Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân trong chương trình trung học phổ thông

1

Mục lục

Mục lục
Lời nói đầu
Chơng I: Các kiến thức cơ bản của tích phân
1.1. Định nghĩa tích phân
1.2. Tính chất của tích phân
1.3. Các phơng pháp tính tích phân
1.3.1. Phơng pháp áp dụng trực tiếp công thức Newton- Leibnitz
1.3.2. Phơng pháp đổi biến số
1.3.3. Phơng pháp tính tích phân từng phần
1.4. ý nghĩa hình học của tích phân
Chơng II. ứng dụng của tích phân trong Toán học
2.1. Tính diện tích hình phẳng
2.2. Tính độ dài cung của đờng cong
2.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
2.3.1. Thể tích của vật thể theo thiết diện ngang đã biết
2.3.2. Thể tích khối tròn xoay
2.4. Tính diện tích của mặt tròn xoay
2.5. Các bài toán vận dụng
Chơng III: ứng dụng của tích phân trong Vật lý
3.1. Sơ đồ tổng quát về ứng dụng của tích phân trong Vật lý
3.2. Moment tĩnh, moment quán tính và toạ độ trọng tâm
3.2.1. Đờng cong phẳng
3.2.2. Hình phẳng
3.4. Bài tập áp dụng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

2

Lời nói
Lời nóiLời nói
Lời nói đầu
đầu đầu
đầu



Toán học là một môn khoa học cơ bản cũng nh các môn khoa học khác
thuộc ngành KHTN, Toán học có liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có ứng dụng
rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ, sản xuất cũng nh
trong đời sống xã hội hiện đại. Toán học là công cụ của các ngành khoa học
khác.
Trong sự nghiệp GD- ĐT nớc ta những năm gần đây đang có xu hớng
phát triển t tởng dạy học theo hớng: Tăng cờng tính ứng dụng của Toán
học vào thực tiễn mà nội dung bao quát là: Học đi đôi với hành, giáo dục gắn
liền với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trờng kết
hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.
Hiện nay học sinh phổ thông mới chỉ biết vận dụng phần lý thuyết lĩnh
hội đợc để giải quyết các bài tập trong nội bộ môn Toán chứ cha biết vận dụng
phần lý thuyết đó vào những môn học khác và đời sống thực tiễn. Vì vậy rèn
luyện nâng cao năng lực ứng dụng Toán học là một trong những mục tiêu chủ
yếu của việc giảng dạy Toán học ở trờng phổ thông nhằm phát huy khả năng
ứng dụng của học sinh trong học tập và nâng cao hơn nữa chất lợng đào tạo.
Với những ứng dụng rộng rãi của tích phân trong xác suất thống kê, hình học,
vật lý, cơ học, thiên văn học, y học, trong các ngành công nghệ nh đóng tàu,

sản xuất ô tô, máy bay và ngành hàng không và với mong muốn tìm hiểu, làm rõ
hơn về khả năng cách thức vận dụng phơng pháp dạy học: Tăng cờng tính
ứng dụng của Toán học trong thực tiễn, ngoài ra để góp phần nâng cao chất
lợng dạy học nội dung tích phân ở trờng phổ thông tôi trình bày đề tài:
Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân trong chơng trình trung học
phổ thông bằng cách đa ra các kiến thức cơ bản cần nhớ và trên cơ sở đó xây
dựng hệ thống bài tập có ứng dụng của tích phân trong Toán học và Vật lý.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của khoá luận đợc trình bày trong 3 chơng:

3

Chơng 1. Các kiến thức cơ bản của tích phân
Chơng 2. ứng dụng của tích phân trong Toán học
Chơng 3. ứng dụng của tích phân trong Vật lý
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Công Tấn cùng
toàn thể các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán, trờng Đại học Hùng Vơng đã
tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. Mặc dù đã rất cố gắng nhng
tôi cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận đợc những ý kiến
đóng góp chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự quan tâm của bạn bè để đề tài đợc
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008
Tác giả

4

Chơng 1
Các kiến thức cơ bản của tích phân

Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn
[
]
;
a b
. Ta thực hiện một phép
chia đoạn
[
]
;
a b
thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia
0 1, 2
, , , ,
n

x x x x
sao cho
0 1 2 1

n
n
a x x x x x b

= < < < < < =
. Mỗi phép chia nh vậy gọi là một phép
phân hoạch đoạn
[
]
;
a b
. Ký hiệu bởi chữ

. Mỗi phân hoạch

, đoạn
[
]
;
a b

đợc chia thành n đoạn con
1
;
k k
x x

,
1,
k n
=
. Gọi độ dài lớn nhất trong các
đoạn con
1
;
k k
x x



là đờng kính của phân hoạch. Ký hiệu
( )
d

.

{
}
1
1
( ) max
k k
k n
d x x

=

Trong mỗi đoạn con
1
;
k k
x x



lấy tuỳ ý một điểm
k

:
1
k k k
x x



và lập
tổng
1 2 1
1
( , , , ) ( )( )
n
n k k k

k
f x x



=
= =

(1)
Tổng (1) gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) ứng với phân hoạch

của đoạn
[
]
;
a b
và cách chọn các điểm
k

trên đoạn
1
;
k k
x x



.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
1

( ) 0 ( ) 0
1
lim lim ( )( )
n
k k k
d d
k
I f x x




=
= =


không phụ thuộc vào phép phân hoạch

và cách lấy các điểm
k

trên mỗi đoạn
thì ta gọi số I là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Ký hiệu:
( )
b
a
I f x dx
=

.

Nh vậy tích phân là giới hạn của tổng tích phân, khi số hạng tăng lên vô cùng
và mỗi số hạng đều dần tới 0.
1.1. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
]
;
a b
. Giả sử F(x) là nguyên hàm của
của f(x) trên đoạn
[
]
;
a b
. Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi là tích phân từ a đến b,

5

(hay tích phân xác định trên đoạn
[
]
;
a b
của hàm số f(x)).
Ký hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a

f x dx F x F a F b
= =


(Đây là công thức Newton- Leibnitz)
1.2. Tính chất của tích phân
Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn
[
]
;
a b
. Khi đó theo định nghĩa
của tích phân ta chứng minh đợc các tính chất sau:
+)
( )
b
a
f x dx

=
( )
a
b
f x dx



+)
. ( )
b

a
k f x dx

=
( )
b
a
k f x dx


+)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
=


+)
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +


+) Nếu hàm số liên tục và
(
)

0
f x

trên đoạn
[
]
;
a b
thì
( )
b
a
f x dx

0

.
+) Nếu
( ) ( ), [ ; ]
f x g x x a b

thì
( )
b
a
f x dx

( )
b
a

g x dx



1.3. Các phơng pháp tính tích phân
1.3.1. Phơng pháp áp dụng trực tiếp công thức Newton- Leibnitz
Ví dụ:
a)
2
2
0
0
sin cos 0 1 1
x dx x


= = =


b)
4 4 4
4 4
3
3
2 2
2
1 1
1 1 1
2
( 3 ) 3 3.

3 3
x
x x dx x dx xdx x+ = + = +



6


3
2
63
2.(4 1) 21 14 35
3
= + = + =

1.3.2. Phơng pháp đổi biến số
Định lý: Giả sử
( )
x t

=
là hàm số liên tục có đạo hàm trên
[
]
;


và
ba

=
=
)(,)(




. Khi x biến thiên trên
[
]
;

thì t biến thiên trên
[
]
;

.
Khi đó ta có:
'
( ) ( ( )). ( )
b
a
f x dx f t t dt



=

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
1
3
2 3
0
.
( 1)
x
dx
x +

Giải: Đặt
2
1 2
2
dt
x t dt xdx xdx
+ = = =

Khi
0 1
x t
=

=
;
1 2
x t
=

=


(
)
1 1 1 2
3 2
2 3 2 3 3 2 3
0 0 0 1
1
. . 1 1 1
2
( 1) ( 1) 2.
t
x x x dx
dx dt dt
x x t t t


= = =

+ +




2 2
2 2
2 3 2

1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
. .
2 2 2 4
dt dt
t
t t t
= = +

=
1 1 1 1 1
1 .
2 8 2 2 16

+ + =



b)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+

+

Giải: Đặt
3
3
3
1
3 1 3 1
3
t
x t x t x

+ = + = =
2 2
3 3
dx t dt dx t dt

=

=

Khi
7
0 1 ; 2
3
x t x t
= = = =

3
7

2 2
4
3
2
3
0 1 1
1
( ) 1
1 2
3
.
3
3 1
t
x t t
dx t dt dt
t
x

+
+ +
= =
+


=
2
2
4 5 2 5 2
1

1
2 2 2 2.2 1 1 46
3 3 15 6 15 6 15 3 15
t t t t
dt

+ = + = + =




c)
1
2
0
1
x dx


Giải: Đặt
sin cos
x t dx t dt
=

=
;

7

Khi

0 0 ; 1
2
x t x t

= = = =

1
2 2
2 2
0 0 0
1 1 sin cos cos cos .
x dx t t dt t t dt

= =


2 2
2
2
0 0
0
1 cos2 1 1
cos sin 2 0
2 2 4 4 4
t
tdt dt t t



+

= = = + = + =




d)
1
2 2
1
2
1
. 1
dx
x x+

Giải: Đặt
2
1 1
x dx dt
t
t
= =
.
Khi
1
2 ; 1 1
2
x t x t
= = = =

1 2 2
2 2 2
2
1
1 1
2
2 2
1 .
1 1
1 1
. 1
dt t dt
dx
x x t
t
t t
= =
+ +
+


( ) ( )
1
2
2 2
2
1
2
2 2 2

2
1 1
1
1 1 ( 1)
1 1 . 1 2 5
1
2 2
2
t
t d t t

+
= + + = = + =


1.3.3. phơng pháp tính tích phân từng phần
Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
]
;
a b
thì:

[ ]
( ). '( ) ( ) ( ) '( ). ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx

=


Hay:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

; Hoặc:
. . .
b b
b
a
a a
v du u v u dv
=


Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
2
1
ln
e
x
dx
x

Giải:
Đặt
1
ln
x u du dx
x
=

= ;
2
1 1
dv dx v
x
x
=

=


8



2 2
1 1 1
1 1
ln ln 1 ln 1
e e
e e e

x x x
dx dx
x x x
x x
= + = =



ln 1 1 1 2
1 1 1
e
e e e e e
= + = + =

b)
1
0
x
xe dx

Giải:
Đặt
u x du dx
=

=
;
x x
dv e dx v e
= =

1 1
1 1
0 0
0 0
1 1
x x x x
xe dx xe e dx e e e e
= = = + =


c)
2
2
0
sin
x xdx


Giải:
Đặt
xdxduxu 2
2
==
;
xvdxxdv cos.sin

=

=


2 2
2
2 2
0 0
0
sin cos 2 cos 0 2
x xdx x x x xdx I


= + = +


Tính
2
0
.cos .
x x dx


. Đặt
u x du dx
= =
;
cos . sin
dv x dx v x
= =

2
22
0
0
2
sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x



= = + =


Vậy
2
2
0
sin 2.( 1) 2
2
x xdx



= =


Chú ý: Trong một bài toán tích phân với hàm lợng giác nhiều khi ta phải áp
dụng phơng pháp tính tích phân từng phần nhiều lần mới có thể đa về dạng cơ

bản từ đó dễ dàng tính đợc tích phân đã cho .
1.4. ý nghĩa hình học của tích phân

9

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục dơng trên đoạn
[
]
;
a b
. Ta đã chứng minh
đợc diện tích S(x) của hình thang cong AAMM giới hạn bởi cung AM của đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đờng song song với trục Oy đi qua các điểm
A, M có hoành độ theo thứ tự là a và x là một nguyên hàm của hàm số f(x).
S (x) = F (x) + C
Y

Xác định hằng số C:
+ Với x = a ta có S (a) = 0.
A M B
Vậy F (a) + C = 0

C = - F (a)

S (x) = F (x) - F (a).
+ Với x = b ta có S (b) = F (b) - F (a)
Mà S (b) chính là diện tích của hình
0 A
/
M B

/
X
thang cong AABB.
Vậy tích phân
( )
b
a
f x dx

, f(x) là một hàm số dơng trên đoạn
[
]
;
a b
, là diện tích
của hình thang cong giới hạn bởi các đờng y = f(x); y = 0; x = a; x = 0.

Kết luận chơng 1: Chơng này đã hệ thống các kiến thức cơ bản của tích phân
trong chơng trình trung học phổ thông đó là: Định nghĩa tích phân, tính chất
của tích phân, các phơng pháp tính tích phân và ý nghĩa hình học của tích phân.
Chơng gồm 9 ví dụ minh họa về phơng pháp tính tích phân.
Trớc khi tóm tắt các kiến thức cơ bản về tích phân, tác giả đã đa một
khái niệm trực giác và sơ lợc về việc xem tích phân là giới hạn của một tổng.
Phần này tuy có trong sách giáo khoa lớp 12 trờng trung học phổ thông hiện
hành nhng lại là phần đọc thêm vì vậy nhiều khi học sinh cũng không quan
tâm. Do đó đề tài sẽ là tài liệu tham khảo cần thiết cho giáo viên và học sinh.

10

Chơng 2
ứng dụng của tích phân trong toán học
Trong chơng này chúng ta sẽ xét tính ứng dụng của tích phân trong toán
học mà cụ thể là trong hình học để tính diện tích các hình phẳng, độ dài cung
của đờng cong, thể tích của vật thể tròn xoay, diện tích các mặt tròn xoay
Để vận dụng đợc tích phân xác định vào tính diện tích hình phẳng, độ dài
cung của đờng cong, thể tích của vật thể tròn xoay, diện tích các mặt tròn
xoay trớc hết ta cần phải nắm đợc các phơng pháp tính tích phân, các công
thức tính diện tích hình phẳng, độ dài cung của đờng cong, thể tích của vật thể
tròn xoay, diện tích các mặt tròn xoay
2.1. Tính diện tích hình phẳng
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
( )
( )
0
b
a
y f x
x a
S f x dx
x b
y
=


=

=

=


=


(loại 1)
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1
2
1 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
b
a
y f x
y f x
a b S f x f x dx
x a
x b
=


=

< =

=


=



(loại 2)
+ Diện tích hình hỗn hợp: Nếu nó không phải là hình phẳng loại 1, loại 2.
Với hình hỗn hợp tuỳ thuộc vào các cung, các đoạn, cấu tạo hình mà phân chia
thành hình loại 1, loại 2 để có thể tính đợc diện tích từng hình bộ phận.
Y Y

y = f(x)

a 0 b X





a 0 b X
y = f(x
1a 1b


11


Y Y

y = f
1
(x)



a 0 b X a 0 b X

1c
y = f(x) y = f
2
(x)
2a




Y Y

y = f
2
(x)


y = f
2
(x) y = f
1

(x)

y = f
1
(x)


a 0 b X

a 0 b X


2b 2c

Lo¹i 1: H×nh 1a, 1b, 1c.
Lo¹i 2: H×nh 2a, 2b, 2c.
+ DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong cho d−íi d¹ng tham sè

2
1
( )
( )
( ) '( )
t
t
x x t
y y t
S y t x t dt
x a
x b

=


=

⇒ =

=


=

∫
, trong ®ã
1 2
( ) ; ( )
a x t b x t
= =

HoÆc:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1
' '
2
t
t
S x t y t y t x t dt
= −

∫

+ DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong cho trong to¹ ®é cùc:

12

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định gọi là cực và một trục Ox gọi
là trục cực. Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng đợc hoàn toàn xác định bởi
hai số
OM
r =

gọi là bán kính vectơ của điểm M và
(Ox ,OM)

=
gọi là góc
giữa trục cực Ox và vectơ
OM

gọi là góc cực. Cặp số
( , )
r

đợc gọi là các toạ
độ cực của điểm M (

gọi là góc định hớng, chiều dơng là chiều ngợc chiều
quay của kim đồng hồ).
- Nếu có một hệ thức liên hệ thức giữa 2 biến r,

dạng:
F(r, ) 0

=
(*) hay
( )
r F

=
(**) thì giữa r,

có một quan hệ hàm. Quỹ tích những điểm trong
mặt phẳng có toạ độ cực thỏa mãn (*) hay (**) đợc gọi là đờng biểu diễn hàm
xác định bởi (*) hay (**). Phơng trình (*) hay (**) đợc gọi là phơng trình
đờng cong trong toạ độ cực.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong
( )
r

=
và hai nửa đờng thẳng

=
;

=
là:
2
1

( )
2
S d



=

(

<
).
2.2. Tính độ dài cung của đờng cong
+ Độ dài cung của đờng cong trong hệ toạ độ vuông góc (đề các)
Độ dài cung của đoạn đờng cong trơn (khả vi liên tục)
( ) ; ( )
y f x a x b
=
:

2
1 ( ') ( )
b
a
L y x dx
= +


+ Độ dài cung của đờng cong cho dới dạng tham số:

0
( )
; ( )
( )
x x t
t t T
y y t
=



=


Trong đó x(t), y(t) là những hàm số có đạo hàm liên tục với
0
[ , ]
t t T

thì độ
dài cung của đờng cong là:

0
2 2
( ') ( ) ( ') ( )
T
t
L x t y t dt
= +

+ Độ dài cung trong toạ độ cực:
( ) ;

=


13

Trong đó
( )

là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục với


thì độ
dài cung của đoạn đờng cong tơng ứng sẽ bằng:
2 2
( ) ' ( )
b
a
L d

= +


2.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
2.3.1. Thể tích của vật thể theo thiết diện ngang đ biết.
Nếu thể tích V của vật thể tồn tại và S = S(x),
( )

a x b

là thiết diện ngang
của vật thể theo mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x thì:

( )
b
a
V S x dx
=


2.3.2. Thể tích khối tròn xoay
+ Kiểu 1: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi:
( )
0
y f x
x a
x b
y
=


=


=


=

quay quanh Ox

2
( )
b
Ox
a
V f x dx

=


+ Kiểu 2: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi:
( )
0
y f x
x a
x b
y
=


=


=


=

quay quanh Oy

2 . ( )
b
Oy
a
V x f x dx

=


Hoặc: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi:
( )
0
x g y
y c
y d
x
=


=


=


=

quay quanh Oy

2 2
( )
d d
Oy
c c
V x dy g y dy

= =



14

+ Kiểu 3: Thể tích của khối tròn xoay đợc tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn
bởi
(
)
(
)
1 2
;
y x y y x a x b

, trong đó
(
)
1
y x

và
(
)
2
y x
là các hàm liên tục
không âm sẽ bằng:
( ) ( )
2 2
2 1
( ) ( )
b
a
V y x y x dx


=


.
Với những dạng bài tập kiểu này cần sử dụng hình vẽ trực quan giúp học
sinh hình dung đợc đúng khối tròn xoay. Từ đó biết đa về các kiểu trên và sử
dụng công thức tơng ứng.
Lu ý: Khi dạy học phần này giáo viên cần phải liên hệ đến những tình huống
thực tiễn đời sống làm cho bài giảng thêm sinh động tạo nhu cầu hứng thú học
tập cho học sinh. Ví dụ: Khi giải bài toán tính thể tích khối tròn xoay khi quay
quanh hình tròn có phơng trình
2 2
( 3) 1
x y

+ =
quanh Ox, giáo viên có thể
liên hệ tới việc tính thể tích khối không khí trong một chiếc săm xe ô tô, săm xe
đạp,
2.4. Tính diện tích của mặt tròn xoay
Diện tích của mặt đợc tạo nên khi quay đờng cong trơn có phơng trình
( ) ; ( )
y f x a x b
=
, quanh trục Ox là:
2
2 ( ) 1 ( ') ( )
b
a
P f x f x dx

= +


Chú ý: Nếu đờng cong có phơng trình là
( )
x y

=
, trong đó
( )
y

đơn trị và
có đạo hàm liên tục trên đoạn [c ; d] thì diện tích mặt tròn xoay đợc sinh ra bởi

một cung của đờng cong này ứng với đoạn [c ; d] khi nó quay xung quanh trục
Oy là:
2
2 ( ) . 1 ( ') ( )
d
c
P y y dy

= +


2.5. Các bài toán vận dụng
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản ở trên ta có thể đa ra một số bài toán áp
dụng nh sau:
Bài toán 1
:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số:
cos ;
y x
=
sin
y x
=

và hai đờng thẳng
0 ;
x x

= =
.

15

Bài giải
* Ta tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị trên đoạn
[
]
0 ;


Ta có:
cos sin cos sin 0
4
x x x x x

= = =

* Vậy diện tích ta cần tính là:
4
0 0
4
cos sin cos sin cos sin
S x x dx x x dx x x dx



= = +


=

( ) ( )
4
4
0
cos sin sin cos
x x dx x x dx



+


Y

=
( )
4
0
sin cos
x x

+
+
( )
4
cos sin
x x

1
xy sin
=

=
2
2
2
2
10
2
2
2
2
++++

22=

0
4


2




X

-1

x
y
cos
=


Bài toán 2
:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
3
y x
=
, trục hoành và hai đờng thẳng
1
x
=
;
2
x
=
.
Bài giải

Y y = x

3
* Tìm hoành độ giao điểm của các đờng:
Khi
3
1 ( 1) 1
x y
=

= =



Toạ độ giao điểm là A (-1 ; -1).
Khi
3
2 (2) 8
x y
= = =


Toạ độ giao điểm là B (2 ; 8). -
1 0 2 X

* Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta có:
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0
( )
S x dx x dx x dx x dx x dx

= = + = +



16


2
0
4 4
01
1 16 17
4 4 4 4 4
x x


= + = + =


(đvtt)
Bài toán 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
; 2
y x y x
= = +
;

Bài giải:

y = x
2
Y y = x+2
* Tìm hoành độ giao điểm của
hai đờng
2
; 2
y x y x
= = +

2 2
1
2 2 0
2
x
x x x x
x
=


= + =

=


Toạ độ giao điểm là:
( 1 ; 1)

và
(2 ; 4)

áp dụng công thức tính diện tích
-2 -1 0 2 X
hình phẳng ta có:

2
2
2 3
2
1
1
( 2 ) 2
2 3
x x
S x x dx x



= + = +




8 1 1 9
2 4 2
3 2 3 2
= + + =

Bài toán 4
:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:

1
2 1
x khi x
y
x khi x


=

>

và
2
10
3
y x x
=

Bài giải

Y
* Tìm hoành độ giao điểm:
y = -x y = x-2
.
1,
3
10
2

= xxxx


1,0
3
13
2
= xxx


0
=

x


Toạ độ giao điểm: A(0 ; 0)
0 1

3
10
3

X
.
2
10
2 ; 1
3
x x x x

= >
2
7
2 0 ; 1
3
x x x
= >

y=
10
3
x-x
2


17

3
x
=


Toạ độ giao điểm B(3 ; 0)

áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:
1 3
2 2
0 1
10 10
2

3 3
S x x x dx x x dx

= + + +




=
1 3
2 2
0 1
13 7
2
3 3
x x dx x x dx

+ +



=
1
3
3 3
2 2
0
1
13 7
2

6 3 6 3
x x
x x x

+ +



=
13 1 7 7 1
.9 9 6 2
6 3 6 6 3

+ + +



13
2
=
(đvdt)
Bài toán 5:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
2
;
y x
=

2

8
;
8
x
y y
x
= =

Bài giải

* Tìm hoành độ giao điểm của các đờng:
Ta có: +)
2 3
8
8 2
x x x
x
= = =

Y


Toạ độ giao điểm là (-2 ; 4).
y = x
2

+)
2
3
8

64 4
8
x
x x
x
= = =

y =
2
8
x



Toạ độ giao điểm là(-4 ; 2).
4


* Vậy diện tích hình cần tính là:
2

2 0
2 2
2
4 2
8
8 8
x x
S dx x dx
x

= +




-4 -2 0 X
=
2 0
3 3 3
4 2
8ln
24 3 24
x x x
x



+




=
8 64 8 8
8ln 2 8ln 4
24 24 3 24
+ + +

=
8ln 2
(đvdt).
Bài toán 6
:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng sau:

18

( sin )
(1 cos ), 0 2
0
x a t t
y a t t
y

=


=


=




Bài giải
Y

Ta thấy khi t tăng thì x cũng tăng,

=

2
0
)cos1.().cos1( dttataS


2
2 2
0
(1 cos )
a t dt

=


0 2

a
X

2
2
0
1 cos2
. 1 2cos
2
t

a t dt

+

= +





2
2
0
3 1
2cos cos 2
2 2
a t t dt


= +




2
2
0
3 1
. . 2sin sin 2
2 4

a t t t


= +




2
3 .
a

=
(đvdt)
Bài toán 7
:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2 3
2
2
x t t
y t t

=


=

Bài giải

Ta có khi
0
t
=
và
2
t
=
thì
0
x
=
và
0
y
=
.
Để tính diện tích hình phẳng này ta áp dụng công thức:
[ ]
2 2
2 2 2 3
0 0
1 1
( ) '( ) ( ) '( ) ( 2 )( 4 3 ) (2 )( 2 2 )
2 2
S x t y t y t x t dt t t t t t t t dt

= =



2
2
5
4 3 2 4 3
0
0
1 1 4
( 4 4 )
2 2 5 3
t
t t t dt t t

= + = +




1 32 4 8
16 .8
2 5 3 15

= + =


(đvdt).
Bài toán 8:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
.sin 3
a

=

Bài giải

19

Ta tính một phần ba diện tích của hình hoa hồng 3 cánh:
( )
2 2 2
6 6
0 0
sin 3
2 1 cos6
3 2 2
S a a
d d



= =



2 2
8
0

1
sin 6 0
2 6 2 6
a a




= =




2
12
a

=
(đvdt)
a




Vậy
2
.
4
a
S

=



Bài toán 9
:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cacdioit:
(1 cos )
r a

= +

Bài giải
Vì hình cacdioit nhận trục cực làm trục đối xứng nên diện tích của nó
bằng 2 lần diện tích của hình quạt OAB. Hình quạt đó ứng với khoảng biến thiên
của

từ
0
đến

.
áp dụng công thức tính diện tích đối với đờng cong cho trong toạ độ cực
ta có:
( )
2
2 2
0 0
1

2. 1 cos
2
S r d a d


= = +


B

r = a(1+cos

)
2
0
1 1
2sin sin 2
2 4
a



= + + +



0

2a

A X
2 2
1 3
0 .0
2 4 2
a a



= + + + =




Vậy

2
2
3
aS =
(đvdt)

Bài toán 10:

20

Tính độ dài cung của đờng cong sau:
3
; 0 4
y x x

=
.
Bài giải

áp dụng công thức tính độ dài cung của đờng cong ta có:

( )
3
4
4
2
0
0
9 8 9 8
1 1 10 10 1
4 27 4 27
L x dx x

= + = + =




* Hình vẽ minh hoạ
Y

3
y x
=

-1 0 4 X



Bài toán 11:
Tính độ dài cung của đờng cong giới hạn bởi:
2
1 1
ln
4 2
1
x y y
y e

=






Bài giả
i:
Ta có độ dài cung của đờng cong giới hạn bởi:
( )

x g y
y a
y b
=


=


=

đợc tính theo
công thức:
2
1 ( ') ( )
b
a
L x y dy
= +


Vậy
2
2
2
1 1
1 1 1 1
1
4 4 2
4

e e
y
L y dy dy
y
y

= + = + +





( )
2
2
1
1
1 1 1 1
ln 1
2 2 2 4
e
e
y
y dy y e
y


= + = + = +

21

Bài toán 12:
Tính độ dài cung của đờng cong giới hạn bởi đồ thị hàm số sau:

3
3
cos
sin
0
x a t
y a t
a

=


=


>


;
0 2

t



Bài giải
:
áp dụng công thức tính độ dài cung của đờng cong cho dới dạng tham
số. Vì đờng cong đối xứng nhau qua các tục toạ độ nên ta có:
2
2 2
0
4 ( ') ( ) ( ') ( )
L x t y t dt

= +




2
2 4 2 2 4 2
0
4 9 cos sin 9 sin cos
a t t a t t dt

= +


Y

2
2
2 2
0
4 3 cos sin 12 sin cos
a t t dt a t t dt


= =




2
0
1
12 . sin 2
2
a t dt

=


- a 0 a X
( )
2
0
1
6 cos 2 3 1 1 6

2
a t a a


= = =



Vậy L = 6a (đvđd)
Bài toán 13:
Tính độ dài cung của đờng cong sau:
(1 cos )
a

= +

Bài giải

áp dụng công thức tính độ dài cung của đờng cong cho trong toạ độ cực,
vì đờng cong đối xứng nhau qua trục cực nên:
2 2
0
2 ( ') ( ) ( )
L d


= +


2 2 2 2

0
2 sin (1 cos )
a a d


= + +



22


2 2
0
2 . sin cos 1 2cos
a d


= + + +


0
2 2 1 cos
a d


= +


0

4 cos
2
a d



=


0
4 .2.sin 8
2
a a


= =
. Vậy L = 8a (đvđd).
Bài toán 14:
Tính thể tích khối tròn xoay khi cho quay quanh Ox, Oy hình giới hạn bởi các
đờng:
2
0 ; 2
y y x x
= =
,
Bài giải
áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi đờng thẳng y = f(x);
x = a; x = b; y = 0 quay quanh Ox, Oy ta có:

2

( )
b
Ox
a
V f x dx

=

;
2 . ( )
b
Oy
a
V x f x dx

=


+)
( )
2 2
2 2 3 4
0 0
(2 ) 4 4
Ox
V x x dx x x x dx

= = +

2
5
3 4
0
4 32 32
16
3 5 3 5
x
x x



= + = +





Y


16
15

=
(đvtt).

+)

2
0
2 ( )
Oy
V x f x dx

=


0 1 2 X

( ) ( )
2 2
2 2 3
0 0
2 2 2 2
x x x dx x x dx

= =


2
4
3
0
2 2 16 8
2 2 .8
3 4 3 4 3
x
x

= = =




(đvtt).
Bài toán 15:
Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo nên bởi phép quay quanh trục Ox hình
phẳng giới hạn bởi các đờng:
2
y x
=
và
2
x y
=


23

Bài giải
Y
áp dụng công thức tính thể tích
khối tròn xoay đợc tạo nên khi
y = x
2
cho hình phẳng xoay quanh Ox ta có:

1

x = y
2
( )
1 1
2
4
0 0
Ox
V x dx x dx

=



( )
1
1
2 5
4
0
0
2 5
x x
x x dx


= =

0 1 X

1 1 3
2 5 10



= =


(đvtt).
Bài toán 16
:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho quay quanh Ox hình giới hạn bởi
các đờng:
103
+

=
xy
(1) ;
1
y
=
(2) ;
2
y x

=
(3) (xét x > 0).
Bài giải

* Tìm toạ độ giao điểm các đờng:
Toạ độ giao điểm của (1) với (2) là: A(3 ; 1)
Y y = -3x +10
Toạ độ giao điểm của (2) với (3) là: B(1 ; 1)
y = x
2

Toạ độ giao điểm của (1) với (3) là: C(2 ; 4)
4
C
* Gọi M(1 ; 0), N(2 ; 0), P(3 ; 0)

* Gọi
1
V
là thể tích do hình phẳng
AMNC quay quanh Ox.
1 A B y = 1
2
V
là thể tích do hình phẳng


CNPB quay quanh Ox.
0 1 2 3 X
3

V
là thể tích do hình phẳng

AMPB quay quanh Ox.
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm khi quay quanh Ox là:
1 2 3
Ox
V V V V
= +

( )
2
2
5
2
2
1
1
1
32 1
.
5 5 5
x
V x dx


= = =

31
5

=
(đvtt).

24

( )
( )
3 3
2
2
2
2 2
3 10 9 60 100
V x dx x x dx

= + = +

( )
3
3 2
2
3 30 100x x x

= +

(

)
. 81 30.9 100.3 3.8 30.4 100.2 7

= + + =
(đvtt).
3
3
2
3
1
1
(1) . 2
V dx x

= = =

(đvtt).
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đờng (1), (2), (3) quanh trục Ox là:

1 2 3
31 56
7 2
5 5
Ox
V V V V

= + = + =
(đvtt).
Bài toán 17

:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho quay quanh Ox hình giới hạn bởi các
đờng:
; ; 5
y x y x x
= = =

Bài giải

* Gọi A(5 ; 0), B(5 ; -5), C(1 ; -1), D(1 ; 0)
* Gọi :
1
V
là thể tích do miền OAB quay quanh Ox

2
V
là thể tích do miền OCD quay quanh Ox (OC theo cung
y x
=
)

3
V
là thể tích do miền OCD quay quanh Ox (OC theo đờng thẳng y = -x)
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
1 2 3
Ox
V V V V
= +

( )
5 5
5
2
2
1
0
0 0
3
x
V x dx x dx

= = =


Y

125
3

=
(đvtt)
y = -x D
( )
1 1
1
2
2
2

0
0 0
2
x
V x dx x dx

= = =


0 1 5 A X

1
2

=
(đvtt)
y
x
=

( )
1 1
1
3
2
2
3
0
0 0
1

3 3
x
V x dx x dx

= = = =


-5

B

25



125 1 1 251
3 2 3 6
Ox
V

= + =
(đvtt)

Bài toán 18:
Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn
bởi các đờng:
2
; 2 ; 4 ; 0
2
x

y y y x
= = = =

Bài giải

Ta đã biết thể tích khối tròn xoay sinh bởi:
( )
0
x g y
y a
y b
x
=


=


=


=

quay quanh Oy đợc
tính theo công thức:
2 2
( )
b b
Oy
a a

V x dy g y dy

= =

. Ta có:
2
2
2
x
y x y
= =

áp dụng công thức trên ta có thể tích khối tròn xoay sinh bởi phép quay xung
quanh Oy của hình giới hạn bởi các đờng:
Y
2
1
; 2 ; 4 ; 0
2
y x y y x
= = = =
là:
( )

=
b
a
Oy
dyxgV
2

)(



( )

=
4
2
2
2 dyy



=
4
2
.2 dyy


2

4
2
2
.
y

=

12
=
(đvtt)
8


-2 0 2
8

X

Bài toán 19:
Tính thể tích của khối cầu sinh bởi phép quay xung quanh Ox đờng tròn có
phơng trình:
2 2 2
x y R
+ =

Bài giải
Từ
2 2 2 2 2 2
x y R y R x
+ = =