Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình toán THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TỐN
--------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐT
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT
Người hướng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Trương Thị Lệ Trinh
Lớp

: 14ST

Đà Nẵng,04/2018


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến các thầy cơ giáo cơng tác tại khoa
Tốn, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, những người đã giảng dạy và
cung cấp những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tơi có nền
tảng kiến thức thực hiện khóa luận.
Đặc biệt, tơi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cơ Ngơ Thị Bích Thủy, người đã
tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện khóa luận.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn các ý kiến đóng góp, sự động viên, giúp đỡ nhiệt
tình của bạn bè trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp.

Đà Nẵng, ngày 2 tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Trương Thị Lệ Trinh

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 1


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................4
1.

Lý do chọn đề tài .........................................................................................4

2.

Mục tiêu đề tài .............................................................................................4

3.

Nội dung nghiên cứu ...................................................................................4

4.

Phƣơng pháp nghiên cứu ...........................................................................4

5.

Bố cục của đề tài:.........................................................................................5

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ..............................................................................6
1.1. Khái niệm về nguyên hàm và tích phân ....................................................6
1.2. Các cơng thức ngun hàm cơ bản ............................................................7
1.3. Tính chất ......................................................................................................7
1.4. Phƣơng pháp đổi biến số và phƣơng pháp từng phần ............................8
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ...........................................................10
A - PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN ............................................................................10
2.1. Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ ........................................................10
2.2. Nguyên hàm, tích phân hàm vơ tỷ ...........................................................21
2.3. Ngun hàm, tích phân hàm lƣợng giác .................................................26
2.4. Nguyên hàm và tích phân hàm mũ và hàm lơgarit ................................33
2.5. Diện tích hình phẳng .................................................................................35
2.6. Thể tích vật thể trịn xoay.........................................................................41
B – PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................43
2.7. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản ................................................................43
2.8. Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng Casio .....................................................44
2.9. Dạng 3: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Biết F ( a ) .
Tìm F (b) . ..................................................................................................47
2.10. Dạng 4: Biết f ' ( x) . Biết f ( a ) . Tìm f (b ) . ...............................................52
2.11. Dạng 5: Tìm tích phân lý thuyết ..............................................................54
Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 2


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
2.12. Dạng 6: Tích phân 2 ẩn bằng phƣơng pháp rút thế ..............................60

2.13. Dạng 7: Tích phân 3 ẩn bằng phƣơng pháp mũ hóa .............................64
2.14. Dạng 8: Các ví dụ liên quan đến diện tích và thể tích ...........................69

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 3


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép tính tích phân chiếm một vị trí quan trọng trong tốn học. Tích phân
được ứng dụng rộng rãi như tính diện tích mặt phẳng, thể tích vật thể trịn xoay…
Tích phân cịn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm,
lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng.
“Ngun hàm, tích phân và ứng dụng” là một chương quan trọng trong sách
giáo khoa Giải tích lớp 12 (sách cơ bản). Hơn nữa, phép tính tích phân hầu như
ln có ở các đề thi Toán trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Trong q trình học
Tích phân, rất nhiều học sinh cịn mắc những sai lầm khơng đáng có hoặc gặp khó
khăn trong việc tìm phương pháp phù hợp với từng dạng tốn.
Vì vậy, tơi nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải tốt bài tập tích
phân trong chương trình tốn THPT” nhằm giúp các em nắm vững được kiến
thức, cung cấp những kĩ năng, phương pháp cần thiết để giải những bài tập về tích
phân.
2. Mục tiêu đề tài
Phân dạng và cung cấp cho học sinh những phương pháp giải bài tập về tích
phân.
3. Nội dung nghiên cứu
Để thực hiện được mục tiêu trên, đề tài của tôi làm rõ những vấn đề sau:

- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản phần “Ngun hàm và tích phân” ở
chương trình “Giải tích 12”
- Đưa ra một số dạng bài tập tiêu biểu kèm theo phân tích và phương pháp
giải hợp lí.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên
quan tới phương pháp giải tích phân, nhằm hiểu rõ định nghĩa, bản chất của
phép tính tích phân, cũng như có cơ sở phương pháp giải đúng đắn, phù hợp.
- Nghiên cứu thực tế: sơ bộ tìm hiểu và rút ra những nhận xét về sai lầm mà
học sinh thường mắc phải trong giải tốn tích phân thơng qua việc trao đổi
với thầy cơ dạy tốn THPT, cũng như với các bạn học sinh.

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 4


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
5. Bố cục của đề tài:
Đề tài gồm 2chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Khái niệm về ngun hàm và tích phân
Các cơng thức nguyên hàm tích phân cơ bản
Tính chất
Phương pháp đổi biến số và phương pháp từng phần

Chương 2: Một số phương pháp giải bài tập tích phân
A – Phần bài tập tự luận
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.

Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ
Nguyên hàm, tích phân hàm vơ tỷ
Ngun hàm, tích phân hàm lượng giác
Ngun hàm, tích phân hàm mũ và lơgarit
Diện tích hình phẳng
Thể tích vật thể trịn xoay

B – Phần bài tập trắc nghiệm
2.7.
2.8.
2.9.

Tìm tích phân cơ bản
Tìm ngun hàm bằng casio
Tìm F (b) biết F ( a ) với F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )

2.10. Tìm f (b ) biết f ' ( x) và f ( a )
2.11. Tìm tích phân lý thuyết
2.12. Tích phân 2 ẩn bằng phương pháp rút thế
2.13. Tích phân 3 ẩn bằng phương pháp mũ hóa

2.14. Các ví dụ liên quan đến diện tích và thể tích
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 5


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm về nguyên hàm và tích phân
1.1.1. Nguyên hàm
- Nguyên hàm: Cho K là một khoảng  a, b  , nửa khoảng  a, b  ,  a, b  hay
đoạn  a, b  . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K
nếu F ' ( x)  f ( x), x  K
- Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) thì họ các nguyên hàm của f ( x) là

 f ( x)dx  F ( x)  C với C là một hằng số bất kì
1.1.2. Tích phân
- Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a, b  . Giả sử F ( x ) là một nguyên
hàm f ( x) của trên đoạn  a, b  .
Hiệu số F (b)  F (a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác
định trên đoạn  a, b  ) của hàm số f ( x) , kí hiệu là



b

a



b

a

f ( x)dx . Khi đó:

f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a )
b

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 6


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
1.2. Các cơng thức ngun hàm cơ bản

 dx  x  C

 kdx  kx  C

1
 x dx  ln x  C , x  0

u'
 u dx  ln u  C , u  0

x 1
 x dx    1  C ,  1

u 1
 u .u ' dx    1  C ,  1

 cos xdx  sin x  C

 cos u.u ' dx  sin u  C

 sin xdx   cos x  C

 sin u.u ' dx   cos u  C



dx

 cos

2

x

 tan x  C



u ' dx

 tan u  C
2
u

 cos

dx
 sin 2 x   cot x  C

u ' dx
 sin 2 u   cot u  C

 e dx  e

 e .u ' dx  e

x

x
 a dx 

x

C

ax
C
ln a

u

u
 a .u ' dx 

u

C

au
C
ln a

1.3. Tính chất
- Nếu f ( x ) và g ( x) là hai hàm số liên tục trên K và a, b, c  K thì:

 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx, k
Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 7


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT




a

a

b

a





b

a

b

a
b

a

f ( x)dx  0
a

f ( x)dx    f ( x)dx
b

c

b

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a

c

b

b

a

a

( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g( x)dx
b

kf ( x)dx  k  f ( x)dx
a

- Nếu f ( x)  0 trên [a;b] thì:



b

a

f ( x)dx  0

- Nếu m  f ( x)  M trên [a;b] thì m(b  a ) 



b

a

f ( x)dx  M(b  a)

1.4. Phƣơng pháp đổi biến số và phƣơng pháp từng phần
1.4.1. Tích phân bất định
- Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1: Nếu x  u (t ) có đạo hàm liên tục trên K thì:

 f ( x)dx   f (u(t ))u '(t )dt
Dạng 2: Nếu t  v( x) có đạo hàm liên tục trên K và có f ( x)dx  g (t )dt thì:

 f ( x)dx   g (t )dt
- Phương pháp từng phần: Nếu u ( x) , v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

 udv uv   vdu
1.4.2. Tích phân xác định
- Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1: Nếu x  u (t ) có đạo hàm liên tục trên [ ;  ] và u ( )  a; u (  )  b
thì:
Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 8

Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT



b

a



f ( x)dx   f (u (t ))u '(t )dt


Dạng 2: Nếu t  v( x) có đạo hàm liên tục và f ( x)dx  g (t )dt thì:



b

a

f ( x)dx  

v (b )

v(a)

g (t )dt

- Phương pháp từng phần: u ( x) , v( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:



b

a

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

b

udv  uv a   vdu
b

a

Trang 9


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI TỐT BÀI TẬP TÍCH PHÂN
A - PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN
2.1. Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ
2.1.1. Dạng1: Dùng bảng cơng thức

2



VD 1: Tính I  ( x 3  x  5)dx
1

Công thức:

Giải:

b
  f ( x)  g(x) dx
a
b
b
  f ( x)dx   g ( x)dx;
a
a

2

 x4 x2

11
I    x  x  5 dx     5 x  
4
 4 2
1
1
2

3

x  1

 C ,   1
 x dx 
 1

2.1.2. Dạng 2: Chia miền xét dấu P(x)

4

VD 2: Tính I 

x

2

 4 x  3 dx

1

Phân tích:

Giải:

Trong bảng cơng thức, khơng
có cơng thức dùng cho dấu trị
Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 10

Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
tuyệt đối, nên ta sẽ phá dấu trị
tuyệt đối bằng công thức:

1

I

 x; x  0
x 
 x; x  0

 x

1

3

2

 4 x  3 dx     x 2  4 x  3 dx
1

4

   x 2  4 x  3 dx

x  3

x  4x  3  0  
 x 1
x2  4 x  3  0  1  x  3

3

2

1

3

 x3 4 x 2

 x3 4 x 2

 
 3x     
 3x 
2
2
 3
 1  3
1
4

 x3 4 x 2

 
 3x 

2
 3
3


28
3

b

2.1.3. Dạng 3: P  x  .Q  x  dx với P( x), Q( x) là các đa thức


a

1

VD 3: Tính I 

  2 x  1  x

2

 x  3 dx

0

Phân tích:

Giải:

1
Việc nhân 2 đa thức ở trên
3
2
cũng khá đơn giản, kết quả thu I   ( 2 x  x  5 x  3)dx
0
được sẽ là đa thức mới và việc tính
1
tích phân mới này sẽ rất dễ dàng.
 2 x 4 x3 5 x 2


17

 
 3x  
3
2
 4
0 3

1

VD 4: Tính I 

  2 x  1  x

2

 x  3 dx

0

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 11


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

Phân tích:

Giải:

VD4 này nhìn có vẻ rất giống
Đặt t  x 2  x  3  dt   2 x  1 dx
với VD3, ta có thể nhân 2 đa thức
lại với nhau rồi tính bình thường.
Đổi cận x  0  t  3 ; x  1  t  5
Nhưng nếu các bạn để ý kĩ thì ta
5
sẽ nhận ra ( x 2  x  3)'  2 x  1
5
 t2 
nên ta có cách giải mới, nhanh hơn  I  tdt     8



 2 3

3

1

VD 5: Tính I  x.  3  x  dx



5

0

Phân tích:

Giải:

Ta có thể khai triển  3  x 
nhưng rất dài dòng, dễ nhầm lẫn.
Nhưng khi ta đặt t  3  x thì
5
 3  x   t 5  x  3  t và việc
khai khiển biểu thức với biến sẽ
rất dễ dàng.
5

Đặt t  3  x  dt  dx
Đổi cận x  0  t  3 ; x  1  t  2
2

2

 I     3  t  t dt     3  t  t 5 dt
5

3

3

5

 t2 
729
  
14
 2 3

3

VD 6: Tính I 

  x  2   x  3
2

8

dx

2

Phân tích:

Giải:

Ta thấy rằng việc khai triển mũ 2

Đặt t  x  3  dt  dx

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 12


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
dễ dàng hơn rất nhiều so với mũ 8.
t  x 3
Vậy
ta
đặt

  x  3  t 8

Đổi cận x  2  t  1 ; x  3  t  0

8

0

 ( x  2)  (t  5)  t  10t  25
2

2

2

 I   (t  5) t dt 
2 8

1

0

 t

10

 10t 9  25t 8  dt

1
0

 t11 10t10 25t 9 
185
 



9  1
99
 11 10

b

2.1.4. Dạng 4:

  P( x) 

n

dx

a
1



VD 7: Tính I  ( x 2  2 x  1) 2 dx
0

Phân tích:

Giải:

1
Ta thấy rằng, việc khai triển biểu
4
3
2
thức trên cũng rất dễ dàng nhờ công I   ( x  4 x  2 x  4 x  1) dx
0

thức:

a  b  c

1

2

 a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca

 x5 4 x 4 2 x3 4 x 2

 


 x
4
3
2
 5
0
13

15

1



VD 8: Tính I  (2 x  1)9 dx

0

Phân tích:
Rõ ràng, việc khai triển biểu thức
trên là cực kì khó khăn. Vì vậy, ta sẽ
Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Giải:
Đặt t  2 x  1  dt  2dx

Trang 13


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
9
biến (2 x  1)9 thành t bằng cách
đặt t  2 x  1

Đổi cận x  0  t  1 ; x  1  t  1
1

t 9 dt  t10 
I 

 0
1 2
2.10

 1
1

2.1.5. Dạng 5:

P( x)
Q( x)

P ' ( x)
- Nếu tử số chính là đạo hàm của mẫu số
thì
P( x)

P ' ( x)
 P( x) dx  ln P( x)  C

- Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta nên chia tách thành
phần đa thức, còn lại là hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc
nhất (x+a) hay (
rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn
giản.

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 14


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
 Dạng



1
dx, p  0
p.x  qx  r
2

Lập   q 2  4 pr
- Nếu   0  I  

dx

 mx  n 

Dùng công thức
2

Đặt
- Nếu   0  I 

- Nếu   0  I 

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

dx
 x  k2

x

2

2

dx
 k2

Trang 15


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
 Dạng I  

mx  n
dx, p  0
px 2  qx  r

Lập
- Nếu   0
2
 px 2  qx  r   ax  b 

Dùng công thức

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số
- Nếu   0



mx  n
mx  n


px 2  qx  r (ax  b)(cx  d )

- Nếu   0

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 16


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

3x 2  4 x  5
dx
VD 9: Tính I   3
x  2 x2  5x  3
Phân tích:

Giải:

Khi mới nhìn vào, VD9 tưởng Đặt t  x3  2x2  5x  3
chừng rất khó. Nhưng nếu các bạn
nhận thấy một điều rất đặc biệt rằng:  dt  (3x 2  4 x  5)dx
( x3  2 x 2  5 x  3)'  3 x 2  4 x  5
thì bài tốn trở nên vơ cùng đơn  I  dt  ln | t | C
t
giản.

 ln | x3  2 x 2  5 x  3 | C

VD 10: Tính I 

Phân tích:

1
 x2  4 x  4dx

Giải:

thấy rằng:
dx
1
I 

C
4
2
2
x  4 x  4  (x  2) thì bài tốn
( x  2)
x2
trở nên rất đơn giản. Ta chỉ cần
u ' dx 1
C
dùng cơng thức  2 
u
u
Khi

ta

nhận

VD 11: Tính I 
Phân tích:
Nhận thấy rằng x 2  2 x  5

x

2

1
dx
 2x  5

Giải:

I 

dx
( x  1)2  4

( x  1) 2  4 . Như phân tích ở trên,
dạng này ta dùng phương pháp
Đặt x  1  2tant  dx  2(1  tan2t )dt

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 17


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

đặt ẩn phụ : x  1  2 tan t

I 


4  tan 2t  1

dt t
 x 1
  C  arctan 
 C
2 2
2



VD 12: Tính I 
Phân tích:

2 1  tant 2t  dt

 4x

4x  3
dx
 4x 1

2

Giải:

Ta thấy rằng

I 

 4 x  3 dx   4 x  2  1 dx
2
 (2 x  1)2
 2 x  1

4 x  4 x  1  (2 x  1) nên ta sẽ
tách tử thành bội của 2 x  1 , tức

1
4 x  3  2(2 x 1)  1. Sau khi rút   2 
  2 x  1 (2 x  1)2  dx
gọn, ta chỉ cần dùng công thức
u ' dx
1 1
 u  ln u  C và
 ln 2 x  1  .
C
2 2x 1
u ' dx 1
 u 2  u  C ta sẽ thu được
2

2

kết quả.

VD 13: Tính I 
Phân tích:
Ta thấy rằng

x  x  2  ( x  1)( x  2) nên ta
2

sẽ tìm A, B thỏa mãn hệ thức

2 x  10
A
B
bằng


x2  x  2 x  1 x  2

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

2x  10
dx
2
x2

x

Giải:

I 

 2 x  10  dx   4  2 dx
 x  1 x  2    x  1 x  2 

( x  1) 4
 ln
C
( x  2) 2
Trang 18


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
cách đồng nhất hệ số.
Tức là ta sẽ quy đồng:

A
B
A( x  2)  B ( x  1)


x 1 x  2
( x  1)( x  2)
( A  B) x  2 A  B

( x  1)( x  2)
Giải

hệ

phương

trình

sau:

A  4
 A B  2


2 A  B  10  B  2

VD 14: Tính I 
Phân tích:

2x 1
 x2  2 x  2 dx

Giải:

Vì x 2  2 x  2 có   0 và
 2x  2

1
2
 dx
2
( x  2 x  2)'  2 x  2 , nên đầu I    x 2  2 x  2 

x


1

1




tiên ta sẽ tách tử thành bội của
2 x  2 , sau đó phân tích
 2 x  2  dx 
dx
 2
2
2
x  2 x  2  ( x  1)  1.
Bài
x  2 x  2  ( x  1) 2  1
toán được đưa trở về dạng
dx

dx
2
 x  k2 .

 ln | x 2  2 x  2 |  

( x  1) 2  1

C





Đặt x  1  tant  dx  tan 2 t  1 dt

tan 2 t  1 dt

dx


( x  1) 2  1  tan 2 t  1
 dt  t  arctan( x  1)

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 19


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

 I  ln | x2  2 x  2 |  arctan( x  1)  C

VD 15: Tính I 
Phân tích:

dx
 x2  x  1

Giải:

dx
1 
 1 1





dx
2
2
1
A B
C

x
(
x

1)
x
x
x

1


  
x 2 ( x  1) x x 2 x  1

x 1 1
 ln
 C
x
x
Đồng nhất hệ số sau khi quy
Ta sẽ phân tích:

đồng

cho

I 

ta

kết quả là
A  1; B  1; C  1. Bài tốn
được giải quyết.

VD 16: Tính I 
Phân tích:



x3  3x 2  3x  5

 x  1

2

dx

Giải:

3
Ta chỉ cần chia tử cho mẫu, kết
x  1  6

x3  3x 2  3x  5
dx  
dx
quả thu được sẽ bao gồm đa thức I  
2
2
 x  1
 x  1
và phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ
hơn bậc mẫu. Bài toán được giải
6 
x2
6

quyết.
   x  1  2  dx   x   C



 Dạng

x 

2

x

dx
 x(1  x n )m

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 20


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
Ta phải nhận ra điều sau đây để giải quyết bài tốn này, đó là bậc của

x n hơn x là (n  1) bậc và ( x n )'  nx n1 . Vậy nên khi nhân x n 1 cho cả tử và mẫu,

x n1dx
thì ta sẽ nhận được  n
. Đến đây, ta đặt: t  xn  dt  nxn1dx thì bài
n m
x (1  x )
toán trở nên dễ dàng.
VD 17: Tính I 
Phân tích:

dx
 x 1  x8 

Giải:

Nhân cả tử với mẫu với x 7

dx
x 7 dx
I 

x(1  x)8  x8 1  x8 
Đặt t  x8  dt  8x7 dx

1
dt
1 1 1 
  
dt

8 t(1  t ) 8  t 1  t 
1
t
 ln
C
8 t 1

I

2.2. Ngun hàm, tích phân hàm vơ tỷ
2.2.1. Dạng 1: Phương pháp chủ yếu là đặt t 

n

f  x

1



VD 18: Tính I  x x 2  1 dx
0

Phân tích:
Để ý một điều rằng dưới căn là
đa thức x 2  1 và ngoài căn chứa
Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Giải:
Đặt t 

x2  1

Trang 21


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

x

2

 1

 t 2  x2  1  tdt  xdx
Đổi cận x  0  t  1; x  1  t  2

'

1

2

 I   x  1.xdx   t.tdt
2

0

1
2

2





t3
1
2
  t dt 
 2 2 1

31
3
1

2 3

VD 19: Tính I 



5

Phân tích:
Nếu đặt t  4  x 2

 t 2  4  x2  tdt  xdx
Ta cần xdx ở tử nên ta phải
nhân cả tử và mẫu của phân thức
cho x .
Để ý một điều rằng dưới mẫu
chứa x nên nếu nhân thêm x nữa
thì ta sẽ dễ dàng chuyển x 2 theo t

1
x 4 x

2

dx

Gi ải:
Đặt t  4  x 2

 t 2  4  x2  tdt  xdx
Đổi cận

x  5  t  3; x  2 3  t  4
2 3

I 



5

2 3

1
x 4 x

4

2



dx 

5

x
x

2

4 x

2

dx

4

t
1
 2
dt   2
dt
t

4
t
t

4


3 
3 

1  1
1 

dt   


t  2  t  2 
4 3t 2 t 2
3 
4

1

4

4

1
1 5
  ln x  2  ln x  2   ln
4
4 3
3

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

Trang 22


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT

2.2.2. Dạng 2:
m

r

 ax  b  n
 ax  b  s
Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau: 
,...,



 cx  d 
 cx  d 
ax  b
 Đặt
 t k với k là bội chung nhỏ nhất của n,...s.
cx  d
63

VD 20: Tính I 



3

0

Phân tích:
3

x  1   x  1

1
3

1
dx
x 1  x 1

Giải:
Đặt x  1  t 6  dx  6t 5dt
Đổi cận x  0  t  1; x  63  t  2

1

x  1   x  1 2
I
 Bội chung nhỏ nhất của n,...s là
6.

63


0

2

3

1
6t 5
dx   3 2 dt
t t
x 1  x 1
1

t3
1 

 6
dt  6   t 2  t  1 
 dt
t

1
t

1


1
1
2

2

2

 t3 2


2
 6   t  t  ln | t  1|   11  6ln
3
3
1

2.2.3. Dạng 3: Đổi biến sang lượng giác
Dạng



a  b x dx (a  0)
2

2

2

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh

a
   
sin t , t   ; 
b
 2 2
a
hoặc x  cos t , t  0;  
b

Đặt x 

Trang 23


Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình tốn THPT
Dạng

 a



a
 
, t   0; 
sin t
 2
a
 
hoặc x 
, t   0; 
cos t
 2

x 2  a 2 dx ( a  0)

Đặt x 

a
   

tan t , t  
; 
b
2
2

a
Hoặc x  cot t , t   0;  
b

Dạng
2

b x
2



2 k

Đặt x 

dx, a  0

3

VD 21: Tính I 



4  x 2 dx

1

Phân tích:
Mặc dầu hàm dưới dấu tích
phân có căn thức nhưng nếu
đặt t  4  x 2 thì sẽ gặp khó
khăn
do

t 2  4  x2  tdt   xdx

Giải:

   
;
 dx  2cos tdt
 2 2 


Đổi cận x  1  t 
;x  3 t 
6
3
Đặt x  2sin t , t  

nhưng dưới dấu tích phân chỉ
I
có dx

Đây là VD chứng tỏ không
phải cứ thấy

f  x  là biến

đổi t= f  x 



3




6

3

4  4 sin t .2cos tdt  4  cos 2t .cos tdt
2

–
6





3

3

 4  cos tdt  2  (1  cos 2t ) dt    3
2

–
6

Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh



–
6

Trang 24