Một số biện pháp rèn kỹ năng giải các dạng toán về đại lượng và đo đại lượng toán tiểu học lớp 5

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC – MẦM NON
----------

NGUYỄN BẠCH YẾN

Một số biện pháp rèn kỹ năng giải các
dạng toán về đại lượng và đo đại lượng
Tốn tiểu học lớp 5

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

1


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Bậc học ban đầu là hết sức quan trọng để đào tạo thế hệ trẻ là bậc Tiểu
học. Đây là nền tảng vững chắc để các em có thể học tốt hơn ở các bậc học
tiếp theo. Các môn Tiếng Việt và TNXH, mơn Tốn là một trong 3 mơn quan
trọng nhất trong chương trình tiểu học.
Mơn Tốn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cơ bản và ban đầu về
các phép tính và quan hệ trong tập hợp số tự nhiên, phân số, số thập phân; về
hình dáng các vật qua các bài hình học; về giải tốn...Từ đó, các em dần hình
dung ra hiện thực; phát triển tư duy, óc sáng tạo. Và cùng với các mơn học
khác, mơn Tốn cũng góp phần hồn thiện con người mới của xã hội mới với
những bước tiến xa trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống xã hội.
Tốn Tiểu học có 2 giai đoạn: giai đoạn 1 (lớp 1, 2, 3), giai đoạn 2 (lớp
4, 5). Trong đó, Tốn lớp 4 và lớp 5 có vị trí đặc biệt quan trọng. Nếu coi
Tốn lớp 4 là sự mở đầu thì Tốn lớp 5 là sự phát triển tiếp theo và ở mức cao

hơn, hoàn thiện hơn nhưng ở mức độ sâu hơn, trừu tượng và khái quát hơn,
tường minh hơn so với giai đoạn các lớp 1, 2, 3. Do đó, cơ hội hình thành và
phát triển các năng lực tư duy, trí tưởng tượng khơng gian, khả năng diễn đạt
cho học sinh sẽ nhiều hơn, phong phú hơn và vững chắc hơn so với các lớp
trước. Như vậy, giai đoạn này với những nội dung của mạch kiến thức về đại
lượng và đo đại lượng sẽ giúp giáo viên và học sinh đạt được những mục tiêu
dạy học nhất định của chương trình tốn Tiểu học.
Trong các mảng kiến thức về Số học, Giải tốn, Hình học… thì “ Đại
lượng và đo đại lượng” là mảng kiến thức trừu tượng. Thực tế, đây là tuyến
kiến thức khó dạy, nhiều giáo viên cịn lúng túng nên khơng được chú trọng,
2


quan tâm; cịn học sinh thì hay nhầm lẫn trong quá trình luyện tập nên hiệu
quả học tập chưa cao.
Như vậy, dạy học đại lượng và đo đại lượng trong chương trình Tốn
Tiểu học nói chung và Tốn lớp 5 nói riêng rất quan trọng bởi: Nội dung dạy
học đại lượng và đo đại lượng được triển khai theo định hướng tăng cường
thực hành vận dụng, gắn liền với thực tiễn đời sống. Đó chính là cầu nối giữa
các kiến thức tốn học với thực tế.
Thơng qua việc giải các bài tốn, học sinh khơng chỉ rèn luyện các kỹ
năng tốn học mà cịn được cung cấp thêm nhiều tri thức bổ ích ở các lĩnh vực
khác nhau. Qua đó thấy được ứng dụng thực tiễn của toán học. Nhận thức về
đại lượng, thực hành đo đại lượng kết hợp với số học, hình học và giải tốn sẽ
góp phần phát triển trí tưởng tượng khơng gian, khả năng phân tích – tổng
hợp, khái qt hố – trừu tượng hố, tác phong làm việc khoa học, chính
xác…
Với những lý do trên, em đã lựa chọn đề tài: “Một số biện pháp rèn kỹ
năng giải các dạng toán về đại lượng và đo đại lượng Toán tiểu học lớp 5” .
2. Lịch sử vấn đề:

- PGS.TS Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), TS Đỗ Tiến Đạt, Nguyễn Áng,
“Hỏi đáp về dạy học Toán 5”, NXB Giáo dục, 2008. Ở tài liệu này, các tác
giả đã trình bày một cách hệ thống các câu hỏi về: nội dung chương trình và
SGK, dạy số học, yếu tố thống kê, yếu tố hình học, giải bài tốn có lời văn và
có phần Hỏi đáp về dạy học đại lượng và đo đại lượng trong Toán 5.
- Nguyễn Mạnh Thức, “Đánh giá kết quả học Toán 5”, NXB Giáo dục,
2008. Tác giả đã đưa ra một số bài tập thuộc mảng kiến thức Đại lượng và đo
đại lượng trong chương trình Tốn 5.
- Ngơ Long Hậu, Nguyễn Ngọc Hn, Ngơ Thái Sơn, “500 bài tốn
chọn lọc Tiểu học 5”, NXB ĐHSP, 2006. Tác giả đã đưa ra một số bài tập
3


thuộc mảng kiến thức Đại lượng và đo đại lượng trong chương trình SGK
Tốn 5.
- Đỗ Đình Hoan (chủ biên), Nguyễn Áng, Đỗ Tiến Đạt, Vũ Mai
Hương, Phạm Thanh Tâm, “Ơn tập Tốn 5 (theo chuẩn kiến thức và kĩ năng
mơn Tốn lớp 5)”, NXB Giáo dục, 2007. Tài liệu gồm 4 phần: Ôn tập về Số
tự nhiên, phân số và số thập phân; Ôn tập về đại lượng và đo đại lượng; Ơn
tập về hình học; đề tự kiểm tra kết quả học tập Tốn 5. Phần 2 Ơn tập về đại
lượng và đo đại lượng ôn tập về đo độ dài, đo khối lượng, đo đại lượng thể
tích, diệnt tích, đo thời gian và vận tốc.
- SV Lê Thị Mai Dung, đề tài khóa luận khóa 06 “Thiết kế hệ thống bài
tập trắc nghiệm khách quan về đại lượng và đo đại lượng nhằm tích cực hóa
hoạt động học tập của học sinh trong mơn Tốn lớp 3”, trường ĐHSP –
ĐHĐN, 2010. Đề tài này gồm 3 chương, chương 1 có phần cơ sở Tốn học
(Đại lượng và phép đo đại lượng), phần phương pháp dạy học Toán, phần đặc
điểm về nội dung và phương pháp dạy học mảng kiến thức Đại lượng và đo
đại lượng.
3. Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu một số vấn đề chung về đặc điểm tâm lý của học sinh Tiểu
học và đặc biệt là học sinh lớp 5.
- Tìm hiểu về nội dung, phương pháp kiến thức Toán ở tiểu học và
mảng kiến thức về “Đại lượng và đo đại lượng” lớp 5.
- Tìm hiểu sai lầm, nguyên nhân và biện pháp rèn kỹ năng giải các
dạng toán về “Đại lượng và đo đại lượng” ở Toán lớp 5.
- Trên cơ sở đó xây dựng một số bài tập bổ trợ rèn kĩ năng giải các
dạng toán về “Đại lượng và đo đại lượng” Toán lớp 5 cho học sinh.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu:
4.1. Khách thể nghiên cứu:
4


Q trình dạy – học mơn Tốn ở Tiểu học.
4.2. Đối tượng nghiên cứu:
Nội dung dạy học mảng kiến thức về “Đại lượng và đo đại lượng” Toán
lớp 5. Trên cơ sở đó, đề xuất một số biện pháp khắc phục những sai lầm
thường gặp khi giải toán về mảng kiến thức này.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận làm rõ cơ sở Toán học, cơ sở tâm lý học
trong việc dạy học kiến thức về “Đại lượng và đo đại lượng” Toán 5.
- Nghiên cứu sơ lược về nội dung chương trình kiến thức dạy – học
Tốn tiểu học.
- Nghiên cứu, tìm hiểu nội dung và phương pháp dạy học mảng kiến
thức “Đại lượng và đo đại lượng” Tốn lớp 5.
- Tìm hiểu những sai lầm thường gặp và đề xuất một số biện pháp rèn
kĩ năng giải các dạng toán về “Đại lượng và đo đại lượng” Toán lớp 5 cho học
sinh.
- Trên cơ sở đó, xây dựng một số bài tập bổ trợ rèn kĩ năng giải các
dạng toán về “Đại lượng và đo đại lượng” Toán lớp 5 cho học sinh.

6. Phương pháp nghiên cứu:
Để giải quyết các nhiệm vụ của đề tài, tôi sử dụng các phương pháp
sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: tham khảo một số tài liệu có liên
quan làm sáng tỏ cơ sở lý luận của đề tài; nghiên cứu SGK, SGV Toán lớp 5
về mảng kiến thức “Đại lượng và đo đại lượng”.
- Phương pháp điều tra, phỏng vấn: trao đổi ý kiến với giáo viên, dự giờ
các tiết dạy ở tiểu học có nội dung về “Đại lượng và đo đại lượng” Toán 5; ra
bài kiểm tra về đại lượng và đo đại lượng Toán 5 cho học sinh làm ở trường
thực tập dưới hình thức phiếu bài tập.
5


- Phương pháp thực hành: tổ chức cho học sinh ôn tập, thực hành giải
các bài tập về đại lượng và đo đại lượng Toán 5.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: đề xuất mục đích, đối tượng, nội
dung, phương pháp thực nghiệm…
7. Cấu trúc của đề tài:
Đề tài gồm những mục sau:
- Phần mở đầu:
Lý do chọn đề tài
Lịch sử vấn đề
Mục đích nghiên cứu
Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
- Phần nội dung:
Chương 1: Cơ sở lý luận
Chương 2: Một số biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng toán về
đại lượng và đo đại lượng Toán tiểu học lớp 5

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm và điều tra việc học về đại
lượng và đo đại lượng Toán lớp 5 một số lớp ở trường tiểu học
- Phần kết luận
- Tài liệu tham khảo
- Phụ lục

6


PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Cơ sở Tâm lý học:
1.1.1. Tri giác:
Học sinh tiểu học thường tri giác trên đại thể, ít đi sâu vào chi tiết và
mang tính khơng ổn định, do đó các em phân biệt đối tượng cịn chưa chính
xác, dễ mắc sai lầm, có khi cịn nhầm lẫn giữa các đối tượng na ná giống
nhau. Chẳng hạn thời điểm và khoảng thời gian. Vì vậy, việc đưa ra một số
biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng toán về đại lượng và đo đại lượng, giúp
các em nhận biết được bản chất của đối tượng để có được tri thức chính xác,
từ đó phát triển tri giác cho các em.
Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác thường gắn với hoạt động thực tiễn. Tri
giác sự vật nghĩa là phải làm một cái gì đó với sự vật, trực tiếp tiếp xúc với sự
vật (cầm, nắm, tháo gỡ sự vật). Đối với các em, diện tích và thời gian là
những khái niệm khó. Trẻ khơng nhìn thấy thời gian và diện tích… Đến cuối
tuổi tiểu học, tri giác bắt đầu mang tính xúc cảm, các em thích quan sát các sự
vật hiện tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp hẫn, tri giác của các em đã mang tính
mục đích, có phương hướng rõ ràng - Tri giác có chủ định (trẻ biết lập kế
hoạch học tập, biết sắp xếp công việc nhà, biết làm các bài tập từ dễ đến
khó,...).

Vì vậy, khi đưa ra một số biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng toán về
đại lượng và đo đại lượng, chúng ta cần thông qua những hoạt động diễn ra
trong sinh hoạt hằng ngày, thơng qua hình ảnh minh họa sinh động, thu hút trẻ
bằng các hoạt động mới, mang màu sắc, tích chất đặc biệt khác lạ so với bình
thường, khi đó sẽ kích thích các em cảm nhận, tri giác tích cực và chính xác.
7


1.1.2. Chú ý:
Ở đầu tiểu học, chú ý có chủ định của học sinh cịn yếu, khả năng kiểm
sốt, điều khiển chú ý còn hạn chế. Ở giai đoạn này chú ý không chủ định
chiếm ưu thế hơn chú ý có chủ định. Lúc này, các em chỉ quan tâm chú ý đến
những mơn học, giờ học có đồ dùng trực quan sinh động, hấp dẫn có nhiều
tranh ảnh, trị chơi hoặc có cơ giáo xinh đẹp, dịu dàng,... Sự tập trung chú ý
của trẻ cịn yếu và thiếu tính bền vững, chưa thể tập trung lâu dài và dễ bị
phân tán trong quá trình học tập.
Ở cuối tiểu học trẻ dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý
của mình. Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế, ở trẻ đã có sự nỗ
lực về ý chí trong hoạt động học tập như học thuộc một bài thơ, một cơng
thức tốn hay một bài hát dài,...Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện
giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho
phép để làm một việc nào đó và cố gắng hồn thành cơng việc trong khoảng
thời gian quy định.
Nhưng nói chung, chú ý không chủ định chiếm ưu thế ở học sinh tiểu
học. Sự chú ý của học sinh tiểu học thường phân tán, dễ bị lôi cuốn vào các
trực quan, gợi cảm những gì mang tính mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ.
Chính vì vậy, trong dạy học tốn rèn kĩ năng giải các dạng toán về đại
lượng và đo đại lượng, cần đưa ra một số biện pháp phù hợp với đặc điểm tâm
sinh lý của học sinh tiểu học, mới thu hút được sự chú ý của học sinh, phát
huy được hứng thú trong học tập, như vậy dạy học mới đạt hiệu quả.

1.1.3. Tư duy:
Tư duy của học sinh tiểu duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm ưu
thế là tư duy trực quan hành động. Trong một chừng mực nào đó, hành động
trên các đồ vật, sự kiện bên ngồi cịn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư
duy. Các thao tác của tư duy đã liên kết với nhau thành thổng thể, nhưng sự
8


liên kết đó chưa hồn tồn tổng qt. Học sinh có khả năng nhận thức cái bất
biến và hình thành kĩ năng bảo toàn. Các phẩm chất tư duy chuyển dần từ tính
cụ thể sang tư duy trừu tượng khái quát.
Tư duy có bước tiến rất quan trọng phân biệt được phương tiện định
tính, định lượng.
Trong rèn kĩ năng giải các dạng toán về đại lượng và đo đại lượng cho
học sinh, giáo viên nên đưa ra nhiều bài tập để học sinh thao tác tư duy. Từ
đó, các em sẽ hình thành kỹ năng đối với dạng bài tập này và ứng dụng vào
thực tế cuộc sống.
1.1.4. Tưởng tượng:
Tưởng tượng của học sinh tiểu học đã phát triển phong phú hơn so với
trẻ mầm non nhờ có bộ não phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng dầy dạn.
Tuy nhiên, tưởng tượng của các em vẫn mang một số đặc điểm nổi bật sau:
Ở đầu tuổi tiểu học thì hình ảnh tưởng tượng cịn đơn giản, chưa bền
vững và dễ thay đổi.
Ở cuối tuổi tiểu học, tưởng tượng tái tạo đã bắt đầu hồn thiện. Từ
những hình ảnh cũ, trẻ đã tái tạo ra những hình ảnh mới. Tưởng tượng sáng
tạo tương đối phát triển ở giai đoạn cuối bậc tiểu học, trẻ bắt đầu phát triển
khả năng làm thơ, làm văn, vẽ tranh,... Đặc biệt, tưởng tượng của các em
trong giai đoạn này bị chi phối mạnh mẽ bởi các yếu tố khác. Xúc cảm, tình
cảm, những hình ảnh, sự việc, hiện tượng đều gắn liền với các rung động tình
cảm của các em.

Do vậy, khi đưa ra một số biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng toán về
đại lượng và đo đại lượng trong dạy học, người giáo viên phải phát triển tư
duy và trí tưởng tượng của các em bằng cách biến các kiến thức "khơ khan"
thành những hình ảnh có cảm xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính
gợi mở, thu hút các em vào các hoạt động nhóm, hoạt động tập thể để các em
9


có cơ hội nắm rõ bản chất của đối tượng và phát triển q trình nhận thức lý
tính của mình một cách tồn diện.
1.1.5. Trí nhớ:
Ở bậc Tiểu học, trí nhớ trực quan hình tượng chiếm ưu thế hơn trí nhớ
từ ngữ - lôgic
Giai đoạn lớp 1, 2, 3, ghi nhớ máy móc phát triển tương đối tốt và
chiếm ưu thế hơn so với ghi nhớ có ý nghĩa. Nhiều học sinh chưa biết tổ chức
việc ghi nhớ có ý nghĩa, chưa biết dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ, chưa biết
cách khái quát hóa hay xây dựng dàn bài để ghi nhớ tài liệu.
Giai đoạn lớp 4, 5 ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ được tăng
cường. Ghi nhớ có chủ định đã phát triển. Tuy nhiên, hiệu quả của việc ghi
nhớ có chủ định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mức độ tích cực tập
trung trí tuệ của các em, sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lý tình
cảm hay hứng thú của các em...
Vì vậy, giáo viên phải giúp các em biết cách khái quát hóa và đơn giản
mọi vấn đề, xác định đâu là nội dung quan trọng cần ghi nhớ, các từ ngữ dùng
để diễn đạt nội dung cần ghi nhớ phải đơn giản dễ hiểu, dễ nắm bắt, dễ thuộc
và đặc biệt phải hình thành ở các em tâm lý hứng thú và vui vẻ khi ghi nhớ
kiến thức.
Khi đưa ra một số biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng toán về đại
lượng và đo đại lượng trong dạy học, giáo viên cần phải giúp các em ghi nhớ
tốt các biểu tượng về các đại lượng và đo đại lượng cũng như đơn vị đo của

từng đại lượng.
1.1.6. Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa:
Ở học sinh tiểu học, khả năng phân tích phát triển khơng đều, tổng hợp
có khi không đúng hoặc không đầy đủ dẫn đến khái quát sai khi hình thành
khái niệm của các đối tượng tốn học.
10


Các khái niệm tốn học hình thành qua trừu tượng hóa, nhưng khơng
chỉ dựa vào tri giác, bởi khái niệm tốn học cịn là kết quả của thao tác tư duy
đặc thù. Có 2 dạng trừu tượng hóa:
- Sự trừu tượng hóa từ đồ vật, hiện tượng cảm tính.
- Sự trừu tượng hóa từ các hành động.
Thực hiện sự trừu tượng hóa nhằm rút ra dấu hiệu bản chất.
Học sinh tiểu học, nhất là những lớp đầu cấp, thường phán đốn theo
cảm nhận riêng nên suy luận thường mang tính tuyệt đối.
Trong học tốn, các em khó nhận thức về quan hệ kéo theo trong suy
diễn. Các em khó chấp nhận các giả thiết, các dữ kiện có tính chất hoàn toàn
giả định bởi suy luận thường gắn với thực tế, phép suy diễn của hiện thực.
Khả năng khái quát hóa phát triển dần theo lứa tuổi, lớp 4, 5 bắt đầu biết khái
quát hóa lý luận. Tuy nhiên, hoạt động phân tích, tổng hợp kiến thức cịn sơ
đẳng ở phần đơng học sinh tiểu học.
Vì vậy, trong dạy học toán và khi đưa ra một số biện pháp rèn kĩ năng
giải các dạng toán về đại lượng và đo đại lượng, việc xuất phát từ cụ thể để
tiến tới rèn các năng lực tổng hợp, khái quát suy luận…là vơ cùng cần thiết;
sẽ giúp các em hình thành và phát triển các thao tác cơ bản của tư duy như so
sánh, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái qt hóa…
1.2. Cơ sở Tốn học:
1.2.1. Lý thuyết về đại lượng:
1.2.1.1. Khái niệm đại lượng:

- Định nghĩa 1: Ta gọi một quan hệ tương đương ~ trên X là đại lượng
trên tập hợp X, kí hiệu đại lượng là ( X, ~ ).
Như vậy, trên X có nhiều quan hệ tương đương nên có nhiều đại lượng,
mỗi đại lượng xác định một thuộc tính đặc trưng nào đó của X.

11


- Định nghĩa 2: Ta gọi tập thương X / ~ là tập hợp của đại lượng (X, ~).
Mỗi lớp tương đương (được đại diện bới một phần tử bất kì của lớp đó) được
xác định bằng cái đặc trưng của nó mà trạng thái có thể có, gọi là giá trị
(riêng) của nó.
Như vậy, ứng với mỗi giá trị của đại lượng là một lớp các phần tử
tương đương của tập hợp đối tượng.
Chẳng hạn, đại lượng “độ dài” có tập giá trị là độ dài các đoạn thẳng
(chính là tập số thực R+). Ứng với mỗi giá trị độ dài (mỗi số đo) là lớp tương
đương của đoạn thẳng có dộ dài bằng nhau.
1.2.1.2. Các loại đại lượng:
- Định nghĩa 1: Đại lượng ( X, ~ ) được gọi là đại lượng vơ hướng, kí
hiệu là ( X, ~, ≤ ), nêu trên tập X / ~ có một quan hệ thứ tự toàn phần.
- Định nghĩa 2: Đại lượng ( X, ~ ) được gọi là đại lượng cộng được, kí
hiệu là ( X, ~, + ), nêu trên tập X / ~ có một phép (+) sao cho ( X, ~, + ) là vị
nhóm giao hoán.
- Định nghĩa 3: Đại lượng X được gọi là đại lượng vơ hướng cộng
được, kí hiệu là ( X, ~, ≤ , + ) nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:
+ ( X, ~, ≤ ) là đại lượng vô hướng
+ ( X, ~, + ) là đại lượng cộng được
+ ( X, ~, ≤ , + ) là vị nhóm sắp thứ tự Acsimet và mọi phần tử khác 0
(đơn vị của phép cộng đều là phần tử dương.
1.2.2. Lý thuyết về phép đo đại lượng vô hướng cộng được:

- Định nghĩa: Cho ( X, ~, ≤ , + ) là đại lượng vô hướng cộng được, e là
phần tử khác 0, R+ là tập số thực không âm. Ta gọi phép đo d, đơn vị đo e, là
cơ cấu, đơn điệu:
d: X / ~  R+
x  d(x)
12


Với d(e) = 1
D(x) gọi là số đo của x, e gọi là đơn vị đo.
1.3. Chương trình Tốn tiểu học lớp 5:
1.3.1. Mục tiêu dạy học Toán lớp 5:
Dạy học Tốn lớp 5 nhằm giúp học sinh:
- Có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học, các số tự nhiên, phân
số, số thập phân, các đại lượng thơng dụng, một số yếu tố hình học và thống
kê đơn giản.
- Hình thành các kĩ năng thực hành tính, đo lường, giải bài tốn có
nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống.
- Bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lí và diễn
đạt đúng (nói và viết) cách phát hiện và cách giải quyết các vấn đề đơn giản,
gần gũi trong cuộc sống, kích thích trí tưởng tượng, chăm học và hứng thú
học tập tốn, hình thành bước đầu phương pháp tự học và làm việc có kế
hoạch, khoa học, chủ động, linh hoạt, sáng tạo.
* Về số và phép tính
Bổ sung những hiểu biết cần thiết về phân số thập phân, hỗn số để
chuẩn bị học số thập phân.
Biết khái niệm ban đầu về số thập phân; đọc, viết, so sánh, sắp thứ tự
các số thập phân.
Biết cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân.
Biết vận dụng những kiến thức và kĩ năng về số thập phân để: tính giá trị của

biểu thức có đến ba dấu phép tính; tìm một thành phần chua biết của phép tính…
Ơn tập, hệ thống những kiến thức và kĩ năng cơ bản về số và phép tính.
* Về đo lường
Biết tên gọi, kí hiệu, quan hệ giũa một số đơn vị đo diện tích, thể tích thông
dụng (chẳng hạn, giữa km2 và m2, giữa ha và m2, giữa m3 và dm3, giữa dm3 và cm3).
13


Biết viết các số đo độ dài, khối lượng, diện tích, thể tích thời gian dưới
dạng số thập phân.
Biết cộng, trừ các số đo thời gian có đến hai tên đơn vị đo; nhân, chia
các số đo thời gian có đến hai tên đơn vị đo với (cho) số tự nhiên (khác 0).
* Về hình học
Nhận biết được hình thang, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình
trụ, hình cầu và một số dạng của hình tam giác.
Biết tính chu vi hình trịn, diện tích hình tam giác, hình thang, hình
trịn.
Biết tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình hộp
chữ nhật, hình lập phương.
* Về giải tốn có lời văn
Biết giải và trình bày bài giải các bào tốn có đến bốn bước tính, trong
đó có:
+ Một số dạng toán về quan hệ tỉ lệ (Khi giải các bài toán thuộc quan
hệ “tỉ lệ thuận”, “tỉ lệ nghịch” khơng dùng các tên gọi này; có thể giải bài tốn
bằng cách “rút về đơn vị” hoặc “tìm tỉ số”).
+ Các bài toán về tỉ số phần trăm.
+ Bài tốn về chuyển động đều.
+ Các bài tốn có nội dung hình học liên quan đến các hình đã học.
* Về một số yếu tố thống kê
Biết đọc các số liệu trên biểu đồ hình quạt.

Bước đầu biết nhận xét về một số thông tin đơn giản thu thập từ biểu đồ.
* Về phát triển ngôn ngữ, tư duy và góp phần hình thành nhân cách
cho học sinh
Biết diễn đạt một số nhận xét, quy tắc, tính chất…bằng ngơn ngữ (nói,
viết dưới dạng cơng thức…) ở dạng khái qt.
14


Tiếp tục phát triển (ở mức độ thích hợp) năng lực phân tích, tổng hợp,
khái qt hóa, cụ thể hóa; bước đầu hình thành và phát triển tư duy phê phán
và sáng tạo; phát triển trí tưởng tượng khơng gian…
Tiếp tục rèn luyện các đức tính: chăm học, cẩn thận, tự tin, trung thực,
có tinh thần trách nhiệm…
1.3.2. Nội dung chương trình Tốn lớp 5:
Nội dung dạy học mơn Tốn được nêu trong chương trình Giáo dục
phổ thơng - cấp Tiểu học theo từng lớp, trong đó có mức độ cần đạt về kiến
thức, kĩ năng (chuẩn kiến thức, kĩ năng) của từng chủ đề, theo các mạch kiến
thức của từng lớp.
Đối với từng bài học trong SGK mơn Tốn, người giáo viên cần quan
tâm đến yêu cầu cơ bản, tối thiểu mà tất cả học sinh phải đạt được sau khi học
xong bài học đó. Q trình tích lũy được qua yêu cầu đạt ở mỗi bài học đối
với học sinh cũng chính là q trình bảo đảm cho học sinh đạt chuẩn kiến
thức, kĩ năng cơ bản của mơn tốn theo từng chủ đề, từng lớp.
Để đảm bảo thực hiện được yêu cầu cần đạt của mỗi bài học, học
sinh phải thực hiện các bài tập cần làm trong số các bài tập thực hành,
luyện tập của bài học trong SGK. Đây là các bài tập cơ bản, thiết yếu
phải hoàn thành đối với mỗi học sinh trong mỗi giờ học, tiết học. Các
bài tập này đã được lựa chọn theo những tiêu chí (đảm bảo tính sư
phạm, tính khả thi, tính đặc thù của mơn học,...) nhằm đáp ứng các yêu
cầu sau:

- Là các dạng bài tập cơ bản, cần thiết, tối thiểu giúp học sinh thực
hành để từng bước nắm được kiến thức, rèn kĩ năng và yêu cầu về thái độ
nhằm đáp ứng yêu cầu cần đạt của mỗi bài học.
- Góp phần thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng của mỗi chủ đề nội dung
trong mơn Tốn.
15


- Góp phần thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu về thái độ mà
học sinh cần đạt được sau khi học hết mỗi lớp; thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ
năng và yêu cầu về thái độ của chương trình.
Nội dung Tốn 5 trong chương trình mơn Tốn ở Tiểu học gồm bốn
mạch nội dung: số học, đại lượng và đo đại lượng, yếu tố hình học, giải bài
tốn có lời văn.
Số học

Đại lượng và đo đại
lượng

Yếu tố hình học

Giải tốn có lời
văn

- Phân số thập - Bổ sung đơn vị đo - Hình tam giác: - Giải bài tốn
phân, hỗn số

diện

tích:

dam2, Nhận biết hình về "quan hệ tỉ

- Số thập phân hm2, mm2, ha. Bảng dạng . Diện tích
và các phép tính đơn vị đo diện tích

-

Hình

lệ"

thang: - Giải bài toán

với số thập phân - Đơn vị đo thể Nhận biết hình về "tỉ số phần
- Tỉ số phần tích. Giới thiệu đại dạng. Diện tích
trăm

lượng thể tích của -

trăm"

trịn; - Giải bài tốn

Hình

- Thống kê, biểu một hình

đường trịn: Chu về chuyển động

đồ

vi, diện tích

- Đơn vị đo thời gian

đều

- Ôn tập, củng - Giới thiệu đại - Hình hộp chữ - Giải bài tốn
cố hệ thống hóa lượng vận tốc

nhật,

hình

những kiến thức - Ơn tập hệ thống phương:

lập có

nội

dung

Nhận hình học

và kĩ năng cơ các đại lượng và biết hình dạng,
bản về số và đơn vị đo đại lượng diện tích xung
phân tích số (số đã học thành các quanh, diện tích
tự nhiên, phân bảng đơn vị đo đại toàn phần,

thể

số đơn giản, số lượng : độ dài, khối tích
thập phân)

lượng,

diện

tích, - Giới thiệu hình

thời gian, thể tích

trụ, hình cầu
16


Nhìn chung, chương trình tốn 5, các mạch nội dung đều được sắp xếp
xen kẽ nhau. Các nội dung giáo dục khác được tích hợp với nội dung tốn
học, tạo điều kiện cho học sinh vận dụng các kiến thức và kĩ năng của Toán 5
để thực hành, phát hiện và giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống
hằng ngày, góp phần thực hiện học đi đơi với hành, lý luận gắn liền với thực
tiễn…
1.3.3. Định hướng chung trong đổi mới phương pháp dạy học Toán 5:
Việc dạy học được thực hiện trên cơ sở giáo viên lập kế hoạch, tổ chức
và hướng dẫn, hợp tác với học sinh trong các hoạt động học tập với sự tham
gia tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
Cụ thể là giáo viên phải tổ chức, hướng dẫn cho học sinh hoạt động học
tập với sự trợ giúp đúng lúc, đúng mức của sách giáo khoa Toán 5 và các đồ
dùng dạy học toán, để từng học sinh (hoặc nhóm học sinh) tự phát hiện và tự

giải quyết vấn đề của bài học; tự chiếm lĩnh nội dung học tập rồi thực hành,
vận dụng các nội dung đó theo năng lực của các nhân học sinh.
Kế thừa và phát huy những ưu điểm của các phương pháp dạy học mơn
Tốn đã sử dụng ở các lớp trước, đặc biệt ở lớp 5 nhằm tiếp tục tăng cường
vận dụng các phương pháp dạy học giúp học sinh tự nêu các nhận xét, các
quy tắc, các công thức…ở dạng trừu tượng và khái quát hơn so với lớp 4;
bước đầu hệ thống hóa các kiến thức đã học, nhận ra một số mối quan hệ giữa
một số nội dung đã học… Đây là cơ hội để tiếp tục phát triển năng lực trừu
tượng hóa, khái quát hóa; tiếp tục phát triển khả năng diễn đạt (rõ, chính xác,
gọn) và từng bước tập cho học sinh cách suy luận ở dạng đơn giản theo mức
độ ở lớp cuối của cấp Tiểu học.
Việc dạy học Toán phải tạo được hứng thú và tinh thần trách
nhiệm trong học tập của học sinh; tạo lập mơi trường học tập thân thiện
và động viên, khuyến khích học sinh tham gia tích c ực vào q trình
17


học tập, hình thành kĩ năng và thói quen học theo năng lực của từng
học sinh.
Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình
dạy học là một trong những trọng tâm (nhiệm vụ chủ yếu) của đổi mới
phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học.
Trong dạy học Tốn 5, có thể phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của học sinh như sau:
* Khi dạy học bài mới, giáo viên nên:
- Tổ chức, hướng dẫn học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề của bài
học bằng cách:
+ Hướng dẫn học sinh (hoặc từng nhóm học sinh) tự phát hiện vấn đề
của bài học rồi tổ chức cho học sinh huy động những hiểu biết của bản thân
(hoặc của cả nhóm học sinh) để thiết lập mối quan hệ giữa vấn đề mới phát

hiện với những kiến thức thích hợp đã biết, từ đó các em tự tìm cách giải
quyết vấn đề.
+ Hạn chế những lời giảng giải theo kiểu truyền đạt kiến thức có sẵn.
+ Trân trọng, khuyến khích mọi ý kiến đóng góp của học sinh trong
phát hiện, giải quyết vấn đề và giúp học sinh lựa chọn ý kiến hợp lý nhất.
- Tổ chức cho học sinh thực hành, vận dụng kiến thức mới học ngay
trong tiết dạy học bài mới để học sinh “học qua làm”, học bằng cách “động
não”, … Sau khi học sinh tự làm mỗi bài tập, giáo viên nên nêu một số câu
hỏi để khi trả lời học sinh được ôn tập, củng cố hoặc nắm vững hơn kiến thức
mới học. Việc làm này góp phần giúp học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức mới
ngay trong quá trình dạy học bài mới.
* Khi dạy học các tiết luyện tập, luyện tập chung, thực hành, ôn tập,
giáo viên nên:

18


- Giúp học sinh tự phát hiện ra mối liên hệ giữa các vấn đề trong
bài tập và các kiến thức đã được tích lũy, từ đó học sinh biết lựa chọn,
sử dụng những kiến thức và phương pháp thích hợp để giải bài tập.
- Giúp học sinh tự luyện tập, thực hành theo khả năng của từng học
sinh , tránh cách dạy học “đồng loạt”, “bình quân”; nên chấp nhận tình trạng
trong cùng một khoảng thời gian có học sinh làm được nhiều bài tập hơn
những học sinh khác để có giải pháp thích hợp khi tổ chức cho từng đối tượng
học sinh làm bài và chữa bài.
- Khuyến khích sự hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng học sinh bằng
cách tổ chức cho học sinh tự làm bài rồi trao đổi ý kiến về cách giải của các
bạn khác để tự rút kinh nghiệm và hoàn chỉnh cách giải của bản thân. Không
chấp nhận hiện tượng làm hộ bạn, thiếu tự lực hoặc thiếu trung thực khi làm
bài. Nên tổ chức nhóm học tập để học sinh có thể gợi ý cách làm bài cho bạn

(khi thật sự cần thiết).
- Tập cho học sinh có thói quen: tìm nhiều cách giải và lựa chọn cách
giải hợp lý nhất, không thỏa mãn với các kết quả đã đạt được; tự kiểm tra, tự
đánh giá, tự rút kinh nghiệm khi làm bài và chữa bài.
1.4. Tổng quan chương trình đo lường tiểu học:
- Hệ thống các kiến thức trong nội dung đo lường ở tiểu học được xây
dựng theo cấu trúc đồng tâm như các nội dung khác của tốn học nói riêng và
các mơn học khác nói chung. Hệ thống các kiến thức được sắp xếp từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp; giúp cho các em dễ dàng tư duy, phát hiện tri
thức.
Ngay từ lớp 1, học sinh đã được làm quen với đơn vị đo độ dài là cm,
biết đọc, viết và đo các đoạn thẳng hoặc các vật có độ dài dưới 20cm. Lớp 2 –
lớp 3 các em dần dần làm quen lần lượt với các đơn vị đo độ dài, đơn vị đo
khối lượng, đơn vị đo thời gian và dung tích (lít), biết thực hành cân, đo và
19


đổi một số đơn vị đo đã học. Lớp 4 học sinh được hoàn chỉnh bảng đơn vị đo
khối lượng, đo độ dài, đo thời gian (từ giây đến thế kỷ), được học các đơn vị
đo diện tích từ mm2 → m2 và bước đầu biết đổi các đơn vị đo đơn giản. Lớp
5: hoàn chỉnh bảng đơn vị đo diện tích, được biết về một số đơn vị đo thể tích
thường dùng và ghép đổi đơn giản, củng cố tồn bộ hệ thống các đơn vị đo
lường thơng qua nhiều tiết luyện tập (tổng số là 17 tiết) và ôn tập. Chương
trình đo lường lớp 5 chiếm tỷ lệ lớn hơn so với chương trình đo lường của các
lớp dưới, rèn kỹ năng đổi đơn vị nhiều hơn và mang tính tổng hợp hơn. Mặt
khác lớp 5 học sinh đã được học đến số thập phân nên các dạng bài tập cũng
phong phú và đa dạng hơn.

20

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KĨ NĂNG GIẢI CÁC
DẠNG TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG VÀ ĐO ĐẠI LƯỢNG
TOÁN LỚP 5
2.1. Chương tình kiến thức về đại lượng và đo đại lượng Tốn lớp 5:
2.1.1. Vai trị của việc dạy học Đại lượng và đo đại lượng trong chương
trình Tốn Tiểu học:
Trong chương trình tốn học ở Tiểu học, các kiến thức về phép đo đại
lượng gắn bó chặt chẽ với các kiến thức số học và hình học. Khi dạy học hệ
thống đơn vị đo của mỗi đại lượng đều phải nhằm củng cố các kiến thức về hệ
ghi số (hệ thập phân). Ngược lại, việc củng cố này có tác dụng trở lại giúp
nhận thức rõ hơn mối quan hệ giữa các đơn vị đo của đại lượng đó có kiến
thức về phép tính số học làm cơ sở cho việc dạy học các phép tính trên số đo
đại lượng, ngược lại việc dạy học phép tính trên các số.
Việc chuyển đổi các đơn vị đo đại lượng được tiến hành trên cơ sở hệ
ghi số; đồng thời việc đó cũng góp phần củng cố nhận thức về số tự nhiên,
phân số, số thập phân theo chương trình tốn Tiểu học. Việc so sánh và tính
tốn trên các số đo đại lượng góp phần củng cố nhận thức về khái niệm đại
lượng, tính cộng được của đại lượng cộng được, đo được.
Như vậy, dạy học đại lượng và đo đại lượng trong chương trình tốn Tiểu
học nói chung và Tốn 5 nói riêng rất quan trọng bởi: Nội dung dạy học đại
lượng và đo đại lượng được triển khai theo định hướng tăng cường thực hành
vận dụng, gắn liền với thực tiễn đời sống. Đó chính là cầu nối giữa các kiến thức
toán học với thực tế đời sống. Thơng qua việc giải các bài tốn, học sinh khơng
chỉ rèn luyện các kỹ năng của mơn tốn mà cịn được cung cấp thêm nhiều tri
thức bổ ích. Qua đó, ta có thể thấy được ứng dụng thực tiễn của toán học. Nhận
thức về đại lượng, thực hành đo đại lượng kết hợp với số học, hình học sẽ góp
21

phần phát triển tư duy, trí tưởng tượng khơng gian, khả năng phân tích – tổng
hợp, khái qt hố - trừu tượng hoá, tác phong làm việc khoa học, …
2.1.2. Nội dung chương trình kiến thức Đại lượng đo đại lượng Toán 5:
Nội dung dạy học “Đại lượng và đo đại lượng” được sắp xếp đan xen
với các mạch kiến thức khác nhằm tạo ra sự hỗ trợ lẫn nhau trong việc dạy
học các mạch kiến thức với hạt nhân là “Số học”. Đo lường (đại lượng và đo
đại lượng) có khoảng 34 tiết; chiếm 19,42% tổng thời lượng dạy học Toán 5.
Thật vậy, nội dung dạy học về “Đại lượng và đo đại lượng” lớp 5 nói
riêng và Tốn Tiểu học nói chung, chính là một cầu nối giữa các kiến thức
toán với thực tế đời sống. Giải các dạng toán, học sinh được cung cấp thêm
nhiều tri thức mới và ứng dụng chúng vào thực tiễn. Học các liến thức về đại
lượng và đo đại lượng, học sinh có thể biết:
- Đường sắt từ Hà Nội đến Thành phố Hồ Chí Minh dài 1726km; từ Hà
Nội đến Đà Nẵng dài 791km.
- Diện tích rừng Cúc Phương là 22 200ha.
- Một con đà điểu có thể chạy với vận tốc 1050m/phút.
- Năm công bố một số phát minh vĩ đại trong lịch sử lồi người: kính
viễn vọng năm 1671, đầu máy xe lửa năm 1804, máy tính điện tử năm 1946,
vệ tinh nhân tạo năm 1957…
Đại lượng và đo đại lượng trong Tốn 5 có các nội dung chủ yếu sau:
2.1.2.1. Diện tích:
- Bổ sung các đơn vị đo diện tích: dam2, hm2, mm2 vỡ ha. Bảng đơn vị
đo diện tích.
- Thực hành chuyển đổi giữa các đơn vị đo diện tích thơng dụng.
2.1.2.2. Thể tích:
- Giới thiệu khái niệm thể tích. Một số đơn vị đo thể tích: m3, dm3, cm3.

22

- Thực hành chuyển đổi giữa một số đơn vị đo thể tích thơng dụng
(chẳng hạn: giữa m3 và dm3 , dm3 và cm3, m3 và cm3).
2.1.2.3. Thời gian:
- Bảng đơn vị đo thời gian. Thực hành chuyển đổi giữa một số đơn vị
đo thời gian thông dụng.
- Thực hành các phép tính cộng trừ với số đo thời gian có đến hai tên
đơn vị đo; nhân, chia các số đo thời gian có đến hai tên đơn vị đo với số tự
nhiên (khác 0).
- Củng cố nhận biết về thời điểm và khoảng thời gian.
2.1.2.4. Vận tốc:
- Giới thiệu khái niệm vận tốc và đơn vị đo vận tốc.
- Vận tốc của một chuyển động đều.
* Nội dung chương trình có phần ơn tập ở đầu và cuối với các kiến thức
đã học cùng với các dạng bài tập phong phú, giúp học sinh được củng cố sâu
hơn và nắm chắc hơn .
2.1.3. Mức độ cần đạt:
2.1.3.1. Bảng đơn vị đo dộ dài , đo khối lượng:
- Biết tên gọi, ký hiệu, mối quan hệ của các đơn vị đo trong bảng (chủ
yếu là quan hệ giữa hai đơn vị liên tiếp và một số đơn vị đo thông dụng).
- Biết chuyển đổi các đơn vị đo.
+ Từ số đo có một tên đơn vị thành số đo có một tên đơn vị khác.
+ Từ số đo có hai tên đơn vị thành số đo có một tên đơn vị và ngược
lại.
- Biết thực hiện các phép tính với các số đo và vận dụng trong gảii
quyết một số tình huống thực tế.
2.1.3.2. Bảng đơn vị đo diện tích:

23

- Biết dam2, hm2, mm2 là những đơn vị đo diện tích; ha là đơn vị đo
diện tích ruộng đất.
- Biết đọc, viết các số đo diện tích theo những đơn vị đo đã học.
- Biết tên gọi, kí hiệu, mối quan hệ của các đơn vị đo diện tích trong
bảng đơn vị đo diện tích (chủ yếu là quan hệ giữa hai đơn vị liên tiếp và một
số đơn vị đo thông dụng).
- Biết chuyển đổi các đơn vị đo diện tích (trong một số trường hợp như
đối với đơn vị đo độ dài và đơn vị đo khối lượng).
- Biết thực hiện các phép tính với các số đo diện tích.
2.1.3.3. Thể tích:
- Bước đầu nhận biết được thể tích của một hình khối.
- Biết cm3, dm3, m3 là những đơn vị đo thể tích.
- Biết đọc, viết các số đo thể tích theo những đơn vị đo đã học, mối
quan hệ giữa các đơn vị thể tích thơng dụng.
- Biết chuyển đơn vị đo thể tích trong trường hợp đơn giản, chẳng hạn:
375dm3 = … cm3

5100cm3 = … dm3

2.1.3.4. Thời gian:
- Biết mối quan hệ giữa một số đơn vị đo thời gian thông dụng.
- Biết chuyển đổi đơn vị đo thời gian.
- Biết cách thực hiện các phép tính với các số đo thời gian.
2.1.3.5. Vận tốc:
- Bước đầu nhận biết được vận tốc của một chuyển động.
- Biết tên gọi, kí hiệu của một số đơn vị đo vận tốc.
- Biết tính vận tốc của một chuyển động đều.
2.2. Vấn đề về giải các dạng toán đại lượng và đo đại lượng lớp 5:
2.2.1. Các sai lầm của học sinh khi giải các dạng toán về đại lượng và đo
đại lượng ở lớp 5:

24


Khi giải các bài toán về đại lượng và phép đo đại lượng, học sinh
thường mắc một số sai lầm. Bởi thế giáo viên cần phân tích, tìm biện pháp
khắc phục những sai lầm đó dựa trên những hiểu biết sâu sắc và những kiến
thức liên quan về toán học. Trên thực tế, học sinh thường mắc những sai lầm
sau:
2.2.1.1. Sai lầm khi sử dụng thuật ngữ:
* Phân biệt khái niệm đại lượng và vật mang đại lượng
- Ví dụ: Một số học sinh cho cái bút chì là độ dài, cái mặt bàn là diện
tích, cái chai là dung tích, bao gạo lớn hơn gói đường…
- Ngun nhân: Ngun nhân những sai lầm trên là do học sinh chưa
nắm chắc, chưa hiểu rõ bản chất khái niệm về đại lượng. Nhận thức của các
em cịn phụ thuộc hình dạng bên ngoài của đối tượng quan sát, nên chưa tách
được những thuộc tính riêng lẻ của đối tượng để giữ lại thuộc tính chung.
- Biện pháp: Biện pháp khắc phục tốt nhất là giáo viên đưa ra nhiều đối
tượng khác nhau, nhưng có cùng một giá trị đại lượng để học sinh so sánh và
nhận ra thuộc tính chung. Đồng thời giáo viên thường xuyên uốn nắn cách
nói, cách viết hàng ngày của học sinh.
* Phân biệt thời điểm và khoảng thời gian
- Ví dụ:
Một học sinh nói: Thời gian em thức dậy là 6 giờ, thời gian em ăn cơm
trưa là 10 giờ, các thời gian trong tuần là thứ 2, thứ 3…
- Nguyên nhân: Các câu nói trên là khơng chính xác do học sinh khơng
biệt được thời điểm và khoảng thời gian. Học sinh cần phải nói là: Em thức
dậy lúc 6 giờ, em ăn cơm trưa lúc 10 giờ…
- Biện pháp: Để khắc phục những sai lầm trên, giáo viên nên phân tích
nguyên nhân của những sai lầm đó là học sinh chưa hiểu khoảng thời gian là
đại lượng vơ hướng cộng lượng, cịn thời điểm chỉ đơn thuần là đại lượng vô

25