Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LƯƠNG DUY NHẬT MINH

VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

MÃ SỐ: 9 46 01 02

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2021


Cơng trình được hồn thành tại Trường Đại học Vinh, Nghệ An.

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Văn Đức
2. TS. Nguyễn Trung Thành

Phản biện 1: .........................................................................
Phản biện 2: .........................................................................
Phản biện 3: .........................................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường
họp tại ......................................................................................................................
vào hồi............giờ.........phút, ngày.........tháng..........năm..........

Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Quốc gia Việt Nam

2. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh


1

LỜI NĨI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn xác định nguồn của phương trình parabolic đã được các nhà khoa học
quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ 20. Các nhà tốn học có các cơng
trình về bài tốn xác định nguồn có thể kể ra là Cannon, Đinh Nho Hào, Đặng Đức
Trọng, Hasanov, Isakov, Li, Savateev, Prilepko, Yang và Fu,...
Bài toán kể trên thường đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard. Một bài tốn
được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn cả ba điều kiện sau:
i) Nghiệm của bài tốn ln tồn tại.
ii) Nghiệm của bài toán là duy nhất.
iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài tốn.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, thì bài tốn được
gọi là đặt khơng chỉnh. Với bài tốn đặt khơng chỉnh, một sai số nhỏ của dữ liệu
cũng có thể dẫn đến sai lệch lớn về nghiệm. Do đó, bài tốn đặt khơng chỉnh thường
khó giải số hơn bài tốn đặt chỉnh vì các dữ liệu sử dụng trong các bài toán này
thường được tạo ra do đo đạc nên khơng tránh khỏi có sai số. Hơn nữa nhiều tính
tốn chỉ được thực hiện gần đúng. Để giải các bài tốn đặt khơng chỉnh, các nhà
khoa học thường đề xuất các phương pháp chỉnh hóa, tức là sử dụng nghiệm của
một bài toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho bài tốn đặt khơng chỉnh ban đầu.
Các nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic thường
tập trung vào ba chủ đề chính đó là:
i) Tính duy nhất nghiệm.
ii) Tính ổn định nghiệm.
iii) Các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp giải số.

Đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu về bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic do đây là mơ hình tốn học của các bài tốn thực tiễn như xác
định nguồn nhiệt trong phương trình truyền nhiệt, xác định nguồn ơ nhiễm nước, ơ
nhiễm khơng khí,... Hiện nay có nhiều vấn đề mở liên quan đến bài tốn xác định
nguồn cho phương trình parabolic cần được nghiên cứu, trong đó các kết quả về
đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời
gian chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ, chỉ có một vài kết quả về tính duy
nhất nghiệm của dạng bài toán này. Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn


2

của phương trình parabolic bậc phân đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất
nhiều nhà khoa học. Tuy nhiên, hầu hết các kết quả kể trên dành cho phương trình
parabolic bậc phân theo biến thời gian hoặc theo biến khơng gian, chỉ có ít kết quả
dành cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến khơng gian và thời gian. Về
các kết quả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho bài tốn xác định nguồn của phương
trình parabolic trong khơng gian Banach, theo sự tìm kiếm của chúng tơi thì cũng
chỉ có một số ít kết quả liên quan.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là:
"Về một số bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic".
2. Mục đích nghiên cứu
Luận án nghiên cứu một số bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic,
tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, chúng tôi đưa ra các đánh giá ổn định; Thứ hai,
chúng tôi đề xuất các phương pháp chỉnh hóa; Thứ ba, chúng tơi thiết lập các thuật
tốn, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp chỉnh hóa
được đề xuất trong luận án này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài toán xác định nguồn trong 03 trường hợp:
i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong khơng gian Hilbert

L2 (Rn );
ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian và thời gian trong
khơng gian Hilbert L2 (Rn );
iii) Phương trình parabolic trong không gian Banach.
4. Phạm vi nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu các đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa và
phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn cho: phương trình parabolic với
hệ số phụ thuộc thời gian trong khơng gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic
bậc phân theo cả biến không gian và thời gian trong khơng gian Hilbert L2 (Rn ) và
phương trình parabolic trong không gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản chuyên ngành Tốn Giải tích
và Tốn Ứng dụng. Do đó, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic
trên cơ sở các kết quả đã có. Đồng thời chúng tôi sử dụng các phương pháp số để
giải các bài toán xác định nguồn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về bài toán ngược
và bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Luận án đã đạt được một


3

số kết quả về đánh giá ổn định, đề xuất các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp
số để giải bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic. Luận án có thể làm
tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh ngành Toán.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Để tiện cho việc giới thiệu các kết quả nghiên cứu liên quan đến bài tốn xác
định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tơi lấy một ví dụ cụ thể của phương
trình parabolic tuyến tính trong không gian Hilbert. Cho T là số thực dương, X là

không gian Hilbert với chuẩn · , u : [0, T ] → X là hàm từ [0, T ] đến X và F ∈ X .
Ta xét bài toán giá trị ban đầu

u (t) + Au(t) = F,
u(0) = 0,

t ∈ (0, T ),

(1)

trong đó A là tốn tử tuyến tính khơng bị chặn trên X . Bài tốn (1) là bài tốn
thuận, trong đó ta cần xác định u khi F đã biết. Bài toán xác định nguồn cho (1)
là tìm hàm nguồn F từ các đo đạc của hàm u. Đây là một bài toán ngược. Có nhiều
kiểu đo đạc khác nhau được sử dụng, ví dụ: đo đạc trên biên, đo đạc tại thời điểm
cuối hoặc đo đạc tại một số điểm rời rạc... Do đó, có rất nhiều dạng bài tốn xác
định nguồn cho phương trình parabolic. Các bài tốn xác định nguồn là các bài
tốn đặt khơng chỉnh. Do tính đặt khơng chỉnh, nghiệm của bài tốn khơng phải
bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục
vào dữ liệu của bài toán. Điều này làm cho bài tốn đặt khơng chỉnh khó giải hơn
nhiều so với các bài tốn đặt chỉnh. Thơng thường, các nhà tốn học phải đề xuất
các phương pháp chỉnh hóa để giải các bài tốn đặt khơng chỉnh.
Có nhiều phương pháp chỉnh hóa để giải bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic, chẳng hạn như: phương pháp tựa đảo, phương pháp Tikhonov,
phương pháp tựa giá trị biên, phương pháp biến phân, phương pháp gradient liên
hợp, phương pháp làm nhuyễn,...
Sau đây, chúng tơi tóm tắt về các dạng bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic mà luận án nghiên cứu và tóm tắt về những kết quả chính mà luận
án đã đạt được.
i) Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình
parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ), cụ thể

chúng tơi xét bài tốn tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn:


4


∂u


(x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),

 ∂t
u(x, 0) = 0,
x ∈ Rn ,




u(x, T ) = g(x),
x ∈ Rn ,

(19)

với ∆ là toán tử Laplace, các hàm a(t), h(t) đã biết và g(x) là dữ liệu tại thời điểm
cuối T > 0. Khi tìm hiểu về dạng bài tốn này, chúng tơi nhận thấy rằng đối với
bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số khơng phụ thuộc
thời gian, có nhiều kết quả đạt được liên quan đến tính duy nhất nghiệm; đánh giá
ổn định và các phương pháp chỉnh hóa. Kết quả liên quan đến trường hợp hệ số
phụ thuộc thời gian như trong luận án mà chúng tôi đề xuất là chưa phổ biến. Chỉ
có một vài kết quả về tính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này được đưa ra

trong nghiên cứu của D’haeyer và cộng sự, của Slodiˇcka và Johansson. Năm 2014,
D’haeyer và cộng sự xét bài toán xác định nguồn phụ thuộc biến khơng gian cho
phương trình parabolic với các hệ số phụ thuộc vào không gian và thời gian. Cụ thể,
với miền Ω ⊂ Rn , họ xét bài toán xác định



∂u + Lu = f (x)


u=0



u(x, 0) = u (x)
0

nguồn thỏa mãn
trong Ω × (0, T ),
trên ∂Ω × (0, T ),

(20)

với x ∈ Ω,

với T > 0 là thời điểm cuối, L là toán tử elliptic vi phân tuyến tính cấp hai với hệ
số phụ thuộc vào cả biến thời gian và không gian, ∂Ω là biên của miền Ω. Họ xác
định hàm nguồn f (x) với các điều kiện của bài tốn thuận và thêm thơng tin bổ
sung từ dữ liệu đo đạc tại một thời điểm nhất định u(x, T ) = ΨT (x). Họ đã chứng
minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra một phương pháp lặp ổn định để giải bài toán

này. Năm 2016, Slodiˇcka và Johansson đưa ra các kết quả về tính duy nhất nghiệm
của một số bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ
số phụ thuộc thời gian. Họ xác định f (x) thỏa mãn



∂u(x, t) + L(t)u(x, t) = f (x)h(t)
trong Ω × (0, T ),


u=0
trên ∂Ω × (0, T ),



u(x, 0) = u (x)
với x ∈ Ω,
0

(21)

với h(t) cho trước và các thông tin của L(t), T, u(x, T ), Ω, ∂Ω tương tự (20).
Quay lại với bài toán xác định nguồn mà chúng tôi đề xuất, chúng tôi chứng
minh đánh giá ổn nh kiu Hăolder cho bi toỏn ny (nh lý 2.2.1). Phương pháp
làm nhuyễn đã được sử dụng để chỉnh hóa bài tốn. Chúng tơi đạt được các đánh
giá sai số kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo lut chn tham số chỉnh hóa kiểu


5

tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 2.3.2 và 2.3.5). Chúng tơi đề xuất thuật tốn
và trình bày các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đã sử dụng.
ii) Thứ hai, chúng tôi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình
parabolic bậc phân theo biến thời gian và khơng gian. Bài tốn như sau: Tìm cặp
hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn

γ


∂tα u + (−∆) 2 u = f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),


(23)
u(x, 0) = 0,
x ∈ Rn ,



u(x, T ) = g(x),
x ∈ Rn .

∂α
là đạo
α
∂t
γ
hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t, γ là số thực dương, (−∆) 2 là toán tử
Laplace bậc phân, g(x) là dữ liệu tại thời điểm cuối. Các nghiên cứu thường tập
trung vào bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân chỉ theo
biến thời gian, hoặc chỉ theo biến khơng gian, khơng có nhiều kết quả đối với bài

tốn có phương trình theo cả biến khơng gian và thời gian. Năm 2014, Tartar và
cộng sự xét bài toán xác định hàm u(t, x) và f (x) với t ∈ (0, T ) và x ∈ Ω = (−1, 1)
thỏa mãn


∂β
α


u(t, x) = −rβ (−∆) 2 u(t, x) + f (x)h(t, x),
(t, x) ∈ ΩT ,

β

∂t



u(t, −1) = u(t, 1) = 0,
0 < t < T,
(24)


u(0, x) = 0,
x ∈ Ω,






u(T, x) = ϕ(x),
¯
x ∈ Ω,
Trong đó, T là số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ∂tα =

trong đó, ΩT := (0, T ) × Ω, r > 0 là tham số, f (x) ∈ L2 (Ω), h(t, x) cho trước
là hàm khả vi liên tục, β ∈ (0, 1), α ∈ (1, 2) là bậc của đạo hàm bậc phân theo
∂β
biến thời gian và không gian, T > 0 là thời điểm cuối và β là đạo hàm bậc phân
∂t
Caputo. Với dữ liệu tại thời điểm cuối T , các tác giả đã chứng minh được nghiệm
tồn tại và duy nhất. Năm 2018, Li và Wei xét bài toán xác định thành phần phụ
thuộc thời gian p(t) của hàm nguồn có dạng f (x)p(t) thỏa mãn

β
α

2 u(x, t) + f (x)p(t),

∂
u(x,
t)
=
−(−∆)
(x, t) ∈ ΩT ,

0+




u(x, 0) = φ(x),
¯
x ∈ Ω,


u(x, t) = 0,
x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ],




u(x , t) = g(t),
x0 ∈ Ω, 0 < t ≤ T,
0

(25)

trong đó, ΩT := Ω × (0, T ], Ω ⊂ Rn ; T > 0 là thời điểm cuối; α ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2)
α
là bậc của đạo hàm bậc phân theo biến thời gian và không gian; ∂0+
là đạo hàm


6

bậc phân Caputo. Các tác giả đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra đánh
giá ổn định cho bài toán này. Năm 2014, Tuấn và cộng sự đã nghiên cứu bài tốn
xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian và thời
gian, bài tốn của họ ngồi các thơng số tương tự (24) thì họ thay phương trình đầu
∂β

của (24) bởi phương trình β u(t, x) = −rβ (−∆)α/2 u(t, x) + f (x)h(t). Hàm h lúc
∂t
này chỉ phụ thuộc vào biến thời gian t. Ngồi ra, ở phương trình u(T, x) = ϕ(x),
¯ . Các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt
thì trong đó x ∈ Ω thay vì x ∈ Ω
Fourier để giải bài toán này, họ nêu ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán,
họ đã đưa ra đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh
hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Tuy nhiên, các tác giả đã không đưa ra các ví
dụ số để minh họa cho kết quả của họ.
Trong luận án, chúng tôi chứng minh được đánh giá ổn định với bậc tối ưu cho
bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian
và không gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ) (Định lý 3.2.3 và Nhận xét 3.2.4).
Chúng tôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn v t c cỏc
ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa
kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 3.3.2 và 3.3.6). Chúng tơi cũng đề xuất
thuật tốn và trình bày các ví dụ số để minh họa cho kết quả.
iii) Thứ ba, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình
parabolic trong khơng gian Banach và sử dụng phương pháp dựa trên lý thuyết nửa
nhóm để chỉnh hóa bài tốn này. Giả sử X là khơng gian Banach với chuẩn · ,

A : D(A) ⊂ X → X là tốn tử tuyến tính khơng bị chặn sao cho −A sinh ra nửa
nhóm giải tích {S(t)}t≥0 trên X (xem Định nghĩa 1.2.4), ở đây D(A) là miền xác
định của A và giả thiết D(A) là trù mật trong X . Với t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) là
một hàm từ [0, T ] vào X và F ∈ X , ta xác định hàm nguồn F từ bài toán



u (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ),



(26)
u(0) = 0,



u(T ) = g,
với g ∈ X là dữ liệu đo tại thời điểm cuối. Theo sự tìm hiểu của chúng tơi, các
kết quả về bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic trong khơng gian
Banach vẫn còn hạn chế, một vài kết quả sớm nhất về dạng bài toán này là của
Iskenderov và Tagiev; Rundell. Tính duy nhất nghiệm của bài tốn (26) đã được
chứng minh trong nghiên cứu của Eidelman; Tikhonov. Trong trường hợp F là một
hàm phụ thuộc biến thời gian, các tác giả cũng đã chứng minh được tính duy nhất
nghiệm. Năm 2005, Tikhonov và Eidelman đã xét bài toán ngược trong khơng gian
Banach E , với A là tốn tử tuyến tính đóng với miền D(A) ⊂ E (có thể khơng


7

trù mật trong E ). Lấy T > 0 và hàm ϕ = 0 liên tục trên [0, T ]. Bài toán xác định

{u(t), p} thỏa mãn


 ∂u(t) = Au(t) + ϕ(t)p,
∂t

u(0) = u0 , u(T ) = u1 ,

0 ≤ t ≤ T,

(27)

u0 , u1 ∈ D(A).

Các tác giả chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài tốn nói trên và nghiệm
được mơ tả qua các giá trị riêng của tốn tử A. Với X là khơng gian Banach, ·
là chuẩn của X , năm 1980, Rundell xét bài tốn tìm cặp hàm u(t), f thỏa mãn

 du + Au = f,
dt
(28)

u(0) = u0 , u(T ) = u1 ,
trong đó A là tốn tử tuyến tính trong X và f ∈ X , thông tin bổ sung là hai giá trị
của u tại hai điểm cố định (t = 0 và t = T > 0). Với giả thiết u0 , u1 ∈ D(A) (D(A)
là miền của A, giả sử thêm A−1 : X → D(A) tồn tại và A là tốn tử sinh ra một
nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 sao cho S(t) < 1, tác giả chỉ chứng minh sự
tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định nguồn này và cặp {u(t), f }
t

cho bởi u(t) = S(t)u0 +

S(t − τ )f dτ và f = (I − S(T ))−1 (Au1 + AS(T )u0 ), với

0

I là toán tử đồng nhất trong X . Năm 1991, Eidelman đã sử dụng lý thuyết nửa
nhóm để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài tốn xác định nguồn trong
khơng gian Banach E , tác giả đã xét bài toán xác định cặp hàm {v(t), p} thỏa mãn
∂v

= Av + f (t) + p, ở đây A là tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, f (t) là một hàm
∂t
liên tục trên [0, t1 ] lấy giá trị trong E , p ∈ E là thành phần chưa biết và thêm các
điều kiện biên: v(0) = v0 , v(t1 ) = v1 . Năm 2007, Prilepko và cộng sự đã đề xuất
chỉnh hóa một bài tốn xác định nguồn trong khơng gian Banach. Tuy nhiên, các
tác giả không đưa ra đánh giá về tốc độ hội tụ và các ví dụ số khơng được thực
hiện. Năm 2013, Hasanov và cộng sự đã sử dụng lý thuyết nửa nhóm của tốn tử
để biểu diễn nghiệm và chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài tốn xác định
nguồn cho một phương trình truyền nhiệt ut = Au + F với dữ liệu đo tại thời điểm
cuối uT (x) := u(x, T ).
Quay trở lại bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong khơng
gian Banach đã được đề xuất trong luận án, như đã nói ở trên, chúng tôi sử dụng
một phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài tốn, chúng tụi
t c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder theo lut chọn tham số kiểu tiên nghiệm và
hậu nghiệm (Định lý 4.2.7 và 4.2.9). Chúng tôi cũng sử dụng một vài ví dụ số để
minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.


8

7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung chính của luận án được trình bày trong 04 chương.
Trong Chương 1, chúng tơi trình bày một số kết quả bổ trợ cần sử dụng trong
luận án này.
Trong Chương 2, luận án chứng minh các đánh giá ổn định và sử dụng phương
pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic
với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ).
Trong Chương 3, luận án chứng minh đánh giá ổn định với bậc tối ưu và sử dụng
phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa cho bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không gian trong không gian

Hilbert L2 (Rn ).
Trong Chương 4, luận án sử dụng phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để
chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic trong khơng gian
Banach.
Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại các buổi seminar của Bộ
mơn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh, Hội thảo khoa
học "Nghiên cứu và dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi mới Giáo dục hiện nay"
tại Trường Đại học Vinh, Nghệ An ngày 21/9/2019. Các kết quả trong luận án này
cũng đã được viết thành 03 bài báo trong đó có 01 bài đăng trên tạp chí Inverse
Problems in Science and Engineering (SCIE, IF: 1.314), 01 bài đăng trên tạp chí
Applicable Analysis (SCIE, IF: 1.107) và 01 bài đăng trên tạp chí Applied Numerical
Mathematics (SCIE, IF: 1.979).


9

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Một số kiến thức về Giải tích

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử v : Rn → R là một hàm đo được. Với p là số thực thỏa
mãn 1 ≤ p < ∞, không gian Lp (Rn ) được xác định bởi

Lp (Rn ) =

v : Rn → R :

|v|p dx < ∞
Rn

với chuẩn

v

Lp

|v|p dx

:=

1
p

.

Rn

Định nghĩa 1.1.3. Với các hàm k ∈ L1 (Rn ) và f ∈ L2 (Rn ), ta định nghĩa tích
chập của k và f như sau

1
(k ∗ f )(x) = √
( 2π)n

1
k(x − y)f (y)dy = √
( 2π)n

Rn

k(y)f (x − y)dy,
Rn

với x ∈ Rn .
Định nghĩa 1.1.4. Với mỗi hàm v ∈ L2 (Rn ), ta xác định các hàm F và F−1 từ

L2 (Rn ) vào L2 (Rn ) như sau
1
( 2π)n

F(v)(ξ) := v(ξ) := √

e−iξ·x v(x)dx,

ξ ∈ Rn ,

eiξ·x v(ξ)dξ,

x ∈ Rn ,

Rn

1
( 2π)n

F−1 (v)(x) := v
ˇ(x) := √

Rn

trong đó, ξ · x là tích vơ hướng của ξ và x trong Rn . Ta gọi F(v)(ξ) và F−1 (v)(x) lần
lượt là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm v .
Định nghĩa 1.1.5. Với số thực dương p, không gian H p (Rn ) được định nghĩa bởi

H p (Rn ) =

v ∈ L2 (Rn ) :

|v(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )p dξ < ∞
Rn

với chuẩn

v

Hp

|v(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )p dξ

:=
Rn

1
2

.

10

Ngoài ra, ta định nghĩa chuẩn ||| · |||q trong không gian H p (Rn ) như sau.
Định nghĩa 1.1.6. Cho q > 0. Với v : Rn → R là một hàm đo được, ta ký hiệu
2

e2q|ξ| |v(ξ)|2 dξ

|||v|||q :=

1
2

.

Rn

Định nghĩa 1.1.9. Với η := (η1 , . . . , ηn ) ∈ Rn , ηj > 0, j = 1, ..., n, kí hiệu Mη,2 (Rn )
là tập hợp các hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ).
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử ν > 0. Hàm
n

Dν (x) :=

sin(νxj )
, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ,
xj
j=1

được gọi là nhân Dirichlet.

Trong luận án này, ta đặt các tập hợp

Mν := {x ∈ Rn : |xj | < ν, j = 1, 2, ..., n} và Qν := Rn \ Mν .
Định nghĩa 1.1.14. Hàm Gamma được xác định bởi công thức sau
∞

Γ(z) =

e−t tz−1 dt,

z ∈ C, Rez > 0,

0

Định nghĩa 1.1.16. Với T > 0, cho f là một hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, T ].
Khi đó, đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) của f trên (0, T ] được kí hiệu
∂α
là α f và được xác định bởi
∂t

1
∂α
f
(t)
=
∂tα
Γ(1 − α)

t

(t − s)−α

0

∂
f (s)ds, 0 < t
∂s

T.

Định nghĩa 1.1.17. Với α > 0, β > 0, hàm Mittag–Leffler Eα,β được định nghĩa
∞

Eα,β (z) :=
k=0

1.2

zk
, z ∈ C.
Γ(αk + β)

Một số kiến thức về nửa nhóm các tốn tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A là tốn tử tuyến tính có miền xác định D(A) trù mật
trên không gian Banach X .
i) Số λ ∈ C được gọi là một giá trị chính quy của tốn tử A nếu tồn tại tốn tử
tuyến tính bị chặn (λI − A)−1 trên X . Tập tất cả các giá trị chính quy của tốn
tử A được gọi là tập giải và kí hiệu là ρ(A). R(λ, A) = (λI − A)−1 được gọi là
toán tử giải hay là giải thức của toán tử A, với λ ∈ ρ(A).

ii) Tập σ(A) = C \ ρ(A) được gọi là tập phổ của A.


11

Định nghĩa 1.2.4. Ta gọi tập Ω được xác định bởi

Ω := {z : ϕ1 < arg z < ϕ2 , ϕ1 < 0 < ϕ2 }
là một hình quạt. Với z ∈ Ω, giả sử S(z) là toán tử tuyến tính bị chặn. Họ {S(z)}z∈Ω
là một nửa nhóm giải tích trên Ω nếu thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
i) Với mọi z ∈ Ω, z → S(z)x là giải tích trên Ω;
ii) S(0) = I (I là tốn tử đồng nhất trong X ). Ngoài ra

lim

z→0, z∈Ω

S(z)x = x,

∀x ∈ X ;
iii) Với mọi z1 , z2 ∈ Ω, ta có S(z1 + z2 ) = S(z1 )S(z2 ).
Một họ {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm giải tích nếu nó là giải tích trên một hình
quạt Ω chứa nửa trục thực khơng âm.
Định nghĩa 1.2.5. Tốn tử A (có thể khơng bị chặn) là tốn tử sinh của một
nửa nhóm giải tích liên tục mạnh bị chặn đều {e−zA }Re z 0 , bằng cách chuyển sang
chuẩn tương đương |||x||| = sup e−zA , nếu cần thiết, ta giả sử e−zA ≤ 1, với
Re z 0

Re z

0.

Định nghĩa 1.2.6. Với A là toán tử sinh và s 0, ta xác định
1 − cos(sr) irA dr
G(s, A) :=
e
.
r2
π
R

(1.5)

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử A là một tốn tử tuyến tính đóng, có miền xác định

D(A) trù mật trên khơng gian Banach X , A thỏa mãn Định nghĩa 1.2.5, ω là một
số thực dương và V là một lân cận của 0 trong mặt phẳng phức C. Ta xác định tập
hợp Σ+ như sau:
ρ(A) ⊃ Σ+ := {λ : 0 < ω < |argλ| ≤ π} ∪ V.
Với b > 0, công thức sau là định nghĩa lũy thừa A−b của toán tử A:
1
A−b :=
z −b (A − Iz)−1 dz,
2πi C

(1.7)

trong đó C là một quỹ đạo nằm trong tập giải của toán tử A từ ∞e−iv đến ∞eiv ,
−1

với ω < v < π . Ngoài ra, Ab := A−b
và A0 = I . Trong (1.7), nếu b = n, n là số
ngun dương, thì tích phân này giải tích trong Σ+ .

1.3
1.3.1

Bài tốn đặt khơng chỉnh
Định nghĩa bài tốn đặt khơng chỉnh

Xét phương trình Ax = y , bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo dữ liệu y ∈ Y (X, Y
là hai không gian Banach, A : X → Y là toán tử liên tục) được gọi là đặt chỉnh
trên hai không gian Banach X, Y nếu cả ba điều kiện sau được thỏa mãn:


12

i) Với mỗi y ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X mà thỏa mãn bài tốn trên.
ii) Có không quá một nghiệm x ∈ X thỏa mãn bài toán với mỗi y ∈ Y .
iii) Bài toán ổn định trên hai không gian X, Y , nghiệm x ∈ X của bài toán phụ
thuộc liên tục vào dữ liệu y ∈ Y của bài toán, tức là với x, x0 ∈ X , y, y0 ∈ Y ta có
x hội tụ về x0 theo chuẩn · X khi y hội tụ về y0 theo chuẩn · Y .
Nếu một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, khi đó bài tốn trở thành đặt
khơng chỉnh.
1.3.2

Chỉnh hóa bài tốn đặt khơng chỉnh

Một tốn tử bị chặn S phụ thuộc tham số δ > 0, từ không gian Y vào khơng
gian X được gọi là tốn tử chỉnh hóa cho bài toán Ax = y trong trường hợp cụ thể

là dữ liệu sai số y δ , nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) Tồn tại số δ1 > 0 sao cho toán tử S xác định với mọi δ ∈ [0, δ1 ] và với y0 ∈ Y
thì y0 − y δ Y ≤ δ .
ii) Với mọi γ > 0, tồn tại số dương δ(γ, y δ ) ≤ δ1 mà thỏa mãn:

y0 − y δ

Y

≤ δ ≤ δ(γ, y δ ),

kéo theo

x0 − Sy δ

X

= x0 − xδ

X

≤ γ.

Với việc định nghĩa tốn tử chỉnh hóa như trên, trường hợp δ(γ, y δ ) được chọn không
phụ thuộc vào dữ liệu sai số y δ thì ta gọi là cách chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên
nghiệm, còn trong trường hợp δ(γ, y δ ) được chọn phụ thuộc vào y δ thì ta gọi là cách
chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm.
1.3.3

Bậc tối ưu

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số nội dung liên quan đến Bậc tối ưu.
dựa trên tham khảo nghiên cứu của Tautenhahn cơng bố vào năm 1998.

1.4

Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn

Trong mục này, chúng tơi tóm tắt một số nội dung liên quan đến phương pháp
làm nhuyễn. Với phương pháp làm nhuyễn, ta có thể giải các bài tốn đặt khơng
chỉnh trong các trường hợp tổng qt, trong đó có bài tốn xác định nguồn cho
phương trình parabolic. Nhờ phương pháp làm nhuyễn, ta có thể thu được các ỏnh
giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa v phương pháp này cũng được triển
khai trên các phần mềm tính tốn.


13

CHƯƠNG 2
BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI HỆ
SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic với hệ số biến thiên theo thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ).
Các kết quả trong chương này đã được công bố trong bài báo:
N. V. Duc, L. D. Nhat Minh and N. T. Thanh (2020), "Identifying an unknown
source term in a heat equation with time-dependent coefficients", Inverse Problems
in Science and Engineering.
(SCIE, IF: 1.314).

2.1

Giới thiệu bài toán

Ta xét bài toán xác định nguồn sau đây
Bài toán ISP1: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn:

∂u


(x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),

 ∂t

x ∈ Rn ,

u(x, 0) = 0,




u(x, T ) = g(x),

(2.2)

x ∈ Rn ,

∂u
là sự thay đổi của nhiệt độ theo thời gian, hàm a(t) là hệ số phụ thuộc
∂t

thời gian, hàm f (x)h(t) là nguồn nhiệt, ∆ là toán tử Laplace. Trong thực tế, dữ
liệu đo đạc thường chứa sai số. Do đó, thay vì có dữ liệu chính xác g(x) ta giả sử
chỉ có dữ liệu sai số g δ (x) ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn g − g δ L2 ≤ δ , trong đó δ là một
hằng số dương cho trước biểu thị mức độ sai số đo đạc và · L2 là chuẩn L2 trong
Rn . Trong suốt chương này, ta sử dụng các giả thiết dưới đây.
Giả thiết 1: Hàm a(t) liên tục trên [0, T ] và tồn tại các hằng số dương a và a
sao cho a ≤ a(t) ≤ a, với mọi t ∈ [0, T ].
Giả thiết 2: Hàm h(t) khả tích trên [0, T ] và bị chặn trên bởi h > 0. Ngoài ra,
h(t) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
trong đó

a) Tồn tại một hằng số dương h sao cho h(t) ≥ h, với mọi t ∈ [0, T ].
b) h(t) ≥ 0, với mọi t ∈ [0, T ] và

T
θ

h(t)dt > 0 với mỗi θ ∈ [0, T ).


14

Giả thiết 3: Hàm f (x) thỏa mãn một trong các điều kiện dưới đây:
a) f

Hp

≤ Ep với các hằng số dương p và Ep .

b) |||f |||q ≤ Eq với các hằng số dương q và Eq .

Để thuận tiện trong việc trình bày, ta dùng các ký hiệu sau đây
T

H(θ) :=

T

h(t)dt,

b :=

θ

T

a(t)dt,

I(θ, τ ) :=

0

e−τ

T
s

a(t)dt

h(s)ds,

(2.5)

θ

với θ ∈ [0, T ] và τ ∈ R.

2.2

Đánh giá ổn định

Định lý 2.2.1. Giả sử Giả thiết 1 được thỏa mãn và g

L2

≤ δ . Khi đó

i) Nếu Giả thiết 2(a) và 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ , thì

f

p
2(p+2)

L2

≤ C1

2

p

Epp+2 δ p+2 ,

(2.17)

với C1 là hằng số dương.
ii) Nếu Giả thiết 2(b) và 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ , thì

f
2.3

L2

≤ (H(0))

−q
q+b

δ

b
q+b

q
q+b

Eq .

(2.18)

Chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn

Đầu tiên, ta làm trơn hàm dữ liệu sai số g δ để thu được toán tử Sν (g δ ) dưới đây

Sν (g δ )(x) =

2
π

n

(Dν ∗ g δ )(x) =

1
πn

Tiếp theo, ta xác định nghiệm chỉnh hóa f ν của
giải bài tốn: Tìm hàm f ν thỏa mãn
 ν
∂v


(x, t) = a(t)∆v ν (x, t) + f ν (x)h(t),

 ∂t
v ν (x, 0) = 0,



 ν

v (x, T ) = Sν (g δ )(x),

Dν (y)g δ (x − y)dy.

(2.23)

Rn

nghiệm chính xác f (x) bằng cách

x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),
x ∈ Rn ,

(2.24)

x ∈ Rn .

Các định lý dưới đây phát biểu đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật
chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.
Định lý 2.3.2. Giả sử Giả thiết 1 đúng. Khi đó
i) Nếu các Giả thiết 2(a) và 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ và tham số chỉnh hóa ν
được chọn là ν =

Ep
δ

1
p+2

, thì tồn tại một hằng số Cp > 0 sao cho đánh giá sai

số sau là đúng

f − fν

p

L2

2

≤ Cp δ p+2 Epp+2 .

(2.31)


15

ii) Nếu các Giả thiết 2(b) và 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ và tham số chỉnh hóa ν
1
1
Eq 2
được chọn là ν =
ln
, thì đánh giá sai số sau là đúng
q+b
δ

f − fν

L2

≤ 1+

b
q
1
δ q+b Eqq+b ,
H(θ1 )

(2.32)

với θ1 ∈ [0, T ).
Giả sử 0 < δ < g δ

L2 .

Chọn τ > 1. Tồn tại duy nhất số dương νδ phụ thuộc

vào δ và thỏa mãn

G(νδ ) = Sνδ (g δ ) − g δ

L2

= τ δ.

(2.41)

Định lý 2.3.5. Giả sử Giả thiết 1 đúng và tham số chỉnh hóa νδ được chọn theo

(2.41). Khi đó,
i) Nếu các Giả thiết 2(a) và 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ , thì tồn tại một hằng số
Cp∗ > 0 sao cho

f − f νδ

p

L2

2

≤ Cp∗ δ p+2 Epp+2 .

(2.42)

ii) Nếu các Giả thiết 2(b) và 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ , thì tồn tại một hằng số

Cq∗ > 0 sao cho
f − f νδ
2.4

q

L2

b

≤ Cq∗ δ q+b Eqq+b .

(2.43)

Thuật tốn và ví dụ số

Trong mục này, chúng tơi dùng các ví dụ trong khơng gian một chiều và hai chiều
để minh họa cho tính hữu hiệu của thuật toán.

2.5

Kết luận Chương 2

Các kết quả của chương ny l
1. a ra ỏnh giỏ n nh kiu Hăolder cho bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ).
2. Sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn nói trên và đạt được
đánh giá sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo lut chọn tham số chỉnh hóa
kiểu tiên nghiệm với bậc tốt hơn các nghiên cứu trước đây. Chúng tôi cũng đưa ra
ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo luật chọn tham số chỉnh hóa
kiểu hậu nghiệm mà các nghiên cứu trước đây chưa đề cập đến.
3. Thiết lập thuật tốn khơng lặp để giải số bài tốn xác định nguồn cho phương
trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ).


16

CHƯƠNG 3
BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC
PHÂN THEO BIẾN THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương

trình parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không gian trong không gian
Hilbert L2 (Rn ). Các kết quả của chương này đã được công bố trong bài báo:
N. V. Thang, N. V. Duc, L. D. Nhat Minh and N. T. Thanh (2021), "Identifying
an unknown source term of a time-space fractional parabolic equation", Applied
Numerical Mathematics, 166, 313-332.
(SCIE, IF: 1.979).

3.1

Giới thiệu bài toán

∂α
= α là
Giả sử T là số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , ..., xn ) ∈ R . Kí hiệu
∂t
đạo hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t. Với hằng số γ > 0, ta xác định toán
γ
tử Laplace bậc phân (−∆) 2 bởi công thức
n

∂tα

γ

(−∆) 2 v(x) := F−1 (|ξ|γ F(v)(ξ))(x),
γ

trong đó v ∈ D((−∆) 2 ) = H γ (Rn ) với H γ (Rn ) là không gian Sobolev với bậc γ . Ở
đây F và F−1 lần lượt là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của
hàm v như đã định nghĩa ở Chương 1. Bài tốn chúng tơi quan tâm có dạng sau đây

Bài tốn ISP2: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn

γ


∂tα u + (−∆) 2 u = f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),


u(x, 0) = 0,
x ∈ Rn ,



u(x, T ) = g(x),
x ∈ Rn ,

(3.1)

với γ > 0 và 0 < α < 1. Trong (3.1), hàm g(x) là dữ liệu đo đạc tại thời điểm cuối

T . Giả sử chỉ có dữ liệu đo đạc g δ ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn
g − gδ

L2

≤ δ,

với δ > 0 là hằng số cho trước mô tả mức độ sai số của dữ liệu.

(3.2)

17

Ở đây, hàm h(t) trong (3.1) là một hàm khả vi liên tục trên [0, T ] thỏa mãn Giả
thiết 2 trong Chương 2, tức là
T

h(t) ≥ 0, t ∈ [0, T ];

h(s)ds > 0, s ∈ [0, T ).

(3.3)

0

Trong chương này, ta giả sử hàm h(t) thỏa mãn thêm điều kiện sau, đó là: tồn tại
hằng số T0 ∈ [0, T ) sao cho h(t) ≥ η > 0, t ∈ [T0 , T ].
Ngoài ra, với p > 0, ta giả sử tồn tại số dương E > δ thỏa mãn điều kiện

f
3.2

Hp

≤ E.

(3.4)

Đánh giá ổn định

Định lý 3.2.3. Nếu f là một nghiệm của bài toán (3.1) và f
g ≤ δ với δ ≤ E , thì tồn tại hằng số C > 0 sao cho

f

γ

p

L2

p

≤ Cδ γ+p E γ+p .

≤ E, p > 0,

(3.8)

Nhận xét 3.2.4. Trong Định lý 3.2.3, đánh giá (3.8) có bậc tối ưu.

3.3

Chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn

Ta tiếp tục sử dụng phương pháp làm nhuyễn. Bài toán (3.1) xác định cặp hàm
{u(x, t), f (x)} được thay bởi bài toán tìm cặp hàm {v ν (x, t), f ν } thỏa mãn

γ



∂tα v ν + (−∆) 2 v ν = f ν (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),


(3.12)
v ν (x, 0) = 0,
x ∈ Rn ,



v ν (x, T ) = S (g δ )(x),
x ∈ Rn ,
ν
δ

với Sν (g )(x) :=

2
π

n

(Dν ∗ g δ )(x). Bài toán (3.12) là một bài toán ổn định, ta

sẽ chứng minh điều này trong Định lí 3.3.1.
Định lý 3.3.1. Bài toán (3.12) là ổn định. Hơn nữa, nếu {viν (x, t), fiν } là nghiệm
của (3.12) tương ứng với dữ liệu giδ , i = 1, 2, thì tồn tại hằng số C¯ > 0 sao cho

f1ν − f2ν

L2

¯ + ν γ ) g1δ − g2δ
≤ C(1

L2 .

Sau đây là định lý đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số
chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm.
Định lý 3.3.2. Giả sử điều kiện (3.4) được thỏa mãn, với E > δ và tham số chỉnh
1
E p+γ
hóa ν =
. Khi đó, tồn tại hằng số C ∗ > 0 sao cho
δ

f − fν

p

L2

γ

≤ C ∗ δ p+γ E p+γ .


18

Trong luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm, giả sử 0 < δ < g δ

L2 ,

lấy τ > 1 sao cho 0 < τ δ < g δ L2 . Ta đặt hàm G : (0, +∞) → (0, +∞) cho bởi
G(ν) = Sν (g δ ) − g δ L2 . Tồn tại số νδ > 0 phụ thuộc vào tham số δ sao cho

G(νδ ) = Sνδ (g δ ) − g δ

L2

= τ δ.

(3.23)

Đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo theo luật chọn tham số chỉnh hóa
kiểu hậu nghiệm được phát biểu trong định lý sau.
Định lý 3.3.6. Giả sử điều kiện (3.4) được thỏa mãn, tham số νδ được chọn bởi
công thức (3.23) và E > δ . Khi đó, tồn tại một hằng số C ∗∗ > 0 sao cho

f − f νδ
3.4

p

L2

γ

≤ C ∗∗ δ p+γ E p+γ .

Thuật tốn và ví dụ số

Trong mục này, chúng tơi thiết lập một phương pháp giải số trực tiếp để tính
tốn nghiệm chỉnh hóa f ν và chúng tơi sử dụng các ví dụ trong khơng gian một
chiều và hai chiều.

3.5

Kết luận Chương 3

Các kết quả của chương này là
1. Đạt c ỏnh giỏ n nh kiu Hăolder vi bc ti ưu cho bài tốn xác định
nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian
trong không gian Hilbert L2 (Rn ).
2. Tiếp tục sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn này v t
c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chỉnh hóa theo cả luật chọn tham số
chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.
3. Xây dựng một thuật toán trực tiếp để giải bài toán này trên phần mềm Matlab,
trình bày các ví dụ trong khơng gian một chiều và hai chiều để minh họa cho tính
hữu hiệu của phương pháp chỉnh hóa.


19

CHƯƠNG 4
BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG
KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, luận án nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình

parabolic trong khơng gian Banach. Các kết quả trong chương này đã được công bố
trong bài báo:
N. V. Duc, N. V. Thang, L. D. Nhat Minh and N. T. Thanh (2020), "Identifying
an unknown source term of a parabolic equation in Banach spaces", Applicable
Analysis. (SCIE, IF: 1.107).

4.1

Giới thiệu bài toán

· , A : D(A) ⊂ X → X là tốn tử
tuyến tính khơng bị chặn sao cho −A sinh ra nửa nhóm giải tích {S(t)}t≥0 trên X ,
ở đây D(A) là miền xác định của A và giả thiết D(A) là trù mật trong X . Với T là
số thực dương, giả sử
S(T ) < 1.
(4.1)
Giả sử X là không gian Banach với chuẩn

Với t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) là một hàm từ [0, T ] vào X và F ∈ X , bài toán xác định
nguồn mà luận án nghiên cứu có dạng sau
Bài tốn ISP3: Xác định F từ bài toán



u (t) + Au(t) = F,


u(0) = 0,




u(T ) = g,

t ∈ (0, T ),
(4.3)

với g ∈ X là dữ liệu đo đạc tại thời điểm cuối T . Giả sử ta chỉ có dữ liệu sai số

g δ ∈ X cho trước và g δ thỏa mãn điều kiện g − g δ ≤ δ , ở đây δ > 0 là hằng số
cho trước biểu thị mức độ sai số. Ngoài điều kiện trên, ta giả sử tồn tại một số thực
dương E > δ sao cho (I + Ap )F ≤ E , với số thực p ≥ 1 và Ap là một lũy thừa
bậc phân của A.


20

4.2

Chỉnh hóa bài tốn xác định nguồn

Trong mục này, luận án chỉnh hóa bài tốn ISP3 bằng phương pháp dựa trên lý
thuyết nửa nhóm. Ta xấp xỉ bài tốn ISP3 bằng bài tốn tìm hàm nguồn Fα sau



v (t) + Av(t) = Fα , t ∈ (0, T ),


(4.6)
v(0) = 0,




v(T ) = (I + αAb )−1 g δ ,
với α > 0 là tham số chỉnh hóa, b là một số nguyên dương và I là toán tử đồng nhất
trong X . Ta mơ tả nghiệm của bài tốn xác định nguồn (4.3) và bài tốn chỉnh hóa
(4.6) thơng qua nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi −A. Do u(0) = 0 nên nghiệm u(t)
của (4.3) được cho bởi
t

u(t) = S(t)u(0) +

t

S(s)F ds =

S(s)F ds.

0

0

Hay
t

u(t) =

S(s)F ds.

(4.1)

0

Thay t = T và tác động toán tử A lên cả hai vế của (4.1), ta được
T

S(s)F ds = (S(T ) − I)F.

Au(T ) = A
0

Vì u(T ) = g nên ta có

F = (S(T ) − I)−1 Ag.

(4.8)

Nếu Fα là nghiệm của bài tốn chỉnh hóa (4.6) thì Fα được biểu diễn bởi công thức
dưới đây

Fα = (S(T ) − I)−1 A(I + αAb )−1 g δ .

(4.9)

Định lý sau đây phát biểu về đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa Fα trong
trường hợp luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm.
Định lý 4.2.7. Giả sử b > 0 là một số nguyên và điều kiện (I + Ap )F ≤ E được
thỏa mãn với p ≥ 1. Khi đó, tồn tại các hằng số dương C ∗ , C ∗∗ sao cho

C ∗ (α −1b δ + αE) nếu p ≥ b,

(4.16)
F − Fα ≤
C ∗∗ α −1b δ + α pb E nếu 1 ≤ p < b.
Đặc biệt,
i) với p ≥ b và α =

δ
E

b
b+1

, ta có
b

1

F − Fα ≤ 2C ∗ δ b+1 E b+1 ;

(4.17)


21

ii) với p < b và α =

δ
E

b

1+p

, ta có
p

1

F − Fα ≤ 2C ∗∗ δ 1+p E 1+p .

(4.18)

Đối với trường hợp luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm, ta giả sử
0 < δ < g δ . Với b ∈ N, b > 0, xét hàm ρ : (0, +∞) → (0, +∞) cho bởi

ρ(α) := (I + αAb )−1 g δ − g δ , với α > 0.

(4.21)

Lấy τ là một hằng số sao cho τ > 1 và τ δ < g δ . Khi đó, tồn tại một tham số
α = α(δ, τ ) sao cho

ρ(α) = τ δ.

(4.28)

Định lý sau đây phát biểu đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn
tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm.
Định lý 4.2.9. Giả sử b > 1 là một số nguyên và điều kiện (I + Ap )F ≤ E được
thỏa mãn với p ≥ 1. Gọi Fαδ là nghiệm của bài tốn chỉnh hóa (4.6) với tham số
chỉnh hóa α cho bởi (4.28). Khi đó, tồn tại các hằng số dương C¯ và C sao cho

1
¯ b−1
b E b , nếu p ≥ b − 1,
F − Fαδ ≤ Cδ

F − Fαδ ≤ Cδ
4.3

p
1+p

1

E 1+p , nếu 1 ≤ p < b − 1.

(4.29)
(4.30)

Thuật tốn và ví dụ số

Để minh họa cho tính hữu hiệu của phương pháp chỉnh hóa, chúng tơi sử dụng
các ví dụ số trong khơng gian một chiều.

4.4

Kết luận Chương 4

Các kết quả của chương này là
1. Thiết lập phương pháp chỉnh hóa dựa trên lý thuyết nửa nhóm cho bài tốn
xác định nguồn trong khơng gian Banach và đạt được đánh giá sai số cho nghiệm

chỉnh hóa sử dụng cả luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.
2. Xây dựng thuật tốn để giải số bài tốn này, ví dụ số ở trên đã cho thấy được
kết quả tốt khi chúng tơi thực hiện tìm nghiệm chỉnh hóa cho một trường hợp đơn
giản trong không gian Banach.


22

KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận chung
Luận án nghiên cứu về các đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa và phương
pháp số để giải bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic. Các kết quả
chính trong luận án này là
1. Chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với
hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ) và đạt được
- Đánh giá ổn định cho bài toán xác định nguồn.
- Sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài tốn này, đạt được đánh
giá sai số kiểu Hăolder cho nghim chnh húa s dng c lut chn tham số chỉnh
hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Các đánh giá sai số của chúng tơi có bậc
bằng hoặc tốt hơn các kết quả của nghiên cứu cùng chủ đề này.
- Đề xuất thuật tốn và trình bày các ví dụ số.
2. Chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc
phân với biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ) và đạt được
- Đánh giá ổn định với bậc tối ưu cho bài toán xác định nguồn.
- Mở rộng việc sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bi toỏn ny, t
c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghiệm chỉnh hóa sử dụng cả luật chọn
tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.
- Đề xuất thuật tốn và trình bày các ví dụ số.
3. Chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic trong

khơng gian Banach và đạt được
- Phương pháp làm nhuyễn khơng sử dụng được để chỉnh hóa bài tốn này, chúng
tơi đã đề xuất một phương pháp chỉnh hóa dựa trên lý thuyết nửa nhóm để
chỉnh hóa bài toỏn, t c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghiệm chỉnh hóa
sử dụng cả luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.
- Đề xuất thuật tốn và trình bày các ví dụ số.


23

Kiến nghị
Trong thời gian tới, chúng tôi quan tâm nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Nghiên cứu về đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa, các phương
pháp số giải bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian
Banach với hệ số phụ thuộc thời gian, hệ số có dạng phức tạp hơn, với đo đạc trên
biên, với đo đạc trên một miền con.
2. Nghiên cứu về đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa, các phương pháp
số giải bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân với trường hợp
hệ số phụ thời gian, hệ số có dạng phức tạp hơn, với đo đạc trên biên, với đo đạc
trên một miền con.