Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LƯƠNG DUY NHẬT MINH

VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Nghệ An – 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LƯƠNG DUY NHẬT MINH

VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC
2. TS. NGUYỄN TRUNG THÀNH

Nghệ An – 2021

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan

3

Lời cảm ơn

4

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án

5

Lời nói đầu

6

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

24

1.1. Một số kiến thức về Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2. Một số kiến thức về nửa nhóm các tốn tử tuyến tính bị chặn
1.3. Bài tốn đặt khơng chỉnh

. . 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4. Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn

. . . . . . . . . . . . . . . 38

Chương 2. Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic
với hệ số phụ thuộc thời gian

42

2.1. Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Đánh giá ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4. Thuật toán và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chương 3. Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic
bậc phân theo biến thời gian và khơng gian
73
3.1. Giới thiệu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Đánh giá ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn

. . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4. Thuật tốn và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


2

Chương 4. Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic
trong khơng gian Banach

98

4.1. Giới thiệu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2. Chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn

. . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3. Thuật tốn và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Kết luận chung và kiến nghị

119

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án

121

Tài liệu tham khảo

122


3

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình khoa học của riêng tơi. Luận án này
được hồn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS. TS. Nguyễn Văn Đức và TS. Nguyễn Trung Thành. Các đồng tác giả
cũng đã đồng ý để tôi đưa các kết quả viết chung vào luận án. Các nội dung,
kết quả, kết luận mà tơi trình bày trong luận án này là mới và chưa từng
được công bố trong bất cứ cơng trình khoa học nào khác.

Tác giả

Lương Duy Nhật Minh


4

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
những người Thầy của mình: PGS. TS. Nguyễn Văn Đức (Viện sư phạm Tự
nhiên, Trường Đại học Vinh) và TS. Nguyễn Trung Thành (Giáo sư Đại học
Rowan, Hoa Kỳ) là những người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu cho
tác giả. Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, các Thầy ln nhiệt
tình và tận tâm chỉ dạy cho tác giả nhiều điều, dưới sự hướng dẫn khoa học
của Thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Đức và Thầy giáo TS. Nguyễn Trung
Thành, luận án đã được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các q Thầy Cơ trong Bộ mơn Giải
tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học và các phòng ban
chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những người bạn
thân thiết đã luôn sẻ chia, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình

học tập và nghiên cứu.

Tác giả

Lương Duy Nhật Minh


5

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa của ký hiệu
1

Lp ( Rn )

Khơng gian các hàm có lũy thừa bậc p
khả tích trên Rn , p = 1, 2

2
3
4
5
6
7
8
9

· L2
F(v) := v

F−1 (v) := v
ˇ
H p ( Rn )
· Hp
||| · |||q
k∗f
Dν

10

Sν (g)

11

Mη,2 (Rn )

12
13
14
15
16

∂α
∂tα
Eα,β , Eα,1
Rn
∆
N∗ , R∗

Chuẩn trong không gian L2 (Rn )

Phép biến đổi Fourier của hàm v ∈ L2 (Rn )
Phép biến đổi Fourier ngược của hàm v ∈ L2 (Rn )
Không gian Sobolev H p (Rn )

Chuẩn trong không gian Sobolev H p (Rn )
Chuẩn ||| · |||q trong khơng gian Sobolev H p (Rn )
Tích chập của các hàm k và f
Nhân Dirichlet

Sν (g)(x) :=

2
π

n

(Dν ∗ g)(x)

Tập hợp các hàm nguyên dạng mũ η theo
biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn )

Đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1)
Hàm Mittag–Leffler

Không gian thực n-chiều
Toán tử Laplace
Tập các số nguyên dương và tập các số thực dương


6

LỜI NĨI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn xác định nguồn của phương trình parabolic đã được các nhà
khoa học quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ 20. Các nhà tốn
học có các cơng trình về bài tốn xác định nguồn có thể kể ra là Cannon
([13, 14, 17]), Đinh Nho Hào ([51, 52]), Đặng Đức Trọng ([120, 121]), Hasanov
([55, 56]), Isakov ([63]), Li ([79, 80, 81, 82], Savateev ([107]), Prilepko ([99],
[103]), Yang và Fu ([27, 133]),...
Bài tốn kể trên thường đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard ([45, 65]).
Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn
cả ba điều kiện sau:
i) Nghiệm của bài tốn ln tồn tại.
ii) Nghiệm của bài toán là duy nhất.
iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài tốn.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên khơng được thỏa mãn, thì bài
tốn được gọi là đặt khơng chỉnh. Với bài tốn đặt không chỉnh, một sai số
nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến sai lệch lớn về nghiệm. Do đó, bài tốn
đặt khơng chỉnh thường khó giải số hơn bài tốn đặt chỉnh vì các dữ liệu sử
dụng trong các bài toán này thường được tạo ra do đo đạc nên khơng tránh
khỏi có sai số. Hơn nữa nhiều tính tốn chỉ được thực hiện gần đúng. Để giải
các bài tốn đặt khơng chỉnh, các nhà khoa học thường đề xuất các phương
pháp chỉnh hóa, tức là sử dụng nghiệm của một bài toán đặt chỉnh để làm
nghiệm xấp xỉ cho bài tốn đặt khơng chỉnh ban đầu.
Các nghiên cứu về bài tốn xác định nguồn của phương trình parabolic
thường tập trung vào ba chủ đề chính đó là:
i) Tính duy nhất nghiệm ([3, 5, 13, 20, 21, 59, 63, 64, 86, 99, 103]).
ii) Tính ổn định nghiệm ([3, 5, 28, 31, 49, 50, 64, 71, 79, 86, 125, 134, 139]).
iii) Các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp giải số ([19, 27, 28, 32,

33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129, 134, 135]).


7

Đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu về bài tốn xác định nguồn cho
phương trình parabolic do đây là mơ hình tốn học của các bài tốn thực tiễn
như xác định nguồn nhiệt trong phương trình truyền nhiệt ([14, 25, 27, 120]),
xác định nguồn ô nhiễm nước, ô nhiễm khơng khí ([1, 80, 81, 82, 126, 140]),...
Hiện nay có nhiều vấn đề mở liên quan đến bài toán xác định nguồn cho
phương trình parabolic cần được nghiên cứu, trong đó các kết quả về đánh
giá ổn định và chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc
thời gian chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ, chỉ có một vài kết quả về
tính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này được đưa ra trong [25, 111].
Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic
bậc phân đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học
([5, 6, 53, 69, 70, 75, 87, 110, 127, 128, 134, 135]). Tuy nhiên, hầu hết các kết
quả kể trên dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian
hoặc theo biến khơng gian, chỉ có ít kết quả dành cho phương trình parabolic
bậc phân theo cả biến khơng gian và thời gian ([3, 5, 69, 124]). Về các kết
quả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho bài tốn xác định nguồn của phương
trình parabolic trong khơng gian Banach, theo sự tìm kiếm của chúng tơi, chỉ
có một số kết quả trong các cơng trình của Prilepko, Piskarev, Shaw ([101]),
Hasanov ([57]) và Schuster, Kaltenbacher, Hofmann, Kazimierski ([109]).
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình
là: "Về một số bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic".
2. Mục đích nghiên cứu
Luận án nghiên cứu một số bài toán xác định nguồn cho phương trình
parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, chúng tôi đưa ra các đánh giá
ổn định. Thứ hai, chúng tơi đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Thứ ba,

chúng tơi thiết lập các thuật tốn, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh
họa cho các phương pháp chỉnh hóa được đề xuất trong luận án này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài toán xác định nguồn trong 03 trường hợp:
i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian
Hilbert L2 (Rn );
ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian và thời gian
trong không gian Hilbert L2 (Rn );


8

iii) Phương trình parabolic trong khơng gian Banach.
4. Phạm vi nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu các đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa
và phương pháp số để giải các bài tốn xác định nguồn cho: phương trình
parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn );
phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian trong
không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic trong khơng gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản chun ngành Tốn
Giải tích và Tốn Ứng dụng. Do đó, chúng tơi chủ yếu sử dụng phương pháp
suy luận lôgic trên cơ sở các kết quả đã có. Đồng thời chúng tơi sử dụng các
phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu trong lĩnh
vực bài toán ngược và bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic.
Luận án đã đạt được một số kết quả về đánh giá ổn định, đề xuất các
phương pháp chỉnh hóa và phương pháp số để giải bài tốn xác định nguồn
cho phương trình parabolic. Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho học

viên cao học, nghiên cứu sinh chun ngành Tốn Giải tích, Tốn Ứng dụng
và những người quan tâm đến hướng nghiên cứu này.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Để tiện cho việc giới thiệu các kết quả nghiên cứu liên quan đến bài tốn
xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tơi lấy một ví dụ cụ thể
của phương trình parabolic tuyến tính trong khơng gian Hilbert. Cho T là
số thực dương, X là không gian Hilbert với chuẩn · , u : [0, T ] → X là
hàm từ [0, T ] đến X và F ∈ X . Ta xét bài toán giá trị ban đầu

u′ (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ),
u(0) = 0,

(1)

trong đó A là tốn tử tuyến tính khơng bị chặn trên X . Bài toán (1) là bài


9

tốn thuận, trong đó ta cần xác định u khi F đã biết. Bài toán xác định
nguồn cho (1) là tìm hàm nguồn F từ các đo đạc của hàm u. Đây là một bài
tốn ngược. Có nhiều kiểu đo đạc khác nhau được sử dụng, ví dụ: đo đạc trên
biên, đo đạc tại thời điểm cuối hoặc đo đạc tại một số điểm rời rạc... Do đó,
có rất nhiều dạng bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic. Các
bài toán xác định nguồn là các bài toán đặt khơng chỉnh. Do tính đặt khơng
chỉnh, nghiệm của bài tốn không phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường
hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Điều
này làm cho bài toán đặt khơng chỉnh khó giải hơn nhiều so với các bài tốn
đặt chỉnh. Thơng thường, các nhà tốn học phải đề xuất các phương pháp

chỉnh hóa để giải các bài tốn đặt khơng chỉnh.
Sau đây, chúng tơi tóm tắt một số cơng trình tiêu biểu về bài tốn xác
định nguồn cho phương trình parabolic. Năm 1968, Cannon ([13]) đã xem
xét bài toán xác định nguồn nhiệt từ quan sát trên biên. Giả sử V là một
miền bị chặn trong không gian Rn với biên S và D là một tập con của S .
Cannon xét bài tốn tìm cặp hàm u = u(x, t) và f = f (x) cho bài toán giá
trị biên ban đầu

∆u − u = f,
t
u = φ,

(x, t) ∈

V × (0, T ],

(2)

∂u
¯ × [τ, T ],
= g trên D
∂n

(3)

(x, t) ∈

S × (0, T ] ∪ V¯ × {t = 0},

với quan sát trên một phần của biên

trong đó, ∆u là tốn tử Laplace, φ(x, t) và g(x, t) là các hàm đã biết. Cannon
đã chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một nghiệm (u, f ) cho phương trình
trên và đã xây dựng một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn. Để
chứng tỏ rằng bài tốn trên là đặt khơng chỉnh, Cannon đưa ra ví dụ


zxx − zt = f (x),
(x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1],





z(0, t) = z(1, t) = 0,
t ∈ (0, 1],

z(x, 0) = 0,
x ∈ [0, 1],





zx (0, t) = (−1) an (1 − e−n2 π2 t ).
nπ

(4)

Phương trình cuối trong (4) là dữ liệu đo của bài toán tại thời điểm t. Khi

10

đó, với mỗi số nguyên dương n, nghiệm của bài toán trên sẽ là

fn (x) = an sin(nπx),
zn (x, t) = (−1) an (1 − e−n2 π2 t ) sin(nπx).
n2 π 2

√

(5)

∂z
(0, t) hội tụ đều về 0 nhưng fn
∂x
lại tiến ra vô cùng. Năm 1993, Yamamoto ([130]) đã giải bài tốn xác định
nguồn nhiệt trong miền Ω × T trong đó Ω = (0, 1) × (0, 1), với nguồn nhiệt
có dạng tách biến. Cụ thể, Yamamoto đã nghiên cứu bài tốn giá trị biên
ban đầu của phương trình truyền nhiệt trong không gian hai chiều


ut − ∆u = σ(t)f (x1 , x2 )
(x1 , x2 ) ∈ Ω, t ∈ (0, T ),



u(x1 , x2 , 0) = 0
(x1 , x2 ) ∈ Ω,

(6)



 ∂u (x , x , t) = 0
(x1 , x2 ) ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ).
1 2
∂n

Bằng cách chọn an =

n, ta có dữ kiện

Bài tốn đặt ra là xác định f từ quan sát dữ kiện biên

u(x1 , 0, t) ≡ h(x1 , t),

x1 ∈ (0, 1).

(7)

Với giả thiết σ(0) = 0 và σ ∈ C 1 [0, T ], Yamamoto đã chứng minh tính duy

nhất nghiệm và tính ổn định của bài toán này.
Năm 1990, Cannon ([15]) cũng đã đạt được một số kết quả về đánh giá
ổn định cho bài tốn xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong
không gian R3 . Năm 1998, Cannon và cộng sự ([16]) đã đề cập đến bài toán
xác định nguồn với hàm nguồn có dạng f (t) = f (u(t)). Trong bài báo này,
họ chủ yếu nghiên cứu về tính duy nhất nghiệm.
Năm 2004, Yi và Murio ([137, 138]) đã sử dụng phương pháp làm nhuyễn

để giải bài toán xác định nguồn trong không gian một chiều và hai chiều. Họ
đạt được các đánh giá ổn định, các đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa và
cũng thực hiện một vài ví dụ số để làm rõ phương pháp mà họ đề xuất.
Năm 2005, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([119]) đã nghiên cứu bài


11

tốn tìm cặp hàm (u, f ) thỏa mãn



−ut + ∆u = φ(t)f (x),






u (0, t) = ux (1, t) = 0,

 x
u(x, 0) = 0,





u(1, t) = 0,





u(x, 1) = g(x),

(t, x) ∈ (0, 1) × (0, 1),
t ∈ (0, 1),
x ∈ (0, 1),

(8)

x ∈ (0, 1),
x ∈ (0, 1),

trong đó hàm φ và hàm dữ liệu g đã được biết. Họ đã chứng minh tính duy
nhất nghiệm (u, f ) và đề xuất phương pháp chỉnh hóa dựa trên phép biến
đổi Fourier.
Năm 2006, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([120]) đã mở rộng nghiên
cứu bài toán trên cho nguồn nhiệt có dạng φ(t)f (x, y) trong khơng gian
hai chiều. Họ đã chứng minh được rằng bài toán này có duy nhất nghiệm

f (x, y). Bên cạnh đó, các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân
và phương pháp biến đổi Fourier để chỉnh hóa bài toán.
Năm 2009, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([121]) đã nghiên cứu bài
tốn xác định nguồn nhiệt có dạng tách biến trong không gian hai chiều. Cụ
thể, họ đã xét bài toán xác định cặp hàm (u, f ) thỏa mãn



ut − ∆u = φ(t)f (x, y),





u (0, y, t) = u (1, y, t) = u (x, 0, t) = u (x, 1, t) = 0,
x
x
y
y
(9)


u(1, y, t) = 0,




u(x, y, 0) = g(x, y),
với (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1), t ∈ (0, T ), trong đó g ∈ L1 (Ω) và φ ∈ L1 (0, T ) đã

biết. Họ đã xây dựng được nghiệm chỉnh hóa f từ dữ kiện khơng trơn bằng

cách sử dụng phép nội suy và phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier. Cũng
trong năm 2009, Dou, Fu và Yang ([27]) đã đề xuất chỉnh hóa cho bài tốn
xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong khơng gian một chiều
bằng kỹ thuật dựa trên phương pháp tựa đảo. Họ đạt được đánh giá sai số
giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh
hóa kiểu tiên nghiệm, họ cũng thiết lập thuật toán giải số và thực hiện các
ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.
Năm 2010, Cheng, Zhao, Fu ([22]) đã sử dụng phương pháp chỉnh hóa

Tikhonov để giải một bài tốn xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt.


12

Cũng trong năm 2010, Yang và Fu ([131]) đã sử dụng phương pháp Tikhonov
để xác định nguồn phụ thuộc thời gian của phương trình truyền nhiệt. Họ
đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa đồng thời họ cũng đạt được đánh giỏ sai
s kiu Hăolder gia nghim chnh húa v nghim chính xác, họ cũng khẳng
định trong bài báo rằng đánh giá sai số đạt được là tối ưu.
Năm 2011, Ismailov và các cộng sự ([67]) chứng minh sự tồn tại và tính
duy nhất nghiệm của bài tốn xác định nguồn nhiệt như sau



ut = uxx + r(t)f (x, t),




u(x, 0) = ϕ(x),


u(0, t) = u(1, t), ux (1, t) = 0,




 1 u(x, t)dx = E(t),
0

(x, t) ∈ DT ,
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ t ≤ T,

(10)

0 ≤ t ≤ T,

trong đó, T > 0 cho trước, DT là tập được xác định bởi

DT := {(x, t) : 0 < x < 1 : 0 < t ≤ T }.
Năm 2012, Ma, Fu và Zhang ([88]) đã sử dụng phương pháp biến phân để
xác định nguồn nhiệt phụ thuộc cả biến khơng gian và biến thời gian có dạng

f (x, t) trong không gian một chiều. Cũng trong năm 2012, Hasanov ([55])
đã xác định nguồn phụ thuộc cả không gian và thời gian cho phương trình
truyền nhiệt trong khơng gian một chiều. Tác giả cũng sử dụng phương pháp
biến phân để xác định nguồn nhiệt có dạng F (x)H(t) trong không gian một
chiều, họ đã tách thành hai bài toán xác định nguồn, bài toán thứ nhất là
xác định F (x) khi biết H(t), bài toán thứ hai là biết F (x) và xác định H(t).
Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài tốn thứ nhất, tuy nhiên
điều đó chưa chắc đúng ở bài tốn thứ hai. Để giải hai bài toán trên họ đã sử
dụng phương pháp chỉnh hóa gradient liên hợp và họ cũng xây dựng thuật
tốn và trình bày các ví dụ số để mơ tả tính hữu hiệu của phương pháp chỉnh
hóa mà họ đề xuất.
Năm 2013, Hasanov và Pektas ([56]) đã áp dụng phương pháp gradient
liên hợp để xác định hàm số phụ thuộc thời gian trong nguồn nhiệt có dạng
tách biến với quan sát dữ kiện biên Dirichlet. Cụ thể, họ nghiên cứu bài toán

13

tìm nguồn nhiệt phụ thuộc thời gian trong



u − (k(x)ux )x = F (x)H(t),

 t
u(x, 0) = u0 (x),



u (0, t) = 0, u(l, t) = 0,
x

bài toán truyền nhiệt dưới đây

(x, t) ∈ (0, l) × (0, Tf ),
x ∈ (0, l),

(11)

t ∈ (0, Tf ],

với quan sát

H(t) := u(0, t),

(12)

t ∈ (0, Tf ],

trong đó Tf > 0, k(x) ∈ L∞ [0, l], f và u0 là các đại lượng cho trước. Các

tác giả sử dụng phương pháp gradient liên hợp để chỉnh hóa bài tốn trên,
họ xây dựng thuật tốn và thực hiện các ví dụ số để mơ tả cho phương pháp
chỉnh hóa mà họ đề xuất.
Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic
cũng được Đinh Nho Hào cùng các cộng sự quan tâm nghiên cứu. Họ đề xuất
giải các bài tốn này với quan sát tích phân ([51], [94]). Cụ thể, trong [51],
các tác giả đã nghiên cứu bài toán sau. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn
với biên ∂Ω và T là một số thực dương cho trước. Kí hiệu Q := Ω × (0, T ],

S := ∂Ω × (0, T ], xác định f1 (x) và f2 (t) trong bài toán



u = ∆u + g0 (x, t) + f1 (x)g1 (t) + f2 (t)g2 (x),
(x, t) ∈ Q,

 t
u|t=0 = u0 (x),



u| = u ,
S

x ∈ Ω,

(13)

S

và thêm các điều kiện sau

ω1 (x)u(x, t)dx = h(t),

l1 u :=
Ω

t ∈ (0, T ),

T

u(x, t)dt = g(x),
0

x ∈ Ω,

ω1 (x)f1 (x)dx = C0 .
Ω

Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm. Sau đó,
họ sử dụng phương pháp gradient liên hợp để chỉnh hóa bài tốn này. Các
ví dụ số trong không gian một chiều và hai chiều cũng đã được họ trình bày
để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. Trong [94], các tác giả nghiên cứu

14

bài toán sau trong miền Ω ⊂ Rn

n

∂u
∂
∂u

−
ai (x, t) ∂x
+ b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t),

∂t
∂x

i
i

i=1



(x, t) ∈ Q := Ω × (0, T ],



u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S := ∂Ω × (0, T ],





u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,

(14)

ở đây, ∂Ω là biên của Ω, ai (i = 1, ..., n), b và ϕ ∈ L∞ (Q), g ∈ L2 (Q),

f ∈ L2 (0, T ) và u0 ∈ L2 (Ω). Các tác giả đã giải bài toán bằng phương pháp
sai phân hữu hạn và đề xuất thuật toán để giải số bài toán này.
Năm 2016, Yang và các cộng sự ([136]) đã giải bài toán xác định nguồn
phụ thuộc thời gian của phương trình truyền nhiệt, cụ thể họ xét trường hợp
xác định hàm nguồn chỉ phụ thuộc vào biến thời gian trong bài toán sau



ut − uxx = f (t),
x > 0, t > 0,






u(x, 0) = 0,
x > 0,



(15)
u(0, t) = 0,
t > 0,





u(x, t)|x→∞ bị chặn ,
t > 0,




u(1, t) = g(t),
t > 0.

Họ khôi phục lại hàm nguồn từ dữ liệu bổ sung u(1, t) = g(t). Bằng cách

sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa, họ đạt được đánh giá sai số
kiểu Logarit cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu
tiên nghiệm và hậu nghiệm.
Năm 2018, Prilepko và các cộng sự ([103]) cũng xem xét bài toán xác
định nguồn cho phương trình parabolic với quan sát tích phân, họ đã nghiên
cứu về sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm.
Cũng trong năm 2018, Yan Gu và cộng sự ([43]) đã xem xét bài toán
xác định nguồn phụ thuộc thời gian trong không gian ba chiều. Họ sử dụng
phương pháp sai phân hữu hạn để chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn trong
không gian ba chiều. Họ xét bài toán: Xác định u(x, y, z, t) và f (t) thỏa mãn


∂ 2 u(x,y,z,t)
∂ 2 u(x,y,z,t)
∂ 2 u(x,y,z,t)
∂u(x,y,z,t)


=
+
+
+ f (t),
2
2

∂x
∂y
∂z 2
 ∂t
(16)
u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), với (x, y, z) ∈ Ω,



u(x, y, z, t) = b(x, y, z, t), với (x, y, z) ∈ ∂Ω, t ∈ [0, t ],
max


15

trong đó, u0 (x, y, z) và b(x, y, z, t) là các hàm đã biết. Cũng trong năm này,
Ismailov ([68]) đã giải bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt

với điều kiện biên Wentzell–Neumann khơng địa phương.
Năm 2019, Hazanee và các cộng sự ([59]) đã xét bài tốn xác định nguồn
phụ thuộc thời gian cho phương trình truyền nhiệt với điều kiện biên không
địa phương trong không gian một chiều



ut (x, t) = uxx (x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ ΩT = (0, 1) × (0, T ],




u(x, 0) = ϕ(x),
x ∈ [0, 1],


u(0, t) + bu(1, t) = 0,




u (0, t) + u (1, t) = 0,
x
x

t ∈ [0, T ],

(17)

t ∈ [0, T ],

với T > 0, ϕ là hàm đã biết và b = ±1. Họ giải quyết bài toán xác định

nguồn bằng phương pháp giá trị biên và đạt được đánh giá sai số cho nghiệm
chỉnh hóa theo luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Họ đề
xuất thuật tốn và các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.
Trong [21], với các đo đạc địa phương trong miền Ω tại các thời điểm
cố định, các tác giả xét bài toán xác định nguồn λ(t)f (x) trong hệ phương
trình khuếch tán sau



ut − ∆u = λ(t)f (x),




u(x, t) = 0,


u(x, 0) = u0 (x),




u(x, T ) = g(x),

x ∈ Ω, t > 0,
x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,
x ∈ Ω0 ⊆ Ω,

(18)

x ∈ Ω0 ⊆ Ω,

trong đó λ(t) > 0, u0 (x) được cho trước và g(x) là dữ liệu tại thời điểm
cuối t > 0. Các tác giả sử dụng phương pháp giải tích mở rộng (the analytic
continuation method) để chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra đánh
giá ổn định cho bài tốn này.
Có nhiều phương pháp chỉnh hóa để giải bài tốn xác định nguồn cho
phương trình parabolic, chẳng hạn như: phương pháp tựa đảo ([134, 135]),
phương pháp Tikhonov ([129, 131]), phương pháp tựa giá trị biên ([128]),
phương pháp biến phân ([88]), phương pháp gradient liên hợp ([55, 56]),
phương pháp làm nhuyễn ([40, 46, 47, 91, 136]). Trong luận án này, chúng
tôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn


16

cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong khơng gian
Hilbert, sau đó chúng tơi tiếp tục sử dụng phương pháp này để chỉnh hóa
bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời
gian và không gian trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, đối với bài tốn xác
định nguồn cho phương trình parabolic trong khơng gian Banach thì phương
pháp làm nhuyễn khơng sử dụng được, do đó chúng tơi sử dụng một phương
pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài toán này. Một số kết
quả sử dụng lý thuyết nửa nhóm để giải bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic trong gian Banach có ở các cơng trình [57, 105].
Sau đây, chúng tơi tóm tắt về các dạng bài tốn xác định nguồn cho
phương trình parabolic mà luận án nghiên cứu và tóm tắt về những kết quả

chính mà luận án đã đạt được.
i) Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ).
Khi tìm hiểu về dạng bài tốn này, chúng tơi nhận thấy rằng đối với bài
tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số khơng phụ thuộc
thời gian, có nhiều kết quả đạt được liên quan đến tính duy nhất nghiệm
[13, 59, 63, 64, 99, 103]; đánh giá ổn định [28, 31, 32, 49, 50, 64, 79, 125] và
các phương pháp chỉnh hóa [27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129].
Trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu bài tốn tìm cặp hàm
{u(x, t), f (x)} thỏa mãn:

∂u


(x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),

 ∂t
(19)
u(x, 0) = 0,
x ∈ Rn ,




u(x, T ) = g(x),
x ∈ Rn ,

với ∆ là toán tử Laplace, các hàm a(t), h(t) đã biết và g(x) là dữ liệu tại
thời điểm cuối T > 0. Kết quả liên quan đến trường hợp hệ số phụ thuộc

thời gian như trong luận án mà chúng tôi đề xuất là chưa phổ biến. Chỉ có
một vài kết quả về tính duy nhất nghiệm của dạng bài tốn này được đưa
ra trong [25, 111]. Trong [25], các tác giả xét bài tốn xác định nguồn phụ
thuộc biến khơng gian cho phương trình parabolic với các hệ số phụ thuộc
vào không gian và thời gian. Cụ thể, với miền Ω ⊂ Rn , họ xét bài toán xác


17

định nguồn thỏa mãn



∂u + Lu = f (x)


u=0



u(x, 0) = u (x)
0

trong Ω × (0, T ),

trên ∂Ω × (0, T ),

(20)

với x ∈ Ω,

với T > 0 là thời điểm cuối, L là toán tử elliptic vi phân tuyến tính cấp

hai với hệ số phụ thuộc vào cả biến thời gian và không gian, ∂Ω là biên của
miền Ω. Họ xác định hàm nguồn f (x) với các điều kiện của bài tốn thuận
và thêm thơng tin bổ sung từ dữ liệu đo đạc tại một thời điểm nhất định

u(x, T ) = ΨT (x). Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra một
phương pháp lặp ổn định để giải bài toán này. Trong [111], các tác giả đưa
ra các kết quả về tính duy nhất nghiệm của một số bài toán xác định nguồn
cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. Một ví
dụ về bài tốn xác định nguồn mà họ xét trong nghiên cứu này đó là: xác
định f (x) thỏa mãn



∂u(x, t) + L(t)u(x, t) = f (x)h(t)
trong Ω × (0, T ),


(21)
u=0
trên ∂Ω × (0, T ),



u(x, 0) = u (x)
với x ∈ Ω,
0

với h(t) cho trước và các thông tin của L(t), T, u(x, T ), Ω, ∂Ω tương tự [25].
Quay lại với bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ

số phụ thuộc thời gian trong luận án, chúng tôi chứng minh ỏnh giỏ n nh
kiu Hăolder cho bi toỏn ny (nh lý 2.2.1). Phương pháp làm nhuyễn đã
được sử dụng để chỉnh hóa bài tốn. Chúng tơi đạt được các đánh giỏ sai
s kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo lut chọn tham số chỉnh hóa kiểu
tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 2.3.2 và 2.3.5). Chúng tơi đề xuất thuật
tốn và trình bày các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đã
sử dụng.
ii) Thứ hai, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian trong không gian
Hilbert L2 (Rn ). Trong những năm gần đây, các phương trình đạo hàm riêng
bậc phân đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu vì đây là một vấn
đề tốn học có tính ứng dụng thực tiễn. Các nhà khoa học sử dụng phương
trình đạo hàm riêng bậc phân để mô tả các hiện tượng vật lí, q trình truyền


18

nhiệt, phản ứng hóa học, ơ nhiễm nguồn nước, tốc độ tăng trưởng dân số,
bệnh thủy đậu, các mơ hình bệnh do virus, các vấn đề trong hóa học, sinh
học, kỹ thuật cơ khí, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, lĩnh vực tài chính
([9, 10, 18, 41, 90, 97, 104, 108, 127]).
Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân cũng là
mơ hình bài tốn thực tế. Phương trình parabolic bậc phân xuất hiện khi ta
thay đạo hàm bậc nguyên trong phương trình ban đầu bằng một đạo hàm
bậc phân. Theo sự tìm kiếm của chúng tơi, có nhiều nghiên cứu về bài tốn
xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân (xem [75, 86, 87, 127,
128, 133, 134, 135] và các tài liệu tham khảo trong các nghiên cứu đó). Các

nghiên cứu liên quan đến tính duy nhất nghiệm của bài tốn này có thể xem
tại [5, 20, 86]; các nghiên cứu về đánh giá ổn định, xem tại [3, 5, 71, 86, 134]
và các nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa có thể tìm thấy tại [19, 134, 135]
cùng các tài liệu tham khảo trong các cơng bố đó. Năm 2013, Zhang, Wei
([127]) đã đưa ra đánh giá ổn định và chỉnh hóa của bài tốn xác định nguồn
cho phương trình khuếch tán bậc phân. Năm 2014, Yang và các cộng sự
([133]) đã giải bài tốn xác định nguồn cho phương trình khuếch tán bậc
phân theo thời gian bằng phương pháp làm nhuyễn. Họ xét bài toán xác
định hàm nguồn f (t) dưới đây



∂0α+ u(x, t) − uxx (x, t) = f (t),




u(x, 0) = 0,


u(0, t) = 0, u(1, t) = g(t),




u(x, t)|
x→∞ bị chặn,

x > 0, t > 0,
x ≥ 0,

t ≥ 0,

(22)

t ≥ 0,

trong đó kí hiệu ∂0α+ u(x, t) là đạo hàm bậc phân Caputo theo thời gian với
bậc α (0 < α ≤ 1) được định nghĩa như sau ([90])

t
∂u(x, s) ds
1
,
=
Γ(1 − α) 0
∂s (t − s)α
∂u(x, t)
∂0α+ u(x, t) =
, α = 1.
∂t

∂0α+ u(x, t)

0 < α < 1,

Mục đích của họ là xác định f (t) từ dữ liệu đo trên biên u(1, t) = g(t).
Các tác giả trong [133] đưa ra đánh giá sai số theo luật chọn tham số kiểu
tiên nghiệm và hậu nghiệm. Đối với luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm, họ
đạt c ỏnh giỏ n nh kiu Hăolder. i vi lut chọn tham số kiểu hậu

19

nghiệm, họ đạt được đánh giá sai số kiểu Logarit. Ngồi phương pháp làm
nhuyễn, các tác giả kể trên cịn sử dụng phương pháp chỉnh hóa Fourier để
giải bài tốn (22) ([134]). Năm 2015, Yang và Fu ([135]) tiếp tục nghiên cứu
bài tốn xác định nguồn của phương trình parabolic bậc phân theo biến thời
gian bằng phương pháp tựa đảo và họ cũng đạt được đánh giá sai số theo cả
luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.
Trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu bài tốn xác định
nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không
gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ), bài tốn như sau: Tìm cặp hàm

{u(x, t), f (x)} thỏa mãn

γ
α

2 u = f (x)h(t),

x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),
∂
u
+
(−∆)

 t
u(x, 0) = 0,




u(x, T ) = g(x),

x ∈ Rn ,

(23)

x ∈ Rn .

∂α
là
∂tαγ
đạo hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t, γ là số thực dương, (−∆) 2 là
toán tử Laplace bậc phân, g(x) là dữ liệu tại thời điểm cuối. Các thông tin
về các thành phần này được nêu rõ trong các phần sau của luận án.
Theo sự tìm kiếm của chúng tôi, các nghiên cứu thường tập trung vào bài
tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân chỉ theo biến thời
gian ([86, 128, 133, 134, 135]), hoặc chỉ theo biến khơng gian ([6, 69, 70, 110]),
chỉ có một số ít kết quả đối với bài tốn có phương trình theo cả biến khơng
gian và thời gian như bài tốn chúng tơi nghiên cứu. Kết quả về tính tồn
tại và duy nhất nghiệm, hay một số đánh giá ổn định của bài tốn xác định
nguồn nói trên đã được đưa ra trong các nghiên cứu [3, 4, 5, 69, 83, 113, 114].
Chẳng hạn như trong [114], các tác giả xét bài toán xác định hàm u(t, x) và
f (x) với t ∈ (0, T ) và x ∈ Ω = (−1, 1) thỏa mãn


∂β
α

β


2 u(t, x) + f (x)h(t, x),
u(t,
x)
=
−r
(−∆)
(t, x) ∈ ΩT ,

β

∂t



u(t, −1) = u(t, 1) = 0,
0 < t < T,
(24)


u(0, x) = 0,
x ∈ Ω,





u(T, x) = ϕ(x),
¯
x ∈ Ω,

Trong đó, T là số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ∂tα =


20

trong đó, ΩT := (0, T ) × Ω, r > 0 là tham số, f (x) ∈ L2 (Ω), h(t, x) cho

trước là hàm khả vi liên tục, β ∈ (0, 1), α ∈ (1, 2) là bậc của đạo hàm bậc
∂β
phân theo biến thời gian và không gian, T > 0 là thời điểm cuối và β là
∂t
đạo hàm bậc phân Caputo. Với dữ liệu tại thời điểm cuối T , các tác giả đã
chứng minh được nghiệm tồn tại và duy nhất. Trong [83], các tác giả xét bài
toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian p(t) của hàm nguồn có dạng

f (x)p(t) thỏa mãn

β
α


∂0+
u(x, t) = −(−∆) 2 u(x, t) + f (x)p(t),




u(x, 0) = φ(x),



u(x, t) = 0,




u(x , t) = g(t),
0

(x, t) ∈ ΩT ,
¯
x ∈ Ω,
x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ],

(25)

x0 ∈ Ω, 0 < t ≤ T,

trong đó, ΩT := Ω × (0, T ], Ω ⊂ Rn ; T > 0 là thời điểm cuối; α ∈ (0, 1),

β ∈ (1, 2) là bậc của đạo hàm bậc phân theo biến thời gian và không gian;
α
∂0+
là đạo hàm bậc phân Caputo. Các tác giả đã chứng minh tính duy nhất
nghiệm và đưa ra đánh giá ổn định cho bài toán này. Trong [124], các tác
giả nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc
phân theo biến khơng gian và thời gian, bài tốn của họ ngồi các thơng
số tương tự [114] thì họ thay phương trình đầu của (24) bởi phương trình
∂β
u(t, x) = −rβ (−∆)α/2 u(t, x) + f (x)h(t). Hàm h lúc này chỉ phụ thuộc
β

∂t
vào biến thời gian t. Ngoài ra, ở phương trình u(T, x) = ϕ(x), thì trong đó
¯ . Các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt Fourier
x ∈ Ω thay vì x ∈ Ω
để giải bài toán này, họ nêu ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán,
họ đã đưa ra đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số
chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Tuy nhiên, các tác giả đã khơng
đưa ra các ví dụ số để minh họa cho kết quả của họ.
Trong luận án, chúng tôi đã chứng minh được đánh giá ổn định với bậc
tối ưu cho bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân
theo biến thời gian và khơng gian trong không gian Hilbert L2 (Rn )(Định lý
3.2.3 và Nhận xét 3.2.4) (dựa vào kết quả về bậc tối ưu trong [115]). Chúng
tôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn và đạt được các
đánh giá sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo lut chọn tham số
chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 3.3.2 và 3.3.6). Chúng


21

tơi cũng đề xuất thuật tốn và trình bày các ví dụ số để minh họa cho kết
quả.
iii) Thứ ba, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic trong khơng gian Banach. Lý thuyết chỉnh hóa các bài tốn
đặt khơng chỉnh tuyến tính trong khơng gian Banach đã được các nhà khoa
học nghiên cứu (xem [61, 78, 109]). Phương pháp chỉnh hóa giải bài tốn đặt
khơng chỉnh trong không gian Banach dựa trên lý thuyết nửa nhóm đã được
các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu (xem [2, 36, 57, 60, 61, 62, 105, 117]).
Trong luận án này, chúng tơi đề xuất nghiên cứu bài tốn xác định nguồn
cho phương trình parabolic trong khơng gian Banach và sử dụng lý thuyết
nửa nhóm để chỉnh hóa bài tốn này. Giả sử X là khơng gian Banach với

chuẩn · , A : D(A) ⊂ X → X là tốn tử tuyến tính khơng bị chặn sao cho

−A sinh ra nửa nhóm giải tích {S(t)}t≥0 trên X (xem Định nghĩa 1.2.4), ở
đây D(A) là miền xác định của A và giả thiết D(A) là trù mật trong X . Với
t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) là một hàm từ [0, T ] vào X và F ∈ X , ta xác định
hàm nguồn F từ bài toán



u′ (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ),


(26)
u(0) = 0,



u(T ) = g,
với g ∈ X là dữ liệu đo đạc tại thời điểm cuối T . Theo sự tìm hiểu của chúng

tơi, các kết quả về bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic trong
khơng gian Banach vẫn còn hạn chế, một vài kết quả sớm nhất về dạng bài
toán này là của Iskenderov và Tagiev ([66]) và Rundell ([105]). Tính duy nhất
nghiệm của bài tốn (26) đã được chứng minh trong [36, 116]. Trong trường
hợp F là một hàm phụ thuộc biến thời gian, các tác giả cũng đã chứng minh

được tính duy nhất nghiệm ([105, 117]). Trong [117], các tác giả xét bài toán
ngược trong khơng gian Banach E , với A là tốn tử tuyến tính đóng với miền

D(A) ⊂ E (có thể không trù mật trong E ). Lấy T > 0 và hàm ϕ = 0 liên

tục trên [0, T ]. Bài toán xác định cặp hàm {u(t), p} thỏa mãn


 ∂u(t) = Au(t) + ϕ(t)p,
0 ≤ t ≤ T,
∂t
(27)

u(0) = u0 , u(T ) = u1 ,
u0 , u1 ∈ D(A).


22

Các tác giả chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài tốn nói trên
và nghiệm được mơ tả qua các giá trị riêng của toán tử A. Trong [105], với

X là không gian Banach, · là chuẩn của X , tác giả xét bài tốn tìm cặp
hàm {u(t), f } thỏa mãn

 du + Au = f,
dt
(28)

u(0) = u0 , u(T ) = u1 ,

trong đó A là tốn tử tuyến tính trong X và f ∈ X , thông tin bổ sung là

hai giá trị của u tại hai điểm cố định (t = 0 và t = T > 0). Với giả thiết

u0 , u1 ∈ D(A) (D(A) là miền của A), giả sử thêm A−1 : X → D(A) tồn
tại và A là toán tử sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 sao cho
S(t) < 1, tác giả chỉ chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của
bài tốn xác định nguồn này và cặp {u(t), f } cho bởi
t

u(t) = S(t)u0 +
0

S(t − τ )f dτ và f = (I − S(T ))−1 (Au1 + AS(T )u0 ),

trong đó I là toán tử đồng nhất trong X . Trong [36], tác giả cũng đã sử
dụng lý thuyết nửa nhóm để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài tốn
xác định nguồn trong khơng gian Banach E , họ xét bài tốn xác định cặp
∂v
= Av + f (t) + p, ở đây A là tốn tử tuyến tính
hàm {v(t), p} thỏa mãn
∂t
không bị chặn, f (t) là một hàm liên tục trên [0, t1 ] lấy giá trị trong E , p ∈ E
là thành phần chưa biết và thêm các điều kiện biên: v(0) = v0 , v(t1 ) = v1 .

Trong [101], các tác giả đã đề xuất chỉnh hóa một bài tốn xác định nguồn
trong khơng gian Banach. Tuy nhiên, các tác giả không đưa ra đánh giá về
tốc độ hội tụ và các ví dụ số khơng được thực hiện trong cơng trình [101].
Năm 2013, Hasanov và cộng sự ([57]) đã sử dụng lý thuyết nửa nhóm của
tốn tử để biểu diễn nghiệm và chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài
toán xác định nguồn cho một phương trình truyền nhiệt ut = Au + F với
dữ liệu đo tại thời điểm cuối uT (x) := u(x, T ). Một số nghiên cứu khác về
bài toán ngược cho phương trình parabolic trong khơng gian Banach được
chúng tơi tham khảo tại [35, 36, 44, 98, 100, 116].

Quay trở lại bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic trong
không gian Banach đã được đề xuất trong luận án, như đã nói ở trên, chúng


23

tôi sử dụng một phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài
tốn, chúng tơi đạt được ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder theo lut chn tham số
kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 4.2.7 và 4.2.9). Chúng tơi cũng sử
dụng một vài ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.
7.2. Cấu trúc luận án
Ngoài Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và kiến
nghị, Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực
tiếp đến luận án và Danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
án được trình bày trong 04 chương.
Trong Chương 1, chúng tơi trình bày một số kết quả bổ trợ cần sử dụng
trong luận án này.
Trong Chương 2, luận án chứng minh các đánh giá ổn định và sử dụng
phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ).
Phần cuối chương, chúng tơi trình bày các ví dụ số để minh họa cho phương
pháp chỉnh hóa sử dụng trong chương này.
Trong Chương 3, luận án chứng minh đánh giá ổn định và sử dụng phương
pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn cho phương trình
parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không gian trong khơng gian
Hilbert L2 (Rn ). Các ví dụ số đã được đưa ra ở cuối chương để nhằm mục
đích minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.
Trong Chương 4, luận án sử dụng phương pháp dựa trên lý thuyết nửa
nhóm tốn tử để chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn cho phương trình
parabolic trong khơng gian Banach. Cuối chương, chúng tơi đưa ra một vài

ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa mà chúng tơi đề xuất.
Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại các buổi seminar
của Bộ mơn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh,
Hội thảo khoa học "Nghiên cứu và dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi mới
Giáo dục hiện nay" tại Trường Đại học Vinh, Nghệ An ngày 21/9/2019. Các
kết quả này cũng đã được viết thành 03 bài báo trong đó 01 bài đăng trên
tạp chí Inverse Problems in Science and Engineering (SCIE, IF: 1.314), 01
bài đăng trên tạp chí Applicable Analysis (SCIE, IF: 1.107) và 01 bài đăng
trên tạp chí Applied Numerical Mathematics (SCIE, IF: 1.979).