Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong chương trình toán THPT

ĐẠI HỌC
 ĐÀ NẴNG
 HỌC SƯ PHẠM
TRƯỜNG ĐẠI


KHOA
TỐN


-----
----








KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT

Giảng viên hướng dẫn : ThS. NGƠ THỊ BÍCH THỦY
Sinh viên thực hiện

: ĐẶNG THỊ LY

Lớp

: 15ST

ĐÀ NẴNG – NĂM 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----- -----

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI :

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT

Giảng viên hướng dẫn: ThS. NGƠ THỊ BÍCH THỦY
Sinh viên thực hiện: ĐẶNG THỊ LY
Chuyên ngành: Sư phạm Toán
Lớp: 15ST

ĐÀ NẴNG – NĂM 2019


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán trường Đại học Sư
phạm - Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành
khóa luận.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cơ Ngơ Thị Bích
Thủy, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm khóa luận.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn các ý kiến đóng góp q báu, sự động viên giúp đỡ nhiệt
tình của các thầy cô, bạn bè trong thời gian thực hiện khóa luận.
Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019
Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Ly

SVTH: Đặng Thị Ly


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy
MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1.Lý do chọn đề tài .......................................................................................................... 1
2.Mục đích nghiên cứu .................................................................................................... 1
3.Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 1
4.1. Nghiên cứu lý luận ................................................................................................ 1

4.2. Nghiên cứu thực tế ................................................................................................ 2
5. Bố cục của đề tài .......................................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN..................................................................................... 3
1.1.Nội dung cơ bản về tích phân trong chương trình tốn THPT .............................. 3
1.1.1.Định nghĩa của tích phân ................................................................................. 3
1.1.2.Một số tính chất của tích phân ......................................................................... 4
1.2. Một số phương pháp tính tích phân thường gặp ................................................... 5
1.2.1. Phương pháp đổi biến số ................................................................................ 5
1.2.2. Phương pháp tích phân từng phần .................................................................. 6
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI
TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT ...................................... 8
2.1. Bài tốn tính diện tích hình phẳng ........................................................................ 8
2.1.1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh ............................... 8
2.1.2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong ..................................................... 12
2.2.Bài tốn tính thể tích ............................................................................................ 16
2.2.1. Tính thể tích của vật thể................................................................................ 16
2.2.2. Tính thể tích khối chóp và khối chóp cụt ..................................................... 17
2.3. Bài tốn tính thể tích khối trịn xoay ................................................................... 19
2.3.1. Hình phẳng quay quanh trục Ox ................................................................... 19
2.3.2. Hình phẳng quay quanh trục Oy ................................................................... 20
2.4. Bài tốn về chuyển động ..................................................................................... 22
2.5. Bài toán về tăng trưởng phát triển....................................................................... 26
2.6. Bài toán về kinh tế............................................................................................... 30
2.6.1. Dạng 1: Tổng thu nhập của dòng tiền liên tục .............................................. 30
SVTH: Đặng Thị Ly


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

2.6.2. Dạng 2: Giá trị tương lai của dòng tiền liên tục ........................................... 30
2.6.3. Dạng 3: Chi phí cận biên và doanh thu cận biên trong sản xuất kinh tế ...... 33
2.6.4. Dạng 4: Một số dạng khác về sự tăng trưởng trong kinh tế ......................... 36
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 40

SVTH: Đặng Thị Ly


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tốn học là mơn khoa học cơ bản, có vai trị quan trọng trong đời sống và được
ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Đây là mơn học tương đối khó, mang tính tư duy cao,
địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá và say mê nghiên cứu. Tích phân là
một trong những mảng kiến thức quan trọng trong giải tích lớp 12. Các bài tốn tích
phân nói chung và bài tốn ứng dụng tích phân nói riêng rất đa dạng và phong phú,
thường có trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông. Những năm gần đây, Bộ
Giáo dục và Đào tạo triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với mơn Tốn. Vì vậy
những bài tập về ứng dụng tích phân vào giải các bài tốn thực tế gây khơng ít khó
khăn cho học sinh.
Trong q trình giảng dạy, ngồi việc khuyến khích học sinh tích cực chủ động và
sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải tốn, giáo viên cịn là
người khơi gợi cho học sinh vận dụng những bài tốn đó để giải quyết các vấn đề
trong thực tiễn.
Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài

tốn thực tế trong chương trình tốn THPT” nhằm nâng cao hiệu quả dạy học tích
phân sau này.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu chương trình tích phân ở phổ thơng. Qua đó, đưa ra các dạng bài tập gắn
liền thực tiễn mà người học phải dùng kiến thức tích phân để giải.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:
1. Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu, nêu ra một số dạng toán ứng dụng của tích
phân vào giải các bài tốn thực tế trong chương trình tốn THPT.
2. Hệ thống hóa những kiến thức và kĩ năng cần thiết để học sinh nắm vững kiến
thức về tích phân xác định.
3. Đề xuất một số ví dụ, bài tập về ứng dụng của tích phân trong thực tế.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu từ một số tài liệu, sách báo, hay truy tập Website để thu thập thông tin,
nghiên cứu các đề tài có liên quan trực tiếp nhằm làm rõ các khái niệm cũng như kiến
thức cơ bản ban đầu.

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

4.2. Nghiên cứu thực tế
Trong quá trình đi thực tập vệ tinh, tơi trao đổi với một số thầy cơ dạy tốn có kinh
nghiệm về dạy tích phân cũng như tìm hiểu các ứng dụng của tích phân trong thực tiễn

mà thầy cô thường dạy cho học sinh.
5. Bố cục của đề tài
Đề tài gồm 2 chương sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận
1.1. Nội dung cơ bản về tích phân trong chương trình tốn trung học phổ thơng
1.2. Một số phương pháp tính tích phân thường gặp
Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài tốn thực tế trong chương
trình tốn THPT
2.1. Bài tốn về tính diện tích
2.2. Bài tốn về tính thể tích
2.3. Bài tốn về tính thể tích khối trịn xoay
2.4. Bài tốn về chuyển động
2.5. Bài toán về tăng trưởng, phát triển
2.6. Bài toán về kinh tế
Kết luận

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Nội dung cơ bản về tích phân trong chương trình tốn THPT
1.1.1. Định nghĩa của tích phân
Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của
f  x  trên đoạn [𝑎; 𝑏].

Hiệu số 𝐹 (𝑏) − 𝐹(𝑎) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên
đoạn [𝑎; 𝑏]) của hàm số f  x  , kí hiệu là
b



f ( x ) dx

a

Ta cịn dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F  b   F  a 
b

b

b

 f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a 

Vậy

a

b

Ta gọi



là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới

a

dấu tích phân và f  x  là hàm số dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1:
2

1)

 3x

2

dx  x3

1
e

2)

1

2
1

 t dt  ln | t |

 23  13  8  1  7

e
1

 ln e  ln1  1  0  1

1

Nhận xét:
b

a) Tích phân của hàm số 𝑓 từ a đến b có thể kí hiệu bởi

 f ( x)dx
a

b

hay

 f (t )dt

.

a

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào 𝑓 và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến
số x hay t.

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

b) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f  x  liên tục và không âm trên
b

đoạn [𝑎; 𝑏] thì tích phân

 f ( x)dx

là diện tích S của hình thang cong giới hạn

a

bởi đồ thị của hàm số f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b . Vậy
b

S   f ( x)dx
a

1.1.2. Một số tính chất của tích phân
Cho hàm số f  x  liên tục trên [𝑎; 𝑏], k 

và 𝑐 ∈ [𝑎; 𝑏]

a

1.

 f ( x)dx  0
a

2.

3.

4.

5.

6.

b

a

a

b

 f ( x)dx    f ( x)dx
b

b

a

a

b

c

b

a

a

c

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
5

a)

 5xdx
3

1

b)

  2 x  3dx
0

Giải:
5

5

a) Ta có  5 xdx  5 xdx 
3

SVTH: Đặng Thị Ly

3

5 2
x
2

5

 40
3

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

1

b) Ta có

1

1

  2 x  3dx   2 xdx   3dx   x
0

0

2

 3x

0



1

4
0

1.2. Một số phương pháp tính tích phân thường gặp
1.2.1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Giả sử hàm số 𝑥 = 𝜑(𝑡) có đạo hàm
liên tục trên đoạn [𝛼; 𝛽] sao cho 𝜑(𝛼) = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏 và a ≤ 𝜑(𝑡) ≤ 𝑏 với mọi 𝑡 ∈
[𝛼; 𝛽]. Khi đó:


b

 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt.
'

a

1

1
dx.
1  x2
0

Ví dụ 3: Tính I  

Giải:


Đặt x  tan t , 

2

t 


2

. Ta có dx 

1
dt
cos 2 t

Đổi cận: Với x  0  t  0
Với x  1  t 


0

4


4

Do đó, I  



4

dt

4 

dt

t


0
2
2
4
1  tan t cos t 0





Chú ý :
Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau :
Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Để tính

b

 f ( x)dx , đơi khi ta chọn hàm
a

số u  u ( x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn  a; b  , u ( x) có đạo hàm liên tục và
u ( x )   ;   .

Giả sử ta có thể viết

f ( x)  g (u ( x))u ' ( x), x   a; b  ,
SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

với g (u ) liên tục trên đoạn  ;   .
Khi đó, ta có
u (b)

b

 f ( x)dx  
a
3

Ví dụ 4: Tính I=

x
1

g (u )du.

u(a)

2x
dx.
9

2

Giải:

Đặt x  9  u  2 xdx  du
2

Đổi cận: Với x  1  u  10
Với x  3  u  18
18

Khi đó ta có I 

1

 u dt  ln | u |

18
10

 ln

10

9
5


2

Ví dụ 5: Tính I   sin 2 x cos xdx.
0

Giải:

Đặt u  sinx  du  cos xdx
Đổi cận: Với x  0  u  0
Với x 


2

 u 1
1

1

1 3
1
Khi đó ta có I   u du  u 
3 0 3
0
2

1.2.2. Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 𝑢 = 𝑢(𝑥) và 𝑣 = 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì
b

b

b

 u( x)v ( x)dx   u( x)v( x)    u ( x)v( x)dx
'

'

a

𝑏

a

a

𝑏

Hay ∫𝑎 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑣𝑑𝑢.

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy


2

Ví dụ 6: Tính I=

 x sin xdx.
0

Giải:

 ux
 du  dx

Đặt 
dv  sin xdx v   cos x



2

Khi đó ta có I    x cos x  02   cos xdx
0





   x cos x  02  s inx 02

1

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI
TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT
2.1. Bài tốn tính diện tích hình phẳng
2.1.1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục, trục hoành
và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo cơng thức:
𝑏

𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
𝑎

Phương pháp:
Bước 1: Lập bảng xét dấu hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]
𝑏

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 𝑆 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 2 , trục hoành và
hai đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 2.
Giải:
Ta có 𝑥 2 ≥ 0 trên đoạn [0; 2].
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là:
2

2

𝑠 = ∫ | 𝑥 2 |𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =
0

0

1 3 2 8
𝑥 | =
3
0 3

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3,
trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 3.
Giải:
Ta có  x  4 x  3  0  x  1  x  3
2

Bảng xét dấu
x
𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3

SVTH: Đặng Thị Ly

0

1
−

0

3
+

0

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Khi đó diện tích hình phẳng đã cho là
3

𝑆 = ∫0 |−𝑥 2 + 4𝑥 − 3| 𝑑𝑥
1

3

= − ∫0 (−𝑥 2 + 4𝑥 − 3)𝑑𝑥 + ∫1 (−𝑥 2 + 4𝑥 − 3)𝑑𝑥
1

1

3

3

= − (− 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥)| 10 + (− 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥)| 31



8
3

Ví dụ 3: Vịm cửa lớn của trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng hình Parabol.
Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp
vào biết rằng vịm cửa cao 8m và rộng 8m.

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Phân tích:
y
8

A

C

-4

B

O

4

x

Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi đường thẳng BC và đường cong
Parabol cho nên ta có thể dùng cơng thức tích phân để tính diện tích hình phẳng này.
Như vậy, ta cần đưa đường cong Parabol của cánh cửa vào hệ trục Oxy và đường
cong Parabol đó là hàm số có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Dựa vào chiều cao 8m và chiều rộng 8m tính được hệ số a, b, c
Dùng cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong
và trục hoành.
Lưu ý rằng cánh cửa rộng 8m và ta cho Parabol đối xứng với nhau qua trục Oy nên
dễ dàng tính được các cận x = 4 và 𝑥 = −4.
Giải:
Khơng mất tính tổng qt, ta xét Parabol (P): 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dựa vào hình vẽ ta
có
1

a

c 8
 A(0;8)  P

2



 B (4; 0)  P  16a  4b  c  0   b  0
C ( 4; 0)  P
16a  4b  c  0

 c 8





1
 ( P) : y   x 2  8
2
Do đó diện tích mặt kính cần lắp là
4

128 2
 1

 1

S  2   x 2  8 dx    x3  16 x  
(m )
2
3
3




0
0
4

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Ví dụ 4: Một mảnh vườn hình thang cong OACB vng tại O và B có dạng như
hình vẽ, trong đó độ dài các cạnh OA = 15m, OB = 20m, BC = 25m và đường cong
OC được mô tả bởi một hàm số mũ có dạng f ( x)  N .emx , trong đó N và m là các hằng
số. Hỏi mảnh vườn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm trịn 2 chữ số thập phân).
C
A

15

25

B
O

20

Phân tích :
y
C
A
25

15
O

20

B

x

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó hình thang cong OACB được đơn giản
hóa trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường cong AC đi qua điểm A(0;15), và C(20;25). Từ đó,
suy ra được N và m.
Dùng cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong,
trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 20.
Giải:
Khơng mất tính tổng quát, ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sao cho các đoạn
thẳng OA, OB lần lượt nằm trên các trục Oy, Ox
SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Dựa vào hình vẽ ta có đường cong AC đi qua điểm A(0;15) và C(20;25)

 f (0)  15

 N  15


20 m
Ne

25
 f (20)  25



Suy ra 

 𝑓(𝑥) = 15𝑒

1
20

𝑥. 𝑙𝑛

 N  15

1
5

m
ln

20
3



5
3
1

5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 𝑓(𝑥) = 15𝑒 𝑥.20ln3 , trục hoành,hai
đường thẳng x = 0 và x = 20 là
20

20
1

5

𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 15𝑒 𝑥.20𝑙𝑛3 𝑑𝑥 = (
0

0

1 5
20
20
. 15𝑒 𝑥.20𝑙𝑛3 )|
= 391.52(𝑚2 )
5
0
𝑙𝑛

3

2.1.2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hàm số y  f ( x ) và y  g ( x ) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
Xét trường hợp f ( x)  g ( x) với mọi x   a; b  . Gọi S1 , S2 là diện tích của hai hình
thang cong giới hạn bởi trục hồnh, hai đường thẳng x  a, x  b và các đường cong
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) tương ứng. Khi đó, diện tích S của
D là

b

S  S1  S 2    f ( x)  g ( x)  dx

D

a

Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được công thức
b

S   f ( x)  g ( x) dx

(1)

a

Chú ý:
Khi áp dụng công thức (1) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu
tích phân. Muốn vậy, ta phải giải phương trình f  x   g  x   0 trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Giả

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

sử phương trình có hai nghiệm 𝑐, 𝑑 (𝑐 < 𝑑). Khi đó, f ( x)  g ( x ) khơng đổi dấu trên
các đoạn [𝑎; 𝑐 ], [𝑐; 𝑑 ], [𝑑; 𝑏]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [𝑎; 𝑐], ta có
c



c

f ( x)  g ( x) dx 

a

  f ( x)  g ( x) dx
a

Phương pháp:
Bước 1: Giải phương trình f ( x)  g ( x) tìm các nghiệm thuộc đoạn [𝑎; 𝑏]
Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số f ( x )  g ( x ) trên đoạn [𝑎; 𝑏]
b

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân S   f ( x)  g ( x) dx
a

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x  0, x   và đồ
thị của hai hàm số y  cos x, y  s inx .
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  cos x, y  s inx là

cos x  sinx
 cos x  sinx  0

x


4

  0;  

Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là




4



0



S   cos x  sin x dx   cos x  sin x dx   cos x  sin x dx
0

4







4

  cos x  sin x  dx    cos x  sin x  dx
0

4





  sin x  cos x  04   sin x  cos x    2 2
4

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  x3  11x  6, y  6 x 2
Giải:
3
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y  x  11x  6, y  6 x

là

x 3  11x  6  6 x 2
 x 1
 x  6 x  11x  6  0   x  2

x  3
3

2

Bảng xét dấu
x

1

x 3  6 x 2  11x  6

0

2
+

0

3
−

0

3
2
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  11x  6, y  6 x là:
2



3







S   x  6 x  11x  6 dx   x3  6 x 2  11x  6 dx
3

2

1

2
2

3

 x4
  x4

11x 2
11x 2
1
   2 x3 
 6 x     2 x3 
 6x  
2
2
 4
1  4
2 2

Ví dụ 7: Ơng An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ
dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một mảnh đất rộng 8m và nhận trục bé
của elip làm trục đối xứng( như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/
1m2 . Hỏi ơng An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến
hàng nghìn).

8m

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Phân tích :
Để tính kinh phí trồng hoa trên dải đất đó ta phải tính diện tích mảnh đất bằng bao
nhiêu?
Vì mảnh vườn hình elip nên ta cần phải viết phương trình đường Elip biểu thị cho
mảnh vườn có dạng

x2 y 2

1
a 2 b2

Từ giả thiết suy ra a  8 và b  5 . Suy ra phương trình Elip là
𝑥2
64

+

𝑦2

25

5
= 1 ⇒ [ 𝑦 = − 8 √64 − 𝑥 2 (𝐸1 )
𝑦 = 5 √64 − 𝑥 2 (𝐸2 )
8

Khi đó diện tích mảnh vườn được giới hạn bởi các đường (𝐸1 ); (𝐸2 ); 𝑥 = −4;
𝑥 = 4.
Giải:
Giả sử elip có phương trình là

x2 y 2

1.
a 2 b2

Từ giả thiết ta có 2a  16  a  8 và 2b  10  b  5
Vậy phương trình Elip là

𝑥2 𝑦2
+
=1
64 25
⇒[

𝑦 = − 5 √64 − 𝑥 2 (𝐸1 )
8

𝑦 = 5 √64 − 𝑥 2 (𝐸2 )

8

Khi đó diện tích mảnh vườn được giới hạn bởi các đường (𝐸1 ); (𝐸2 ); 𝑥 = −4;
𝑥 = 4 là
4

5
5
3
2
S  2
64  x dx   64  x 2 dx  80  

8
20
4
6 4 
4

Số tiền ông An cần để trông hoa trên dải đất là:

3
T  80  
 .100000  7652891.82
4 
6

(đồng)

Do làm trịn đến hàng nghìn nên số tiền ơng An cần để trồng hoa trên dải đất là

7653000 đồng.
SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

2.2. Bài tốn tính thể tích
2.2.1. Tính thể tích của vật thể
Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với trục Ox lần lượt tại
x = a, x = b (atheo một thiết diện có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm liên tục trên  a; b  .

Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo
cơng thức:
b

V   S ( x)dx
a

Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = -1, biết rằng
thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ
x (1  x  1) là một hình vng cạnh 2 1  x 2 .
Giải:
2
Gọi S(x) là diện tích của thiết diện hình vng cạnh 2 1  x



 S ( x)  2 1  x 2



2

Vậy thể tích của vật thể cần tìm là:
1

1



V   s( x)dx   2 1  x
1

1

2

 dx  4  1  x dx
2

1

2

1

1


x3 
16
 4 x   
3  1 3


SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

2.2.2. Tính thể tích khối chóp và khối chóp cụt
2.2.2.1. Thể tích khối chóp
Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B.
Chọn trục Ox vng góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh
của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ OI . Khi đó, OI  h . Một mặt phẳng
( ) vng góc với Ox tại x (0  x  h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là
S ( x) (hình vẽ). Ta có

x2
S ( x)  B 2
h

Khi đó, thể tích V của khối chóp là
h

x2
B  x3 
Bh
V   B 2 dx  2   
h
h  3 0
3
0
h

2.2.2.2. Thể tích khối chóp cụt
Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B ' và
chiều cao bằng h.
Chọn trục Ox trùng với đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S. Hai
mặt phẳng đáy của khối chóp cụt cắt Ox tại I và I ' . Đặt OI  b, OI '  a ( a  b) . Gọi
V là thể tích của khối chóp cụt. Ta có
b

x2
B
V   B 2 dx  (b3  a 3 )
b
3b
a
B

b  a a 2  ab  b2
.
3
b2

a2
Vì B '  B 2 và h  b  a nên
b

V

SVTH: Đặng Thị Ly

h
( B  BB '  B ') .
3
Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy

Ví dụ 9: Một cái xơ bằng inox có dạng hình nón cụt (như hình vẽ), biết chiều cao
của cái xơ là 24cm, bán kính đáy của xơ là 10cm, bán kính miệng xơ là 20cm. Tính thể
tích của cái xơ.

Phân tích:
Vì cái xơ bằng inox có dạng hình nón cụt nên ta áp dụng cơng thức tính thể tích
khối chóp cụt.

Gọi B là diện tích của đáy xơ, vì đáy xơ là hình trịn có bán kính bằng 10cm nên khi
đó ta có
B   .102  100 (cm2 )

Gọi B ' là diện tích của miệng xơ, vì miệng xơ là hình trịn có bán kính bằng 20cm
nên khi đó ta có
B '   .202  400 (cm2 )

Áp dụng cơng thức tính thể tích khối chóp cụt để tính thể tích của cái xơ
Giải:
Gọi B là diện tích của đáy xơ, vì đáy xơ là hình trịn có bán kính bằng 10cm nên khi
đó ta có
B   .102  100 (cm2 )

Gọi B ' là diện tích của miệng xơ, vì miệng xơ là hình trịn có bán kính bằng 20cm
nên khi đó ta có
B '   .202  400 (cm2 )

Vậy thể tích của cái xô là
h
V  ( B  BB '  B ')
3

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy


24
(100  100 .400  400 )
3

 5600 (cm3 )

2.3. Bài toán tính thể tích khối trịn xoay
2.3.1. Hình phẳng quay quanh trục Ox
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  ,
trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục Ox ta được khối trịn xoay có
thể tích là:

b

V    f 2 ( x)dx
a

Ví dụ 10: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối trịn xoay được tạo thành
khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 , y = 0, quay quanh trục Ox biết
đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm. Khi đó thể tích của cái lọ
bằng bao nhiêu?
Giải:
Do đường kính của đáy lọ là 2dm  bán kính đáy lọ là 1dm  y  1  x  0 .
Tương tự ta có bán kính miệng lọ là 2dm  y  2  x  3
Vậy thể tích của cái lọ tạo bởi các đường y  x  1 , trục Ox, 2 đường thẳng
x  0, x  3 là
3

V 
0



2

3

 x2

15
x  1 dx     x  
(dm3 )
2
 2
0



Ví dụ 11: Trong nghiên cứu khoa học người ta sử dụng thể tích của một quả trứng
để xác định kích thước của nó là cách dự báo khá tốt về các thành phần cấu tạo của
trứng và đặc điểm của con non sau khi nở ra. Một quả trứng được mô hình bởi quay đồ
thị hàm số y 

1
7569  400 x 2 , 4.35  x  4.35 quanh trục Ox. Sử dụng mơ hình này
30

để tính thể tích của quả trứng, (x,y đo theo đơn vị cm).
SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy
Giải:

Trong mặt phẳng Oxy gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số
1
y
7569  400 x 2 , 4.35  x  4.35 quanh trục Ox.
30
Thể tích của quả trứng bằng thể tích của khối trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H)
quay quanh trục Ox. Vậy thể tích của quả trứng là
2


 1

V   
7569  400 x 2  dx 
7569  400 x 2 dx

30
900 4.35


4.35 
4.35

4.35





4.35

 

x3 

 7569 x  400 
900 
3  4.35

153(cm3 )

2.3.2. Hình phẳng quay quanh trục Oy
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g ( y ) liên tục trên đoạn  a; b  ,
trục Oy và hai đường thẳng y  a, y  b quay quanh trục Oy ta được khối trịn xoay có
thể tích là:

b

V    g 2 ( y )dy
a

O

Ví dụ 12: Cho hàm số y  4  x 4 có đồ thị (C), khối trịn xoay tạo thành khi quay
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox quanh trục Oy có thể tích bằng bao nhiêu?

Giải:
Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối trịn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong x  4 4  y , trục Oy và hai đường thẳng
y  0, y  4 quanh trục Oy là

SVTH: Đặng Thị Ly

Trang 20