Phép biến hình trong mặt phẳng- Trần Văn Toàn

Sắp chữ bằng L
A
T
E
X bởi Trần Văn Toàn,
Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
1.1 Phép biến hình
Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M. Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một
và chỉ một điểm M

được gọi là phép biến hình. Điểm M

được gọi là ảnh của M qua phép biến
hình.
Nếu F là phép biến hình và M

là ảnh của M qua phép biến hình F , thì ta kí hiệu f(M) = M

.
Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M

.
Ví dụ 1.1 Cho điểm M và vectơ
#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M là điểm M

sao cho
# »
MM


=
#»
v là một phép biến hình.
Định nghĩa 1.2 Cho hình H , với mỗi điểm M ∈ H , gọi M

là ảnh của M qua phép biến hình
F. Tập hợp các điểm M

tạo nên hình H

. Khi đó, H

gọi là ảnh của H qua qua phép biến hình
F. Kí hiệu F (H ) = H

.
1.2 Phép dời hình
Định nghĩa 1.3 Phép biến hình F được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa
hai điểm bất kì. Tức là, nếu F (A) = A

và F (B) = B

, thì A

B

= AB.
1.3 Phép tịnh tiến
Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho vectơ

#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm
M

sao cho
# »
MM

=
#»
v được gọi là phép tịnh tiến trong mặt phẳng theo vectơ
#»
v và được ký hiệu
là T
#»
v
.
T
#»
v
(M) = M

⇔
# »
MM

=
#»
v
Nhận xét.

a) M

= T
#»
v
(M) ⇔ M = T
−
#»
v
(M

).
b) M

= T
#»
v
(M), N

= T
#»
v
(N) ⇔
# »
M

N

=
# »

MN.
c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - không mới biến điểm A thành chính nó.
Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M

và N

, thì
M

N

= M N. Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
1
Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
của chúng.
Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với
nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một
tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành
một góc.
1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (a; b). Giả sử M(x; y) biến thành
M

(x

; y

). Khi đó, ta có




x

= x + a,
y

= y + b.
 1.1 Qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u =
#»
0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng ∆. Trong
trường hợp nào thì d trùng với ∆? d song song với ∆? d cắt ∆?
 1.2 Cho hai đường thẳng song song a và b. Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành b.
 1.3 Cho hai phép tịnh tiến T
#»
u
và T
#»
v
. Với điểm M bất kì, T
#»
u
biến M thành M

, T
#»
v

biến M

thành M

. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành điểm M

là một phép tịnh tiến.
 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u biến điểm A(3; 2) thành điểm A

(2; 3). Tìm ảnh của điểm
B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u.
 1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(−2;−5), đường thẳng ∆ : 2x + 3y− 4 = 0, đường
tròn (C ) : x
2
+ y
2
− 2x + 6y + 1 = 0. Tìm ảnh của M, ∆ và (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (2;−3).
Đáp số. M

(0;−8); ∆

: 2x + 3y + 1 = 1 và (C

) : x

2
+ y
2
− 6x + 12y + 36 = 0.
 1.6 Tìm ảnh của parabol y = x
2
qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (2;−3).
Đáp số. y = x
2
− 4x + 1.
 1.7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1), B(4; 0) và hai đường thẳng d
1
: 3x +
y + 2 = 0, d
2
: 2x + 5y − 4 = 0. Tìm trên các đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt các điểm C, D sao cho
tứ giác ABCD là hình bình hành.
Đáp số. C(−1; 1) và D(−3; 2).
 1.8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) đi qua gốc toạ độ và có tâm I(1;−2).
2
a) Viết phương trình của đường tròn (C ). Tìm toạ độ của điểm A là giao điểm (khác gốc toạ
độ O) của (C ) và trục tung.
b) Gọi M là một điểm di động trên đường tròn (C ). Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác
OAM.

 1.9 Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (C ), tâm O, bán kính R và một điểm A, thay
đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một
đường tròn cố định.
 1.10 Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B trên đường tròn sao cho số đo cung AB nhỏ hơn
180
◦
. Gọi (O

; R) là ảnh của (O; R) và B

là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo 2
# »
OA. Chứng minh
rằng

BAB

= 90
◦
.
 1.11 Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M, ta dựng điểm N sao cho
# »
MN =
# »
MA +
# »
2MB−
# »
MC.
Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên một đường thẳng d.

 1.12 Cho trước một điểm A, một đường thẳng d không đi qua A. Trên d ta đặt một đoạn thẳng
BC = a (a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để AB + AC nhỏ nhất.
 1.13 Trong số các tứ giác lồi có độ dài hai đường chéo m, n cho trước và góc tạo bởi hai đường
chéo đó bằng α cho trước, tứ giác nào có chu vi nhỏ nhất?
Trả lời. Hình bình hành.
 1.14
1
Where should we construct bridge MN though the river that separates villages A and B
so that the path AMNB from A to B was the shortest one? (The blanks of the river are assumed
to be parallel lines and the bridge perpendicular to the blanks.)
 1.15 Consider triangle ABC. Point M inside the triangle moves parallel to the side BC to its
intersection with side CA, then parallel to AB to its intersection with BC, then parallel to AC to
its intersection with AB, and so on. Prove that after a number of steps the trajectory of the point
M becomes a closed one.
2
Cho tam giác ABC và điểm M nằm ở miền trong của tam giác. Cho điểm M di chuyển trên
đường thẳng song song với cạnh BC đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AC.
Sau đó, M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AB đến giao điểm của đường thẳng
song song này và cạnh BC. Lại cho M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AC đến
giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AB. Quá trình di chuyển điểm M cứ tiếp tục
như vậy. Chứng minh rằng, sau một số bước, thì đường quỹ đạo của điểm M sẽ là một đường khép
kín.
1
Các đề Toán bằng tiếng Anh trong tài liệu này được trích từ cuốn “Problems in plane and solid”, V.1, Plane
Geometry, Viktor Prasolov.
2
Tôi tạm dịch. Rất mong nhận được góp ý của mọi người. Chân thành cám ơn.
3
 1.16 Let K, L, M and N be the midpoints of sides AB, BC, CD and DA, respectively, of a
convex quadrilateral ABCD.

a) Prove that KM 
1
2
(BC + AD).
b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths
of the segments KM and LN.
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi K, L, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA.
a) Chứng minh rằng KM 
1
2
(BC + AD).
b) Cho biết độ dài các cạnh của tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn nhất của các đoạn thẳng KM
và LN.
 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the
bisectors of angles

A and

B, and N the intersection point of the bisectors of angles

C and

D.
Prove that
2MN = |AB + CD − BC − AD|.
Cho hình thang ABCD có các cạnh BC và AD song song nhau. Gọi M là giao điểm của các
đường phân giác trong của góc

A và


B, và N là giao điểm của các đường phân giác trong của góc

C và

D. Chứng minh rằng
2MN = |AB + CD − BC − AD|.
 1.18 From vertex B of parallelogram ABCD heights BK and BH are draw. It is known that
KH = a and BD = b (b > a). Find the distance from B to the intersection point of the heights of
the triangle BHK.
Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH. Biết rằng KH = a và
BD = b (b > a). Tìm khoảng cách từ B đến trực tâm của tam giác BHK.
 1.19 In the unit square a figure is placed such that the distance between any two of its points
is not equal to 0.001. Prove that the area of this figure does exceed
a) 0.34;
b) 0.287.
Cho hình H . Lấy trong H hai điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa chúng khác 0.001. Chứng
minh rằng diện tích của hình H không vượt quá
a) 0.34;
b) 0.287.
4
 1.20 Consider two circles S
1
, S
2
and the line . Draw 
1
so that:
a) the distance between the intersections points of 
1

with circles S
1
and S
2
is a given value a;
b) S
1
and S
2
intercept on 
1
equal chords;
c) S
1
and S
2
intercept on 
1
the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value.
Cho hai đường tròn S
1
, S
2
và đường thẳng . Dựng đường thẳng 
1
sao cho
a) khoảng cách giữa các giao điểm của 
1
với các đường tròn S
1

và S
2
là một giá trị a cho trước;
b) S
1
và S
2
chắn 
1
các dây cung bằng nhau;
c) S
1
và S
2
chắn 
1
các dây cung mà tổng độ dài của chúng là một giá trị cho trước.
 1.21 Consider nointersecting chords AB and CD on a circle . Contruct a point X on the circle
so that chords AX and BX would intercept on chord CD a segment, EF, of a given length a.
Cho đường tròn (C ) và các dây cung không cắt nhau AB và CD trên (C ). Dựng điểm X trên
(C ) sao cho các dây cung AX và BX cắt dây cung CD theo một đoạn thẳng EF có độ dài bằng
a (a cho trước)
 1.22 Given point A and two circles S
1
, S
2
. Though A draw line  so that S
1
and S
2

intercept on

1
equal chords.
Cho điểm A và các đường tròn S
1
, S
2
. Qua A hãy dựng đường thẳng  sao cho S
1
và S
2
chắn
trên 
1
các dây cung bằng nhau.
2 Phép đối xứng tâm
Định nghĩa 2.1 Cho điểm O. Phép đối xứng tâm, kí hiệu Đ
O
là phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M

sao cho
# »
OM

= −
# »
OM.
Đ

O
(M) = M

⇔
# »
OM

= −
# »
OM .
Điểm O gọi là tâm đối xứng.
Nhận xét. Phép đối xứng qua tâm O biến điểm O thành chính nó và biến mọi điểm M khác O
thành điểm M

sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM

.
Định lí 2.1 Cho Đ
O
(A) = A

và Đ
O
(B) = B

. Khi đó,
# »
AB = −
# »
A


B

.
Hệ quả 2.1 Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng
với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành
một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc
thành một góc.
5
2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm
Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x; y) thành điểm
M

(x

; y

) thì



x

= 2a − x,
y

= 2b − y.
2.2 Tâm đối xứng của một hình
Định nghĩa 2.2 Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến
hình H thành chính nó.

 2.1 Tìm một hình có vô số tâm đối xứng.
 2.2 Tìm một hình không có tâm đối xứng.
 2.3 Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có bao nhiêu tâm đối xứng?
 2.4 Hình gồm hai đường thẳng song song nhau có bao nhiêu tâm đối xứng?
 2.5 Cho hai đường thẳng d và d

cắt nhau tại A và điểm M không nằm trên hai đường thẳng
đó. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt d và d

lần lượt tại các điểm B, C sao cho MB = MC.
 2.6 Cho hai đường tròn (O) và (O

) cắt nhau tại A. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai
đường tròn thành hai dây cung có độ dài bằng nhau.
 2.7 Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A, C còn hai đỉnh đối diện B, D
còn lại nằm trên một đường tròn tâm O, bán kính R cho trước.
 2.8 Cho góc

xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy dựng đường thẳng đi qua
A, cắt cạnh Ox tại B, cắt cạnh Oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC.
 2.9 Consider two concentric circles S
1
and S
2
. Draw a line on which these circles intercept three
equal segments.
Cho hai đường tròn đồng tâm S
1
và S
2

. Dựng đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt hai
đường tròn S
1
và S
2
thành ba đoạn thẳng bằng nhau.
 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles
one.
Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau, thì
tam giác đó là tam giác cân.
6
 2.11 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB và nằm cùng về một phía đối
với đường thẳng AB. Xét các hình thoi M N P Q có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax,
đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 60
◦
. Tìm tập hợp đỉnh N.
 2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x− 5y + 4 = 0,
đường tròn (C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 8x − 10y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm M(4; 1), đường
thẳng ∆ và đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I.
Đáp số. M

(−6; 5), ∆

: 7x − 5y − 40 = 0; (C

) : (x + 4)

2
+ (y − 5)
2
= 2.
 2.13 Two players lay out nickels on a rectangular table taking turns. It is only allowed to place
a coin onto an unoccupied place. The loser is the one who can not make any move. Prove that the
first player can always win in finitely many moves.
 2.14 A circle intersects sides BC, CA, AB of a triangle ABC at points A
1
and A
2
, B
1
and B
2
,
C
1
and C
2
, respecrively. Prove that if the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though
A
1
, B
1
and C
1
intersect at one point, then the perpendiculars to the sides of the triangle drawn
though A
1

, B
1
and C
1
also intersect at one point
Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm A
1
và
A
2
, B
1
và B
2
, C
1
và C
2
. Chứng minh rằng nếu các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
1
, B
1
và C
1
đồng quy, thì các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
2
, B
2
và C
2

cũng đồng quy.
 2.15 Let P be the midpoint of side AB of convex quadrilateral ABCD. Prove that if the area
of a triangle P CD is equal to a half area of quadrilateral ABCD, then BC  AD.
Cho tứ giác lồi ABCD có P là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng nếu diện tích của
tam giác P CD bằng một nửa diện tích của tứ giác ABCD, thì BC  AD.
 2.16 Unit circles (C
1
) and (C
2
) are tangent at a point A; the center O of circle (C ) of radius 2
belongs to (C
1
). Circle (C
1
) is tangent to circle (C ) at a point B. Prove that the line AB passes
through the intersection point of circle (C
2
) and (C ).
Cho hai đường tròn đơn vị tiếp xúc với nhau tại điểm A. Gọi (C ) là đường tròn tâm O, bán
kính bằng 2 (O ∈ (C
1
)). Đường tròn (C
1
) tiếp xúc với (C ) tại điểm B. Chứng minh rằng đường
thẳng AB đi qua giao điểm của (C
2
) và (C ).
 2.17 In triangle ABC medians AF and CE are drawn. Prove that if

BAF =


BCE = 30
◦
, then
triangle ABC in an equilateral one.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AF và CE. Chứng minh rằng nếu

BAF =

BCE = 30
◦
, thì tam giác ABC là tam giác đều.
 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation.
7