Bài giảng Cơ học ứng dụng - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU
Cơ học ứng dụng là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sư thuộc các ngành
kỹ thuật, vì vậy mơn học này được bố trí trong chương trình đào tạo của nhiều trường
đại học như: đại học Bách khoa Hà Nội, Giao thông vận tải, Thuỷ lợi, Xây dựng,… Ở
trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này được giảng dạy cho sinh
viên hệ đại học chuyên nghành Điện- Điện tử. Hiện nay, các trường đại học đều có tài
liệu riêng giảng dạy về môn học này với các tên gọi khác nhau như Cơ học cơ sở, Cơ
học kỹ thuật v.v.. với nội dung thời lượng và khối lượng kiến thức rất khác nhau do
đặc thù của ngành.
Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Cơ học ứng dụng riêng cho
sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chương
trình mơn học Cơ học ứng dụng được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên trường Đại
học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm ba phần: Cơ học vật
rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó
phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm
nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ. Phần Cơ học vật
rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu
lực đơn giản và phức tạp của thanh.
Cuốn bài giảng được viết trên cơ sở chương trình mơn học Cơ học ứng dụng.
Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học theo quan điểm
hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại
học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần
thiết nhằm trang bị các kiến thức cơ học nền tảng trong hệ thống kiến thức cung cấp
cho các sinh viên, đặc biệt cho các sinh viên phi cơ khí.
Cuốn bài giảng được biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót.
Chúng tơi rất mong nhận được sư góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để
có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công
tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ mơn Kỹ thuật cơ
sở, Khoa cơ khí, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định.
Nhóm tác giả biên soạn

1


2


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................................1
MỤC LỤC .......................................................................................................................3
Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI……………………………………………5
Chương 1 .........................................................................................................................5
ĐỘNG HỌC ....................................................................................................................5
1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM ..............................................................................................5
1.1.1. Phương pháp véc tơ .......................................................................................5
1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các ...........................................................................7
1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên .........................................................................9
1.1.4. Một số chuyển động thường gặp .................................................................12
1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI ..............................................................14
1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn ...........................................................14
1.2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn ..........................................................22
1.3. HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN .............................................33
1.3.1. Hợp chuyển động của điểm .........................................................................33
1.3.2. Hợp chuyển động của vật rắn ......................................................................37
1.4. ĐỘNG HỌC CƠ CẤU .......................................................................................42
1.4.1. Một số khái niệm .........................................................................................42
1.4.2. Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ....................................................................42
1.4.3. Các biến thể của cơ cấu bốn khâu ...............................................................43
1.4.4. Cơ cấu cam ..................................................................................................45
1.4.5. Cơ cấu bánh răng .........................................................................................46
CÂU HỎI ÔN TẬP .......................................................................................................51

Chương 2 .......................................................................................................................52
TĨNH HỌC ....................................................................................................................52
2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC ...................52
2.1.1. Các khái niệm cơ bản ..................................................................................52
2.1.2. Các định luật tĩnh học ..................................................................................57
2.1.3. Các hệ quả ...................................................................................................61
2.2. KHẢO SÁT HỆ LỰC ........................................................................................64
2.2.1. Hệ lực phẳng ................................................................................................64
2.2.2. Hệ lực không gian .......................................................................................74
CÂU HỎI ÔN TẬP .......................................................................................................83
Chương 3 .......................................................................................................................84
ĐỘNG LỰC HỌC .........................................................................................................84
3.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM ....................................................84
3.1.1. Các khái niệm ..............................................................................................84
3.1.2. Các định luật cơ bản của động lực học ........................................................84
3.1.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm .....................................86
3.1.4. Hai bài toán cơ bản của động lực học .........................................................87
3.2 ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ ..................................................................................89
3.2.1. Các khái niệm ..............................................................................................89
3.2.2. Nguyên lý Đalămbe .....................................................................................93
3.3 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ ......................96
3


3.3.1. Định lý động lượng và định lý chuyển động khối tâm ................................97
3.3.2. Định lý mômen động lượng.......................................................................102
3.3.3. Định lý động năng .....................................................................................106
3.3.4. Định lý bảo toàn cơ năng ...........................................................................114
3.4. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN .........................................................................117

3.4.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến ...................................................................117


3.4.2. Vật quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc  gia tốc góc  117
3.4.3. Vật rắn là tấm phẳng chuyển động song phẳng.........................................118
CÂU HỎI ÔN TẬP .....................................................................................................120
Phần 2: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG ………………………………………121
Chương 4 .....................................................................................................................121
CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG.............................................................................121
4.1. MỞ ĐẦU ..........................................................................................................121
4.1.1. Các khái niệm về thanh .............................................................................121
4.1.2. Nội lực- Ứng suất ......................................................................................122
4.1.3. Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang
.............................................................................................................................123
4.1.4. Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang ......124
4.1.5. Biến dạng ...................................................................................................125
4.1.6. Các giả thiết cơ bản về vật liệu .................................................................126
4.2. KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM .................................................................................127
4.2.1. Khái niệm ..................................................................................................127
4.2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực .........................................................................127
4.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ......................................................................128
4.2.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản ....................................................134
4.3. XOẮN THUẦN TÚ Y CỦA THANH THẲNG ...............................................135
4.3.1. Khái niệm ..................................................................................................135
4.3.2. Nô ̣i lực và biể u đồ nô ̣i lực .........................................................................136
4.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ......................................................................137
4.3.4. Điều kiện cường độ– ba bài toán cơ bản ...................................................141
4.4. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG ...........................................................143
4.4.1. Khái niệm ..................................................................................................143
4.4.2. Nội lực và biểu đồ nội lực .........................................................................143

4.4.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ......................................................................146
4.4.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản ....................................................154
4.5. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP ....................................................................156
4.5.1. Thanh chịu uốn xiên ..................................................................................158
4.5.2. Uốn và kéo (nén) đồng thời .......................................................................161
4.5.3. Kéo (nén) lệch tâm ....................................................................................165
4.5.4. Xoắn và uốn đồng thời ..............................................................................167
4.5.5. Thanh chịu lực tổng quát ...........................................................................171
CÂU HỎI ÔN TẬP .....................................................................................................172
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................173

4


Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
Chương 1
ĐỘNG HỌC
1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM
Trong phần động học điểm, chúng ta khảo sát chuyển động của một điểm đối
với một hệ quy chiếu đã chọn. Để mô tả sáng sủa và gọn gàng các đặc trưng của
chuyển động, chúng ta sử dụng phương pháp véc tơ. Để tính tốn thuận tiện, chúng ta
sử dụng các phương pháp tọa độ như phương pháp tọa độ Đềcác, phương pháp tọa độ
tự nhiên, phương pháp véc tơ.
1.1.1. Phương pháp véc tơ
1.1.1.1. Phương trình chuyển động
Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz (Hình 1.1).
Vị trí của điểm M được xác định bởi




véc tơ r  OM . Điểm M chuyển động, do đó


r thay đổi theo thời gian:




r  r (t )

(1.1)

Phương trình (1.1) được gọi là phương
trình chuyển động của điểm M dạng véc tơ.
Chú ý rằng điểm M chuyển động liên
tục, ở mỗi thời điểm, điểm M chiếm một vị trí
xác định và có hướng chuyển động xác định.
Hình 1.1



Do đó r (t ) là một hàm liên tục, đơn trị.

Tập hợp các vị trí của điểm trong khơng gian quy chiếu được gọi là quỹ đạo của
nó trong hệ quy chiếu ấy. Phương trình (1.1) là phương trình tham số của quỹ đạo.
Nếu quỹ đạo là đường thẳng, thì chuyển động được gọi là chuyển động thẳng. Nếu quỹ
đạo là đường cong, thì chuyển động được gọi là chuyển động cong. Và khi đó, người
ta thường lấy tên đường cong quỹ đạo để gọi tên chuyển động
1.1.1.2. Vận tốc chuyển động

Một trong những đặc trưng cơ bản của chuyển động của điểm là khái niệm vận
tốc đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Chúng ta sẽ xây dựng một cách chặt chẽ khái




niệm này. Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M xác định bởi r  OM . Ở thời điểm




khác t1 = t + ∆t, điểm ở vị trí M1 xác định bởi r 1  OM 1 (Hình 1.2). Như thế sau
khoảng thời gian ∆t điểm dịch chuyển được một đoạn:

5










MM 1  r1  r   r

Hình 1.2

Hình 1.3

Vận tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:






r d r 
v  lim vtb  lim

r
t
dt
t 0





(1.2)

t 0

Như thế, vận tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị


của điểm ấy. Véc tơ vận tốc v hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo ở điểm M về phía
chuyển động. Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s.
1.1.1.3. Gia tốc chuyển động



Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M, có vận tốc là v . Sang thời điểm t1 = t +


∆t, điểm ở vị trí M1 có vận tốc là v1 . Như thế, sau khoảng thời gian ∆t, vận tốc của






điểm biến thiên một đại lượng  v  v1  v .




Đại lượng atb   v / t được gọi là gia tốc trung bình của điểm trong khoảng




thời gian ∆t, kể từ thời điểm t. Véc tơ atb hướng dọc theo véc tơ v (Hình 1.3).
Gia tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:








v d v d 2 r 
a  lim atb  lim 
 2 r
t dt
dt
t 0





(1.3)

t 0

Như thế, gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc
và bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của véc tơ định vị của điểm ấy. Đơn vị của gia
tốc là: mét/giây2, ký hiệu là m/s2.
1.1.1.4. Nhận xét về một vài tính chất của chuyển động
Trước hết ta nêu ra một tiêu chuẩn nhận xét về chuyển động thẳng và chuyển


động cong của điểm. Khi điểm chuyển động thẳng, véc tơ vận tốc v luôn khơng đổi về










phương do đó véc tơ v và véc tơ a ln cùng phương. Vì vậy, véc tơ v  a  0 .

6




Ngược lại, khi điểm chuyển động cong, véc tơ v nói chung thay đổi cả về hướng cũng




như trị số. Các véc tơ v và véc tơ a nói chung khơng cùng phương. Vì vậy ta có tiêu
chuẩn nhận xét:

0 : Chuyển động thẳng
va

0 : Chuyển ®éng cong





Bây giờ ta đưa ra tiêu chuẩn nhận xét về tính đều và tính biến đổi của chuyển

động. Chuyển động là đều khi giá trị của vận tốc v không đổi. Chuyển động nhanh dần
hay chậm dần tùy theo giá trị của vận tốc tăng lên hay giảm đi theo thời gian.
Chú ý rằng, sự thay đổi của v2 đặc trưng cho sự thay đổi của giá trị v của vận
tốc. Ta có:
 dv

d (v 2 ) d (v 2 )

 2v.  2v a
dt
dt
dt

Từ đó rút ra tiêu chuẩn nhận xét:
 
 0 : Chu n ®éng ®Ịu
v a 

 0 : Chu n ®éng biÕn ®ỉi



 

 





Trong trường hợp thứ 2, nếu v  a > 0 thì chuyển động là nhanh dần v  a < 0 là
chuyển động chậm dần.
1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các
1.1.2.1. Phương trình chuyển động
Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong hệ tọa
độ Đề các vng góc Oxy (Hình 1.4)








r  x. i  y j  z k

Khi điểm M chuyển động x, y, z biến đổi
liên tục theo thời gian. Vậy các phương trình
chuyển động có dạng:
x=x(t); y = y(t); z = z(t) (1.4)
1.1.2.2. Vận tốc chuyển động
Theo cơng thức (1-2) ta có:


d r d    dx  dy  dz 
v
 (x i  y j  z k ) 
i
j k
dt dt

dt
dt
dt

Hình 1.4

Chiếu đẳng thức lên ba trục tọa độ, ta nhận được:
vx 

dx 
 x;
dt

vy 

dy 
dz 
 y; v z 
 z;
dt
dt

(1.5)

Dựa vào các biểu thức (1.5), ta có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ

7




phương của vận tốc v :


v  v  vx2  v y2  vz2  x 2  y 2  z 2


cos(Ox, v ) 



v
vx
v
; cos(Oy, v )  y ; cos(Oz, v )  z
v
v
v

1.1.2.3. Gia tốc chuyển động
Tương tự như xác định các biểu thức thành phần vận tốc, từ cơng thức (1.3) ta có:





dv d
d       
a
 (v x i  v y j  v z k )   x i  y j  z k 

dt dt
dt 










d vx  d v y  d vz         
i
j
k   x i  y j z k 
dt
dt
dt



=


Từ đó nhận được hình chiếu của gia tốc a trên các trục tọa độ:
ax 

dvx 
 x;

dt

vy 

dv y
dt



 y; v z 

dvz 
 z;
dt

(1.6)


Từ (1.6) ta cũng có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ phương của a :








a  a  ax2  a y2  az2  x 2  y 2  z 2


cos(Ox, a ) 



a
ax
a
; cos(Oy, a )  y ; cos(Oz, a )  z
a
a
a

Ví dụ 1.1. Chuyển động của điểm M ở trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi
phương trình:
x  b sin t; y  d cost

(1.7)

Trong đó: b, d, ω, là các hằng số dương. Hãy xác định phương trình quỹ đạo, độ
lớn của vận tốc, gia tốc của điểm M ở thời điểm t1 = π/2ω. Sau đó xác định phương
trình đường đầu mút của véc tơ vận tốc.
Bài giải:
Muốn tìm phương trình quỹ đạo, ta chỉ việc tìm cách khử tham số thời gian t
trong các phương trình chuyển động. Trong ví dụ này, từ các phương trình chuyển
động ta suy ra:
sin t 

x
b

cost 

y
d

Do tính chất sin 2 t  cos2 t  1, nên ta có phương trình quỹ đạo:
x2 y2

1
b2 d 2

Vậy quỹ đạo là một đường elip với các bán trục b và d (Hình 1.5)
Từ phương trình (1.7) ta tính các đạo hàm theo t:

8






v x  x  b cos t , v y  y   d sin t




a x  x  b 2 sin t ;

a y  y   d 2 cos t

y

y
vo

M0
ao

a

o

M

vo

v
a1

M1

M'0

O1

x

v1
v1

M'1 a

a1

a)

x

v

M'

ao
v

b)

Hình 1.5
Ở thời điểm t = π/2ω, điểm M ở vị trí M1 (x1 = b; y1 = 0) và các hình chiếu vận
tốc và gia tốc của nó có dạng:

v1x  0

v1 y  -d

a1x  b 2

a1 y  0

Để vẽ đường đầu mút véc tơ vận tốc (cũng gọi là đường đầu tốc) ta chọn trên

mặt phẳng vận tốc hệ trục vng góc 01x1y1 tương ứng như sau (Hình 1.5)
x1  vx  b cost; y1  vy  d sin t

Khử t từ các phương trình tham số của đường đầu mút véc tơ vận tốc, ta nhận
được phương trình:

x12

y12

(1.8)

1
b 2 2 d 2 2
Đây là phương trình đường đầu mút véc tơ vận tốc dạng tọa độ. Trên hình 1.5
các điểm M’0, M’, M’1 trên đường đầu mút véc tơ vận tốc tương ứng với các điểm M0,
M, M1 ở trên quỹ đạo
1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên
1.1.3.1. Phương trình chuyển động
Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp
O
M
(C)
dụng khi biết trước quỹ đạo chuyển động của +
điểm. Giả sử cho biết quỹ đạo (C) của điểm ở
trong một hệ quy chiếu khơng gian. Chọn một
Hình 1.6
điểm tùy ý O ở trên quỹ đạo làm điểm gốc và
định chiều dương trên quỹ đạo (Hình 1.6). Vị trí của điểm M được xác định bằng độ
dài đại số cung OM  s

.

Điểm M chuyển động do đó s thay đổi theo thời gian. Phương trình:

9


s  s (t )

(1.9)

Biểu diễn quy luật chuyển động của điểm M dọc theo quỹ đạo gọi là phương
trình chuyển động của điểm dạng tọa độ tự nhiên.
Chú ý rằng s là một đại lượng đại số. Tuy nhiên nếu chiều chuyển động khơng
đổi và nếu chọn chiều đó là chiều dương để tính cung, thì với cách chọn gốc O thích
hợp s sẽ ln dương.
1.1.3.2. Một vài tính chất hình học của quỹ đạo
1. Hệ tọa độ tự nhiên
Trước hết chúng ta hãy đưa ra
cách xác định mặt phẳng mặt tiếp của
quỹ đạo tại điểm M của nó. Trên quỹ đạo
ngồi điểm M ta lấy thêm điểm M1
(Hình 1.7). Kẻ các tiếp tuyến MT và
M1T1. Qua M kẻ đường MT’1// M1T1.
Dựng mặt phẳng P chứa các đường MT
và MT’1. Khi cho M1 tiến dần đến M,
mặt phẳng P sẽ tiến dần đến một mặt

n

O
+
b
b

M’

n

-

M

t

t

Hình 1.7

phẳng giới hạn π, gọi là mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại điểm M. Như thế, nếu quỹ
đạo là đường cong phẳng thì mặt phẳng chứa đường cong quỹ đạo là mặt phẳng mật
tiếp tại mọi điểm của quỹ đạo. Khi quỹ đạo là đường cong không gian, ta lấy một
cung rất bé MM’ = d s . Vì cung d s rất bé nên có thể thay thế nó bằng một cung phẳng
cùng điểm đầu, điểm cuối. Mặt phẳng chứa cung phẳng này sẽ được xem một cách gần
đúng là mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M (Hình 1.7).
Dựng trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M trục Mt hướng theo tiếp


tuyến của quỹ đạo về phía dương. Véc tơ đơn vị trên trục đó là t0 . Dựng trục Mn

hướng theo pháp tuyến của quỹ đạo về phía lõm. Pháp tuyến Mn nằm trong mặt phẳng


mật tiếp gọi là pháp tuyến chính. Véc tơ đơn vị trên trục này là n0 . Dựng pháp tuyến
Mb của quỹ đạo tại M và vng góc với mặt phẳng mật tiếp. Pháp tuyến Mb gọi là

trùng pháp tuyến. Véc tơ đơn vị trên trục này là b0 . Thường người ta chọn chiều của

b0 sao cho Mtnb tạo thành một hệ trục thuận (Hình 1.7).
Như thế, tại mỗi điểm của đường cong là luôn dựng được một hệ tọa độ vng
góc có ba trục hướng theo tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, gọi là hệ tọa
độ tự nhiên. Hệ tọa độ tự nhiên thay đổi theo vị trí của điểm M trên quỹ đạo và phản
ảnh được một phần tính chất hình học của quỹ đạo.
2. Độ cong của quỹ đạo
Ta nhận thấy rằng quỹ đạo càng cong thì tiếp tuyến của nó đổi hướng càng

10


nhanh dọc theo quỹ đạo ấy. Vì vậy người ta đưa ra khái niệm độ cong của quỹ đạo
(Hình 1.8).
Đại lượng: ktb 


s

được gọi là độ cong trung bình của quỹ đạo ứng với cung MM1.
 d

s  0 s

ds

Đại lượng: k  lim

được gọi là độ cong của quỹ đạo tại điểm
M. Đại lượng  

1
là bán kính cong của quỹ đạo
k

tại điểm M.
Để minh họa, xét quỹ đạo là đường trịn bán


kính R. Khi đó ∆s=R∆φ.
Vậy ta có:
k

 1
 ,  R
s R

Hình 1.8

Như thế bán kính cong của đường trịn tại các điểm của chúng chính bằng bán
kính cong của đường trịn đó.
1.1.3.3. Vận tốc chuyển động

Để xác định vận tốc v ta sẽ tìm hình chiếu của nó trên các trục của hệ tọa độ tự




nhiên. Vì véc tơ v hướng theo tiếp tuyến quỹ đạo tại M, nên v  vt t0 . Mặt khác theo
định nghĩa:




 dr dr ds  dr
v
  s
dt ds dt
ds


dr 
 t0 . Vì vậy ta rút ra:
Trong phần hình học vi phân, người ta chứng minh
ds
vt  s ; v n  vb  0

Chú ý rằng: v t  v

(1.10)

1.1.3.4. Gia tốc chuyển động
Tương tự như phần vận tốc, ta sẽ tìm hình chiếu của véc tơ gia tốc trên các trục
của hệ tọa độ tự nhiên:





a  a t t0  a n n0  a bb0
Mặt khác theo định nghĩa:





 dv d 
dt0 ds
a
 vt t0   vt t0  vt t0  vt t  vt

dt dt
ds dt



dt0 n0

Trong phần hình học vi phân, người ta đã chứng minh:
ds 

11


 dv  v 2   
Vì vậy ta có: a  t t0  t n0  a  a n

dt


dvt n v 2 b
;a  ;a  0
Cuối cùng ta rút ra: a 
dt

t

(1.11)



Từ (1.11) ta thấy gia tốc pháp tuyến a n luôn luôn hướng về tâm cong của quỹ đạo,


còn gia tốc tiếp tuyến a thì có thể hướng cùng chiều hoặc ngược chiều với vận tốc v .
Từ các biểu thức (1.11) ta đưa ra một vài nhận xét về ý nghĩa của các thành
phần gia tốc.
Từ biểu thức a n  v 2 /  ta thấy: khi điểm chuyển động nói chung v ≠ 0, do đó
an= 0 khi ρ = ∞. Vậy chỉ trong chuyển động thẳng thì an mới ln ln triệt tiêu. Trong
chuyển động cong, nói chung a ≠ 0. Như thế gia tốc pháp tuyến phản ứng tính cong
của quỹ đạo, do đó đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véc tơ vận tốc. Chú ý
rằng giá trị của an tỷ lệ với bình phương của vận tốc nên tăng rất nhanh khi giá trị vận
tốc tăng.
Từ biểu thức a 

dvt
ta rút ra: gia tốc tiếp đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc

dt

t
t
về mặt trị số. Nó phản ánh tính đều ( a  0 ) hay tính biến đổi ( a  0 ) của chuyển
động.

1.1.4. Một số chuyển động thường gặp
1.1.4.1. Chuyển động đều: Chuyển động đều của điểm là chuyển động mà vận
tốc của nó có trị số khơng đổi (v = v0 = hằng số).
Nếu chọn chiều chuyển động không đổi của điểm làm chiều dương trên quỹ đạo
thì phương trình chuyển động của điểm có dạng:
t

s   v0 dt  s0 v0t  s0
0

1.1.4.2. Chuyển động biến đổi đều: Chuyển động biến đổi đều của điểm là
chuyển động mà thành phần gia tốc tiếp ln có trị số không đổi (at = a = hằng số).

dvt
 a; ta suy ra: vt  at  v0
dt
Vậy phương trình chuyển động có dạng:
Từ biểu thức a 

ds
1
 s  at 2  v0 t  s0
dt

2
Trong chuyển động biến đổi đều nếu vt và at cùng dấu thì chuyển động là nhanh
dần đều, nếu vt và at ngược dấu nhau thì chuyển động là chậm dần đều. Trong thực tế,

nếu ta chọn chiều dương trên quỹ đạo trùng với chiều của vận tốc đầu v0 thì nếu
vt 

a t  a  0 chuyển động là nhanh dần đều, còn a t  a  0 chuyển động là chậm dần
12


đều cho đến khi dừng lại (v = 0).
Ví dụ 1.2. Cho điểm chuyển động theo quy luật:
x  t  sin t ; y  1  cost;

z  4sin

t
2

Xác định bán kính cong của quỹ đạo theo thời gian t.
Bài giải:
Trước hết đạo hàm các hàm x, y, z theo t:




x  1  cost;

y  sin t ;





x  sin t ;


t
z  2 cos ;
2

t
z   sin ;
2

y  cost;

Ta dễ dàng tính được:






v 2  x 2  y 2  z 2  2(1  cost )  4 cos2






a 2  x 2  y 2  z 2  1  sin 2

Từ đó suy ra: a t 

dv
 0;
dt

Do an = a nên ta có:  

an 

t
4
2

t
2

v2 4

 

4
1  sin 2

t
2

Ví dụ 1.3. Một chất điểm chuyển động trên một đoạn cung của đường trịn có bán kính
R = 1000m với vận tốc ban đầu v0 = 54 km/h. Sau khi đi được một đoạn đường có
chiều dài 500m, vận tốc của chất điểm giảm xuống còn 36 km/h. Cho biết chất điểm
chuyển động chậm dần đều.
Tính gia tốc của chất điểm tại lúc xuất phát và lúc vận tốc có giá trị 36 km/h.
Bài giải:
Chọn chiều dương quỹ đạo thuận chiều chuyển động của chất điểm và chọn gốc
toạ độ trùng với vị trí xuất phát của chất điểm (s0 = 0).
Vì chất điểm chuyển động chậm dần đều nên ta có:
1
v   a t t  v0 ; s   a t t 2  v0 t
2

Trong đó: at là gia tốc tiếp tuyến của chất điểm.
Khử t từ hai phương trình trên, ta có:
at 

(v0  v)(v0  v)
2s

Khi thay các giá trị: v0 = 15 m/s (ứng với 54 km/h), v = 10 m/s (ứng với 36
km/h), s = 500m, ta nhận được:

13


5  25
 0,125 m / s 2
1000

Vì chuyển động là chậm dần đều nên gia tốc tiếp có giá trị như nhau tại mọi
thời điểm (at = 0,125 m/s2), cịn gia tốc pháp được tính theo cơng thức (1.11)
- Gia tốc pháp tại thời điểm xuất phát:
at 

v02 15 2
a 

 0,225 m / s 2
R 1000
- Gia tốc pháp tại thời điểm vận tốc có giá trị 36 km/h:
n
0

v 2 10 2
a 

 0,1m / s 2
R 1000
Vậy gia tốc toàn phần tại hai thời điểm này là:
n

a0  (a0t ) 2  (a0n ) 2  0,125 2  0,225 2  0,258 m / s 2

a  (a t ) 2  (a n ) 2  0,125 2  0,12  0,16m / s 2
1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn
1.2.1.1. Chuyển động tịnh tiến
1. Định nghĩa
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng thuộc vật

luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó.
Ví dụ. Chuyển động của thùng xe trên đoạn đưởng thẳng (Hình 1.9), chuyển
động của thanh truyền AB trong cơ cấu bốn khâu có các tay quay O1A và O2B bằng
nhau (Hình 1.10) là chuyển động tịnh tiến.

Hình 1.9

Hình 1.10

Chú ý: Khơng có khái niệm điểm chuyển động tịnh tiến. Khi vật rắn chuyển
động tịnh tiến, các điểm thuộc vật có thể chuyển động khơng thẳng, khơng đều.
2. Khảo sát chuyển động của vật
Định lí. Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc các điểm
của vật rắn như nhau tại cùng một thời điểm.
Chứng minh. Lấy hai điểm A, B bất kỳ thuộc vật. các véc tơ định vị của chúng
thỏa mãn điều kiện (Hình 1.11)

14



 
rB  rA  AB

(1.12)


Đối với vật rắn bất kỳ, véctơ AB ln có độ lớn khơng đổi, đối với chuyển




động tịnh tiến AB ln có hướng khơng đổi. Vậy AB = const.
Phương trình (1.12) chứng tỏ rằng vị trí của
z

điểm B là vị trí của điểm A trượt đi một véctơ

B'
B



hằng AB . Nếu sự dịch chuyển trên được thực hiện
thì quỹ đạo của điểm A sẽ chồng khít lên quỹ đạo

A'

rB

của điểm B. Các quỹ đạo như thế được gọi là như
nhau.

O

A

rA
y



Do AB =const nên đạo hàm đẳng thức
Hình 1.11
(1.12) theo thời gian, ta có:




drB drA

hay VB  VA
dt
dt


dv B dv A



hay a B  a A
dt
dt
Từ định lý trên ta thấy rằng, việc khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn
được đưa về khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ thuộc vật rắn. Phương pháp
khảo sát chuyển động của điểm đã được trình bày như trong chương trước.
x

1.2.1.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định
1. Định nghĩa

z

P0

I

P

Hình 1.12b
Hình 1.12a
Chuyển động của vật rắn có hai điểm cố định, do đó có một trục đi qua hai điểm
đó cố định, được gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định. Trục cố định đó
được gọi là trục quay của vật.
Trên hình 1.12a cho ta mơ hình khơng gian của vật rắn quay quanh một trục cố

15


định. Giao giữa vật rắn quay và mặt phẳng vuông góc với trục quay cho ta mơ hình
phẳng như hình vẽ 1.12b.
2. Khảo sát chuyển động của vật
a. Phương trình chuyển động
Ta chọn quy ước một chiều quay dương quanh trục. Dựng
mặt phẳng P0 cố định qua trục và mặt phẳng động P qua trục và
gắn chặt với vật rắn. Góc giữa mặt phẳng P0 và mặt phẳng P và

 . Vị trí của vật rắn khi đó được xác định vởi vị trí của mặt

z



phẳng P đối với mặt phẳng P0 tức là được xác định bởi góc quay




giữa  . Khi vật quay, góc quay  thay đổi theo thời gian.




   (t )

(1.13)

Phương trình (1.13) là phương trình chuyển động của vật P0
rắn quay quanh một trục cố định.
P
Như thế, vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định

Hình 1.13
được xác định bởi một tham số là góc quay  . Do đó vật rắn loại
này có một bậc tự do.


Chú ý: Góc quay  có thể dương hay âm tùy thuộc vào chiều quay dương đã


chọn. Thơng thường người ta quy ước góc quay  được xem là dương nếu vật quay

ngược chiều kim đồng hồ, và xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ. Góc


quay  được tính bằng radian (rad).
b. Vận tốc góc của vật
Để đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định, người
ta đưa vào các khái niệm vận tốc góc và gia tốc góc.
Đại lượng

 d .


(1.14)
dt
gọi là vận tốc góc của vật.
Như thế vận tốc góc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay. Dấu của


.

 cho biết chiều quay của vật quanh trục. Nếu  =  > 0 thì  tăng theo thời gian và

vật rắn quay theo chiều dương. Ngược lại nếu  < 0 thì vật quay theo chiều âm.
Giá trị tuyệt đối    cho biết độ nhanh của chuyển động quay:  có giá trị
càng lớn, thì vật quay càng nhanh.
Đơn vị để tính vận tốc góc là radian trên giây. Ký hiệu là rad/s. Người ta cũng
dùng đơn vị 1/s để tính vận tốc góc.
Trong kỹ thuật người ta hay sử dụng đơn vị vịng/phút để tính tốc độ góc. Do 1

16

vòng = 2 rad , 1 phút =60s nên ta dễ dàng thiết lập hệ thức liên hệ giữa hai loại đơn vị:



n
 0,1n
30

rad / s

(1.15)

Ví dụ: n = 9000 vịng/ph thì   300

rad / s

c. Gia tốc của vật
Đại lượng

 d d 2 ..

 2 
(1.16)
dt
dt
Gọi là gia tốc góc của vật.
Đơn vị để tính gia tốc góc là radian/giây2. Ký hiệu là rad/s2. Người ta cũng dùng
đơn vị 1/s2 để tính gia tốc góc.

Gia tốc góc  đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc góc  theo thời gian.
Khi  =0, do đó  = const, chuyển động quay đều. Khi   0 , chuyển động quay biến
đổi. Nếu  =  tăng theo thời gian, thì vật rắn quay nhanh dần. Ngược lại khi  giảm
theo thời gian, thì vật rắn quay chậm dần. Chú ý rằng sự biến đổi của giá trị vận tốc
2
góc  được đặc trưng bởi sự biến đổi của     . Do đó để tìm dấu hiệu nhận biết
2

 

d 2
tính chất của chuyển động quay, ta xét dấu của đạo hàm:
dt

 

d 2
 2 . Ta có kết luận:
dt
Khi  =0: Vật rắn quay đều;
 .  >0: Vật rắn quay nhanh dần;
 .  <0: Vật rắn quay chậm dần.
d. Một vài dạng chuyển động quay đặc biệt
- Chuyển động quay đều: Đó là chuyển động quay mà vận tốc góc có trị số
khơng đổi ( 0  const ). Do đó  = 0 = const.
Do

Từ đó suy ra: 0  0t  0

(1.17)

- Chuyển động quay biến đổi đều: Đó là chuyển động quay mà gia tốc góc có trị
số khơng đổi (   0 const ).
Do

d 2  
  , ta suy ra
dt 2

   0 t  0


1
   0t 2  0t   0

2


(1.18)

e. Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc

17


Để biểu diễn gọn gàng, sáng sủa những đặc điểm của chuyển động quay của
vật rắn quanh một trục cố định và để chuẩn bị cơ sở nghiên cứu sâu hơn về động học
vật rắn. Người ta sử dụng véctơ để biểu diễn vận tốc góc và gia tốc góc. Ký hiệu véctơ



là  , véctơ gia tốc góc là  .
z
Véc tơ vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục

cố định  là một véc tơ nằm trên trục quay có chiều sao cho


nhìn từ ngọn đến gốc véc tơ  ta thấy vật rắn quay ngược
0


chiều kim đồng hồ và có trị số    . Nếu gọi k là véc tơ
đơn vị trên trục quay z, ta có:

  .k
Véc tơ gia tốc của vật rắn quay quanh một trục cố

định  là một véc tơ bằng đạo hàm theo thời gian của véc tơ

vận tốc góc  của vật rắn:
d d


k   .k
dt


0



k
Hình 1.14

dt


Như thế véc tơ gia tốc góc  cũng nằm trên trục quay, chiều và trị số của nó

được xác định bởi dấu và trị số của  (Hình 1.14).
3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật
Xét chuyển động một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn, nằm cách trục quay z một
đoạn IM=R. Khi vật rắn quay quanh trục z cố định, quỹ đạo của điểm M là một đường
trịn tâm I. Bán kính R, nằm trên mặt phẳng đi qua I và vng góc với trục quay. Do
biết được quỹ đạo chuyển động của M nên ta sử dụng phương pháp tọa độ tự nhiên để
phân tích chuyển động của điểm M.
a. Phương trình chuyển động của điểm
Chọn điểm O trên mặt phẳng P0 làm gốc quy chiếu và lấy chiều quay dương
làm chiều dương. Vị trí của điểm M được xác định bởi cung s  OM

s  R (t )

(1.19)

b. Vận tốc các điểm

v
P

P0

I

 M

v

O

I


M

P0

P
Hình 1.16

Hình 1.15
18


. 


Ta có: v  vt t 0  s t 0

Vậy vận tốc v của điểm M vng góc với IM, hướng theo chiều quay của vật
(Hình 1.15) và có trị số xác định bởi cơng thức:

.

.

v  s  r   R

(1.20)

Như thế, vận tốc các điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định được phân
bố quanh trục quay theo quy tắc tam giác đồng dạng (Hình 1.16).
Ta có:

vM v N


IM IN
Bây giờ ta thiết lập công thức Ơle, một công thức rất quan trọng trong động học
vật rắn. Trước hết ta lấy hai hệ tọa độ vng góc: Hệ
y1
Ox1y1 cố định, hệ Oxy chuyển động quay quanh một
y
trục cố định O. (Hình 1.17).

x
Gọi véctơ đơn vị trên trục Ox là i ; trên trục
 



j1

Oy là j trên các trục Ox1, Oy1 tương ứng là i1 , j1 .

j

Từ hình 1.17 ta có:



i  cos.i1  sin . j1



j  cos. j1  sin .i1

i
O

x1

i1

Hình 1.17

Thực hiện phép tính đạo hàm theo t:




di

  (cos . j1  sin  .i1 )  . j
dt




dj
  (cos .i1  sin  . j1 )  .i1
dt

(1.21)

Xét vật rắn quay quanh một trục z cố định. Chọn hệ tọa độ cố định Ox1y1z1 làm
hệ quy chiếu. Lấy hệ tọa độ động Oxyz gắn
z z1
liền với vật. (Hình 1.18). Vị trí của điểm M

thuộc vật được xác định bởi véctơ r :
z

   
r  xi  yj  zk

M

Trong đó: x, y, z là tọa độ của điểm M
trong hệ tọa độ Oxyz. Chúng là các hằng số.

k

y

j

Vận tốc của điểm M:




di
dj
d
 dr
v
x y z
dt
dt
dt
dt

O
i


i

x

x1

Do k =const, nên k =0. Ta có:

x

Hình 1.18
19

y


y1







v  x. j  yi   y z i  x z j

Mặt khác, chú ý đến tích véctơ:
  
i j k


 
Từ trên ta có
  r  0 0  z   y z i  x z j
x y z
  

v  r
(1.22)
Công thức (1.22) gọi là công thức Ơle. Đây là cơng thức cơ bản của lí thuyết
động học vật rắn. Chú ý rằng, ta có thể thiết lập cơng thức Ơle nhanh gọn hơn bằng
một vài nhận xét hình học về tích hữu hướng của hai véctơ.
c. Gia tốc các điểm
Điểm M chuyển động tròn nên trong trường hợp
tổng quát, gia tốc của nó có hai thành phần: gia tốc pháp






tuyến a n và gia tốc tiếp tuyến a  (Hình 1.19):
 

a  a n  a

a

at



Gia tốc pháp tuyến a n hướng từ điểm M vào tâm I.

I

M

an

Trị số của nó:
an 

v2
 R 2


(1.23)
Hình 1.19



Gia tốc tiếp tuyến a  hướng cùng chiều với vận tốc

v tùy theo vật rắn quay nhanh dần hay chậm dần quanh trục quay.
Trị số của nó:

a  v  R

(1.24)

Gia tốc tồn phần của điểm M tạo với MI một góc  mà:
tg 

a

 2

n
a


a

Cịn trị số của nó:
a

a   a 
 2

n 2

I

 R  
4

M

2

Như thế, gia tốc các điểm của vật rắn chuyển
động quay quanh một trục cố định được phân bố theo

Hình 1.20

quy tắc tam giác thường đồng dạng với hệ số đồng dạng là  4   2 (Hình 1.20).
Từ cơng thức Ơle (1.22) ta có:

dv d      
a   (  r )    r    v
dt dt
Bằng một vài suy luận đơn giản, ta rút ra:
  
   

a n    v ; a    r    v

(1.25)

(1.26)

20


4. Vài dạng truyền chuyển động quay đơn giản
Trong một máy hoặc một tổ hợp máy thường gồm ba phần (Hình 5.13): Động
cơ, cơ cấu truyền động, bộ phận làm việc.
Cơ cấu
Động cơ

Bộ phận
làm việc

truyền động
Hình 1.21

Ở đây bước đầu ta làm quen với một vài cơ cấu truyền động đơn giản nhằm
biến chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyển động quay quanh một

trục khác cố định, biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến, biến chuyển
động quay thành chuyển động tịnh tiến và biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển
động quay.
Dưới đây là một vài truyền động đơn giản
a) Truyền động bằng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích
r
O r

1

1

r

2

O r

O

2



1



1



2

Hình 1.22a
r
1



1

O

1



O

1

2

r

2

1

2

Hình 1.22b
r

2

r



1

2



1

O

O

1

2

Hình 1.23a

2



2

O

2

Hình 1.23b

Truyền các chuyển động quay giữa hai trục
cố định song song nhau, người ta dùng cơ cấu bánh
răng, đai truyền, xích như hình 1.22 và 1.23.
Trong trường hợp biểu diễn như hình 1.22,
 r
ta có: 1  2
2 r1
Truyền động như hình 1.23, ta có:

1
r
 2
2
r1

b) Truyền động bánh răng- thanh răng

21

Hình 1.24


Để truyền chuyển động giữa một vật quay và một vật tịnh tiến người ta sử dụng
cơ cấu bánh răng- thanh răng hoặc sử dụng cơ cấu bánh- thanh ma sát (Hình 1.24).
c) Truyền động bằng cơ cấu cam
Để truyền chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động
quay thành chuyển động tịnh tiến người ta có thể sử dụng các cơ cấu cam như hình 1.25.

Hình 1.25a

Hình 1.25b

1.2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn
1.2.2.1. Định nghĩa và mơ hình
1. Định nghĩa
Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm thuộc
vật luôn luôn dịch chuyển trong một mặt phẳng xác định song song với một mặt phẳng
quy chiếu đã chọn trước (Hình 1.26).
2. Mơ hình khảo sát chuyển động

Hình 1.26
Hình 1.27
Xét một đoạn thẳng AB tùy ý của vật rắn K mà AB vng góc với mặt phẳng
quy chiếu P0. Vì K là một vật rắn nên AB=const. Mặt khác do vật rắn K chuyển động
song phẳng nên các điểm A, B luôn dịch chuyển trong hai mặt phẳng song song nhau.
Vậy đoạn AB ln song song với vị trí ban đầu của nó. Theo định nghĩa. AB thực hiện

22

chuyển động tịnh tiến. Vậy chuyển động của đoạn AB được đặc trưng bởi chuyển
động của điểm M thuộc nó. (Hình 1.26). Vật rắn K là tập hợp vơ số thanh AB. Do đó
chuyển động song phẳng của vật rắn K được đặc trưng bởi chuyển động của thiết diện
phẳng S trong mặt phẳng P.
Như vậy việc khảo sát chuyển động song phẳng của vật rắn K trong không gian
được đưa về bài toán khảo sát chuyển động phẳng của thiết diện S trong mặt phẳng P
(Hình 1.27).
1.2.2.2. Khảo sát chuyển động của vật rắn
1. Phân tích chuyển động song phẳng thành chuyển động cơ bản
Xét chuyển động của hình phẳng S
trong mặt phẳng chứa nó (Hình 1.28). Ta
chọn hệ quy chiếu cố định Oxy. Lấy một
điểm A tùy ý thuộc S làm điểm cực và gắn
vào A một hệ tọa độ Ax’y’ sao cho trong
q trình S chuyển đơng ln ln có
Ax’//Ox; Ay’//Oy.
Chuyển động phẳng của hình S được
phân tích thành hai chuyển động thành phần.
Chuyển động tịnh tiến của hệ động
Ax’y’ đối với hệ quy chiếu cố định Oxy.

Hình 1.28

Chuyển động quay quanh A của hệ động A đối với hệ động Ax’y’.
Như thế, chuyển động phẳng của vật rắn bao giờ cũng có thể phân tích được
thành hai chuyển động cơ bản: Chuyển động quay tương đối của vật rắn quanh cực A
thuộc vật đối với hệ quy chiếu động Ax’y’ và chuyển động tịnh tiến của hệ động Ax’y’
cùng với cực A đối với hệ quy chiếu cố định Oxy.
2. Phương trình chuyển động của vật

Theo phân tích trên, vị trí của S đối với hệ quy chiếu cố định Oxy được xác
định bởi ba thông số định vị. Đó là góc  (để xác định vị trí của S – hoặc hệ tọa độ A

 - đối với hệ động Ax’y’) và các tọa độ xA, yA (để xác định vị trí của hệ động Ax’y’
đối với hệ cố định Oxy). Như thế, số bậc tự do của một vật rắn chuyển động song
phẳng là ba.
Khi thiết diện phẳng S chuyển động phẳng, ba thông số xA, yA và  biến đổi
theo thời gian t. Do đó phương trình chuyển động của vật rắn chuyển động phẳng là:
xA = xA(t); yA = yA(t);    (t )

(1.27)

Hai phương trình đầu mơ tả thành phần chuyển động tịnh tiến, phương trình thứ
ba mơ tả thành phần chuyển động quay tương đối.
3. Vận tốc và gia tốc suy rộng của vật
23


Nếu ta đưa vào các tọa độ mở rộng q1 = xA; q2 = yA; q3 =  ; thì vị trí của vật rắn
chuyển động phẳng được xác định bởi véctơ định vị:
 q1   x A 
    
q   q2    y A 
 q3    

(1.28)

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véctơ định vị của vật rắn chuyển động
phẳng được gọi là véctơ vận tốc suy rộng của vật:
 q1   x A 

    
q  q2    y A 
 q3    

(1.29)

Tương ứng với sự phân tích chuyển động ở trên, hai thành phần đầu của véctơ
vận tốc suy rộng mô tả vận tốc của thành phần chuyển động tịnh tiến, còn thành phần
thứ ba của véctơ vận tốc suy rộng mơ tả vận tốc góc của thành phần chuyển động
quay.
Ta gọi đạo hàm bậc hai theo thời gian của véctơ định vị của vật rắn chuyển
động phẳng là véctơ gia tốc suy rộng của vật:
 q1   xA 
    
q  q2    yA 
 q3    

(1.30)

Như thế, hai thành phần đầu vủa véctơ gia tốc suy rộng mô tả gia tốc của thành
phần chuyển động tịnh tiến, và thành phận thứ ba (      ) của véctơ gia tốc suy
rộng mô tả gia tốc góc của thành phần chuyển động quay.
1.2.2.3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật
1. Phương trình chuyển động

Hình 1.29
Lấy một điểm B bất kì thuộc vật rắn s chuyển động phẳng. Vị trí của điểm B

24


đối với hệ quy chiếu cố định Oxy được xác định bởi véctơ định vị rB (Hình 1.19):

rB  rA  AB

(1.31)

Chiếu đẳng thức véctơ (1.31) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta được:
xB  x A   B cos    B sin 

(1.32)

yB  y A   B sin    B cos 

Trong đó  B ,  B là các tọa độ của điểm B trong hệ tọa độ A  , chúng ln là
các hằng số.
Các phương trình (1.32) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
 xB   x A  cos  sin    B 
 y    y    sin  cos   
 B 
 B  A 

(1.33)

Các phương trình (1.32) hoặc (1.33) được gọi là các phương trình chuyển động
của một điểm thuộc vật rắn chuyển động phẳng
2. Vận tốc các điểm
a. Biểu thức giải tích xác định vận tốc của một điểm
Để nhận được biểu thức giải tích xác định vận tốc của một điểm thuộc vật rắn

chuyển động phẳng, ta đạo hàm hai vế của phương trình (1.33) theo thời gian:
 x B   x A   sin   cos   B 
 y    y    cos  sin    
 B 
 B  A 

(1.34)

Hoặc viết dưới dạng thông thường:
x B  x A   ( B cos    B sin  )

(1.35)

y B  y A   ( B cos    B sin  )

Chú ý: Nếu chưa quen với cách đạo hàm các ma trận, ta có thể đạo hàm hai vế
của các phương trình (1.32) để nhận được các phương trình (1.35).
b. Quan hệ vận tốc giữa hai điểm
Định lí 1: Vận tốc của điểm B tùy ý thuộc hình phẳng S chuyển động phẳng,
bẳng tổng hình học vận tốc của điểm cực A và vận tốc của điểm B trong chuyển động
quay của hình phẳng S quanh A.

  

(1.36)
vB  vA  vBA  vA    AB
Chú ý 1: Vận tốc góc của thành phần chuyển động quay không phụ thuộc vào
việc chọn cực. Thực vậy, nếu lấy A làm cực, ta có:

 

vB  vA  A  AB

(a)

Nếu lấy B là cực thì:




 

vA  vB  B  BA  vB  B  AB  0

(b)

Cộng hai đẳng thức (a) với (b) ta có:



(A  B )  AB  0

(c)

25