Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Lạc

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN

ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2020-2021

(Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian giao đề)
Ngày khảo sát 30/3/2021
Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay!
104.81  16.152
4 4.675
x y z
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:   và 2 x 2  2 y 2  3z 2  100 .
3 4 5
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  0 .

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 

Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

Tính giá trị của biểu thức: M 

ab bc cd d a



cd d a ab bc

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c

(x là ẩn; a, b, c là hệ số).

Biết rằng: f  0   2018 , f 1  2019 , f  1  2017 . Tính f  2019  .
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

27  2 x
(với x là số nguyên).
12  x

Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên
tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vng góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt
Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho
MA=2cm, MB=3cm và 
AMC  1350 . Tính MC.
Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa
lấy ln tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------HẾT-----------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2020-2021

Ngày khảo sát 30/3/2021
Hướng dẫn chung:
- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm
tối đa.
- Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào khơng chấm điểm phần đó.
Câu
Nội dung
Điểm
4
2
10 .81  16.15
2 4.5 4.3 4  2 4.3 2.5 2
A
=
0,5
44.675
2 8.33.5 2
1

=

2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2  1) 225  1
= 4
2 .3
2 8.33.5 2

=

2 5.7 14
224
=
=
24.3
2 4 .3 3

x y z
x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3 z 2 2 x 2  2 y 2  3 z 2  100
  ta suy ra:







4
3 4 5
9 16 25 18
32
75
 25

 25
 x  6

2
 y  8
 x  36
 x  10
 2
Suy ra:  y  64  
( Vì x, y, z cùng dấu)
x


6


 2
  y  8
 z  100

 z  10

Từ

2

KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)
4

3

2018

Vì (x - 2)  0; (2y – 1)
 0 với mọi x, y nên
4
2014
(x - 2) + (2y – 1)
 0 với mọi x, y.
4
Mà theo đề bài : (x - 2) + (2y – 1) 2014  0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0
suy ra x = 2, y =

1
2

Khi đó tính được: M = 24.

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d

a  b  2c  d
a  b  c  2d
Suy ra :
1 
1 
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd




(*)
a
b
c
d
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d)
ab bc cd d a
 M 



= -4
cd d a ab bc
Nếu a + b + c + d  0 thì từ (*)  a = b = c = d

ab bc cd d a
M 



=4
cd d a ab bc

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Từ:

4

0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


KL: ......

5

Xét x =0: f (0)  2018  c  2018
Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  1 (1)
Xét x =-1: f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  1 (2)
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1
Từ đó tìm được f  x   x  2018
Suy ra: f  2019   1
27  2 x
3
= 2+
.
12  x
12  x
3
Suy ra Q lớn nhất khi
lớn nhất
12  x
3
* Nếu x > 12 thì 12  x  0 

 0.
12  x
3
* Nếu x < 12 thì 12  x  0 
0.
12  x
3
Từ 2 trường hợp trên suy ra
lớn nhất khi 12-x>0
12  x
3
Vì phân số
có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử khơng đổi nên phân số có
12  x

Ta có:

6

Q=

giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.
Hay 12  x  1  x  11
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11

7

Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c
Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)

 a2 (a+3) + 5  a + 3
Mà a2 (a+3)  a + 3  5  a + 3
 a + 3  Ư (5)
Hay: a+ 3  {  1 ;  5 } (1)
Do a  Z+  a + 3  4
(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5  a =2
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52  b = 2
Và 5c =a + 3 = 2+3= 5  c = 1
Vậy: a = 2; b = 2; c = 1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


- Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì

x

  BMO
  300
BOM

0,5

- BK là đường cao của tam giác cân BMO
nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)
8

0,5

B
z

- Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n)
M

- Suy ra BH=OK (2)

K

0,25

O

- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm

H
y

9

0,5

- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A
D
(D, B khác phía đối với AM)
- Chứng minh ABM  ACD (c.g.c) vì:
A
AD=AM ( AMD vng cân tại A)
  CAD
 (cùng phụ với CAM

BAM
AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M

M
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1
B
C
=>CD=1cm
- Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng khơng có số nào là bội
của số kia (vì 101.2>200).
Do đó k  101 (1)
- Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1  a1  a2  a3  ...  a101  200 .
Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:

0,25
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a1  2 n1.b1
a2  2n2 .b2
a3  2 n3 .b3
...........

10

a101  2n101.b101

Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i  1;101 )
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng
nhau.
n
Suy ra trong hai số ai  2n .bi và a j  2 .b j sẽ có một số là bội của số cịn lại.
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì ln có 2 số mà số này là bội của số
kia (2)
Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101.
i

j

----------Hết---------

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25