Dinh huong giai PT vo ty

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHÂN LOẠI VAØ ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH
GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM X DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI

( Hoàng Long Tiến Quốc - GV THCS Lý Tự Trọng)

<b>A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:</b>

Cùng với sự phát triển của xã hội, việc giáo dục trong các trường học
cũng không ngừng phát triển và có những thay đổi cho phù hợp với đà phát
triển của xã hội. Năm học 2002 - 2003 cả nước đã chính thức đưa chương trình
sách giáo khoa mới vào các trường Tiểu học và Trung học cơ sở. Điều này đã
khiến cho khơng ít giáo viên và học sinh gặp nhiều khó khăn vì cịn bỡ ngỡ với
các nội dung và phương pháp mới. Hơn nữa lớp 9 lại là lớp cuối cấp, chương
trình nặng và khó do lượng kiến thức cần có sự tổng hợp của những lớp trước.
Trong chương trình mới khơng đề cập riêng từng dạng toán. Nhưng khi giảng
dạy giáo viên cũng cần định hình cho học sinh nhận biết riêng lẻ các dạng toán
để học sinh định được hướng giải khi gặp những dạng toán tương tự. Việc làm
này cũng là một biện pháp để hình thành việc giải tốn, tổng hợp và khái qt
hóa. Chính vì thế mà việc phân loại các dạng toán cho học sinh là cần thiết.

<b>B/ NỘI DUNG CỤ THỂ:</b>
<b>* Đặc điểm tình hình:</b>
<b>1/- Thuận lợi:</b>

 Sách giáo khoa có nhiều hình ảnh đẹp, sinh động, gây hứng thú cho học
sinh.

 Tài liệu tham khảo nghiên cứu mơn tốn nhiều, phong phú.

 Bài học được xây dựng theo quan điểm: học sinh tìm ra những kiến thức
mới thông qua những bài tập (câu hỏi: ?1, ?2,… ) . Đồng thời cịn có những

bài giải mẫu,giúp học sinh có thể tự trình bày bài giải của mình.

 Học sinh được giáo viên quan tâm, tận tình khuyên bảo, động viên và
giúp đỡ trong việc học.

 Giáo viên nhiệt tình và có trách nhiệm cao trong việc giảng dạy.

<b>2/- Khó khăn:</b>

 Một số học sinh chưa tự giác học tập và ở xa trường.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

 Một số HS còn thụ động, nhút nhát.

 Phụ huynh chưa quan tâm sâu sát đến việc học của HS.

<b>3/ NỘI DUNG:</b>

Là một giáo viên giảng dạy mơn tốn thì việc định hướng cho học sinh
phân loại và tìm cách giải cho mỗi dạng tốn là hết sức quan trọng. Khi học
sinh đã hình thành được cách giải cho từng dạng tốn, từ đó học sinh có thể giải
được những dạng tốn tương tự và có thể phát triển thành những dạng tốn
khác, khó hơn, phức tạp hơn.

Dạng tốn tìm x học sinh đã làm quen rất nhiều ở tiểu học và các lớp ở
THCS. Đến lớp 9 học sinh được làm quen với tốn tìm x khi x ở dưới căn bậc
hai. Thực ra việc giải phương trình cũng được xem là tốn tìm x. Song tìm x vẫn
được xem là thiết thực hơn. Thực ra dạng tốn tìm x trong chương trình khơng
nhiều, nhưng cái khó mà học sinh gặp phải ở đây là thường những dạng tốn
tìm x khơng có một hướng giải chung. Thực ra thì ta có cách giải chung đấy
chứ. Bởi đó mà khi dạy về dạng tốn tìm x ở chương I đại số 9. Tơi đã hình

thành cho học sinh một hướng đi chung:

<b>Ví dụ 1:</b>

Bài tập 9 trang 11 SGK: Tìm x biết:

a/ <i>_x</i>2 _7 b/ 2 ₈




<i>x</i>

Học sinh sẽ tìm hướng giải bằng việc áp dụng kiến thức: <i>A</i>2 <i>A</i> để giải:

a/ 2 7



<i>x</i> x = 7  x =  7 b/ 2 8




<i>x</i> __x _= _-8 __ x = _ 8.

Cách giải trên chúng ta sẽ mở rộng cho việc giải tốn tìm x khi vế trái có một
biểu thức bình phương ở dưới dấu căn bậc hai.

<b>Ví dụ 2: </b>

Bài tập 74 trang 40 SGK. Tìm x biết: 2<i>x</i>12 3

 2x - 1= 3

 2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = -3.
 x = 2 hoặc x = -1.

Như vậy học sinh sẽ tự hình thành được cho mình hướng giải những bài tốn tìm
x mà dưới dấu căn bậc hai có chứa một biểu thức bình phương là áp dụng kiến
thức <i>A</i>2 <i>B</i>  <i>A</i> <i>B</i> (áp dụng cách giải phương trình chứa trị tuyệt đối ở lớp

8) để giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 <i>A</i> <i>B</i>

* Nếu B < 0 phương trình <i>A</i>2 <i>B</i> vô nghiệm. Vì A2  0

* Nếu B  0 ta phân ra hai trường hợp: A = B hoặc A = - B.
Đến đây, để tạo tính có vấn đề với học sinh đồng thời kích thích sự sáng tạo của
học sinh, giáo viên tiếp tục mở rộng cho học bằng việc đặt ra những bài tốn
có mức độ khó hơn, nhưng vẫn áp dụng kiến thức <i>A</i>2 <i>B</i> để giải.

<b>Ví dụ 3: </b> Tìm x, biết:

Bài 35 trang 20 SGK : a/ 4 2 4 1 6



 <i>x</i>

<i>x</i>

Baøi 27 trang 5 SBT : c/ 1 4 4 2 5




 <i>x</i> <i>x</i>

d/ 2 6 9 3 1





 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

Những bài toán trên, biểu thức dưới dấu căn khơng phải là một biểu thức bình
phương nữa mà là tam thức bậc hai. Đặt vấn đề với học sinh là làm thế nào để
đưa những biểu thức dưới dấu căn về dạng một biểu thức bình phương. Hoặc
dạng <i>A</i>2 <i>B</i>

Học sinh sẽ liên tưởng ngay đến việc ứng dụng hằng đẳng thức:

a2

 2ab + b2 = (a  b)2 để biến đổi các biểu thức dưới dấu căn về dạng

<i>B</i>

<i>A</i>2   <i>A</i> <i>B</i>

Các bài tốn trên được giải như sau:

Bài 35 trang 20 SGK : a/ 4 2 4 1 6



 <i>x</i>
<i>x</i>

 2 12 6




<i>x</i>

 2<i>x</i>1 6

 2x – 1 = 6 hoặc 2x – 1 = -6
 x = ₂7 hoặc x = ₂5
Bài 27 trang 5 SBT : c/ 1_ 4<i>_x</i>_4<i>_x</i>2 _5

 2 12 5




<i>x</i>

 2<i>x</i> 1 5 (giải tương tự như bài trên)

d/ 2 6 9 3 1





 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

  32 3 1




 <i>x</i>

<i>x</i>

 <i>x</i>3 3<i>x</i> 1

 x + 3 = 3x – 1 hoặc x + 3 = - 3x + 1
 x = 2 hoặc x =

2

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Như vậy vấn đề được đặt ra là nếu như biểu thức dưới dấu căn bậc hai cũng là
một tam thức bậc hai nhưng khơng thể đưa được về dạng <i>A</i>2 <i>B</i> thì ta giải như

thế nào?
Chẳng hạn:

<b>Ví dụ 4</b>: Tìm x bieát:

2
7
7
2

18
21

3 2 2








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> (với x2 + 7x + 7  0)

Giải: Ta thấy rằng x2_{+ 7x + 7 biến đổi về dạng bình phương của một tổng là}

không thể được, như vậy ta cần phải có một cách giải khác?

Giáo viên hướng dẫn học sinh đến việc áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt x2 7x 7



 = y  0 thì x2 + 7x + 7 = y2

3 2 21 18 2 2 7 7 2








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 3y2 – 3 +2y = 2
 3y2 +2y – 5 = 0
 (y – 1)(3y + 5) = 0
 y = 1 hoặc y =

3
5



(loại)

Do đó x2 7x 7



 = 1

 x2 + 7x + 7 = 1
 x2 + 7x + 6 = 0
 (x + 1)(x + 6) = 0
 x = - 1 hoặc x = -6

<i><b>Nhận xét</b></i>:

các giá trị x = -1; x = -6 thoả mãn điều kiện x2_{+ 7x + 7  0.}

Từ đây giáo viên hình thành cho học sinh hướng giải những phương trình vơ tỉ
trong chương trình tốn nâng cao lớp 9.

* Đối với những bài toán mà tưởng chừng như đơn giản hơn những bài tốn nêu
trên thì chúng ta thực hiện giải chúng như thế nào?

<b>Ví dụ 5:</b>

Bài 34 trang 8 SBT: Tìm x, biết:
a/ <i>x</i> 53

b/ 2<i>x</i> 1 5

c/ <i>x</i> 10 10

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Giáo viên cần định hướng cho học sinh thấy rằng, các căn thức ở vế trái không
âm (các căn thức đã xác định). Do đó nếu vế phải cũng khơng âm. Chúng ta áp
dụng việc bình phương hai vế:

a/ <i>x</i> 53 _ x – 5 = 9 b/ 2<i>x</i> 1 5 _ 2x – 1 = 5
 x = 14.  x = 3.

c/ <i>x</i> 1010 ( vô nghiệm).

Qua bài tập này học sinh có thể định hướng được cách giải dạng tốn tìm x khi
dưới dấu căn là nhị thức bậc nhất. Học sinh có thể đưa ra phương pháp giải
chung:

Tốn tìm x có dạng <i>A</i><i>B</i> ( A: nhị thức bậc nhất đã xác định, B là một hằng

số).

<i>B</i>
<i>A</i>

* Nếu B  0  A = B2

* Nếu B < 0 thì phương trình đã cho vơ nghiệm.
Khi đó bài tập 77 trang 15 SBT, học sinh có thể giải được ngay.

<b>Ví dụ 6:</b>

Tìm x,biết :

a/ 2<i>x</i>3 1 2

b/ 3<i>x</i> 22 3

c/ <i>x</i>1 5 3 (vô nghiệm).

Như vậy nếu như học sinh gặp những dạng tốn cũng là tốn tìm x, song mức
độ khó hơn, phức tạp hơn thì việc giải cũng khơng gặp khó khăn cho lắm, học
sinh có thể biến đổi về dạng <i>A</i><i>B</i>để giải.

Chẳng hạn:

<b>Ví dụ 7:</b>

Tìm x, biết: Bài 74b trang 40 SGK: <i>x</i> <i>x</i> 15<i>x</i>

3
1
2
15
15

3

5





Baøi 60b trang 33 SGK: 16<i>x</i>16 9<i>x</i>9 4<i>x</i>4 <i>x</i>116

Học sinh biến đổi được như sau:

Baøi 74b trang 40 SGK: <i>x</i> <i>x</i> 15<i>x</i>

3
1
2
15
15

3
5





 15<i>x</i> = 6

 15x = 36

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 4 <i>x</i>1 3 <i>x</i>12 <i>x</i>1 <i>x</i>116

 <i>x</i>1 = 4.

 x + 1 = 16

Từ những ví dụ trên mà giáo viên có thể mở rộng cho học sinh những bài tốn
tương tự, cũng là dạng tốn tìm x nhưng câu hỏi đặt ra là giải phương trình.

<b>Ví dụ 8</b>: Giải các phương trình sau:

1/ <i>x</i>4 <i>x</i>12

2/ <i>x</i> 41 <i>x</i> 3

Chắc hẳn rằng khi học sinh gặp bài tốn này thì các em sẽ bình phương
hai vế để giải. Nhưng nếu không biến đổi thêm mà để bài tốn như ban đầu rồi
bình phương hai vế thì liệu rằng việc giải có thuận lợi khơng? Như vậy vấn đề
đặt ra ở đây là cần biến đổi thêm, trước khi bình phương hai vế khi gặp dạng
tốn này.

Chẳng haïn: 1/ <i>x</i>4 <i>x</i>12 2 <i>x</i>4 <i>x</i>1

Trong ví dụ này chưa đề cập gì về điều kiện để cho các căn thức có
nghĩa, ví dụ trên chẳng qua chúng ta tăng thêm mức độ khó khi học sinh bình
phương hai vế. Như vậy để đảm bảo tính khoa học, cần phải cho học sinh thực
hiện những ví dụ sau đây:

<b>Ví dụ 9:</b> Giải phương trình:

<i>x</i>

<i>x</i> 

 2 3

3

Học sinh sẽ biến đổi nhanh: 2<i>x</i> 3 <i>x</i> 3

Sau đó bình phương hai vế :  2x – 3 = (x – 3)2
 2x – 3 = x2 – 6x + 9
 x2 – 8x + 12 = 0
 (x – 2)(x – 6) = 0
 x1 = 2; x2 = 6.

<i><b>Nhận xét:</b></i>

Nếu khơng đặt điều kiện 2x – 3  0 và x – 3  0 để suy ra điều kiện của
phương trình là x  3

Thì khi thay giá trị x1 = 2 vào phương trình thì giá trị x1 = 2 không phải là nghiệm.

Từ đây học sinh dễ dàng chấp nhận việc tìm điều kiện xác định của phương
trình trước khi tiến hành giải phương trình.

Như vậy bài trình bày đúng phải là.

<i>x</i>
<i>x</i> 

 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

 2<i>x</i> 3 <i>x</i> 3

Điều kiện xác định của phương trình : 2x – 3  0 và x – 3  0  x  3
Sau đó bình phương hai vế :

 2<i>x</i> 3 <i>x</i> 3

 2x – 3 = (x – 3)2
 2x – 3 = x2 – 6x + 9
 x2 – 8x + 12 = 0
 (x – 2)(x – 6) = 0

 x1 = 2; (loại) x2 = 6. (nhận)

Vaäy nghiệm của phương trình là x = 6.

<b>Ví dụ 10</b>: Giải phương trình:

2
3
1
5

1   

 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

Điều kiện xác định củaphương trình là x  1.
Chuyển vế ta có <i>x</i>1 5<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2

Bình phương hai vế ta được

2
13
15

2
2
3
1
5

1 2










 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

Rút gọn thành 2 7 2 15 2 13 2





 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> (1)
Đến đây có hai cách giải

<i><b>Cách 1</b></i>: với điều kiện 2 – 7x  0

Thì (1)  4 – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2)

 11x2 – 24x + 4 = 0
 (11x – 2)(x – 2) = 0


11
2

1 

<i>x</i> (không thoả mãn điều kiện)

2

2 

<i>x</i> _{( khơng thoả mãn điều kiện)}

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.

<i><b>Cách 2</b></i>: Ta phải có 2 – 7x  0 tức là x  ₇2 điều này trái với diều kiện x  1.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

giúp học sinh phát huy hết tính tích cực chủ động của mình từ đó học sinh có
thể tự giải quyết được những vấn đề khó khăn trong tương lai.

</div>

<!--links-->