một số biện pháp hướng dẫn lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến quan hệ tỷ lệ nghịch

PHÒNG GD & ĐT HƯNG NGUYÊN
S NG KIÁ ẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI : HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 5 GIẢI CÁC BÀI TOÁN
"T NH Í ĐỘ DÀI QUÃNG ĐƯỜNG " TRONG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN QUAN HỆ TỈ LỆ NGHỊCH
Người thực hiện : Võ Đình Khởi
Đơn vị công tác : Trường tiể u học Hưng Lam

TH NG 4 - 2009Á
I. Đặ t v ấ n đề :
1
Môn Toán l mà ột bộ môn học có vai trò hết sức quan trọng trong việc hình th nh và à
phát triển nhân cách con người lao động .Nó cần cho tất cả mọi người v à được áp
dụng rộng rãi trong đời sống .Qua học Toán góp phần hình th nh v giáo dà à ục con
người nhiều mặt như :rèn luyện phương pháp luận ,phát triển trí thông minh , cách
suy nghĩ độc lập ,linh hoạt sáng tạo ,tính cần cù chịu khó trong mỗi con người đồng
thời giúp cho các em có thể nhạy bén hơn trong nhiều môn học khác .Học xong
chương trình Toán học về cơ bản các em đã được trang bị một lượng kiến thức l mà
h nh trang bà ước v o cuà ộc sống đầy tự tin .
Từ nhiều năm trong quá trình giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp
5 tôi nhận thấy rằng : Nội dung chương trình môn Toán lớp 5 quả l phong phú à đa
dạng từ các b i toán tính à đến các dạng toán giải có lời văn với nhiều phương pháp
giải hay .Nếu học sinh không phân định được b i toán à đó thuộc dạng gì thì khó có
thể tìm ra được phương pháp giải thích hợp cho b i toán .à
Trong số các dạng toán giải hầu hết học sinh khi gặp các b i toán có liên quan à đến
quan hệ tỉ lệ nghịch các em thường tỏ ra lúng túng , các em ít giải được bởi các em
nắm bản chất của quan hệ tỉ lệ nghịch còn mơ hồ , chưa xác định được đại lượng n oà
tỉ lệ nghịch với đại lượng n o cà ũng từ đó m chà ưa biết chuyển những cái đã cho ở
đại lượng n y qua à đại lượng khác một cách hợp lí để tạo ra các tình huống có quan
hệ tỉ lệ nghịch từ đó giải b i toán mà ột cách đơn giản có hiệu quả hơn .
Điều tôi muốn đưa ra trong đề t i n y l giúp cho hà à à ọc sinh có hướng giải các b ià

toán " Tính độ d i quãng à đường " trong toán chuyển động đều bằng cách vận dụng
quan hệ tỉ lệ nghịch như thế n o à để hiệu quả b i già ải tốt nhất .
II. Gi ả i quy ế t v ấ n đề
Chúng ta biết rằng trong các b i toán chuyà ển động đều khi quãng đường không thay
đổi , vận tốc v thà ời gian l hai à đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Vì vậy để l m à được các b i tà ập " Tính độ d i quãng à đường " trong toán
chuyển động đều ta cần qua các bước sau :
Bước 1 :- Xác định rõ các điều kiện b i toán cho và ề vận tốc , thời gian .
Bước 2 :
- Lập tỉ số giữa thời gian chuyển qua tỷ số vận tốc( nếu b i toán cho bià ết thời gian )
-Lập tỷ số vận tốc chuyển qua tỷ số thời gian ( nếu b i toán cho bià ết vận tốc )
Bước 3 : Giải b i toán trên cà ơ sở số liệu đã được chuyển qua thường l à đưa b i toánà
về dạng định hình : " Tìm hai số khi biết tổng v tà ỷ của hai số đó " hoặc "Tìm hai
2
số khi biết hiệu v tà ỷ số của hai số đó " hoặc " Tìm hai số khi biết hai hiệu " m cácà
em đã quen giải .
III.M ộ t s ố ví d ụ minh ho ạ .
B i 1 :à Một ô tô đi từ A sang B với vận tốc 50 km/ giờ v à đi từ B về A với vận tốc
60 km/ giờ. Thời gian lúc về kém thời gian lúc đi 18 phút . Hỏi quãng đường AB d ià
bao nhiêu ?
Đây l ví dà ụ đơn giản đầu tiên ta cần hướng dẫn học sinh như thế n o ?à
Phân tích b i toán : Rõ r ng ô tô à à đi từ a đến B rồi đi từ B về A quãng đường lúc đi
bằng quãng dường lúc về . Với giả thiết b i toán l ô tô chuyà à ển động đều nên vận
tốc (v) v thà ời gian (t) l hai à đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau . Muốn tính được
quãng đường AB chỉ cần tìm được thời gian đi hoặc về l à đủ . Vậy l m thà ế n o à để
tính được thời gian ? ở đây có thời gian về ít hơn thời gian đi l 18 phút ta.Ta cóà
thể dùng các kí hiệu sau để giải b i toán cho tià ện:
Gọi :
- v
1

l và ận tốc ô tô đi từ A đến B
- v
2
l và ận tốc ô tô đi từ B đến A
- t
1
l thà ời gian ô tô đi từ A đến B
- t
2
l thà ời gian ô tô đi từ B đếnA
Từ đó ta có : t
1
- t
2
=18 phút
Ta suy ra ngay đến lập tỷ số giữa vận tốc đi v vân tà ố về trên quãng đường AB .
6
5
60
50
2
1
==
v
v
Vì vận tốc v thà ời gian l hai à đại lượng tỷ lệ nghịch ( như đã nói ở trên ) do đó ta
có tỷ số giữa thời gian đi v và ề l .à
5
6
2

1
=
t
t
Ta có sơ đồ thời gian t
1

18 phút

t
2

-Từ sơ đồ ta tính ngay được :
Thời gian ô tô đi từ A đến B l .à
18 x 6=108 phút
Đổi 108 phút = 1,8 giờ
Quãng đường AB d i l .à à
3
50 x 1,8= 90 ( km )
Đáp số : 90 km
Lưu ý : B i n y có thà à ể hướng dẫn học sinh giải theo cách khác nhưng tôi không
trình b y à ở đây .
B i 2 :à Bình thường anh hùng đi xe máy từ A đến B phải mất 20 phút . Vì hôm nay
có việc gấp anh cần đến xã sớm hơn 4 phút nên anh đã tăng tốc mỗi phút thêm 120
m . Tính khoảng cách từ xã A đến xã B.
Phân tích b i toánà . b i n y khác và à ới b i 1 à ở chỗ . B i 1 cho bià ết vận tốc đi v vânà
tốc về ta tìm được tỷ số thời gian đi v và ề . B i n y cho bià à ết thời gian phải đi và
thời gian thực đi .Đưa b i toán và ề dạng " tìm hai số khi biết hiệu v tà ỷ " để giải .
Gọi : - thời gian dự định đi l tà
1

( tính theo phút )
- thời gian thực đi l tà
2
( tính theo phút )
- vận tốc dự định đi l và
1
( tính m/phút )
- vận tốc thực đi l và
2
( tính m/phút )
Theo b i ra ta có và
2
- v
1
=120 m.
Thời gian anh ấy thực đi l .à
20phút- 4 phút =16 phút
Tỷ số giữa thời gian dự định đi v thà ời gian thực đi l .à
20 : 6 =
4
5
Vì quãng đường từ A đến B không thay đổi nên vận tốc v thà ời gian l haià
đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau . Do đó tỷ số vận tốc dự định v và ận tốc thực
đi l à
5
4
Ta có sơ đồ .
- v dự định
120 m/phút
- v thực đi

Vận tốc dự định l : 120 x 4 = 480 (m / phút)à
Quãng đường AB d i l .à à
480 x 20 = 9600 (m ) = 9,6 km
Đáp số : 9,6 km.
B i 3 :à
Một người đi xe máy từ A đến B . Nếu vận tốc 30 km / giờ thì đến B sớm hơn 1 giờ
so với thời gian dự định . Nếu đi với vận tốc 20 km / giờ thì đi đến muộn hơn 1 giờ
so với thời gian dự định . Hỏi quãng đường A đến B d i bao nhiêu km ?à
4
Gợi ý học sinh trên cùng một quãng đường vận tốc v thà ời gian l hai à đại lượng tỷ lệ
nghịch . Nếu xe đi với vận tốc 30 km / giờ thì sớm hơn 1 giờ . Nếu xe đi với vận tốc
20 km / giờ thì chậm hơn 1 giờ . Vậy thời gian đi với hai vận tốc đó chênh nhau l 1à
+ 1 = 2 giờ
Theo b i ra ta có tà ỷ số giữa vậntốc 1 v và ận tốc 2 .
2
3
20
30
2
1
==
v
v
Nên tỷ số giữa hai thời gian t
1
v tà
2
l à
3
2

Ta có sơ đồ . - t
1
2 giờ
- t
2
Thời gian đi với vận tốc 30 km / giờ l .à
2 : ( 3 - 2 ) x2 = 4 giờ.
Quãng đường AB.
30 x 4 = 120 ( km )
Đáp số : 120 km
B i 4 : à
Đoạn dường AB gồm một đoạn lên dốc v mà ột đoạn xuống dốc . Ô tô lên dốc với vận
tốc 25 km / giờ v xuà ống dốc với vận tốc 50 km/ giờ . Ôtô đi từ A đến B rồi đi từ B về
A mất tất cả 7 giờ . Tính quãng đường AB.
Phân tích b i toán : Ô tô à đi từ A đến B rrồi đi từ B về A nên quãng đường lên dốc
bằng quãng đường xuống dốc .
C
lên xuống
xuống
A lên B
- B i toán cho bià ết vận tốc lên dốc 25 km / giờ , vận tốc xuốngdốc 50 km/ giờ . Ta sẽ
lập được tỷ số giữa vận tốc lên dốc v và ận tốc xuống dốc . Từ đó ta có tỷ số thời gian
lên dốc v thà ời gian xuống dốc .
Đưa b i toán tìm hai sà ố khi biết tổng v tà ỷ số của hai số .
Giải : Vì ô tô đi từ A đến B rồi lại ừ B về A nên đoạn đường lên dốc bằng đoạn
đường xuống dốc .
- tỷ số giữa vận tốc lên dốc v và ận tốc xuống dốc l .à
5
25 : 50 =
50

25
=
2
1
- Vì quãng đường không đổi nên vận tốc v thà ời gian l hai à đại lượng tỷ lệ nghịch .
Do đó tỷ số thời gian lên dốc v xuà ống dốc l à
1
2
.
Ta có sơ đồ :
- t lên dốc
- t xuống dốc 7,5 giờ
Thời gian xuống dốc l .à
7,5 : (2 + 1) = 2,5 (giờ)
Quãng đường AB l .à
50 x 2,5 = 125 (km)
Đáp số : 125 km
B i 5 : à
Một người đi quãng đường AB trong 10 giờ . Lúc đầu xe đi từ A với vận tốc 40 km /
giờ khi còn 100 km nữa thì được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc 20 km / giờ để
đến B đúng hẹn . Tính quãng đường AB .
v
2
= 60km/ giờ
v
1
= 40km/giờ D C E
A B
100km 100km
Đối với b i toán n y trà à ước hết hướng dẫn các em suy nghĩ bằng hình vẽ tìm ra cách

giải .
Từ giả thiét b i toán ta có nhià ều hướng giải nhưng vẫn đè mẫu chốt ở ví dụ n y tôià
muốn giúp các em suy nghĩ tạo tình huống có quan hệ tỷ lệ nghịch từ đó chuyển sơ
đồ (tỷ số) từ đại lưọng n y sang à đại lượng khác .
Ta sẽ đưa b i toán và ề dạng một động từ chuyển động trên hai quãng dường bằng
nhau với hai vận tốc khác nhau để tìm ra tỷ số vận tốc v tà ừ đó tìm ra tỷ số thời gian
.
Vẽ hình như trên :
Trên DB lấy điểm E sao cho CE = 100 km
Từ AC = CB : DC= CE = 100
⇒
AD = EB.
- Đây l hai quãng à đường bằng nhau .
Ta có tỷ số giữa vận tốc v AD so với v EB l .à
6
60
40
=
3
2
Suy ra số thời gian đi quãng đường AD v EB l à à
2
3
Ta có sơ đồ đoạn thẳng sau .
t
AD

?
t
EB

Ta dễ d ng tìm à được tổng số thời gian đi quãng đưòng AD v EB . nhà ư vậy b i toánà
đã được đưa về dạng toán tổng - tỉ quen thuộc .
Giải :
Quãng đường DE l à
100+100 = 200 (km)
Thời gian đi từ D
→
E .
200 : 60 = 3 giờ 20 phút
Thờ gian di hai quãng đường AD va EB l .à
10 giờ - 3 giờ 20 phút = 6 giờ 40 phút
Từ sơ đồ ta có .
Thời gian đi từ A
→
D l .à
6 giờ 40 phút : (3+2) x 3 = 4 giờ
Quãng đưòng AD d i .à
40 x 4 = 160 (km)
Quãng đường AB d i .à
160 x 2 + 200 = 520 (km)
Đáp số : 520 km
* Một số b i toán có nà ội dung tương tự học sinh có thể tự giải quyết một cách đơn
giản .
Ví dụ :
1. Một t u thuà ỷ xuôi dòng một khúc sông hết 5 giờ v à đi ngược khúc sông hết 7 giờ .
Tính chiều d i khúc sông à đó , biết vận tốc của dòng nước l 60 m/ phút .à
2. Một người đi bộ đi từ A đến C phải qua B . Sau khi đi đoạn đường AB mất 2 giờ
30 phút thì người đố lại tăng vận tốc thêm mỗi giờ 1 km để đến C đúng hện . Tìm
quãng đường AC biết đoạn đường AB d i hà ơn đoạn đường BC l 0,5 km , v ngà à ười
đó đi hết đoạn BC hết 2 giờ .

7
3. Một người đi xe máy từ địa điẻm A đến địa điểm B để họp . Nếu người ấy đi với
vận tốc 25 km / giờ thì xe đến B chậm mất 2 giờ . Nếu đi với vận tốc 30 km / giờ thì
đến B chậm mất 1 giờ .
- Hỏi quãng đường từ địa điểm A đến địa điểm B d i bao nhiêu km ?à
VI. K ế t qu ả :
Đại bộ phận học sinh đã được học tập qua đề t i cà ủa giáo viên truyền đạt thì học
sinh đã tự giải quyết tất cả các b i toán " tính quãng à đưòng trong toán chuyển động
đều . Tuy l mà ột dạng toán khó song nếu học sinh nắm được mẫu chốt b i toán quanà
hệ tỷ lệ nghịch v o già ải thì b i toán trà ở nên đơn giản , không những thế các em còn
vận dụng để gioải một số b i toán có liên quan tà ớ quan hệ tỷ lệ nghịch như dạng
toán vòi nước chảy hay số ngừo l m chung mà ột công viẹc n o à đó
Năm học
Sĩ
số
Lớp
Kết quả được phân loại
A % B % C %
Trước Sau Trước Sau Trước
2005
-2006
2006-
2007
2007-2008
2008-2009
34
29
33
32
2

≈
5,8 %
1
≈
3,4%
3
≈
9 %
1
≈
3,1 %
10
≈
29,4
11
≈
37,9
14
≈
42,4
13
≈
40,6
6
≈
17,6
5
≈
17,2
5

≈
15,1
4
≈
12,5
14
≈
41,1
12
≈
41,3
10
≈
30,3
15
≈
46,8
26
≈
76,4
23
≈
79,3
25
≈
75,7
27
≈
84,3
V. B i hà ọ c kinh nghi ệ m :

* Trong quá trình giải toán , bất kì dạng toán n o các em cà ũng phải đọc kĩ đề , xác
định những điều kiện b i toán cho . à Đặc biệt trong dạng toán n y hà ọc sinh cần nắm
được các đại lượng có liên quan đến quan hệ tỷ lệ nghịch đó l : Trên cùng mà ột đoạn
đường thì thời gian v và ận tốc l hai à đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau .
* Hướng dẫn học sinh giải toán theo hướng lấy học sinh l m trung tâm .à
Trên đây l mà ột v i suy nghà ĩ nhỏ khi hướng dẫn học sinh giải toán " Tính độ d ià
quãng đường " có liên quan đến tỷ lệ nghịch . B i vià ết chắc chắn còn nhiều khiếm
khuyết mong được sự góp ý của đồng nghiệp .
Hưng Lam , ng y 10/4/2009à
Người thực hiện
Võ Đình Khởi
8