Phep bien hinh trong mat phang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài 3. VẬN DỤNG PHÉP

Bài 3. VẬN DỤNG PHÉP

DỜI HÌNH PHẲNG VÀO

DỜI HÌNH PHẲNG VÀO

VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI

VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI

TỐN HÌNH HỌC

TỐN HÌNH HỌC

Học phần: Ứng dụng phép biến
Học phần: Ứng dụng phép biến

hình giải các bài tốn Hình học
hình giải các bài tốn Hình học

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1. Ví dụ mở đầu:

1. Ví dụ mở đầu:

Ví_Ví dụ_dụ 1:_1: Cho đường tròn (O) và hai _{Cho đường tròn (O) và hai}

điểm B, C cố định trên (O). Một điểm

điểm B, C cố định trên (O). Một điểm

A thay đổi trên đường trịn đó.

A thay đổi trên đường trịn đó.

Chứng minh rằng quỹ tích của trực

Chứng minh rằng quỹ tích của trực

tâm H của tam giác ABC khi A thay

tâm H của tam giác ABC khi A thay

đổi là một đường tròn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Lời giải 1:

Lời giải 1:

Gọi D là xuyên tâm đối của C. Khi đó _{Gọi D là xuyên tâm đối của C. Khi đó}

BD

BD _ BC BC  BD//AH (cùng vuông góc BD//AH (cùng vng góc
với BC). Tương tự DA//BH. Suy ra

với BC). Tương tự DA//BH. Suy ra

ADBH là hình bình hành

ADBH là hình bình hành _

(do (O), B, C cố định nên D cố định

(do (O), B, C cố định nên D cố định

nên không đổi). Nên H = Đ(A). A

nên không đổi). Nên H = Đ(A). A

thuộc đường tròn (O) nên H thuộc

thuộc đường tròn (O) nên H thuộc

ảnh của đường tròn (O) qua phép

ảnh của đường tròn (O) qua phép

tịnh tiến theo véc tơ .

tịnh tiến theo véc tơ .

<i>AH</i> <i>DB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Lời giải 2

Lời giải 2

 Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác

ABC, H là trực tâm. BK, AI lần lần lượt cắt
ABC, H là trực tâm. BK, AI lần lần lượt cắt

(O) tại D, E.
(O) tại D, E.

 Ta có Ta có _AIC ~ AIC ~ __BKC BKC
 nên = nên = __IAC IAC

 Đồng thời Đồng thời __IAC = (cùng chắn cung EC). IAC = (cùng chắn cung EC).

Do đó:

Do đó: KBC=KBC=EBC . Từ đó suy ra: EBC . Từ đó suy ra: BHE BHE
cân tại B

cân tại B  IH = IE IH = IE H = ĐBC(E). H = ĐBC(E).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Nhận xét 1

Nhận xét 1

Bài tốn trên có thể giải được chỉ _{Bài tốn trên có thể giải được chỉ}

cần bằng các kiến thức hình học

cần bằng các kiến thức hình học

THCS nhưng đã được giải ở đây theo

THCS nhưng đã được giải ở đây theo

phương pháp biến hình. Đó là

phương pháp biến hình. Đó là

phương pháp vận dụng các tính chất

phương pháp vận dụng các tính chất

của phép biến hình (phép dời hình,

của phép biến hình (phép dời hình,

phép đồng dạng, …) vào việc khảo

phép đồng dạng, …) vào việc khảo

sát các tính chất của hình, dựng

sát các tính chất của hình, dựng

hình, tìm quỹ tích,…

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Nhận xét 2

Nhận xét 2

Về nguyên tắc, một bài tốn hình học
Về ngun tắc, một bài tốn hình học

thơng thường có thể giải bằng nhiều phương
thơng thường có thể giải bằng nhiều phương
pháp khác nhau, Ở một số bài toán, phương
pháp khác nhau, Ở một số bài tốn, phương

pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp,
pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp,

rất gọn gàng, ở một số bài toán khác,
rất gọn gàng, ở một số bài tốn khác,

phương pháp dựng hình cho ta một phương
phương pháp dựng hình cho ta một phương

án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự
án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự
đúng đắn của lời giải. Vấn đề đặt ra là làm
đúng đắn của lời giải. Vấn đề đặt ra là làm

thế nào để nhận biết một bài tốn có khả
thế nào để nhận biết một bài tốn có khả

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Thơng thường, một bài tốn giải

Thơng thường, một bài tốn giải

được bằng phương pháp dựng hình các

được bằng phương pháp dựng hình các

dữ kiện của nó các tính chất thường

dữ kiện của nó các tính chất thường

xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan

xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan

hệ đáng chú ý đến một phép biến hình

hệ đáng chú ý đến một phép biến hình

cụ thể nào đó. Từ đó vận dụng các

cụ thể nào đó. Từ đó vận dụng các

tính chất của phép biến hình này, ta

tính chất của phép biến hình này, ta

tìm ra lời giải hoặc đáp số.

tìm ra lời giải hoặc đáp số.

<i>Ví dụ</i>

<i>Ví dụ: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt </i>
<i>nhau tại A. Hãy dựng đường tròn tâm A cắt </i>
<i>nhau tại A. Hãy dựng đường tròn tâm A cắt </i>

<i>(O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C </i>
<i>(O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Phân tích:

Phân tích: Giả sử Giả sử
bài toán đã được
bài toán đã được

dựng xong. Khi đó
dựng xong. Khi đó

dễ thấy rằng B =
dễ thấy rằng B =

ĐA(C) nên B thuộc
ĐA(C) nên B thuộc

đường tròn ảnh
đường tròn ảnh

của (O’) qua phép
của (O’) qua phép

đối xứng tâm A,
đối xứng tâm A,

đồng thời B thuộc
đồng thời B thuộc
(O) nên B là giao

(O) nên B là giao

của (O) và
của (O) và

ĐA[(O’)]. Đường
ĐA[(O’)]. Đường
tròn cần dựng là
tròn cần dựng là

(A, AB).
(A, AB).

C

B

A

O'

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Nhận xét

Nhận xét: Ở bài tốn trên, tính chất _{: Ở bài tốn trên, tính chất}

đối xứng của hai điểm B, C được thể

đối xứng của hai điểm B, C được thể

hiện rất rõ trong yêu cầu của bài toán

hiện rất rõ trong yêu cầu của bài toán

bởi hai điểm xuyên tâm đối của một

bởi hai điểm xuyên tâm đối của một

đường tròn thì đối xứng nhau qua tâm

đường trịn thì đối xứng nhau qua tâm

đường trịn đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>2.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc </b>

<b>2.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc </b>

<b>khảo sát tính chất của hình và dựng </b>

<b>khảo sát tính chất của hình và dựng </b>

<b>hình.</b>

<b>hình.</b>

Tính chất: Cho phép tịnh tiến .

Tính chất: Cho phép tịnh tiến .

- Phép tịnh tiến là phép dời hình nên

- Phép tịnh tiến là phép dời hình nên

bảo tồn các tính chất thẳng hàng,

bảo tồn các tính chất thẳng hàng,

đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc

đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc

của hai đường thẳng

của hai đường thẳng

- M’ = . Khí đó. .

- M’ = . Khí đó. .

- Hai đường thẳng d và d’ =

- Hai đường thẳng d và d’ =

song song với nhau.

song song với nhau.

'

<i>MM</i> <i>v</i>

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
<i>v</i>

<i>T M</i>

( )

<i>v</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Ví dụ 3</b>

<b>Ví dụ 3</b>. Chứng minh tồn tại một tam . Chứng minh tồn tại một tam
giác mà cạnh bằng các đường trung

giác mà cạnh bằng các đường trung

tuyến của tam giác ABC cho trước và có

tuyến của tam giác ABC cho trước và có

diện tích bằng ¾ diện tích tam giác ABC.

diện tích bằng ¾ diện tích tam giác ABC.

( )

<i>BN</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Gọi , khi đó
Gọi , khi đó
MQ = BN. Đồng thời, P, N,
MQ = BN. Đồng thời, P, N,

Q thẳng hàng và N là
Q thẳng hàng và N là

trung điểm của PQ. Ta
trung điểm của PQ. Ta
cũng chứng minh được
cũng chứng minh được

APCQ là hbh nên AQ = CP.
APCQ là hbh nên AQ = CP.

Như vậy tam giác AMQ có

Như vậy tam giác AMQ có

các cạnh lần lượt bằng các
các cạnh lần lượt bằng các

trung tuyến của tam giác
trung tuyến của tam giác

ABC.
ABC.

( )

<i>BN</i>

<i>Q T</i>  <i>M</i>

S
R
Q
P N
M
A
B
C

Gọi R là trọng tâm của tam giác ABC, S = AC x
Gọi R là trọng tâm của tam giác ABC, S = AC x

MQ. Phân hoạc tam giác AMQ thành các tam

MQ. Phân hoạc tam giác AMQ thành các tam
giác AMS, ANQ và QNS. Khi đó dễ thấy rằng
giác AMS, ANQ và QNS. Khi đó dễ thấy rằng

SQNS = SMCS; SANQ = SANP = SPMA.
SQNS = SMCS; SANQ = SANP = SPMA.

Từ đó suy ra: SAMQ = SAMS + SANQ + SQNS =
Từ đó suy ra: SAMQ = SAMS + SANQ + SQNS =

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>2. Ứng dụng phép đối xứng vào việc </b>

<b>2. Ứng dụng phép đối xứng vào việc </b>

<b>khảo sát tính chất của hình và dựng </b>

<b>khảo sát tính chất của hình và dựng </b>

<b>hình.</b>

<b>hình.</b>

<b>Tính chất: </b>

<b>Tính chất: </b>Cho phép đối xứng trục ĐCho phép đối xứng trục Đ. Khi . Khi
đó:

đó:

- Phép đối xứng trục là một phép dời hình

- Phép đối xứng trục là một phép dời hình
nên bảo tồn các tính chất thẳng hàng, đồng
nên bảo tồn các tính chất thẳng hàng, đồng

quy, nội tiếp, khoảng cách, góc của hai đường
quy, nội tiếp, khoảng cách, góc của hai đường

thẳng.
thẳng.

- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp.
- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp.

- M’ = Đ

- M’ = Đ_(M) thì: (M) thì:  là đường trung trực của là đường trung trực của

đoạn thẳng MM’.
đoạn thẳng MM’.

- Đ

- Đ_ là một phép dời hình nghịch nên nếu là một phép dời hình nghịch nên nếu

A’B’C’ = Đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Giải: Gọi I là tâm của đường tròn

Giải: Gọi I là tâm của đường tròn _

ta dễ thấy rằng đưòng thẳng OI là trục

ta dễ thấy rằng đưòng thẳng OI là trục

đối xứng của các đường trịn có tâm O

đối xứng của các đường trịn có tâm O

và I. Trong đó: O = Đ

và I. Trong đó: O = Đ_OI_OI(O), C = (O), C =
Đ

Đ_OI_OI(B), D = Đ_{(B), D = Đ}_OI_OI(A). Vì thế nếu O, A. B _{(A). Vì thế nếu O, A. B}

thẳng hàng thì theo tính chất của phép

thẳng hàng thì theo tính chất của phép

đối xứng trục ta có O, B, C cũng thẳng

đối xứng trục ta có O, B, C cũng thẳng

Ví dụ 4

Ví dụ 4. Một đường tròn thứ ba (_{. Một đường tròn thứ ba (}_) )

cắt hai đường tròn đồng tâm O lần lượt

cắt hai đường tròn đồng tâm O lần lượt

ở trên (

ở trên () ở các điểm A, B, C, D. ) ở các điểm A, B, C, D.

Chứng minh rằng nếu A, B, O thẳng

Chứng minh rằng nếu A, B, O thẳng

hàng thì C, D, O thẳng hàng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ 6. Cho một điểm M chuyển

Ví dụ 6. Cho một điểm M chuyển

động trên đường kính AB của đường

động trên đường kính AB của đường

trịn (O). Dây cung CD đi qua M cắt AB

tròn (O). Dây cung CD đi qua M cắt AB

và hợp với nó một góc 450. Chứng

và hợp với nó một góc 450. Chứng

ming rằng đại lượng p = MC2 + MD2

ming rằng đại lượng p = MC2 + MD2

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M

trên AB.

trên AB.

Giải: Gọi C’, D’ lần lượt là ảnh của C, D

Giải: Gọi C’, D’ lần lượt là ảnh của C, D

qua ĐAB, Khi đó góc CMD’ bằng 900 và

qua ĐAB, Khi đó góc CMD’ bằng 900 và

cung CD bằng cung C’D’ cùng bằng 900. vì

cung CD bằng cung C’D’ cùng bằng 900. vì

thế dây cung CD’ có độ dài khơng đổi khi M

thế dây cung CD’ có độ dài khơng đổi khi M

chạy trên AB. Do

chạy trên AB. Do ABC vuông ở M nên MC2 ABC vuông ở M nên MC2
+ MD2 = MC2 + MD’2 = CD’2 (không đổi).

+ MD2 = MC2 + MD’2 = CD’2 (khơng đổi).

Khi M = O, ta có MC2 + MD2 = 2R2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>2. Ứng dụng phép quay vào việc </b>

<b>2. Ứng dụng phép quay vào việc </b>

<b>khảo sát tính chất của hình và dựng </b>

<b>khảo sát tính chất của hình và dựng </b>

<b>hình.</b>

<b>hình.</b>

Tính chất: Cho phép quay Q

Tính chất: Cho phép quay Q_O_O. Khi . Khi

đó:

đó:

Phép quay là một phép dời hình.Phép quay là một phép dời hình.
Nếu M’ = QNếu M’ = Q

O

O(M) thì (M) thì MOM’ = MOM’ =  và và

OM’ = OM.

OM’ = OM.

QQ
O

O-- là phép dời hình ngược của Q là phép dời hình ngược của QOO . .

Tức là: Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ: Trong mặt phẳng, cho hai tam

Ví dụ: Trong mặt phẳng, cho hai tam

giác ABC và ADEcó các góc ở đỉnh

giác ABC và ADEcó các góc ở đỉnh

chung A bù nhau đồng thời AB

chung A bù nhau đồng thời AB _ AD, AD,

AB = AD, AC

AB = AD, AC _ AE, AC = AE. Và hai AE, AC = AE. Và hai

tam giác đó khơng cịn đỉnh chung nào

tam giác đó khơng cịn đỉnh chung nào

khác ngồi đỉnh A. CMR đường thẳng

khác ngoài đỉnh A. CMR đường thẳng

chứa trung tyuến xuất phát từ đỉnh A

chứa trung tyuến xuất phát từ đỉnh A

của tam giác này cũng chứa đường

của tam giác này cũng chứa đường

cao hạ từ A của tam giác kia.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Giải: Ta thực hiện phép quay biến E

Giải: Ta thực hiện phép quay biến E

thành và D thành D’. khi đó B, A, D

thành và D thành D’. khi đó B, A, D

thẳng hàng. Trung tuyến AM trở

thẳng hàng. Trung tuyến AM trở

thành đường trung bình của

thành đường trung bình của _BCD’ BCD’

nên song song với CD’ = (DE). Mà

nên song song với CD’ = (DE). Mà

theo tính chất của phép quay. CD’

theo tính chất của phép quay. CD’ _

DE. Từ đó suy ra AM

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

1.

1.

<b>Các bất biến trong phép dời </b>

<b>_{Các bất biến trong phép dời}</b>

<b>hình.</b>

<b>hình.</b>

 Một khái niệm, tính chất hay một đại Một khái niệm, tính chất hay một đại

lượng được giữ nguyên qua phép dời hình

lượng được giữ nguyên qua phép dời hình

được gọi là một bất biến của nhóm dời

được gọi là một bất biến của nhóm dời

hình (như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của

hình (như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của

góc, các hình hình học phẳng,...). Hình

góc, các hình hình học phẳng,...). Hình

học Euclide nghiên cứu các bất biến của

học Euclide nghiên cứu các bất biến của

phép dời hình. Nói cách khác tập hợp tất

phép dời hình. Nói cách khác tập hợp tất

cả các bất biến đối với phép dời hình được

cả các bất biến đối với phép dời hình được

gọi là hình học nhóm các phép dời hình

gọi là hình học nhóm các phép dời hình

(cịn gọi là hình học Euclide).

(cịn gọi là hình học Euclide).

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>1.Ứng dụng phép tịnh tiến vào </b>

<b>1.Ứng dụng phép tịnh tiến vào </b>

<b>việc khảo sát tính chất của hình </b>

<b>việc khảo sát tính chất của hình </b>

<b>và dựng hình.</b>

<b>và dựng hình.</b>

 VíVí dụdụ 1: 1: Cho đường tròn (O) và hai Cho đường tròn (O) và hai

điểm B, C cố định trên (O). Một điểm

điểm B, C cố định trên (O). Một điểm

A thay đổi trên đường trịn đó.

A thay đổi trên đường trịn đó.

Chứng minh rằng quỹ tích của trực

Chứng minh rằng quỹ tích của trực

tâm H của tam giác ABC khi A thay

tâm H của tam giác ABC khi A thay

đổi là một đường tròn.

</div>

<!--links-->