Một số biện pháp nâng cao kỹ năng giải các bài toán tương giao trong hình học không gian ở THPT

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 1
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN TRẦN NGỌC TRÚC

MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO KỸ
NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN TƯƠNG GIAO
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ở
THPT

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 2

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện
giúp đỡ em hoàn thành bài luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hữu Chiến là người trực tiếp
hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu đề tài.

Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng đã
tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình tìm kiếm tài liệu.
Em mong muốn tiếp tục nhận được sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Hữu Chiến
cùng các thầy cô trong khoa trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

TÀI LIỆU THAM KHẢO

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 3

[1] Đồn Quỳnh - Văn Như Cương - Phạm Khắc Ban - Lê Huy Hùng - Tạ Mân:
Sách giáo khoa Hình học Nâng Cao 11,12, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003
[2] Trần Quang Nghĩa - Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải tốn hình
học khơng gian11, Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997
[3] Tuyển tập nhiều tác giả: Hình học khơng gian, NXB Sở Văn hóa và Thông
tin TP. HCM, năm 1991
[4] Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 11,Nhà xuất bản ĐH Quốc gia TP. HCM,
năm 2007
[5] Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học toán, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2000
Trang web:
[1] />[2] />[3] />
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU.............................................................................................................................................................. 6
1.1. Lý do chọn đề tài ................................................................................. 6
1.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài ........................................ 6
1.2.1. Đối tượng nghiên cứu của đề tài ................................................... 6
1.2.2. Phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 7
1.3. Mục đích đề tài .................................................................................... 7
1.4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... 7
1.5. Cấu trúc luận văn ................................................................................. 7
1.6. Đối tượng sử dụng đề tài ..................................................................... 9
Chương 1............................................................................................................................................................10

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 4

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG HHKG .....10
1.1. Cơ sở lý luận ...................................................................................... 10
1.2. Một số định lý và tính chất liên quan ................................................. 10
1.2.1. Đường thẳng và mặt phẳng ......................................................... 10
1.2.2. Quan hệ song song ...................................................................... 10
1.2.3. Quan hệ vng góc ..................................................................... 12
Chương 2............................................................................................................................................................14
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO TRONG HHKG ĐƯỢC XÂY DỰNG
THÀNH CÁC TUYẾN BÀI TẬP CÙNG VỚI CÁC BIỆN PHÁP ĐƯỢC ĐỀ XUẤT

ĐỂ NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI CHO TỪNG TUYẾN CÁC BÀI TẬP. ....................14
2.1. Giao điểm của hai đường thẳng. ........................................................ 14
2.2. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán giao tuyến của hai mặt phẳng. .. 14
2.2.1. Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. .............................. 14
2.2.2. Một số bài toán áp dụng .............................................................. 15
2.3. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng. ........................................................................................... 17
2.3.1. Cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. ........... 17
2.3.2. Một số bài toán áp dụng .............................................................. 17
2.4. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán xác định thiết diện của một mặt
phẳng cắt một hình chóp, hình lăng trụ ....................................................... 19
2.4.1. Cách xác định thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ với mặt
phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng ............................................... 19
2.4.2. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt
phẳng (P): (P) chứa một đường thẳng a và song song với một đường thẳng b cho
trước (a và b chéo nhau) ........................................................................... 34
2.4.3. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt
phẳng (P) qua một điểm và song song với cặp đường thẳng chéo nhau cho trước.
............................................................................................................. 36
2.4.4. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một
mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước.
............................................................................................................. 38
2.4.5. Cách xác định thiết diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt
phẳng (P) qua một đường thẳng d và song song với một mặt phẳng ()
cho trước (trong đó d // ()).................................................................. 40
2.4.6. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt
phẳng (P) qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
............................................................................................................. 41
2.4.7. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một
mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng khác

............................................................................................................. 47
2.4.8. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một
mặt phẳng (P) qua một điểm, vng góc với một mặt phẳng () và song song
(hoặc chứa) một đường thẳng d................................................................ 49
GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 5

2.4.9. Cách xác định thiết diện nghiêng ................................................ 51
2.5. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán xác định thiết diện của một
mặt phẳng cắt một số hình trịn xoay ........................................................ 53
2.5.1. Cách xác định thiết diện của một mặt phẳng cắt hình trụ ............ 53
2.5.2. Cách xác định thiết diện của một mặt phẳng cắt hình nón ........... 54
2.5.3. Cách xác định thiết diện của một mặt phẳng cắt hình cầu ........... 56
KẾT LUẬN.......................................................................................................................................................54

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 6
MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài
“Hình học khơng gian” là mơn học có tính tư duy trừu tượng cao. Chuyển
từ hình học phẳng sang học hình học khơng gian (HHKG) học sinh gặp rất nhiều
khó khăn do sự ngắt quãng giữa HHKG và hình học phẳng.
Trong trường trung học phổ thông, việc dạy HHKG hướng tới đích là:
bên cạnh yêu cầu người học nắm được các nội dung cơ bản của HHKG do
chương trình quy định, còn yêu cầu quan trọng khác là phải rèn luyện các kỹ
năng hình học như: kỹ năng xác định hình, kỹ năng giải các bài tốn tương
giao, bài tốn tìm tập hợp các điểm, các bài tốn có yếu tố lượng… Trong đó
giải các bài tốn tương giao là nội dung có vị trí rất quan trọng và xun suốt
chương trình HHKG trường trung học phổ thơng. Thơng qua q trình học
giải và giải các bài tốn tương giao mà phát triển năng lực tư duy và kỹ năng
giải tốn HHKG cho học sinh: tư duy thuật tốn, trí tưởng tượng khơng gian,
kỹ năng vẽ hình, kỹ năng xác định phần giao của các hình,… Tuy nhiên thực
tế để đạt được các u cầu đó, học sinh ln phấn đấu vượt qua nhiều khó
khăn, trở ngại và phải khắc phục nhiều sai lầm trong việc học và giải các bài
tốn HHKG trong đó có bài tốn tương giao. Nhất là giai đoạn đầu học
HHKG cũng như suốt cả quá trình học HHKG, học sinh ln cần có sự trợ
giúp về mặt phương pháp giúp học sinh vượt qua những khó khăn, trở ngại
cũng như tránh được một số sai lầm dễ mắc phải.
Xuất phát từ những lý do trên, nên tôi đã chọn đề tài: “Một số biện
pháp nâng cao kỹ năng giải các bài toán tương giao trong hình học khơng
gian ở THPT” để làm khóa luận tốt nghiệp.
1.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
1.2.1. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Trên cơ sở nghiên cứu nội dung và phương pháp dạy học HHKG ở
THPT hiện nay (theo chương trình nâng cao). Đề tài này hướng và đi sâu vào
nghiên cứu nội dung và phương pháp HHKG có liên quan tới “tương giao”

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 7

giữa các hình hình học trong không gian và đưa ra “Một số biện pháp nâng
cao kỹ năng giải các bài tốn tương giao trong hình học khơng gian ở
THPT”
1.2.2. Phạm vi nghiên cứu
Do có một số hạn chế về vấn đề thời gian cũng như theo nội dung giảng
dạy HHKG ở trường THPT nên đề tài chủ yếu nghiên cứu sâu về một số bài
toán tìm thiết diện hình chóp và hình lăng trụ.
1.3. Mục đích đề tài
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nâng cao kỹ năng giải các bài
toán tương giao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu toán liên quan, tạp chí, sách báo, internet, các chuyên đề
liên quan đến đề tài. Nhằm thu thập thơng tin, phân tích hệ thống kiến thức để
phục vụ cho đề tài.
1.5. Cấu trúc luận văn
Gồm hai chương
Chương 1: Cơ sở lý thuyết về bài tốn tương giao trong hình học khơng gian.
1.1. Cơ sở lý luận
1.2. Một số định lý và tính chất liên quan
1.2.1. Đường thẳng và mặt phẳng
1.2.2. Quan hệ song song

1.2.3. Quan hệ vng góc
Chương 2: Một số bài tốn về sự tương giao trong HHKG được xây
dựng thành các tuyến bài tập cùng với các biện pháp được đề xuất để nâng
cao kỹ năng giải cho từng tuyến các bài tập .
2.1. Giao điểm của hai đường thẳng
2.2. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán giao tuyến của hai mặt phẳng.
2.3. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 8

2.4. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán xác định thiết diện của một
mặt phẳng cắt một hình chóp, hình lăng trụ
2.4.1. Cách xác định thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ với
mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng.
2.4.1.1. Thiết diện của một hình chóp hay một hình lăng trụ cắt bởi
một mặt phẳng qua ba điểm nằm trên ba cạnh khơng đồng
phẳng của một hình
2.4.1.2. Thiết diện của một hình chóp hay một hình lăng trụ cắt bởi
một mặt phẳng qua hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm
nằm trên một mặt của hình.
2.4.1.3. Thiết diện của một hình chóp hay hình lăng trụ cắt bởi
một mặt phẳng qua một điểm nằm trên một cạnh và hai

điểm còn lại nằm trên hai mặt khác nhau.
2.4.1.4. Thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt
phẳng qua ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau của hình.
2.4.1.5. Thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt
phẳng có một điểm nằm trong khối của hình.
2.4.2. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt
bởi một mặt phẳng (P): (P) chứa một đường thẳng a và song song
với một đường thẳng b cho trước (a và b chéo nhau).
2.4.3. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ
cắt bởi một mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với
cặp đường thẳng chéo nhau cho trước.
2.4.4. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ
cắt bởi một mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song
với một mặt phẳng cho trước.
2.4.5. Cách xác định thiết diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt
phẳng (P) qua một đường thẳng d và song song với một mặt
phẳng () cho trước (trong đó d // ())
GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 9

2.4.6. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ
cắt bởi một mặt phẳng (P) qua một điểm cho trước và
vng góc với một đường thẳng cho trước.
2.4.7. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ

cắt bởi một mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vng
góc với một mặt phẳng khác
2.4.8. Cách xác định thiết diện của một hình chóp, hình lăng trụ cắt
bởi một mặt phẳng (P) qua một điểm, vng góc với một mặt
phẳng () và song song (hoặc chứa) một đường thẳng d.
2.4.9. Cách xác định thiết diện nghiêng:
2.5. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán xác định thiết diện của
một mặt phẳng cắt một số hình trịn xoay
2.5.1. Cách xác định thiết diện của một mặt phẳng cắt hình trụ
2.5.2. Cách xác định thiết diện của một mặt phẳng cắt hình nón
2.5.3. Cách xác định thiết diện của một mặt phẳng cắt hình cầu
1.6. Đối tượng sử dụng đề tài
Tác giả của đề tài này hy vọng, luận văn này là tài liệu tham khảo cho
sinh viên sư phạm toán, học sinh trung học phổ thông và những người quan
tâm tới phương pháp giải các bài toán tương giao trong HHKG.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 10

Chương 1.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG HHKG
1.1. Cơ sở lý luận
Bài toán tương giao trong HHKG là bài toán xác định phần giao của hai hình.
Trong đó một nội dung quan trọng của chủ đề này là tìm thiết diện của

một hình (H) cắt bởi mặt phẳng (P) . Việc tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P)
với hình (H) là quá trình ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt
của hình (H). Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình
(H) bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi là thiết diện tạo
bởi mặt phẳng (P) với hình (H).
Như vậy, thực chất bài tốn tìm thiết diện chính là bài tốn tìm tập các
giao điểm của mặt phẳng (P) với hình (H) mà trước hết là tìm các đoạn giao
tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H).
1.2. Một số định lý và tính chất liên quan
1.2.1. Đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 1.1. [1] Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì
chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai
mặt phẳng đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
Định lí 1.1. [1] Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của
một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
1.2.2. Quan hệ song song
Định lí 1.2. [1] Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến
phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng quy hoặc đơi một song song.
( )  ( )  a

Tóm tắt: Nếu ( )  ( )  b thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
( )  (  )  c

R
c

a

b

a

c

b

R

Q

Q
P

Hình 1

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

P

Hình 2
SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 11

Hệ quả 1.1. [1] Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường
thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó
(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

P
m

m  ( P)
n  (Q)
Tóm tắt: Nếu 
thì a // m // n
m
//
n

( P)  (Q)  a

a
n
Q

Hình 3
Định lí 1.3. [1] (Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng)
Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với

một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P).
a  ( P)

Tóm tắt: Nếu b  ( P) thì a // (P)
a / / b


b

P

a

Hình 4
Định lí 1.4. [1] Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì
mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
a

a  (Q)

Tóm tắt: Nếu a //(P)
thì b // a
( P)  (Q)  b


Q

b

P

Hình 5
Hệ quả 1.2. [1] Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
( P) // a

Tóm tắt: Nếu (Q) // a
thì b // a
( P)  (Q)  b



a

b
Q
P

Hình 6
Định lí 1.5. (Điều kiện để hai mặt phẳng song song) [1]
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song
Hình
song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 12

a  ( P)
b  ( P)
Tóm tắt: Nếu 
thì (P) // (Q)
a  b
a, b / /(Q)

b
a

P

Q

Hình 7
Tính chất 1.2. [1] Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.
R

( P) //(Q)
Tóm tắt: Nếu 
thì
( R)  ( P)  a

a

( R)  (Q)  b

a // b

P

b

Q

Hình 8

1.2.3. Quan hệ vng góc
Định lí 1.6. (Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng) [1]
Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P).
d

a  ( P), b  ( P)

Tóm tắt: Nếu a  b
thì d  (P)
a  d , b  d


b
a
P

Hình 9

Định lí 1.7. (Định lí ba đường vng góc) [1]

Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng
b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vng góc với aa là b vng
B

góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

A

a'

A'
P

b

B'

Hình 10

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 13

Định lí 1.8. (Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc) [1]
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.
a  ( P)
thì ( P)  (Q)
a  (Q)

P

a

Tóm tắt: Nếu 

Q

Hình 11
* Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau
- Xác định giao tuyến  của (P) và (Q).
- Tìm mặt phẳng (R) vng góc với  và cắt (P), (Q) lần lượt theo các
giao tuyến p, q.
- Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng p, q.

q
p
R
Q

P

Hình 12

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 14
Chương 2.

MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO TRONG HHKG ĐƯỢC XÂY DỰNG
THÀNH CÁC TUYẾN BÀI TẬP CÙNG VỚI CÁC BIỆN PHÁP ĐƯỢC ĐỀ XUẤT ĐỂ
NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI CHO TỪNG TUYẾN CÁC BÀI TẬP.

2.1. Giao điểm của hai đường thẳng.
Phương pháp: Để xác định giao điểm của hai đường thẳng a, b phân biệt
trong không gian, ta thực hiện:
- Xác định một mặt phẳng () đi qua a và b. (a và b không song song)
- Xác định giao điểm của M của a và b.
Nhận xét: Khi nói a và b cắt nhau ta phải chỉ rõ a và b đồng phẳng trong mặt
phẳng nào.
2.2. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán giao tuyến của hai mặt phẳng.
2.2.1. Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Phương pháp:
Cách 1. Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.
- Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.
- Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng.
A
 A  ( )  ( )
thì AB  ( )  ( )
B  ( )  ( )

Tóm tắt: Nếu 

α
β

B

Nhận xét: Để tìm 2 điểm chung, thông thường điểm chung thứ nhất rất dễ

nhận thấy. Điểm chung thứ hai (nếu khơng có sẵn), ta cần tìm hai đường
thẳng (nằm trong hai mặt phẳng cần tìm giao tuyến) đồng phẳng và không
song song, kéo dài ra chúng sẽ cắt nhau tại một điểm nào đó.
Cách 2. Xác định giao tuyến đi qua một điểm chung và song song với một
đường thẳng cho trước.
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 15

- Áp dụng hệ quả 1.1.
Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm
điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ.
Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách 2 (dựa vào
các định lí và hệ quả trong quan hệ song song).
2.2.2. Một số bài tốn áp dụng
Bài tốn 2.2.1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một tứ giác. Tìm giao
tuyến của các mặt phẳng sau:
a. mp(SAC) và mp(SBD).
b. mp(SAB) và mp(SCD).
Bài giải.
a. Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD).

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và mp(SBD)
O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và mp(SBD)
A

Vậy giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD) là SO.

D

b. Tìm giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD).

O

C

B

Gọi E là giao điểm của AB và DC.
E  (SAB)  (SCD) và S  (SAB)  (SCD)
Do đó, SE là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD)

E

Bài toán 2.2.2. Cho hình chóp S.ABCD; M, N lần lượt là trọng tâm tam giác
SAB, SAD. E là trung điểm của BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(MNE) và (ABCD).

S

Bài giải.
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (ABCD).
- Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD.
- Ta có:

N
A

SM SN 2


SI
SJ 3

B

I
E

J

 MN ∥ IJ  MN // (ABCD) mà MN  (MNE)

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

M

C
D
x

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 16

và E  (ABCD)
Suy ra, (EMN)  (ABCD) = Ex ∥ IJ.
Vậy Ex là giao tuyến cần tìm.
Bài tốn 2.2.3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AA’ và CC’; P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao tuyến của mp(MNP) và
mp(ADD’A’).
Bài giải.
Tìm giao tuyến của mp(MNP) và mp(ADD’A’).

A

B

Xét mp(MNP) và mp(ADD’A’) ta có:
M là điểm chung thứ nhất (1)
NP // mp(ADD’A’)

(2)

NP  mp(MNP)

(3)

D

C

M
E

Từ (1), (2) và (3)

A'

P

N B'

suy ra (MNP)  (ADD’A’) = Mx // NP.
D'
Gọi E là giao điểm của Mx và DD’. x

C'

Vậy giao tuyến cần tìm là ME.
Bài toán 2.2.4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là một điểm trên cạnh
A’C’. Tìm giao tuyến của (ABM) với (A’B’C’).
Bài giải.
Tìm giao tuyến của (ABM) với (A’B’C’).

x

Xét mp(ABM) và mp(A’B’C’)

C'

M

A'

Ta có: AB // mp(A’B’C’) và AB  mp(ABM)

K
B'

mà M là điểm chung của hai mp(ABM) và mp(A’B’C’)
nên (ABM)  (A’B’C’) = Mx // A’B’ // AB
Gọi K là giao điểm của Mx với B’C’.
Suy ra MK là giao tuyến cần tìm.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

A

C

B

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 17

2.3. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng.
2.3.1. Cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp chung: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)
ta thực hiện như sau :

Q

a
b

+ Chọn mp(Q) chứa đường thẳng a làm mặt phẳng phụ
+ Tìm giao tuyến b = (P)  (Q)

M

+ Nếu a cắt b tại M thì M là giao điểm của a và (P)

P

Nhận xét: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta tìm trong (P)
một đường thẳng b nào đó cắt a tại một điểm M thì M là giao điểm của a và (P).

a
M  a
Tóm tắt: Nếu 
thì M  a  mp(P)

M  b  mp(P)

M

b
P

2.3.2. Một số bài toán áp dụng
Bài tốn 2.3.1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam
giác SCD. Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC).
Bài giải.

S

+ Tìm mp(Q) qua BM.
Trong mp(SCD) nối SM kéo dài cắt CD tại E.
BM  (SBE) và mp(Q)  mp(SBE)
+ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
M

Vì BE giao AC tại H

A

nên (SAC)  (SBE) = SH, SH  (SBE)

F

Gọi F là giao điểm của BM và SH.

H

Vậy giao điểm của BM với mp(SAC) là điểm F.

D
E
C

B

Bài tốn 2.3.2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm giao điểm I của
đường chéo A’C với mp(AB’D’).
GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 18
Bài giải.

Tìm giao điểm I của đường chéo A’C với mp(AB’D’).
Chọn mặt phẳng chứa A’C là mp(ACC’A’)
Xét mp(ACC’A’) và mp(AB’D’), ta có:

D

C

A là điểm chung thứ nhất
Gọi O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’.

A

B
D' I

Suy ra, O’ là điểm chung thứ hai

C'
O'

Do đó, (AB’D’)  (ACC’A’) = AO’

A'

B'

Trong mp(ACC’A’), AO’ cắt A’C tại I.
Vậy I là giao điểm của A’C với mp(AB’D’).
Bài toán 2.3.3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần
lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Tìm giao điểm của mặt phẳng
(AB’C’) với đường thẳng A’M.
Bài giải.
Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M.
Ta có: AM = A’M’ (vì AM, A’M’ lần lượt là trung
A

B

tuyến của hai tam giác bằng nhau ABC, A’B’C’)

M

và AA’ = MM’ (vì MM’= CC’)

C
E

Suy ra: AA’M’M là hình bình hành
A'

Nên AM // A’M’
Trong mp (AA’M’M), AM’ cắt A’M tại E

B'
M'
C'

E  AM’ mà AM’  (AB’C’) nên E  (AB’C’)
Vậy E là giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) và đường thẳng AM’.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 19

2.4. Biện pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán xác định thiết diện của một
mặt phẳng cắt một hình chóp, hình lăng trụ
Phương pháp chung: Để xác định thiết diện của một hình chóp hay hình lăng
trụ cắt bởi một mặt phẳng (P)
Bước 1: Xác định được các mặt của một hình.
Bước 2: Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình.
Bước 3: Xác định giao điểm của các giao tuyến ở bước 2 với các cạnh
của hình. Dựng thiết diện ta nối các giao điểm tạo thành một đa giác khép kín
nằm trên một mặt phẳng và kết luận.
Nhận xét: Việc tìm thiết diện của mặt phẳng () với hình lăng trụ được tiến
hành tương tự như đối với hình chóp. Nhưng hình lăng trụ có hai mặt đáy
song song nhau, nếu () cắt một mặt đáy nào thì cũng cắt mặt đáy còn lại theo
giao tuyến song song với giao tuyến vừa tìm được.
Sau đây là một số dạng tìm thiết diện thường gặp
2.4.1. Cách xác định thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ với mặt
phẳng (P) qua 3 điểm khơng thẳng hàng
2.4.1.1. Thiết diện của một hình chóp hay một hình lăng trụ cắt bởi một mặt
phẳng qua ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của một hình
a. Phương pháp:
Bước 1: Xác định 1 mặt phẳng chứa hai trong ba điểm cho trước.
Bước 2: Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với
giao tuyến của mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại.
Bước 3: Nối các giao điểm với điểm cho trước ta được các đoạn thẳng
xác định mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp hay hình lăng trụ.
b. Bài tốn áp dụng:
Bài tốn 1. Cho hình chóp S.ABCD; M, N là hai điểm lần lượt nằm trên SC và SD.
a. Tìm giao điểm của CD với mp (BMN).
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN).

Bài giải.
GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 20

a. Tìm giao điểm của CD với mp (BMN).

S

Trong mp(SCD), kéo dài MN cắt CD tại I.
I  CD, I  (BMN)
M

suy ra I là giao điểm của CD với mp(BMN)

N
I

b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN).
Ta có: (BMN)  (SCD) = MN

A

D

E

Vì I mp(ABCD) nên nối B với I cắt AD tại E.
(BMN)  (ABCD) = BE

C

(BMN)  (SAD) = EN

B

Vậy thiết diện của hình chóp với mp(BMN) là tứ giác BMNE.
Bài tốn 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I
và J lần lượt là trung điểm của SB và SC.
a. Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài giải.
a. Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
Ta có: AD và BC cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên kéo dài AD
và BC cắt nhau tại F.

S

Xét hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SCB):
S là điểm chung thứ nhất

I

F là điểm chung thứ hai

J

Vậy SF là giao tuyến của (SAD) và (SBC)

A

E

B

K

b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
Trong mp(SBF), gọi E là giao điểm của IJ với SF, D

C

E  mp(AIJ) và AE  mp(AIJ)
Do đó, AE cắt SD tại K, K  mp(AIJ)

F

Vậy K là giao điểm của SD và mp (AIJ).

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 21

c. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Ta có: (AIJ)  (SAB) = AI
(AIJ)  (SBC) = IJ
(AIJ)  (SDC) = KJ
(AIJ)  (SAD) = AK
Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(AIJ) là tứ giác AKJI.
Bài tốn 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C”D’. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các đoạn AA’, B’C’ và CD. Xác định thiết diện của hình lập
phương cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài giải.
Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Trong mp(DCC’D’), qua P dựng đường thẳng
H

song song với DD’, cắt D’C’ tại E.
Gọi F là giao điểm của đường kéo

D

P

C

K

dài PM và EA’ trong mp(MPEA’).

B

A

G

Khi đó, F là giao điểm của MP
M

với mp(A’B’C’D’)
Trong mp(A’B’C’D’):

A'

D'

E

I

C'
N
B'

FN cắt A’B’ và D’C’ lần lượt tại I, J
F

Nối JP cắt CC’ tại G và cắt D’D tại H
Trong mp(ADD’A’), nối MH cắt AD tại K.

Do đó: (MNP)  (ADD’A’) = MK
(MNP)  (ABB’A’) = MI
(MNP)  (A’B’C’D’) = IN
(MNP)  (CBB’C’) = NG
(MNP)  (DD’C’C) = GP
(MNP)  (ABCD) = KP
Vậy thiết diện cần tìm là lục giác MKPGNI.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc

J


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 22

Bài tốn 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của các cạnh AA’, AB, B’C’. Hãy xác định thiết diện của hình lăng trụ
cắt bởi mặt phẳng (MNK).
Lời giải.
Hãy xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MNK).
Trong mặt phẳng (AA’B’B), nối M với N M''

B'

A'
F

MN kéo dài cắt BB’ kéo dài tại N’’, cắt A’B’

K

C'

kéo dài tại M’’, N’’ (MNK), M” (MNK). M
Trong mặt phẳng (A’B’C’), nối M” với K.
A

M”K cắt A’C’ tại F, F  (MNK)

B

N

Trong mặt phẳng (BB’C’C), nối N” với K.

C

N”K cắt BC tại E, E (MNK).

N"

Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MNK) là ngũ giác MNEKF.
Nhận xét:
+ Học sinh thường mắc sai lầm là không nhận thấy các cặp đường thẳng MN
và AC hay MN và A’C’ chéo nhau, do đó khơng tồn tại giao điểm M’, N’.
M'

F

A'

F

B'

C'

B'

A'

M''

K

C'

K

M

M

N

A
A

N

E

B

E B

C

C

N'
N'

Thiết diện của hình lăng trụ

Thiết diện của hình lăng trụ

cắt bởi mặt phẳng (MNK) là

cắt bởi mặt phẳng (MNK) là

ngũ giác MNEKF.

ngũ giác MNEKF.

+ Do bước đầu tiếp xúc với hình khơng gian địi hỏi trừu tượng và tư
duy cao. Bằng trực giác không mang lại kết quả như hình học phẳng mà đơi

khi học sinh mắc sai lầm thể hiện trên hình vẽ.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 23

Biện pháp khắc phục: Giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong
khơng gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong khơng gian.
Bài tốn 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi P, Q, R lần lượt là
các điểm thuộc cạnh AA’, AB, B’C’. Xác định thiết diện của hình lăng trụ đã
cho cắt bởi mặt phẳng (PQR).
Bài giải.
Xác định thiết diện của hình lăng trụ đã cho cắt bởi mặt phẳng (PQR).
A

C
D

Ta có: (ABB’A’)  (PQR) = PQ

Q

I
B

Trong (ABB’A’): PQ  BB’ = D.

P

PQ  A’B’ = E

E

Do đó: (PQR)  (A’B’C’) = ER
A'

Gọi F là giao điểm của ER với A’C’.

C'

F
R
B'

(PQR)  (BCC’B’) = DR; I là giao điểm của DR và BC
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác PQIRF.
Bài tốn 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, các điểm M, N lần lượt là trung
điểm của BC và CC1. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A1MN).
Bài giải.
Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A1MN).
Ta có:  A1MN    BCB1C1   MN
Kéo dài AC và A1N cắt nhau tại I.
Khi đó:

 A1MN    ABC   MP

 A1MN    ABB1 A1   PA1
Vậy thiết diện là tứ giác PMNA1.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

A

C

M

P
B

I
N

A1
C1
B1

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 24

Bài tốn 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Dựng thiết diện của hình
lập phương với một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung

điểm N của cạnh D’C’ và đỉnh A.
Lời giải.
Ta có: (AMN)  (AA’D’D) = AM
Trong mặt phẳng (AA’D’D) dựng AM cắt A’D tại P.
(AMN)  (A’B’C’D’) = PN
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) ta nhận thấy
P, M, B’ thẳng hàng.

C'

Thật vậy,

N

ta có:

P

D'

MD 1
PD 1
 

AA 2
PA 2

Ta lại có

B'

C

B

M

DN 1

AB 2

từ đó suy ra PN đi qua B’ và

A'

A

D

NB 1
 .
PB 2

(AMN)  (CC’D’D) = MN
(AMN)  (AA”B’B) = AB’
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB’.
Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm do trực giác:

B'

C'
N

Học sinh đã biết được giao tuyến của
mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (BB’A’A)

D'

là đường thẳng đi qua A và song song với MN.
Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường
thẳng AB’. Do đó, các em sẽ kết luận thiết

M

D

A'
B

C

A

diện cần tìm chính là hình AMNB’. Điều này chưa đúng vì chưa
có cơ sở chứng minh AB’//MN.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 25

Bài tốn 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Hãy xác định
thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Lời giải.
Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I, J lần lượt là
giao điểm của đường thẳng MN với các đường

S

thẳng BC và CD.
Trong mặt phẳng (SBC), IP và SB cắt nhau tại E.

P
F

Trong mặt phẳng (SCD), JP và SD cắt nhau tại F.
Và các điểm I, J, E, F đều nằm trên mặt phẳng
(MNP)
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNFPE.

E

D

C
N

B

M

A

I

Nhận xét:
+ Học sinh thường mắc sai lầm trong khi xác định các nét khuất của hình.
+ Với đề bài tốn như trên, nhiều học sinh sau khi nối M với N, N với
P, P với M thì kết luận thiết diện cần tìm là miền tam giác MNP. Kết luận
thiết diện như vậy là không đúng. Do học sinh chưa nắm vững được khái
niệm thiết diện nên đã nhầm lẫn với tiên đề về mặt phẳng ( có một và chỉ một
mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước). Đối với bài tốn tìm
thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng.
Biện pháp khắc phục: Giúp học sinh nắm khái niệm “thiết diện” bằng cách:
+ Củng cố, nhắc lại khái niệm điểm chung giữa hai mặt phẳng, giao
tuyến giữa hai mặt phẳng, đoạn giao tuyến, giao điểm giữa đường thẳng và
mặt phẳng.
+ Dùng mơ hình đồ dùng dạy học, hình vẽ minh họa cho học sinh quan
sát, nhận xét đa giác phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt
phẳng với các mặt của hình đa diện. Từ đó phát biểu khái niệm mới.
+ Củng cố khái niệm bằng ví dụ từ dễ đến khó.

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến

SVTH: Nguyễn Trần Ngọc Trúc

J