Bài soạn Phương pháp tính nhanh đạo hàm của hàm sốphân thức hữu tỉ

SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
sáng kiến kinh nghiệm
Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm sốphân thức hữu tỉ
I . ý nghĩa của đề tài
1. ý nghĩa thực tiễn
Trong thời gian qua, để hoàn thành nhiệm vụ mà Đảng và nhà nớc giao, các trờng PT
đã có nhiều cố gắng để nâng cao chất lợng đào tạo, qua việc dạy học tốt các bộ môn văn hóa
cơ bản trong đó có bộ môn toỏn hc
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học môn toán học ở trờng PT hiện nay còn nhiều hạn chế.
Yêu câu đặt ra để năng cao chất lợng dạy học bộ môn trên cơ sở phù hợp với đối tợng
học sinh.
Cung cấp thêm
Chính vì thế, tôi chọn đề tài Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức
hữu tỉ
2. ý nghĩa về mặt xã hội
- Làm thay đổi quan niệm và cách nhìn của xã hội về môn toán, góp phần nâng cao nhận thức
của học sinh về bộ môn. Qua đó thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của nhà nớc là đào tạo nhân
lực, bồi dỡng nhân tài, xây dựng đất nớc giàu đep.
II. Thực trạng dạy và học bộ môn trớc khi đa Phơng
pháp tính nhânh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ
1. Đối với giáo viên
Tuy không gặp khó khăn trong truyền thụ kiến thức cơ bản của bộ môn, song đối
với học sinh của trờng THPT Lang Chánh việc truyền thụ kiến thức cho học sinh yếu
kém và học sinh khá giỏi gặp đôi chút khó khăn
2. Đối với học sinh
Đa số học sinh cha chăm học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn.Cha có cái nhìn tổng
quan về môn toán.
III. Những điều kiện cụ thể khi thực hiện đề tài
1. Nhiệm vụ đặt ra
Để nâng cao chất lợng dạy học bộ môn và gây đợc hứng thú đối với học sinh trong các giờ
học toán nhiệm vụ đặt ra là giáo viên phải tìm ra những phơng pháp truyền thụ và giảng

dạy có hiệu quả phù hợp với đặc trng bộ môn và đặc điểm tâm sinh lí của đối tợng đợc
nghiên cứu.
Để cung cấp cho học sinh những kiến thức tinh gọn nhất và thiết thực nhất với nhận thức
của học sinh trong quá trình tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ mà đa số hiọc sinh
dễ nhớ dễ làm nhất
2. Điều kiện địa phơng, trờng lớp
Xuất phát từ tình hình thực tế của địa phơng là một huyện miền núi điều kiện kinh tế-xã hội
còn khó khăn. Tỉ lệ học sinh đi học ở bậc THPT còn thấp, đầu vào tuyển sinh thấp hơn nhiều
so với các địa phơng khác trong tỉnh. Đây thực sự là khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng
dạy bởi những lỗ hổng kiến thức bộ môn là quá lớn.

IV. Phần nội dung
1
SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
Phơng pháp tính nhAnh đạo hàm của hàm số phân thức
hữu tỉ
A. Cơ sở lí luận
- Dựa vào nền tảng là bảng đạo hàm và các công thức đạo hàm trong SKG, qua
quá trình dạng dạy và nghiên cứu của bản thân
B. Cơ sở thực tin.
Qua quá trình giảng dạy chơng V Đại số và giải tích 11 nâng cao, chơng I Giải tích 12
nâng cao. Tôi nhận thấy đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm của hàm
số phân thức hữu tỉ. Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm cấp cao của
hàm số phân thức hữu tỉ và các bài toán tìm cực trị,xét tính đơn điệu , tiệm cận, Giá trị
lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vì vậy tôi đa ra Phơng pháp tính nhanh đạo
hàm của hàm số phân thức hữu tỉ. Đây là một tài liệu để học sinh học tốt hơn phần kiến
thức tính đạo hàm cảu hàm phân thức hữu tỉ và là tài liệu tham khoả cho học sinh khá giỏi
I. Đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất
1. Đạo hàm của hàm số dạng
dcx

bax
y
+
+
=
với
0

bcad
Dựa trên qui tắc đạo hàm của hàm thơng ta tính đợc
áp dụng: Nếu hàm số là dạng trên thì ta làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Sắp xếp tử thức và mẫu thức theo đúng thứ tự dạng toán
VD:
x
x
y
+
+
=
2
1
đợc sắp lại thành
2
1
+
+
=
x
x
y

VD:
x
x
y

+
=
2
1
đợc sắp lại thành
2
1
+
+
=
x
x
y
VD:
x
x
y


=
2
1
đợc sắp lại thành
2
1

+
+
=
x
x
y
Bớc 2: Xác định a, b, c, d
Bớc 3: Tính giá trị: ad-bc theo qui tắc chéo chính trừ chéo phụ
Bớc 4: Ghi kết quả
2
)(
'
dx
cbad
y
+

=
2. Các ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a,
x
x
y
+
+
=
2
1
; b,
x

x
y

+
=
2
1
; c,
x
x
y


=
2
1
; d,
x
x
y
+

=
2
31
; e,
52
31
+

=
x
x
y
; f,
2
3
+
=
x
x
y
;
g,
x
x
y

+
=
43
; h,
x
y
+
=
2
1
BG:
a/ Ta có

x
x
y
+
+
=
2
1
=
2
1
+
+
x
x
do đó
22
)2(
1
)2(
1.11.2
'
+
=
+

=
xx
y
ở đây a = 1, b = 1, c = 1, d

= 2
2
a b
c d
2
)(
'
dcx
cbad
y
+

=
SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
b/ Ta có
x
x
y

+
=
2
1
=
2
1
+
+
x
x

do đó
22
)2(
3
)2(
)1.(11.2
'
+
=
+

=
xx
y
ở đây a = 1, b = 1, c
= -1, d = 2
c/ Ta có
x
x
y


=
2
1
=
2
1
+
+

x
x
do đó
22
)2(
1
)2(
1).1(2.1
'
+

=
+

=
xx
y
ở đây a = -1, b = 1,
c = -1,
d = 2.
d/ a = -3, b = 1, c = 1, d = 2
e/ a = -3, b = 1, c = 2, d = 5
f/ a = 3, b = 0, c = 1, d = 2
g/ a = -3, b = 4, c = -1, d = 0
h/ a = 0, b = 1, c = 1, d = 2

Nhận xét nếu a=0 thì hàm số trở thành
dcx
b
y

+
=
khi đó
2
)(
'
dcx
cb
y
+

=
=
2
)( dcx
c
b
+


VD: Đạo hàm của hàm số
x
y
+
=
2
1
bằng
2
)2(

1
+

x
(ở đây b = 1, c = 1, d = 2)
VD: Đạo hàm của hàm số
23
3
+
=
x
y
bằng
2
)23(
9
+

x
(ở đây b = 3, c = 3, d = 2)
VD: Đạo hàm của hàm số
13
2


=
x
y
bằng
2

)13(
6

x
(ở đây b = -2, c = 1, d = -1)
VD: Đạo hàm của hàm số
x
y
52
2

=
bằng
2
)25(
10
+
x
(ở đây b = 2, c = -5, d = 2)
3.Bài tập tơng tự .
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a/
x
x
y
+

=
2
52

b/
x
x
y
32
52
+

=
c/
54
52
+

=
x
x
y
d/
x
x
y
31
2
+
=
e/
x
x
y

=
1
f/
x
x
y
31
2


=
g/
x
x
y
3
12


=
h/
x
x
y


=
112

i/
x
x
y
1

=
j/
x
y
2
1

=
k/
23
1
+
=
x
y
l/
2
1
+
=
x
y
4. ứmg dụng.
- Xét tính đơn điệu của hàm số

- Tính đạo hàm của hàm số dạng
dcx
bax
y
+
+
=
với
0

bcad
II. Tính đạo hàm cấp n của hàm số dạng
bax
y
+
=
1
với
0

a
1. Bài toán : Tính đạo hàm cấp n của hàm số
bax
y
+
=
1
với
0

a
Bg: Đặt
b
a
c
=
3
SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
Ta có
( )
( )
2
11111
'
cx
a
a
b
x
abax
y
+

=

+
=







+
=
( )
( )
3
2
!2.1
.
1
)''(''
cx
a
yy
+

==
Bằng qui nạp ta chứng minh đợc
( )
( )
( )
1
!.1
.
1
+
+

=
n
n
n
cx
n
a
y
2. Công thức tính
Chú ý:
3. Các ví dụ:
VD1: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2009 của hàm số
2
1
+
=
x

y
Bg: Ta có a = 1, b = 2 nên
( )
( ) ( )
33
2
2
2
2
!2.1
.
1
1
+
=
+

=

xx
y
Tơng tự :
( )
( ) ( )
44
3
2
6
2
!3.1

.
1
1
+

=
+

=

xx
y
,
( )
( )
( ) ( )
55
4
4
2
24
2
!4.1
.
1
1
+
=
+

=
xx
y
,
( )
( )
( ) ( )
66
5
5
2
120
2
!5.1
.
1
1
+

=
+

=
xx
y
...và
( )
( )
( )
( )

( )
20102010
2009
2009
2
!2009.1
2
!2009.1
.
1
1
+

=
+

=
xx
y
VD2: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 2009 của hàm số
32
1
+
=
x
y
Bg: Ta có a = 2, b = 3 , c = 3/2 nên
( )
( ) ( )
33

2
2/3
1
2/3
!2.1
.
2
1
+
=
+

=

xx
y
Tơng tự :
( )
( ) ( )
44
3
2/3
3
2/3
!3.1
.
2
1
+

=
+

=

xx
y
,
( )
( )
( ) ( )
55
4
4
2/3
12
2/3
!4.1
.
2
1
+
=
+

=
xx
y
,
4

Vậy đạo hàm cấp n của hàm số
bax
y
+
=
1
với
0

a
là
( )
( )
1
!.1
.
1
+






+

=
n
n
n

a
b
x
n
a
y
Nếu
bax
k
y
+
=
với
0.

ka
thì
( )
( )
( )
1
!.1
.
+
+

=
n
n
n

cx
n
a
k
y
với
b
a
c
=
Nếu
dcx
bax
y
+
+
=
với
0

bcad
thì
2
)(
'
dcx
cbad
y
+

=
và
( )
( )
( )
1
1
!.1
.
+
+
+

=
n
n
n
ex
n
a
bcad
y
với
c
d
e
=
SÁNG KIẾN KINH NGIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Nguyễn Tất Đảm
...vµ
( )

( )
( )
( )
( )
20102010
2009
2009
2/3
!2009.1
.
2
1
2/3
!2009.1
.
2
1
+
−
=
+
−
=
xx
y
VD3: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, 4, n cña hµm sè
13
1
+−
=

x
y
Bg: Ta cã a = -3, b = 1 , c = -1/3 nªn
( )
( ) ( )
33
2
3/1
2
.
3
1
3/1
!2.1
.
3
1
−
−
=
−
−
−
=
′′
xx
y
T¬ng tù :
( )
( ) ( )

44
3
3/1
6
.
3
1
3/1
!3.1
.
3
1
−
−
=
−
−
−
=
′′′
xx
y
,
( )
( )
( ) ( )
55
4
4
3/1

24
.
3
1
3/1
!4.1
.
3
1
−
−
=
−
−
−
=
xx
y
,
...vµ
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n

x
n
x
n
y
3/1
!.1
.
3
1
3/1
!.1
.
3
1
−
−−
=
−
−
−
=
VD4: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, 4, n cña hµm sè
1
32
−
+
=
x
x

y
Bg: Ta cã a = 2, b = 3 , c = 1, d = -1 nªn
( )
( )
33
3
)1(
!2)1(
).5(
1
!2.1
.
1
1.3)1.(2
−
−
−=
−
−−−
=
′′
x
x
y
T¬ng tù :
4
)1(
!3
).5(
−

−=
′′′
x
y
,
( )
( )
5
4
)1(
!41
).5(
−
−
−=
x
y
,
...vµ
( )
( )
1
1
)1(
!1
).5(
+
+
−
−

−=
n
n
n
x
n
y
VD5: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, n cña hµm sè
23
1
2
+−
=
xx
y
Bg: Ta cã
( ) ( )
2
1
1
1
2.1
1
23
1
2
−
−
−
=

−−
=
+−
=
xxxx
xx
y

do ®ã
( ) ( )






−
−
−
=
′′
33
2
1
1
1
!2
xx
y
T¬ng tù :

( ) ( )






−
−
−
−
−
=
′′′
44
2
1
1
1
!3
xx
y
,

( )
( )
( )
( )
( )







−
−
−
−
−
=
++
11
2
1
1
1
!
n
n
n
n
n
xx
ny
VD6: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, n cña hµm sè
23
32
2
+−

+
=
xx
x
y
Bg: Ta cã
( ) ( )
212.1
32
23
32
2
−
+
−
=
−−
+
=
+−
+
=
x
B
x
A
xx
x
xx
x

y
(*)
§ång nhÊt hai vÕ cña (*) ta ®îc : 2x+3 =(A+B)x+ (-2A-B) mäi x
5