lim Sn = lim
n→∞
n→∞
1−
1 )
n+1
= 1. Vì vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng
bằng 1.
2) Xét chuỗi số
∞
1
∑
√ . Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi là
n
n=1
√
1
1
1
1
n
Sn = 1 + √ + ... + √ > √ + ... + √ = √ = n.
n
n
n
n
2
Vì vậy lim Sn = +∞. Do đó chuỗi phân kỳ.
n→∞
3) Xét chuỗi số
∞
∑
(−1)n . Dễ thấy dãy tổng riêng của chuỗi này có hai dãy con
n=1
S2n = 0 và S2n+1 = −1. Do đó dãy tổng riêng phân kỳ, kéo theo chuỗi phân kỳ.
∞
∑
q n (q ∈ R). Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi này là
4) Xét chuỗi số
n=1
n
n
q 1 − q
∑
Sn =
qi =
1−q
i=1
n
Vì vậy nếu |q| < 1 thì lim Sn =
n→∞
q
1−q
nếu q ̸= 1
nếu q = 1.
, hay chuỗi hội tụ. Nếu |q|
1 thì chuỗi phân
kỳ.
1.2
Một số tính chất của chuỗi hội tụ
Định lý sau cho ta một điều kiện cần để chuỗi hội tụ.
1.2.1 Định lý. Nếu chuỗi (5.1) hội tụ thì lim an = 0.
n→∞
Định lý trên cho chúng ta một dấu hiệu quen thuộc để nhận biết chuỗi phân
kỳ. Chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1],
[2], [3], [5] của chương 5.
147
1.2.2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số
Giáo trình Giải tích
∞
∑
1
n sin .
n
n=1
1
Ta có an = n sin . Vì vậy
n
lim an = lim n sin
n→∞
n→∞
sin 1
1
= lim 1 n = 1 ̸= 0.
n n→∞ n
Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.
1.2.3 Nhận xét. Định lý 1.2.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ
∞
∑
để chuỗi hội tụ. Ta có thể chỉ ra chuỗi số
an với lim an = 0 nhưng chuỗi phân
n→∞
n=1
kỳ. Chẳng hạn, chuỗi số
∞
1
∑
√ .
n
n=1
Định lý sau còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy, đưa ra một điều kiện cần và đủ để
chuỗi số hội tụ. Nó được suy ra từ định nghĩa sự hội tụ của chuỗi và tiêu chuẩn
Cauchy về dãy số hội tụ.
1.2.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số
∞
∑
an hội tụ khi và chỉ khi với mọi
n=1
ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho |an+1 + ... + an+p | < ε với mọi n
n0 và mọi p ∈ N.
Định lý sau đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Bạn đọc tự chứng minh.
1.2.5 Định lý. Nếu các chuỗi số
α ∈ R, thì các chuỗi
∞
∑
(an + bn ),
n=1
αa.
1.3
∞
∑
n=1
∞
∑
an ,
∞
∑
bn hội tụ, có tổng lần lượt là a, b và
n=1
αan cũng hội tụ và lần lượt có tổng là a + b,
n=1
Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ
Trong mục này chúng ta nghiên cứu lớp các chuỗi số dương, đối với loại chuỗi
này có nhiều dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của nó.
1.3.1 Định nghĩa. Chuỗi số
n ≥ 1.
∞
∑
an được gọi là chuỗi số dương nếu an > 0 với mọi
n=1
Nhận xét. Đối với chuỗi số dương, dãy tổng riêng của nó ln là dãy tăng. Do
∞
∑
đó nhờ tính chất của giới hạn ta suy ra chuỗi số dương
an hội tụ khi và chỉ khi
n=1
148
Giáo trình Giải tích
dãy các tổng riêng của nó bị chặn. Trong trường hợp chuỗi
∞
∑
an phân kỳ thì tổng
n=1
của chuỗi sẽ là +∞. Sau đây, chúng ta đưa ra một số dấu hiệu để nhận biết sự hội
tụ của các chuỗi số dương.
Định lý sau cho một phương pháp so sánh theo giới hạn, chứng minh của nó bạn
đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.3.2 Định lý. (Dấu hiệu so sánh 1) Cho các chuỗi số dương
∞
∑
bn . Giả sử
n=1
n=1
tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn l = lim
∞
∑
an ,
an
. Khi đó, ta có các kết luận sau:
bn
∞
∞
∑
∑
1) Nếu 0 < l < +∞ thì các chuỗi
an và
bn đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
n→∞
n=1
2) Nếu l = 0 và chuỗi
∞
∑
n=1
∞
∑
an hội tụ thì chuỗi
3) Nếu l = +∞ và chuỗi
bn hội tụ.
n=1
n=1
∞
∑
bn phân kỳ thì chuỗi
∞
∑
an phân kỳ.
n=1
n=1
Định lý sau đưa ra phương pháp so sánh theo bất đẳng thức.
1.3.3 Định lý. (Dấu hiệu so sánh 2) Cho các chuỗi số dương
tồn tại K > 0 và n0 ∈ N sao cho an K.bn , với mọi n
∞
∞
∑
∑
an hội tụ.
bn hội tụ thì chuỗi
1) Nếu chuỗi
2) Nếu chuỗi
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
an phân kỳ thì chuỗi
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
an ,
bn . Giả sử
n=1
n0 . Khi đó
bn phân kỳ.
n=1
∞ 1
∑
(với s là hằng số)
s
n=1 n
1 (xem Ví dụ 1.3.13). Nhờ tính chất này, chuỗi
1.3.4 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng chuỗi
hội tụ nếu s > 1 và phân kỳ nếu s
∞ 1
∑
thường được dùng làm chuẩn để so sánh, khi xét sự hội tụ hay phân kỳ của
s
n=1 n
các chuỗi số dương.
Bây giờ chúng ta đến với một vài ví dụ áp dụng dấu hiệu so sánh.
1.3.5 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1)
∞
∑
n=1
sin
1
nα
, (α > 0).
149
1
sin
Ta có
Giáo trình Giải tích
nα = 1. Vì vậy từ dấu hiệu so sánh 1 và sự hội tụ của chuỗi
1
lim
n→∞
nα
∞ 1
∞
1
∑
∑
ta
suy
ra
chuỗi
sin
hội tụ với α > 1 và phân kỳ với α
α
nα
n=1 n
n=1
2)
chuỗi
∞
∑
1
1
√
. Ta có
n(n + 1)
n=1
lim
n→∞
√
n
1
= 1. Do chuỗi
1.
∞ 1
∑
phân kỳ nên
n=1 n
n(n + 1)
∞
∑
1
√
phân kỳ.
n(n + 1)
n=1
1.3.6 Định lý. (Dalambert) Cho chuỗi số dương
∞
∑
an . Giả sử tồn tại giới hạn
n=1
hữu hạn hay vô hạn d = lim
an+1
. Khi đó
an
d < 1 thì chuỗi hội tụ;
n→∞
1) Nếu 0
2) Nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.3.7 Nhận xét. Nếu d = lim
an+1
= 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được tính
an
hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các dấu
n→∞
hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.
∞ n!an
∑
1.3.8 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
(a > 0).
n
n=1 n
Ta có an =
n!an
nn
và
an+1
= lim
n→∞
n→∞ an
(
d = lim
Vậy theo dấu hiệu Dalambert ta có.
- Với a < e tức là d < 1, thì chuỗi hội tụ.
-Với a > e tức là d > 1, thì chuỗi phân kỳ.
a
a
= .
e
1 )n
1+
n
150
Giáo trình Giải tích
-Với a = e tức là d = 1, thì chưa có kết luận.
)n
(
Tuy nhiên, từ bất đẳng thức 1 + n1 < e với mọi n ta nhận được
an+1
e
)n > 1
=(
an
1 + n1
với mọi n. Suy ra an+1 > an với mọi n. Do đó an > a1 = e với mọi n. Vì vậy
lim an ̸= 0. Do đó chuỗi phân kỳ.
n→∞
1.3.9 Định lý. (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương
√
hạn hữu hạn hay vô hạn c = lim n an . Khi đó
∞
∑
an . Giả sử tồn tại giới
n=1
n→∞
1) Nếu 0
c < 1 thì chuỗi hội tụ.
2) Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.3.10 Nhận xét. 1) Nếu c = lim
n→∞
√
n a
n = 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được
tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các
dấu hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.
√
2) Trong Định lý 1.3.9 nếu thay giới hạn c = lim n an bởi giới hạn trên c =
n→∞
√
lim n an thì kết luận của định lý vẫn cịn đúng.
n→∞
1.3.11 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:
∞ ( n − 1)n(n+1)
∑
1)
.
n=1 n + 1
Ta có an =
( n − 1)n(n+1)
n+1
và
( n − 1)n+1
(
2 )n+1
√
1
n
an = lim
= lim 1 −
= 2 < 1.
n→∞
n→∞ n + 1
n→∞
n+1
e
c = lim
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi số đã cho hội tụ.
)n
(
∞
2 + (−1)n
∑
.
2)
4n
n=1
Ta có
√
2 + (−1)n
3
n
an = lim
= < 1.
n→∞
n→∞
4
4
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ.
c = lim
151
Giáo trình Giải tích
1.3.12 Định lý. (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương
∞
∑
an . Giả sử
n=1
tồn tại hàm f (x) đơn điệu giảm và liên tục trên [a, +∞) với a 1 sao cho f (n) = an
∫+∞
với mỗi n = 1, 2, ... Khi đó nếu tích phân suy rộng
f (x)dx hội tụ (tương ứng
phân kỳ) chuỗi
∞
∑
a
an hội tụ (tương ứng phân kỳ).
n=1
Chứng minh của định lý này bạn đọc tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],
[2], [3], [5] của chương 5. Chúng ta đến với một ví dụ áp dụng của nó.
∞ 1
∑
(s ∈ R).
s
n=1 n
1.3.13 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
- Với s < 0 ta có lim
n→∞
1
ns
= +∞, nhờ điều kiện cần để chuỗi hội tụ ta suy ra
chuỗi phân kỳ.
- Với s = 0 thì dễ thấy chuỗi đã cho phân kỳ.
- Với s > 0 ta xét hàm số f (x) =
1
trên [1, +∞). Ta có f ′ (x) =
−s
< 0 với
xs+1
1
mọi x 1. Do vậy f (x) đơn điệu giảm trên [1, +∞). Hơn nữa an = s = f (n) với
n
mỗi n = 1, 2, .... Mặt khác ta có
(
A)
1
∫ ∞
∫ A
lim
nếu s ̸= 1
dx
dx
s−1 1
= lim
= A→∞ ( (1 − s)x
s
s
)
A→∞ 1 x
A
x
1
lim ln x
nếu s = 1.
xs
A→∞
Từ đó suy ra
∫
1
∞
1
1
dx
nếu
= s−1
s
x
+∞ nếu
Vì vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy chuỗi
kỳ nếu s ≤ 1.
1.4
s>1
0
1.
∞ 1
∑
hội tụ nếu s > 1 và phân
s
n=1 n
Chuỗi có dấu tuỳ ý
Trước hết ta xét một trường hợp đặc biệt của chuỗi có dấu bất kỳ là chuỗi đan
dấu, đó là trường hợp các số hạng của chuỗi lần lượt nhận dấu dương rồi dấu âm,
152
Giáo trình Giải tích
hoặc lần lượt nhận dấu âm rồi dấu dương.
1.4.1 Định nghĩa. Cho {an } là dãy số dương. Chuỗi số có dạng
(hoặc
∞
∑
∞
∑
(−1)n−1 an
n=1
(−1)n an ) được gọi là chuỗi đan dấu.
n=1
Sự hội tụ của chuỗi đan dấu thường được nhận biết bởi dấu hiệu sau.
1.4.2 Định lý. (Dấu hiệu Leibnitz) Nếu an là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn)
∞
∑
(−1)n−1 an hội tụ.
và lim an = 0 thì chuỗi đan dấu
n→∞
n=1
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.4.3 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
1)
∞ (−1)n−1
∑
.
n=1 2n − 1
Ta có an =
1
>
1
2n − 1
2n + 1
hiệu Leibnitz thì chuỗi hội tụ.
(1
)
∞
∑
sin
2)
+ nπ .
n
n=1
= an+1 với mọi n và lim
n→∞
1
2n − 1
= 0. Theo dấu
)
1
1
+ nπ = (−1)n sin và vì dãy {an } với an = sin là dãy đơn điệu
n
n
n
giảm hội tụ về 0. Do đó theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi đã cho hội tụ.
Ta có sin
(1
1.4.4 Định nghĩa. Chuỗi số
∞
∑
an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
n=1
∞
∑
|an |
n=1
hội tụ. Một chuỗi hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện
hay bán hội tụ.
Nhận xét. Dùng tiêu chuẩn Cauchy bạn đọc có thể chứng minh được mọi chuỗi
hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Điều ngược lại nói chung là khơng đúng.
1.4.5 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Với p
0 ta có lim
(−1)n−1
n→∞
Với p > 1 ta có chuỗi
np
∞ (−1)n−1
∑
với p ∈ R.
np
n=1
̸= 0. Do đó chuỗi phân kỳ.
∞ (−1)n−1
∞ 1
∑
∑
hội
tụ,
tức
là
chuỗi
hội tụ tuyệt đối.
p
np
n=1
n=1 n
153
Giáo trình Giải tích
∞ 1
∞ (−1)n−1
∑
∑
Với 0 < p 1 ta có chuỗi
phân kỳ, tức là chuỗi
khơng hội tụ
p
np
n=1 n
n=1
∞ (−1)n−1
∑
tuyệt đối. Tuy nhiên trong trường hợp này dễ thấy chuỗi
hội tụ theo
np
n=1
dấu hiệu Leibnitz. Như vậy chuỗi này bán hội tụ.
1.4.6 Định lý. (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử
∞
∑
an có dãy tổng riêng bị chặn, nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho
1) Chuỗi
n=1
|a1 + a2 + .... + an | < M với mọi n,
2) bn là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn ) và lim bn = 0.
n→∞
Khi đó, chuỗi số
∞
∑
an bn hội tụ.
n=1
1.4.7 Định lý. (Dấu hiệu Abel) Giả sử
∞
∑
an hội tụ
1) Chuỗi
n=1
2) bn là dãy số đơn điệu và bị chặn.
∞
∑
an bn hội tụ.
Khi đó, chuỗi số
n=1
Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo
[1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.4.8 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Ta có
n
∑
cos kx =
k=1
Vì vậy
n
∑
cos 2k =
k=1
với mọi n. Như vậy, chuỗi
∞
∑
∞ cos 2n
∑
.
n
n=1
1 (
x
x)
sin(2n
+
1)
−
sin
.
2 sin x2
2
2
)
1
1
(sin(2n + 1) − sin 1 <
2 sin 1
sin 1
cos 2n có dãy tổng riêng bị chặn. Mặt khác bn =
n=1
đơn điệu giảm về 0. Theo dấu hiệu Dirichlet thì chuỗi
∞ cos 2n
∑
hội tụ.
n
n=1
1
n
154
2
Giáo trình Giải tích
Chuỗi hàm
2.1
Các khái niệm và tính chất cơ bản
2.1.1 Định nghĩa. Cho X ⊆ R. Ký hiệu A là tập hợp tất cả các hàm số xác định
trên X và N∗ = {1, 2, ...} Ta gọi mỗi ánh xạ f : N∗ → A đặt tương ứng mỗi n ∈ N∗
với một hàm f (n) ∈ A là một dãy hàm xác định trên X.
Ta ký hiệu dãy hàm này là {fn (x)} hay
f1 (x), f2 (x), ...,
(5.2)
trong đó fn (x) = f (n).
Trong một số trường hợp dãy hàm còn được ký hiệu gọn là {fn } hay f1 , f2 , ...
2.1.2 Định nghĩa. Cho dãy hàm {fn } xác định trên X ⊆ R. Ta gọi tổng hình
thức
f1 (x) + f2 (x) + ...
∞
∞
∑
∑
fn .
fn (x) hay
là một chuỗi hàm và ký hiệu là
(5.3)
n=1
n=1
Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) nếu chuỗi số
∞
∑
fn (x0 )
n=1
hội tụ.
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) được gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm (5.3).
Giả sử chuỗi hàm
∞
∑
fn (x) có miền hội tụ A ⊆ X. Với mỗi x ∈ A đặt
n=1
S(x) = lim
n→∞
Khi đó, chuỗi hàm
tổng của chuỗi hàm
∞
∑
n
∑
fi (x).
i=1
fn (x) được gọi là hội tụ đến S(x) trên A, S(x) được gọi là
n=1
∞
∑
fn (x) trên A và ký hiệu là
n=1
∞
∑
fn = S trên A.
n=1
∞ xn
∑
2.1.3 Ví dụ. Xét chuỗi hàm
.
n
n=1 2
Nếu
x
2
∞ xn
∑
1 thì lim n =
̸ 0. Do đó chuỗi
phân kỳ.
n
n→∞ 2
n=1 2
xn
155
Giáo trình Giải tích
∞ xn
∑
Nếu
< 1 thì chuỗi
hội tụ tuyệt đối theo dấu hiệu Cauchy. Vì vậy chuỗi
n
2
n=1 2
đã cho hội tụ và
x
S(x) =
∞
∑
n=1
x
n (
∑
n
2n
= lim
n→∞
i=1
x )i
2
= lim
n→∞
x1−
( x )n
2
1−
2
x
=
x
.
2−x
2
Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là −2 < x < 2 và tổng của chuỗi trên miền hội
x
tụ là S(x) =
.
2−x
∞
∑
2.1.4 Định nghĩa. Cho chuỗi hàm
fn (x) trên X ⊆ R, hội tụ đến hàm S(x)
n=1
trên X0 ⊆ X. Với mỗi x ∈ X0 đặt
Sn (x) = f1 (x) + .... + fn (x) =
n
∑
fk (x), n = 1, 2...
k=1
và
rn (x) = S(x) − Sn (x) =
∞
∑
fk (x).
k=n+1
Khi đó, các dãy hàm {Sn (x)}, {rn (x)} lần lượt được gọi là dãy tổng riêng và dãy
phần dư của chuỗi hàm (5.3). Hơn nữa dãy hàm {Sn } hội tụ đến S trên X0 .
2.2
Sự hội tụ đều và các dấu hiệu hội tụ
2.2.1 Định nghĩa. Chuỗi hàm
∞
∑
fn (x) được gọi là hội tụ đều đến hàm S(x) trên
n=1
tập A ⊆ X0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n > n0 ta có
|S(x) − Sn (x)| < ε với mọi x ∈ A.
Một cách tương đương, chuỗi hàm
∞
∑
fn (x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi với
n=1
mọi ε > 0 tồn tại n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n > n0 , với mọi x ∈ A thì
|rn (x)| < ε.
2.2.2 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa ta suy ra nếu chuỗi hàm
∞
∑
fn (x) hội tụ đều
n=1
đến S(x) trên A thì hội tụ đến S(x) trên A. Điều ngược lại là không đúng.
∞
∑
2) Chuỗi hàm
fn (x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi lim sup |rn (x)| = 0.
n=1
n→∞ x∈A
156
2.2.3 Ví dụ. Xét chuỗi hàm
∞
∑
Giáo trình Giải tích
xn . Ta thấy chuỗi này hội tụ đến S(x) =
1
1−x
n=0
trên (0, 1). Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều đến S(x) trên (0, 1). Thật vậy, ta có
∞
∑
rn (x) =
xk =
k=n+1
xn+1
, ∀x ∈ (0, 1).
1−x
Vì vậy, với mỗi n ≥ 1 bằng cách chọn xn = 1 −
1
n
∈ (0, 1) ta có
(
1 )n+1
xn+1
≥ lim n 1 −
= +∞.
n→∞ x∈(0,1) 1 − x
n→∞
n
lim sup |rn (x)| = lim sup
n→∞ x∈(0,1)
∞
∑
Do đó chuỗi
xn không hội tụ đều đến S(x) =
n=0
1
1−x
trên (0, 1).
Định lý sau đây còn được gọi là tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của chuỗi
hàm.
2.2.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm
∞
∑
fn (x) hội tụ đều trên A khi
n=1
và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n ≥ n0 và
mọi p ∈ N ta có
|fn+1 (x) + ... + fn+p (x)| < ε, ∀x ∈ A.
Sau đây là một số dấu hiệu nhận biết sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà chứng
minh của chúng bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5]
của chương 5.
2.2.5 Định lý. (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm
∞
∑
fn (x). Nếu
n=1
1) |fn (x)|
an với mọi x ∈ A và với mọi n
n0 , (n0 là một số tự nhiên cố
định),
2) Chuỗi số
∞
∑
an hội tụ,
n=1
thì
∞
∑
fn (x) hội tụ đều trên A.
n=1
2.2.6 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm
∞ nx sin nx
∑
trên R.
5 2
n=0 1 + n x
Ta có
nx sin nx
1+
n5 x2
|nx|
1+
n5 x2
1
2n
3
2
, với mọi x ∈ R, với mọi n ∈ N∗ .
157
Vì chuỗi số
∞
1
∑
3
2
n=0 2n
hội tụ đều trên R.
Giáo trình Giải tích
hội tụ, nhờ dấu hiệu Weierstrass ta suy ra chuỗi hàm
∞ nx sin nx
∑
5 2
n=0 1 + n x
2.2.7 Định lý. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho các dãy hàm {fn }, {gn } xác định trên
A ⊆ R. Giả sử
1) Dãy tổng riêng của chuỗi
∞
∑
fn (x) bị chặn đều trên A, tức là tồn tại M > 0
n=1
sao cho
n
∑
fk (x)
M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2, ...
k=1
2) Dãy số {gn (x)} đơn điệu giảm với mỗi x ∈ A và {gn } hội tụ đều đến 0 trên
A.
Khi đó, chuỗi hàm
∞
∑
fn (x)gn (x) hội tụ đều trên A.
n=1
2.2.8 Định lý. (Dấu hiệu Abel). Cho các dãy hàm {fn }, {gn } xác định trên A ⊆ R.
Giả sử
1) Chuỗi hàm
∞
∑
fn (x) hội tụ đều trên A.
n=1
2) Dãy số {gn (x)} đơn điệu với mỗi x ∈ A và {gn } bị chặn đều trên A, tức là
tồn tại M > 0 sao cho
|gn (x)|
Khi đó, chuỗi hàm
∞
∑
M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2, ...
fn (x)gn (x) hội tụ đều trên A.
n=1
Tiếp theo chúng ta trình bày các tính chất cơ bản của tổng chuỗi hàm.
Ta đã biết tổng của hữu hạn các hàm liên tục trên A là một hàm liên tục trên
A. Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để điều trên đúng cho tổng vô hạn.
2.2.9 Định lý. (Tính liên tục) Cho A ⊆ R và dãy hàm {fn } xác định trên A. Nếu
1) fn là hàm liên tục trên A với mỗi n = 1, 2, ...,
∞
∑
2) Chuỗi hàm
fn (x) hội tụ đều đến hàm S(x) trên A,
n=1
thì S là hàm liên tục trên A.
Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi
hàm.
158
Giáo trình Giải tích
2.2.10 Định lý. (Tính khả vi) Cho dãy hàm {fn } xác định trên (a, b). Nếu
1) fn là hàm liên tục trên (a, b) với mỗi n = 1, 2, ...,
∞
∑
2) Chuỗi hàm
fn (x) hội tụ đến hàm S(x) trên (a, b),
3) Chuỗi hàm
n=1
∞
∑
fn′ (x) hội tụ đều trên (a, b),
n=1
thì S là hàm khả vi trên (a, b) và
′
S (x) =
∞
(∑
n=1
∞
)′ ∑
fn (x) =
fn′ (x)
n=1
với mọi x ∈ (a, b).
Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy tích phân từng số hạng của chuỗi
hàm.
2.2.11 Định lý. (Tính khả tích) Cho dãy hàm {fn } xác định trên [a, b]. Nếu
1) fn là hàm liên tục trên [a, b] với mỗi n = 1, 2, ...,
∞
∑
fn (x) hội tụ đến hàm S(x) trên [a, b],
2) Chuỗi hàm
n=1
thì S là hàm khả tích trên [a, b] và
∫ b
∫ b(∑
∞
∞ ∫ b
)
∑
S(x)dx =
fn (x) dx =
fn (x)dx.
a
a
n=1
n=1
a
Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3
Chuỗi luỹ thừa
3.1
Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa
3.1.1 Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng
x0 , a0 , a1 , a2 , ... ∈ R.
∞
∑
an (x − x0 )n , trong đó
n=0
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi luỹ thừa. Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ
tại tâm của nó.
Nếu đặt y = x − x0 thì chuỗi luỹ thừa được đưa về dạng
∞
∑
n=0
y = 0.
an y n có tâm tại
159
Giáo trình Giải tích
3.1.2 Bổ đề. (Abel) Cho chuỗi luỹ thừa
∞
∑
an xn .
(5.4)
n=0
Khi đó
1) Nếu chuỗi (5.4) hội tụ tại x0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x mà
|x| < |x0 |.
2) Nếu chuỗi (5.4) phân kỳ tại x1 thì nó phân kỳ tại mọi điểm x mà |x| > |x1 |.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3.1.3 Nhận xét. Gọi A là miền hội tụ của chuỗi (5.4). Hiển nhiên chuỗi hội tụ tại
x = 0. Do đó A ̸= ϕ và nếu đặt
R = sup{x : x ∈ A}
thì R
0.
Ta dễ dàng đưa ra các ví dụ về chuỗi (5.4) mà R = 0, R < ∞ và R = +∞ (chuỗi
hội tụ trên toàn R). Từ Bổ đề Abel ta chứng minh được rằng nếu R > 0 thì
1) Chuỗi (5.4) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (−R, R) và hội tụ đều trong mỗi
đoạn [a, b] ⊂ (−R, R).
2) Chuỗi (5.4) phân kỳ tại mỗi x mà |x| > R.
3.1.4 Định nghĩa. Số R ∈ [0, +∞) trong Nhận xét 3.1.3 được gọi là bán kính hội
tụ của chuỗi luỹ thừa (5.4). Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi
luỹ thừa (5.4)
Định lý sau cho ta cách tính bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
∞
∑
3.1.5 Định lý. (Cauchy- Hadamard) Cho chuỗi luỹ thừa
an xn . Giả sử rằng
n=0
√
an+1
n
).
|an | (hoặc ρ = lim
n→∞
n→∞
an
ρ = lim
Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi được tính theo cơng thức sau
1
nếu 0 < ρ < +∞
ρ
R=
+∞ nếu ρ = 0
0
nếu ρ = +∞.
160
Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3.1.6 Ví dụ. Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
(−1)n ( 1 − x)n
n=0
n
1+x
.
∞ (−1)n
1−x
∑
Giải. Đặt u =
, (với x ̸= −1). Ta thu được chuỗi lũy thừa
un . Bán
1+x
n
n=0
kính hội tụ của chuỗi trên là
an
n+1
= lim
= 1.
n→∞
an+1
n
R = lim
n→∞
Khoảng hội tụ của chuỗi là (−1, 1).
Với u = 1 ta thu được chuỗi
∞ (−1)n
∑
hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.
n
n=0
Với u = −1 ta thu được chuỗi
∞ 1
∑
phân kỳ.
n=0 n
∞ (−1)n
∑
Do đó miền hội tụ của chuỗi
un là −1 < u 1. Trở lại với chuỗi ban
n
n=0
đầu, miền hội tụ của chuỗi là tập những x ∈ R thoả mãn
−1 <
1−x
1+x
1.
Giải hệ bất phương trình trên ta thu được miền hội tụ của chuỗi ban đầu là [0, +∞).
3.2
Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa
Các kết quả này suy từ các tính chất tương ứng của tổng chuỗi hàm và tính
hội tụ đều của chuỗi lũy thừa trên các đoạn [−r, r] ⊂ (−R, R).
3.2.1 Định lý. (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa
∞
∑
an xn có bán kính hội tụ
n=0
R > 0. Khi đó tổng S(x) của nó liên tục trên khoảng hội tụ (−R, R)
3.2.2 Định lý. (Tính liên tục tại điểm mút) Giả sử chuỗi lũy thừa
∞
∑
an xn có bán
n=0
kính hội tụ R > 0. Khi đó
1) Nếu chuỗi hội tụ tại x = R thì tổng S(x) liên tục trái tại x = R, tức là
lim S(x) = S(R).
x→R−
161
Giáo trình Giải tích
2) Nếu chuỗi hội tụ tại x = −R thì tổng S(x) liên tục phải tại x = R, tức là
lim S(x) = S(−R).
x→−R+
3.2.3 Định lý. (Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa
∞
∑
an xn có bán
n=0
kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x) của nó khả tích trên mọi đoạn [a, b] trong
khoảng hội tụ (−R, R) và
∫b
S(x)dx =
∞
∑
∫b
n=0
a
xn dx.
an
a
Đặc biệt, nếu x ∈ (−R, R) thì
∫x
S(t)dt =
∞
∑
an
n=0
0
xn+1
.
n+1
3.2.4 Định lý. (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa
∞
∑
an xn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó
n=0
1) Chuỗi
∞
∑
nan xn−1 cũng có bán kính hội tụ là R.
n=0
2) Tổng S(x) là hàm khả vi trong khoảng (−R, R) và
′
S (x) =
∞
∑
nan xn−1 .
n=0
Chứng minh của những định lý trên bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu
tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3.2.5 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng trên miền hội tụ của chuỗi
∞
∑
xn
n=0
n2n
.
∞ un
x
∑
Giải. Đặt u = . Ta thu được chuỗi
. Dễ dàng tìm được bán kính hội tụ của
2
n=0 n
chuỗi vừa nhận được R = 1 và miền hội tụ −1
u < 1. Do vậy miền hội tụ của
chuỗi ban đầu là −2
x < 2.
∞ un
∑
. Khoảng hội tụ của nó là (−1, 1).
n=0 n
Lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ta có
Tiếp theo ta tính tổng S(u) của chuỗi
S ′ (u) =
∞
∑
n=1
un−1 =
1
1−u
162
Giáo trình Giải tích
với mọi u ∈ (−1, 1). Suy ra
∫
S(u) =
du
= − ln |1 − u| + C
1−u
trong đó C là một hằng số cần tìm. Để ý rằng S(0) = 0, vì vậy
0 = − ln 1 + C,
hay C = 0. Do đó S(u) = − ln(1 − u).
Theo Định lý 3.2.2 ta có
S(−1) = lim + S(u) = lim + − ln |1 − u| = − ln 2.
u→−1
u→−1
Như vậy
S(u) = − ln(1 − u), u ∈ [−1, 1).
Thay u =
x
2
ta nhận được
S(x) = − ln 1 −
3.3
x
2
, với mọi x ∈ [−2, 2).
Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa
3.3.1 Định nghĩa. Cho hàm f xác định trong (a, b). Ta nói rằng hàm f khai triển
được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại δ > 0 và
dãy {an } sao cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) và với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ta có đẳng
thức
f (x) =
∞
∑
an (x − x0 )n .
n=0
3.3.2 Định nghĩa. Giả sử f là hàm xác định và khả vi vô hạn lần trên (a, b) và
x0 ∈ (a, b). Khi đó chuỗi
f ′ (x0 )
f (n) (x0 )
f (x0 ) +
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + ...
1!
n!
∞
(n)
∑
f (x0 )
(x − x0 )n
=
n!
n=0
(5.5)
được gọi là chuỗi Taylor của hàm f . Chuỗi Taylor với tâm tại x0 = 0 được gọi là
chuỗi Maclaurin.
163
Giáo trình Giải tích
Ta có định lý sau.
3.3.3 Định lý. Giả sử f là hàm xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Nếu hàm f được
khai triển thành chuỗi lũy thừa
f (x) =
∞
∑
an (x − x0 )n
(5.6)
n=0
trong lân cận của x0 thì trong lân cận này f khả vi vô hạn lần và chuỗi (5.6) là
chuỗi Taylor của nó, tức là các hệ số của nó được tính theo cơng thức
f (n) (x0 )
an =
, n = 0, 1, ...
n!
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
Từ Định lý 3.3.3 ta suy ra hệ quả sau.
3.3.4 Hệ quả. Phép khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của điểm
cho trước là duy nhất.
Tiếp theo ta nghiên cứu các lớp hàm có thể khai triển được thành chuỗi lũy
thừa trong một lân cận của điểm nào đó. Từ định lý trên ta thấy nếu hàm khai
triển được thành chuỗi lũy thừa thì nó khả vi vơ hạn lần và chuỗi khai triển chính
là chuỗi Taylor của hàm tại điểm đó. Ta biết rằng nếu hàm khả vi vô hạn lần trong
lân cận của x0 thì nó tồn tại chuỗi Taylor. Vấn đề đặt ra là phải chăng mọi hàm
khả vi vô hạn lần trong lân cận của điểm x0 đều có thể khai triển thành chuỗi lũy
thừa? Câu trả lời là phủ định. Chẳng hạn, xét hàm
e− x12 nếu x ̸= 0
f (x) =
0
nếu x = 0.
Ta thấy hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận tùy ý của 0. Hơn nữa
f (n) (0) = 0
với mọi n. Do đó chuỗi Taylor của f tại 0 là
f (x) = 0 + 0x + 0x2 + ... + 0xn + ...
Rõ ràng tổng của chuỗi đồng nhất bằng 0 trong mọi lận cận của 0. Do đó nếu f
khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của 0 thì chuỗi đó phải
đồng nhất bằng 0 trong lân cận đó. Điều này mâu thuẫn với f (x) ̸= 0 với x ̸= 0.
Định lý sau cho một điều kiện đủ để khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa. Bạn
đọc tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
164
Giáo trình Giải tích
3.3.5 Định lý. Giả sử f là hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng (x0 − R, x0 + R).
Nếu đạo hàm các cấp của f bị chặn trong khoảng (x0 − R, x0 + R) thì f khai triển
thành chuỗi lũy thừa trên (x0 − R, x0 + R).
Sau đây ta trình bày một vài ví dụ về khai triển thành chuỗi lũy thừa của một
vài hàm sơ cấp cơ bản.
3.3.6 Ví dụ. 1) f (x) = sin x. Vì hàm sin x khả vi vô hạn lần trên R, và
|f (n) (x)| = | sin(x +
nπ
)|
2
1, ∀x ∈ R, n = 0, 1, 2, ...
nên khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của hàm là
sin x = x −
x3
x2n+1
+ ... + (−1)n
+ ..., ∀x ∈ R.
3!
(2n + 1)!
Tương tự có các khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của các hàm cos x, ex ,
và ln(1 + x) như sau
cos x = 1 −
x2
x2n
+ ... + (−1)n
+ ..., ∀x ∈ R;
2!
(2n)!
ex = 1 + x +
x2
xn
+ ... +
+ ..., ∀x ∈ R;
2!
n!
1
= 1 + x + x2 + ... + xn + ..., ∀x ∈ (−1, 1);
1−x
và
ln(1 + x) = x −
1
1−x
(5.8)
(5.9)
(5.10)
x2 x3
xn
+
− ... + (−1)n−1 + ..., ∀x ∈ (−1, 1).
2
3
n
3.3.7 Ví dụ. Khai triển hàm f (x) =
1
x+3
thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của
điểm x = 1.
Ta có
1
1
f (x) =
=
x+3 4
1 ∑ ( 1 − x )n ∑ (−1)n
=
=
(x − 1)n
n+1
4
4
4
1−x
n=0
n=0
∞
1
1−
với x ∈ (−3, 5).
(5.7)
4
∞
165
4
Giáo trình Giải tích
Chuỗi Fourier
4.1
Chuỗi lượng giác
Trước hết chúng tơi nhắc lại một số kiến thức về hàm số tuần hồn cần dùng
cho các trình bày về sau.
4.1.1 Định nghĩa. Hàm f : R → R được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T nếu tồn
tại T ̸= 0 sao cho
f (x + T ) = f (x), với mọi x ∈ R.
Như đã biết hàm sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π, hàm tan x tuần hoàn với
chu kỳ π.
4.1.2 Nhận xét. 1) Nếu f tuần hồn với chu kỳ T thì với mọi số nguyên k ̸= 0 ta
có kT cũng là chu kỳ của f .
2) Nếu T1 , T2 là chu kỳ của f thì T1 ± T2 cũng là chu kỳ của f .
3) Nếu hàm f có chu kỳ T thì hàm g(x) = f (nx) (n ̸= 0) có chu kỳ là
T
n
.
Sau đây là một tính chất quan trọng của hàm tuần hồn mà chứng minh của nó
bạn đọc có thể tìm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
4.1.3 Tính chất. Tích phân của hàm tuần hoàn với chu kỳ T trên các đoạn có độ
dài bằng T có giá trị khơng phụ thuộc vào ví trí của đoạn đó trên trục số.
4.1.4 Định nghĩa. Chuỗi có dạng
a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ...
∞
∑
+ (an cos nx + bn sin nx) + ... = a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
(5.11)
n=1
được gọi là chuỗi lượng giác, trong đó a0 , a1 , b1 , ..., an , bn , ... là các hằng số thực.
4.1.5 Nhận xét. Các số hạng của chuỗi (5.11) là những hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2π. Như vậy nếu chuỗi hội tụ trên R thì tổng của nó cũng là hàm tuần hồn với
chu kỳ 2π.
Từ dấu hiệu Weierstrass ta dễ dàng suy ra kết quả sau.
166
∞
∑
4.1.6 Định lý. Nếu chuỗi số
Giáo trình Giải tích
(|an | + |bn |) hội tụ thì chuỗi (5.11) hội tụ tuyệt
n=1
đối và đều trên R.
4.1.7 Định nghĩa. Hệ vô hạn các hàm
1, cos x, sin x, ..., sin nx, cos nx, ...
(5.12)
được gọi là hệ hàm lượng giác cơ sở.
4.1.8 Định nghĩa. Hai hàm φ(x) và ψ(x) được gọi là trực giao trên đoạn [a, b] ⊂ R
∫b
φ(x)ψ(x)dx = 0.
nếu
a
Ta có mệnh đề sau.
4.1.9 Mệnh đề. Các hàm của hệ lượng giác cơ sở (5.12) là đôi một trực giao với
nhau trên [−π, π].
Chứng minh của mệnh đề này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
4.1.10 Ví dụ. Từ Tính chất của hàm tuần hồn và mệnh đề trên ta suy ra các
hàm của hệ hàm lượng giác cơ sở là trực giao trên đoạn [a, a + 2π] với mọi a ∈ R.
4.2
Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier
Đầu tiên ta nghiên cứu khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. Ta
cần định lý sau.
4.2.1 Định lý. Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và thỏa mãn đẳng
thức
f (x) =
a0
2
+
∞ (
∑
)
an cos nx + bn sin nx
(5.13)
n=1
với mọi x ∈ R, trong đó chuỗi ở vế phải của (5.13) hội tụ đều trên R. Khi đó
∫π
1
a0 =
f (x)dx
π
−π
1
an =
π
bn =
1
π
∫π
f (x) cos nxdx n = 1, 2, ...
−π
∫π
f (x) sin nxdx n = 1, 2, ....
−π
(5.14)
167
Giáo trình Giải tích
Các số a0 , an , bn được gọi là hệ số Fourier của hàm f .
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].
4.2.2 Định nghĩa. 1) Chuỗi lượng giác với các hệ số xác định như trong Định lý
4.2.1 được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .
2) Nếu hàm f thỏa mãn đẳng thức
f (x) =
a0
2
+
∞ (
∑
)
an cos nx + bn sin nx
n=1
với các hệ số a0 , an , bn được xác định như trong Định lý 4.2.1 thì ta nói f khai triển
được thành chuỗi Fourier của nó.
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với điều kiện nào của hàm f tuần hồn với
chu kỳ 2π trên R thì nó khai triển được thành chuỗi Fourier. Ta công nhận kết quả
sau của Dirichlet về điều kiện đủ để hàm khai triển được thành chuỗi Fourier.
4.2.3 Định lý. Giả sử rằng
i) f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π,
ii) f và f ′ là các hàm liên tục trừ ra đếm được điểm gián đoạn.
Khi đó, chuỗi Fourier của hàm f hội tụ tại mọi x đến tổng S(x) và
a) S(x) = f (x) tại các điểm liên tục của f ,
b) S(x) =
f (x + 0) + f (x − 0)
tại các điểm f gián đoạn,
2
c) Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm x thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối và
đều.
4.2.4 Nhận xét. 1) Nếu hàm f được cho trên đoạn [−π, π] và điều kiện i) được
thỏa mãn thì f (−π) = f (π).
2) Nếu hàm f đã cho liên tục trên [−π, π] và thỏa mãn f (−π) = f (π) thì nhờ
mở rộng tuần hồn ta thu được hàm f liên tục trên R. Trong hầu hết các trường
hợp khác mở rộng tuần hoàn là hàm gián đoạn.
4.3
Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ
Từ tính chất của hàm chẵn và lẻ ta dễ dàng thu được kết quả sau.
168
Giáo trình Giải tích
4.3.1 Định lý. Giả sử f thỏa mãn các điều kiện của Đinh lý 4.2.3. Khi đó
1) Nếu f là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó có dạng
a0
2
+
∞
∑
an cos nx.
(5.15)
n=1
2) Nếu f là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của nó có dạng
∞
∑
bn sin nx.
(5.16)
n=1
4.3.2 Ví dụ. Khai triển Fourier hàm f (x) = |x|, x ∈ [−π, π].
Giải. Hàm f (x) = |x| là hàm chẵn, đồ thị của f và thác triển tuần hoàn của nó
được mơ tả như Hình 5.1. Dễ thấy f thoả mãn các điều kiện của Định lý 4.2.3, vì
vậy f khai triển được thành chuỗi Fourier. Vì f chẵn nên các hệ số Fourier được
tính theo cơng thức:
bn = 0,
với mọi n ≥ 1,
∫ π
∫
1
2 π
a0 =
|x|dx =
xdx = π.
π −π
π 0
∫ π
∫ π
−4
2
1
|x| cos nxdx =
x cos nxdx = πn2
an =
π −π
π 0
0
với
n lẻ,
với
n chẵn.
Do đó với mọi x ∈ [−π, π] ta có
)
π
4(
cos 3x cos 5x
|x| = −
cos x +
+
+ ... .
2 π
32
52
4.3.3 Ví dụ. Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π]
−x nếu −π x 0
f (x) = x2
nếu 0 x π
π
Đồ thị của f và mở rộng tuần hồn của nó được mơ tả như Hình 5.2.
