Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thanh Sơn

UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD& ĐT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2020 - 2021
Mơn: Tốn
(Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề có 03 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào tờ giấy thi.
Câu 1: Biểu thức

1

 a  b 3 . Giá trị a2 + b2 là :

2 3

A. 1

B. 3

C. 5


2
Câu 2. Rút gọn biểu thức A  


 x  y

D. 7

1
3 x  2 y
(với x, y > 0, x  y )

:
x  y y  x  x  y

được kết quả là:
A.

x
2 y

y
y2

B.

C.

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của Q 
A.

34
.
3

y
2 y

D.

3 x
y2

x  6 x  34
là
x 3

B. 10.

C. 8 .

D. 4.

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình 4 x 2  20 x  25  2 x  5 là:
A. S   x / x  2,5
B. S  2,5
C. S   x / x  2,5

D. S  

Câu 5. Cho x 1  y 2  y 1  x 2  1 (với x, y  0 ). Giá trị của biểu thức x  y là
A. 1.

B.

2.

Câu 6. Cho f ( x)   x 3  6 x  7 

2017

C. 2.

. Biết a  3 3  17  3 3  17 thì giá trị của f (a) là:

A. 1
B. 0
C. 3
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2  2 x 2  4 x  5 là
A. 2  3
B. 1  3
C. 3  3
Câu 8. Biểu thức

5  3x
6  x2  x

D. 2 2 .
D. -1
D. 2  3

có nghĩa khi nào?

5

 x  2.
C. x  3 hoặc x  2.
3
Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Ta có
A. 3  x  2 .

B.

1
1
1


2
2
BK
BC
AH 2
1
1
1
C.


2
2
BK
BC
4 AH 2

1
1
1


2
2
BK
BC
2 AH 2
1
1
1
C.


2
2
BK
3BC
AH 2

A.

5
D. 3  x  .
3

B.

Câu 10. Cho hình thang ABCD  AB / / CD  , có hai đường chéo vng góc với nhau.
Biết BD  12cm, AB  CD  16cm . Diện tích của hình thang ABCD là
A. 6 7cm 2 .
B. 12 7cm2 .
C. 24 7cm2 .
D. 48 7cm2 .
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD  D  BC  , có AB = 10cm, AC
= 15cm. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Độ dài đoạn CE là

1


A. 10cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 9cm
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giả sử AB  6cm, BH  4cm .
Khi đó cạnh BC bằng:
A. 9cm
B. 10cm
C. 10,5cm
D. 8 2cm
Câu 13. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Kẻ HE vng góc với AB tại
E, kẻ HF vng góc với AC tại F. Khi đó hệ thức đúng là:
A.

AB3 CF

AC 3 BE

B.

AB3 BE

AC 3 CF

C.

AH 3
1
HE.BC.HF

D.

AH 3
1
HE. AC.HF

Câu 14: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, đường phân giác AD. Gọi O
chia trong AD theo tỉ số AO:OD = 2:1. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tỉ số
AK:KC là
1
2
3
4
A. .
B. .
C. .
D. .
2

3
4
5
Câu 15. Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vng góc với cạnh bên. Độ dài đường cao của hình thang là:
A. 5 2 cm
B. 5 cm
C. 2 5 cm
D. 3 5 cm
Câu 16. Nam chôn một cây cọc xuống đất để đo chiều cao của một cái cây trước nhà,
cọc cao 2m và đặt cách cây một khoảng 15m. Từ chỗ cái cọc Nam lùi ra xa cách cọc
0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây nằm trên một đường thẳng. Biết khoảng cách
từ chân đến mắt của Nam là 1,6m. Chiều cao của cái cây đó là
A. 10,85 m
B. 10,25 m
C. 9,5 m
D. 9,25 m
II. PHẦN TỰ LUẬN. (12,0 điểm)
Bài 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A  n n  12n  1 6.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x 2  3xy  17x  4y  5  0.

Bài 2. (4,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2020 . Tính giá trị của biểu thức:
A

a 2  bc
b 2  ca
c 2  ab
.



a 2  2020 b 2  2020 c 2  2020
b) Giải phương trình 5 x  11  6  x  5 x 2  14 x  60  0 .

Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu
vng góc của H lên AB, AC.
a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC.
b) Chứng minh: DE3 = BC.BD.CE.
2. Cho hình vng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB và
MF  AD (E  AB, F  AD).
a) Chứng minh DE  CF và ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4. (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng:
x
y
z


1 .
x  3 x  yz y  3 y  zx z  3 z  xy

---------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:......................
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm./.

2


HƯỚNG DẪN CHẤM

THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm. Học sinh
không vẽ hình hoặc vẽ sai khơng tính điểm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm
Câu
Câu

1
C
9
C

2
B
10
C

3
B
11
D

4
A
12
A

5

B
13
B

6
D
14
D

7
D
15
C

8
D
16
C

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).
Bài 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A  n n  12n  1 6.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x 2  3xy  17x  4y  5  0.

Nội dung cần đạt
A  n n  12n  1  n(n  1)(2n  2  3)
 (n  1)n(n  1)  3n(n  1)

(n  1)n n  1 6

  A 6
Ta có: 3n(n  1) 6



Điểm
0,5
0,5
0,5


6x  3xy  17x  4y  5  0
2

2
b)  6x  8x  3xy  4y  9x  12  7

 2x (3x  4)  y (3x  4)  3(3x  4)  7
 (3x  4)(2x  y  3)  7

0,5
0,5
0,5

Lập bảng:
Ta có nghiệm  x, y    1; 6  , 1; 4 
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2020 . Tính giá trị của biểu thức:
A

a 2  bc
b 2  ca
c 2  ab


.
a 2  2020 b 2  2020 c 2  2020
b) Giải phương trình 5 x  11  6  x  5 x 2  14 x  60  0 .

Nội dung cần đạt
a) Từ ab  bc  ca  2020 suy ra a 2  2020  a 2  ab  bc  ca   a  b  a  c 
Tương tự có b 2  2020   b  c  b  a  , c 2  2020   c  a  c  b  .
 A

=

a

2

a 2  bc
b 2  ca
c 2  ab


 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

 bc   b  c    b 2  ca   c  a    c 2  ab   a  b 

 a  b  b  c  c  a 

Khai triển và làm gọn biểu thức trên tử ta được kết quả là 0.
Vậy A  0 .
3

Điểm

0,5
0,5
0,5
0,5


11
 x  6 . Ta có: 5 x  11  6  x  5 x 2  14 x  60  0
5
 ( 5 x  11  6)  ( 6  x  1)  ( x  5)(5 x  11)  0
5( x  5)
x 5


 ( x  5)(5 x  11)  0
5 x  11  6
6  x 1
5
1


 ( x  5) 


 5 x  11  0  x  5 .
6  x 1
 5 x  11  6

11
5
1
(Do

 5 x  11  0 với   x  6 ).
5
5 x  11  6
6  x 1
Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x  5 .

b) ĐK: 

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu
vng góc của H lên AB, AC.
a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: DE3 = BC.BD.CE
2. Cho hình vng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB,
MF  AD.

a) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Nội dung cần đạt

Điểm

1. Hình vẽ :
A
E

D
B

C

H

a) Ta có: AD.AB = AE.AC (=AH2)

1,0

b) BH2 = BD.AB, CH2 = CE.AC
 AH4 = BH2.CH2 = AB.AC.BD.CE = AH.BC.BD.CE
 AH3 = BC.BD.CE
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật  DE = AH

0,25
0,25

 DE3 = BC.BD.CE

2. Hình vẽ

A

F
D

4

E

0,25
0,25
B

M
C


a) Chứng minh AE = AF
Chứng minh AED  DFC

DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm
b) Đặt a = AB
 ME  MF  a không đổi

(ME  MF)2 a 2


(không đổi)
4
4
lớn nhất  ME  MF (tứ giác AEMF là hình vng)

0,5
0,5

 S AEMF  ME.MF 

0,5

 S AEMF
 M là trung điểm của BD.

0,5

Bài 4. (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng:
x
y
z


1
x  3 x  yz y  3 y  zx z  3 z  xy



Từ x  yz



Nội dung cần đạt
2

Điểm

 0  x 2  yz  2 x yz (*) Dấu “=”  x 2  yz

Chỉ ra : 3x  yz  ( x  y  z ) x  yz  x 2  yz  x( y  z )  2 x yz  x ( y  z )
Suy ra :

3 x  yz  2 x yz  x( y  z )  x ( y  z ) ( Áp dụng (*))

x  3 x  yz  x ( x  y  z ) 
y

z
z

(3)
x y z
z  3z  xy
x y z
x
y
z
Từ (1), (2) và (3) 



1
x  3 x  yz y  3 y  xz z  3 z  xy
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Tương tự :

y

y  3 y  xz

x
x

(1)
x  3 x  yz ( x  y  z )
(2);

--------------------------HẾT----------------------

5

1,0