Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp: Lý thuyết NP - Đầy đủ - PGS. TSKH Vũ Đình Hòa (tt)

LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP

LÝ THUYẾT NP - ĐẦY ĐỦ

(THE THEORY OF NP - COMPLETENESS)
Giáo viên : PGS TSKH Vũ Đình Hồ

The theory of NP-Completeness

1


NỘI DUNG

1.

Bài tốn quyết định

2.

Ngơn ngữ và lược đồ mã hóa

3.

Máy Turing tất định và lớp P

4.

Tính tốn khơng tất định và lớp NP

5.

Mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP

6.

Phép dẫn thời gian đa thức và lớp NPC

7.

Thuyết Cook
The theory of NP-Completeness

2


1. BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH
 Bài tốn quyết định (Decision Problem - DP) là bài tốn
chỉ có câu trả lời là có hoặc khơng (hay cịn gọi là trả lời
nhị phân).
 Mỗi thể hiện của bài toán nghĩa là mỗi trường hợp cá biệt
của bài tốn có một trả lời.
 Một bài toán quyết định ∏ đơn giản bao gồm một tập
hợp D∏ các thể hiện và tập con Y∏  D∏ là các thể hiện
đúng
The theory of NP-Completeness

3


1. BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH

 Một bài tốn quyết định phát biểu dưới dạng:
 Instance: …
 Question:…

 Ví dụ 1: bài toán sự đẳng cấu của đồ thị con
 Instance: Cho 2 đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2)

 Question: đồ thị G1 có chứa một đồ thị con G1’ mà

G1’ đẳng cấu với đồ thị G2 hay không?
The theory of NP-Completeness

4


1. BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH
 Giải thích về đồ thị đẳng cấu:
G1’ đẳng cấu với G2 nếu như có |V1’| = |V2|, |E1’| = |E2| và
ở đó tồn tại một song ánh f : V2  V1’ sao cho {u,v} 
E2 khi và chỉ khi {f(u), f(v)}  E1’).

The theory of NP-Completeness

5


1. BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH
 Ví dụ 2: Traveling Salesman
 Instance: Tập hữu hạn các thành phố: C = {c1,
c2,…cm}, khoảng cách giữa hai thành phố ci, cj là d(ci,

cj)  Z+, một số B  Z+.
 Question: tồn tại hay không một đường đi nào qua tất
cả các thành phố trong C mà có tổng độ dài khơng lớn
hơn B? (Tồn tại một sắp thứCtự
 (1) , C ( 2 ) ,..., C ( m )
cho

sao

m 1

( d (C (i ) , C (i 1) ))  d (C ( m ) , C (1) )  B
i 1

)
The theory of NP-Completeness

6


1. BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH
 Một bài tốn quyết định có thể được chuyển hố từ một
bài tốn tối ưu.
 Ví dụ: Bài tốn tối ưu là “tìm một đường đi có độ dài nhỏ

nhất trong số tất cả các đường đi nối 2 đỉnh đồ thị” ↔
BTQĐ : thêm vào một tham số B và hỏi xem có đường đi
nào có độ dài L mà L ≤ B hay khơng?

 Với điều kiện là hàm chi phí phải tương đối dễ đánh giá,

bài tốn quyết định có thể khơng khó khăn hơn bài tốn
tối ưu tương ứng
The theory of NP-Completeness

7


1. BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH
 Nếu tìm thấy một đường đi có độ dài nhỏ nhất cho bài
tốn TST theo thời gian đa thức, cũng có thể giải quyết
bài tốn quyết định được kết hợp theo thời gian đa thức.
 Lý thuyết NP đầy đủ giới hạn là chỉ chú ý tới các bài tốn
quyết định nhưng cũng có thể mở rộng sự liên quan của
thuyết NP đầy đủ tới các bài toán tối ưu.
 Nguyên nhân của sự giới hạn này là các DPs có một bản
sao rất tự nhiên và nó được gọi là ngơn ngữ.
The theory of NP-Completeness

8


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Định nghĩa ngơn ngữ:
 Với bất kì một tập hữu hạn các kí hiệu, chúng ta có
thể biểu diễn * là tập hợp tất cả các xâu hữu hạn các kí
hiệu lấy từ tập .
 Nếu L là một tập con của *, chúng ta nói rằng L là một
ngơn ngữ trên tập các chữ cái của .

The theory of NP-Completeness

9


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Ví dụ:
Nếu  = {0, 1}, khi đó I* = {ε, 0, 1, 01, 10, 11, 000, 001,… }
Khi đó {01,001,111,1101010} là một ngôn ngữ trên tập {0,1}
 Sự tương ứng giữa bài tốn quyết định và ngơn ngữ được dẫn
đến bởi các lược đồ mã hoá.
 Một lược đồ mã hoá e cho bài toán ∏ cung cấp một cách thức
miêu tả mỗi sự kiện của ∏ bằng một xâu thích hợp các ký
hiệu trên tập chữ cái cố định ∑.
The theory of NP-Completeness

10


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Bài tốn ∏ và lược đồ mã hoá e cho ∏ chia ∑* thành 3 lớp:
1. Những xâu khơng mã hố các biểu hiện của ∏.
2. Những xâu mã hoá các biểu hiện của ∏ mà trên đó câu trả
lời là No.
3. Những xâu mã hoá các biểu hiện của ∏ mà trên đó câu trả
lời là Yes.
Ngơn ngữ: L[∏, e] = {x  * với  được sử dụng bởi e, và x
mã hóa một thể hiện I  Y bằng e}
The theory of NP-Completeness

11

2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Một lược đồ mã hố hợp lý phải đảm bảo 2 tính năng là :
“tính ngắn gọn” và có “khả năng giải mã”.
 “Tính ngắn gọn” là các trường hợp của bài tốn nên
được mơ tả với sự khúc chiết một cách tự nhiên.
 “Khả năng giải mã” là đưa ra bất kì một thành phần cụ
thể nào của một trường hợp chung, thì lược đồ có khả
năng chỉ rõ một thuật tốn có thời gian đa thức.

The theory of NP-Completeness

12


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Định nghĩa một lược đồ mã hoá chuẩn:
Lược đồ mã hoá chuẩn sẽ ánh xạ các thể hiện sang các
xâu có cấu trúc trên tâp chữ cái ψ = {0, 1, -, [,], (, ), …}.
 Định nghĩa xâu cấu trúc một cách đệ quy như sau:

The theory of NP-Completeness

13


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Biểu diễn nhị phân của một số nguyên k (gồm các chữ
số 0 và 1), (đằng trước là dấu - nếu k là số âm) là một

xâu có cấu trúc biểu diễn số nguyên k.

 Nếu x là một xâu có cấu trúc biểu diễn số nguyên k, khi
đó [x] là một xâu có cấu trúc có thể được sử dụng như
một “tên” (name) .

 Nếu x1, x2, ..., xm là các xâu có cấu trúc biểu diễn các
đối tượng X1,X2, …, Xm, khi đó (x1, …, xm) là một xâu
có cấu trúc biểu diễn chuỗi (X1,…,Xm)
The theory of NP-Completeness

14


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Các biểu diễn cho 4 kiểu đối tượng như sau:
 Một tập các đối tượng được biểu diễn bởi thứ tự các phần
tử của nó như một chuỗi <X1, …, Xm> và xem như là xâu
có cấu trúc tương ứng với chuỗi đó.
 Một đồ thị với tập đỉnh là V và tập cạnh là E được biểu
diễn bởi một xâu có cấu trúc (x, y), ở đó x là một xâu có
cấu trúc biểu diễn tập V và y là xâu có cấu trúc biểu diễn
tập E (các phần tử của E …)
The theory of NP-Completeness

15


2. NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA
 Một hàm hữu hạn f : {U1, U2,…, Um} → W được biểu

diễn bởi một xâu có cấu trúc {(x1, y1), …, (xm, ym)} ở
đó xi là xâu có cấu trúc biểu diễn Ui và yi là xâu có cấu

trúc biểu diễn f(Ui)  W, 1 ≤ i ≤ m.
 Một số hữu tỉ q được biểu diễn bởi một xâu có cấu trúc
(x, y) ở đó x là xâu có cấu trúc biểu diễn một số nguyên

a, y là xâu biểu diễn một số nguyên b và ở đó a / b = q,
và ước chung lớn nhất củ5a a và b là 1.
The theory of NP-Completeness

16


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.1. Miêu tả máy Turing tất định (DTM)
Máy Turing tất định gồm có:
1. Con trỏ điều khiển trạng thái
2. Một đầu đọc ghi
3. Một băng vô hạn nằm ngang với các ô vuông. Dưới

các ơ vng có đánh các nhãn là:… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…

The theory of NP-Completeness

17


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.1. Miêu tả máy Turing tất định

Bộ điều khiển
trạng thái
hữu hạn

Đầu đọc ghi

Băng vô hạn
-3

-2

-1

0

1

2

The theory of NP-Completeness

3

4
18


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.1. Miêu tả máy Turing tất định
 Một chương trình cho một DTM gồm các thơng tin:

 Một tập hợp T những kí hiệu, bao gồm một tập con   T

và một kí tự trắng b  T \ .
 Một tập hợp Q các trạng thái, bao gồm trạng thái bắt đầu
qo và hai trạng thái kết thúc là qY và qN.
 Một hàm chuyển trạng thái
ઠ: (Q - {qY, qN}) * T → Q * T * {-1, +1,0}
The theory of NP-Completeness

19


2. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.1. Miêu tả máy Turing tất định
 Hàm chuyển trạng thái:  cho phép với mỗi trạng thái của
máy và một kí kiệu đọc được từ ô trống đối diện, ta xác

định được:
 Trạng thái tiếp theo.
 Kí hiệu sẽ được viết lên băng đè lên kí hiệu vừa đọc
 Hướng dịch chuyển của đầu đọc

The theory of NP-Completeness

20


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.1. Miêu tả máy Turing tất định
 Quá trình thực hiện của DTM

1. Xâu x được đặt lên băng, mỗi kí tự được đặt vào mỗi ơ.

Tất cả các ơ cịn lại đều chứa kí tự trắng. Chương trình bắt
đầu với trạng thái ban đầu là q0, với đầu đọc ở ô chứa kí tự
đầu tiên của xâu

2. Các bước tính tốn: …

The theory of NP-Completeness

21


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
2.1. Miêu tả máy Turing tất định
 Quá trình thực hiện của DTM
2. Các bước tính tốn: …
- Đọc kí tự đối diện với đầu đọc
- Thay kí hiệu đó bằng kí hiệu tính từ hàm 
- Rời đầu đọc theo hướng của hàm dịch chuyển
- Đổi trạng thái hiện tại thành trạng thái của hàm dịch
chuyển.
The theory of NP-Completeness

22


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.1. Miêu tả máy Turing tất định
 Quá trình thực hiện của DTM

Xâu x được thừa nhận khi quá trình thực hiện đạt đến trạng

thái thừa nhận.

The theory of NP-Completeness

23


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
3.2. Ví dụ
 Cho các tập hợp sau:
T = {0, 1, b},  = {0, 1}
Q = {q0, q1, q2, q3, qY, qN}
 Cho xâu vào:
x = “10100”

The theory of NP-Completeness

24


3. MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P
 Hàm trạng thái cho trong bảng:

The theory of NP-Completeness

25