Bài soạn Số nguyên tố và những điều kỳ thú

Số nguyên tố và những điều kỳ thú
Cặp song sinh cảm nhận được số nguyên tố
Cặp song sinh John và Michael được coi là hai người “đần độn bác học” – từ được các nhà khoa
học dùng để chỉ những trường hợp bệnh nhân có các trục trực về thần kinh như tự kỷ, thiểu năng
trí tuệ, nhưng lại có một khả năng đặc biệt trong một lĩnh vực nào đó như âm nhạc, hội họa, toán,
v.v. Cả hai, đều có một trí nhớ tuyệt vời đối với các chi tiết của một ngày bất kỳ, hoặc những việc
đã làm hoặc chứng kiến trong quá khứ. Nhưng họ còn có một khả năng đặc biệt hơn đó là nhận ra
các số nguyên tố.
Trong một buổi nói chuyện với John và Michael, nhà thần kinh học Oliver Sacks làm rơi một bao
diêm và ngay lập tức, cả hai anh em đều kêu lên: “111”. Sau đó , John nói: “37”, Michael cũng nói:
“37” và John nhắc lại “37”. Oliver rất ngạc nhiên bèn đếm lại số diêm bị rơi và kết quả ông thu
được là 111. Ông hỏi hai anh em: “Làm thế nào mà hai bạn đếm số diêm nhanh đến như vậy?”
Hai anh em trả lời: “Chúng tôi không đếm. Chúng tôi đã cảm nhận được số “111”. Oliver hỏi tiếp:
“Tại sao các bạn nhắc lại ba lần số 37?” Họ lại đồng thanh: “37, 37, 37, 111”.
Có trí nhớ tuyệt vời nhưng cả John và Michael đều có chỉ số IQ rất thấp (chỉ khoảng 60, so với 100
ở người bình thường) và họ còn không thể thực hiện các phép tính đơn giản như nhân, chia.
Nhưng điều này không ngăn cản được họ có niềm say mê những con số vì họ cảm nhận được
chúng. Trong trường hợp các que diêm bị rơi, mặc dù không hề biết số nguyên tố là gì, nhưng
trong tiềm thức họ đã nhanh chóng phát hiện thấy rằng số 111 có thể được chia thành ba phần
bằng nhau (37+37+37=111). Có lần, Oliver còn bắt gặp hai anh em ngồi trong một góc nhà và vui
vẻ cùng nhau đọc các con số gồm sáu chữ số. Sau khi kiểm tra, ông thấy đây đều là những số
nguyên tố. Hôm sau, ông quyết định thử khả năng nhận biết số của John và Michael bằng cách
đọc cho họ một vài con số gồm 8, 10, 12, thậm chí 20 chữ số. Sau 30 giây tập trung cao độ, cả
John và Michael đều nhận ra đâu là số nguyên tố.
Vậy khi đọc một con số bất kỳ, chẳng hạn như 167 988 556 314 760 475 137, mà bạn thấy bị kích
thích thì hãy thông báo ngay cho một nhà toán học. Rất có thể bạn có năng khiếu đặc biệt giống
như John va Michael đấy!
Sống còn nhờ chu kỳ sống theo số nguyên tố
Hiện nay, ở miền Đông nước Mỹ có ba dòng ve sầu Magicicada có cách sống rất kỳ lạ. Sau khi
giao phối, ve sầu chui xuống đất đẻ trứng vào gốc cây to rồi bỏ đi. Ấu trùng ve sầu ở lì lại đó suốt
13 hoặc 17 năm liền. Sau một thời gian dài sống nhờ rễ cây như vậy, ấu trùng nở thành ve sầu và

chui lên mặt đất, cặp đôi, đẻ trứng rồi chết đi... Và thế hệ con lại tiếp tục chu kỳ 13 hoặc 17 năm
của mình.
Theo một số nhà nghiên cứu, chu kỳ 13 và 17 năm (hai số nguyên tố) là yếu tố sống còn của một
số loại ve sầu. Lập luận của họ như sau: chim và động vật ăn mồi thích ve sầu có chu kỳ sống
khoảng 2 đên 5 năm; với chu kỳ sống 13 hoặc 17 năm, rất lâu sau ve sầu mới phải sống cùng thời
gian phát triển đông nhất của kẻ thù ăn thịt mình. Ví dụ, cú 17 x 3 = 51 năm, hoặc 13 x 5 = 65 năm
thì mới trùng nhau. Như vậy, một “chu kỳ sống nguyên tố” giúp ve sầu giảm nguy cơ phải sống
cùng kẻ thù của mình.
Để có được khả năng này, chắc chắn ve sầu phải trải qua một quá trình tiến hóa dài. Sau nhiều
thế hệ, chỉ có những ve sầu có chu kỳ sống là một số nguyên tố mới có khả năng tồn tại đến ngày
hôm nay.
Mật mã
Trong suốt nhiều thế kỷ, kỹ thuật mã hóa dựa theo phương pháp cổ truyền: sử dụng một mật mã
(có thể là một từ, một văn bản đối chiếu, một dãy số...) để bảo mật thông tin. Người nhận, được
người gửi cho biết mật mã, chỉ cần áp dụng quá trình ngược lại là có thể hiểu được thông tin bị mã
hóa.
Theo các chuyên gia, đây là phương pháp hai chiều, tức là sử dụng một mật mã để làm hai việc là
mã hóa và giải mã. Kỹ thuật này có một nhược điểm là độ bí mật tuyệt đối của mật mã không
được đảm bảo. Vì trên thực tế, người gửi phải thông báo cho người nhận mật mã thông qua một
hình thức nào đó. Ví dụ, nếu ta muốn chuyển một thông tin mã hóa nào đó cho một người ở rất xa
thì ta phải chuyển văn bản chứa đựng thông tin được mã hóa và mật mã cho người đó bằng thư,
điện thoại, hoặc Internet và chính vì thế mật mã của bạn (không được mã hóa) sẽ dễ bị người
khác biết.
Để đảm bảo độ bí mật, người ta đã áp dụng nguyên lý số nguyên tố. Như chúng ta biết, số nguyên
tố rất đặc biệt vì chúng là một số nguyên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ta dễ dàng thực hiện
phép nhân giữa các số nguyên tố với nhau. Ví dụ, ai cũng có thể nhân được 319489 x 242483 =
774707470337. Nhưng quá trình ngược lại lại rất phức tạp. Ví dụ để kiểm tra xem số
267281174273 có phải là số nguyên tố hay không, ta phải mất rất nhiều thời gian với hàng loạt
phép tính mới có thể phát hiện được số này là kết quả của phép nhân giữa 274177 với 974849.
Mà đây mới chỉ là những số có ít chữ số. Các bạn hình dung nếu kết quả ban đầu là một số có 20,

30 hay 50 chữ số thì khối lượng các phép toán sẽ khổng lồ đến mức nào!
Ngược lại với các phương pháp hai chiều hay còn gọi là đối xứng, mô hình số nguyên tố cho phép
dễ dàng mã hóa thông tin nhưng dường như là không thực hiện được quá trình ngược lại. Ví dụ,
chúng ta có thể chọn hai số nguyên tó p và q bất kỳ sau đó nhân chúng với nhau để thu được kết
quả N. N chính là mật mã và ai cũng có thể biết được mật mã này và sử dụng nó để khóa một
thông tin ai đó gửi cho bạn nhưng không ai biết được kết quả N là phép nhân hai số p và q (hai
yếu ốt không thể thiếu để giải mã và chỉ có bạn biết) nên không thể đọc được thông tin mã hóa
của bạn. Phương pháp này vừa dễ thực hiện mà độ bảo mật lại rất cao.
Dựa trên nguyên tắc này, các nhà lập trình và quản lý mạng máy tính đã nghĩ ra một hệ thống mã
hóa đáp ứng được hai yêu cầu cơ bản là dễ sử dụng và độ bảo mật cao của các thông tin trên
mạng Internet mang tên RSA (*) (RSA là tên viết tắt của các thành viên sáng lập: Rivest, Shamir và
Adleman). Năm 1991, Phil Zimmermann cũng đã nghĩ ra một phiên bản khác hiệu quả hơn đặt tên
là PGP (Pretty Good Privacy). Tất cả mọi người đều có thể truy cập vào PGP thông qua Internet
để khóa thông tin của mình.
(Theo Diễn đàn Toán học, Tạp chí Tia Sáng)