SKKN một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH SƠN
=====*****=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Bá Huy
Mã sáng kiến: 19.52.05

2


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Thể tích là một nội dung khó và ln nằm trong chương trình thi HSG và thi
TN THPT.
Tuy nhiên đa số các em cịn lúng túng khi vẽ hình và tính thể tích khối lăng
trụ.
Thể tích khối lăng trụ có rất nhiều cách giải và nhiều dạng. Nên tôi chọn đề tài
“Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ”. Ở đây tôi đưa ra một số dạng của
khối lăng trụ và cách giải của nó với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức
cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập.
2. Tên sáng kiến

Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Nguyễn Bá Huy
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Sơn – Sơng Lô – Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0972819268

E_mail:

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Bá Huy
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
• Phạm vi: Thể tích khối lăng trụ.
• Đối tượng: Học sinh lớp 12.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 09/2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
3


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

7.1. Nội dung của sáng kiến

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
A. LÝ THUYẾT
1. Hệ thức lượng trong tam giác vng
Cho D ABC vng ở A ta có:
a) Định lý Pitago: BC 2 = AB2 + AC 2
b) BA2 = BH .BC; CA2 = CH .CB
c) AB. AC = BC. AH
1
1

1
=
+
d)
2
2
AH
AB
AC 2
e) BC = 2AM
b
c
b
c
f) sin B = , cosB = , tan B = ,cot B =
a
a
c
b
g)
b = a.sinB = acosC
.
, c = a.sinC = acosB
.
, 
b
b
a=
=
,b= c. tanB = ccotC

.
sin B cosC
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
* Định lý hàm số Côsin:
* Định lý hàm số Sin:

a2 = b2 + c2 - 2bccosA
.
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sinC

3. Các cơng thức tính diện tích
a. Cơng thức tính diện tích tam giác
1
1
abc
..
a + b+ c
S = ah
. a = ab
. sinC =
= pr
. = p.( p- a)( p- b)( p- c) với p =
2
2

4R
2
Đặc biệt :

1
* D ABC vuông ở A : S = AB.AC ,
2

4


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

a2 3
D
ABC
*
đều cạnh a: S =
4
b. Diện tích hình vng:

S = cạnh x cạnh

c. Diện tích hình chữ nhật:

S = dài x rộng

d. Diên tích hình thoi:

S=

e. Diện tích hình thang:

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2

1
S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

f. Diện tích hình bình hành:

S = đáy x chiều cao

g. Diện tích hình trịn:

S = p.R 2

4. Các cơng thức tính thể tích khối lăng trụ
V = B.h
Trong đó: B là diện tích đáy và h làchiều cao
của khối chóp.
* Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc

* Thể tích khối lập phương
V = a3

* Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ dựa vào phương pháp tọa độ

uuu
r uuur uuur
é
V = êAB, AC ù
.AA '
ú
ë
û
5


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Chú ý:
+ Đường chéo của hình vng cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a2 + b2 + c2 .
+ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h=

a 3
.
2

+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).

6


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

B. NỘI DUNG
I. Lăng trụ đứng
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của khối chóp cần tính thể tích.
+ Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
1. Lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A , cạnh BC = a  2 và biết A¢B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Ta có V ABC vng cân tại A nên AB = AC = a.
ABC.A¢B¢C ¢là lăng trụ đứng nên AA¢^ AB
V AA¢B có A¢A2 = A¢B2 - AB2 = 8a2
ị AAÂ= 2a 2
Vy V = B.h = SV ABC .AA¢= a3 2
Ví dụ 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có cạnh bên bằng 4a và đường
chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢.
Lời giải:
ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢là lăng trụ đứng nên
BD 2 = D ¢B2 - D ¢D 2 = 9a2 Þ BD = 3a
ABCD là hình vng nên AB =
Suy ra SABCD =

3a
2

9a2

4

Vậy VABCD.A¢B¢C ¢D¢ = SABCD .AA¢= 9a .
3

7


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a= 4 và biết diện tích tam giác A¢BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A¢B¢C ¢.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC . Ta có
V ABC đều nên AI =

AB 3
= 2 3 và AI ^ BC .
2

A¢I ^ BC
2S
1
SV A¢BC = BC.AÂI ị AÂI = V AÂBC = 4
2
BC
AAÂ^ ( ABC ) ị AAÂ^ AI .
V AÂAI vuụng ti A , suy ra AA¢= A¢I 2 - AI 2 = 2
Suy ra SABC.A¢B¢C ¢ = SV ABC .AA¢= 8 3

Ví dụ 4. Một tấm bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm
bìa một hình vng cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật khơng có nắp.
Tính thể tích cái hộp này.
Lời giải:

Theo đề bài, ta có
AA ' = BB ' = CC ' = DD ' = 12 cm nên ABCD là hình vng có
AB = 44- 24 = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm.
8


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Vậy thể tích hộp là V = SABCD .h = 4800cm3 .
Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 .
Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp.
Lời giải:

Ta có tam giác ABD đều nên: BD = a
a2 3
và SABCD =2SV ABD =
2
Theo đề bài ta có BD ¢= AC = 2

a 3
=a 3
2

V DD¢B vng tại D suy ra DD¢= D¢B2 - BD 2 = a 2
a3 6

Vậy V = SABCD .DD ¢=
.
2
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD ¢= a 6 . Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a3
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và
8cm, biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 240cm3
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài
một đường chéo của hình hộp là 1 m. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
9


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Đs: V = 0,4m3
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
5; 10; 13 . Tính thể tích khối hộp này.
Đs: V = 6
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1. Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a2. Tính theo a thể tích
V của khối lập phương đó.
a3
A. V = 2 2a .
B. V = 2a .
C. V = a .
D. V = ì

3
Bi 2. Cho hỡnh hp ng ABCD.AÂBÂC ¢
D ¢ có đáy là hình vng, cạnh bên
AA¢= 3a và đường chéo AC ¢= 5a . Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢.
3
3
3
3
A. V = a .
B. V = 24a .
C. V = 8a .
D. V = 4a .
3

3

3

Bài 3. Cho một khối lập phương biết rằng khi tăng độ dài cạnh của khối lập phương
thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 152cm3 . Hỏi cạnh x của khối lập phương đã
cho bằng bao nhiêu?
A. x = 5cm .
B. x = 6cm .
C. x = 4cm .
D. x = 3cm .
Bài 4. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có BB¢= a, đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B và AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3
a3

a3
A. V = a .
B. V = ×
C. V = ×
D. V = ×
3
6
2
Bài 5. Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác
vng tại C, AB = 2a, AC = a, BC ¢= 2a.
3

4a3
3a3
3a3
×
A. V =
B. V =
C. V =
D. V = 4a3.
×
×
3
6
2
Bài 6. Nếu khối lăng trụ đứng có đáy là hình vng cạnh 2a và đường chéo mặt bên
bằng 4a thì khối lăng trụ đó có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V = 4a3 .
B. V = 6 3a3 .
C. V = 8 3a3 .

D. V = 12a3 .
Bài 7. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a, góc nhọn 60° và đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích V của khối hộp đó.
3a3
6a3
3
3
A. V = a .
B. V = 3a .
C. V =
.
D. V =
.
2
2
10


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy là D ABC đều cạnh
a= 4 và biết SD A¢BC = 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. V = 2 3 .
B. V = 4 3 .
C. V = 6 3 .
D. V = 8 3 .
2. Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vng
cân tại B với BA = BC = a . Biết A¢B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích
lăng tr.

Li gii:
Ta cú AÂA ^ ( ABC ) ị AÂA ^ AB và AB là hình chiếu của
A¢B lên đáy ABC .
·
¢= 600
Nên (·A¢B,( ABC ) ) = ABA
V ABA¢ có AA¢= AB.tan600 = a 3
1
a2
SV ABC = BA.BC =
2
2
Vậy V = SV ABC .AA¢=

a3 3
2

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vuông
·
tại A với AC = a, ACB
= 600 . Biết BC ¢ hợp với ( AA¢C ¢C ) một góc 300 . Tính AC ¢
và thể tích lăng trụ.
Lời giải:
V ABC vuông tại A suy ra AB = AC.tan600 = a 3 .
Ta có:

AB ^ AC ïü
ïý Þ AB ^ ( AA¢C ¢
C ) nên AC ¢là hình chiếu
AB ^ AAÂùùỵ

ca BC Â trờn ( AAÂC ÂC )

Ã
à Â
Suy ra ( BC ¢,( AA¢C ¢C ) ) = BC
A = 300
11


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

V AC ¢B có AC ¢=

AB
= 3a
tan300

V ABC là nửa tam giác đều nên SV ABC =

a2 3
2

Ta có V AA¢C vng tại A¢ nên AA¢= C ¢A2 - A¢C ¢2 = 2a 2
Suy ra V = SV ABC .AA¢= a3 6 .
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy ABCD là hình vng cạnh a và
đường chéo BD ¢ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300 . Tính thể tích của
lăng trụ.
Lời giải:

Ta có ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢là lăng trụ đứng nên ta có:
DD¢^ ( ABCD ) ị DD Â^ BD v BD l hỡnh chiếu của
BD ¢trên ABCD .
·
¢= 300 V BDD¢ có
Suy ra (·
BD ¢,( ABCD ) ) = DBD
DD¢= BD.tan300 =

a 6
3

a3 6
Vậy V = SABCD .DD ¢=
.
3
Ví dụ 4. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
0
·
BAD
= 600 . Biết AB¢hợp với đáy ABCD một góc 30 . Tính thể tích của hình hộp.

12


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:

a2 3
V ABD đều cạnh a suy ra SV ABD =
4
a2 3
ị SABCD = 2SABD =
2
V ABBÂvuụng ti B , ta có BB¢= AB.tan300 = a 3
3a3
Vậy V = SABCD .BB¢=
.
2
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC vng cân tại B . Biết
A¢C = a và A¢C hợp với mặt bên ( AA¢B¢B) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ.
a3 2
ĐS: V =
16
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC vng tại B . Biết
BB¢= AB = a và B¢C hợp với đáy ABC một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: V =

a3 3
2

Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết
B¢) một góc 300 . Tính độ dài AB¢và thể tích lăng trụ.
AB¢hợp với mặt bên ( BCC ¢
ĐS: AB¢= a 3; V =

a3 3

.
2

Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC vng tại A biết AC = a ,
0
·
ACB
= 600 và BC ¢ hợp với mặt bên ( AA¢C ¢C ) một góc 30 . Tính thể tích lăng
trụ.
ĐS: V = a3 6 .

13


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C ¢ có khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( A¢BC ) bằng a và AA¢ hợp với mặt phẳng ( A¢BC ) một góc 300 . Tính thể
tích lăng trụ.
32a3
ĐS: V =
.
9
Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đường chéo A¢C = a , biết rằng
A¢C hợp với ( ABCD ) một góc 300 và hợp với ( ABB¢A¢) một góc 450 . Tính thể
tích của khối hộp chữ nhật.
a3 2
Đs: V =
.

8
Bài 7. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có đáy ABCD là hình vng. Gọi O
là tâm của ABCD và OA¢= a. Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢là khối lập phương.
2) OA¢ hợp với đáy ABCD một góc 600 .
3) A¢B hợp với ( AA¢C ¢C ) một góc 300 .
Đs:1) V =

2a3 6
4a3 3
a3 3
; 2) V =
; 3) V =
.
9
9
4

Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy ABCD là hình vng và
BD ¢= a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD ¢hợp với đáy ABCD một góc 600 .
2) BD ¢hợp với mặt bên ( AA¢D¢D) một góc 300 .
a3 3
a3 2
Đs: 1) V =
; 2) V =
.

16
8
Bài 9. Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo xuất
phát từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 600 . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = a3 .
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có AB = a; AD = b ; AA¢= c và
BD ¢= AC ¢= CA¢= a2 + b2 + c2 .
14


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

1) Chúng minh ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢là hộp chữ nhật.
x
,
y
,
z
2) Gọi
là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉnh
thuộc đường chéo. Chứng minh rằng sin2x + sin2 y + sin2z = 1.
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy là hình bình hành. Các đường chéo
·
DB¢và AC ¢lần lượt tạo với đáy góc 60° và 45°. Biết BAD
= 45°, chiều cao hình
lăng trụ bằng 2. Tính thể tích V khối lăng trụ.

4
4
2
4 2
A. V = .
B. V =
.
C. V =
.
D. V = .
3
3
3 2
3
Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60o, AB¢hợp với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích V của khối hộp.
a3
2a3
a3
3a3
A. V = .
B. V =
.
C. V = .
D. V =
.
6

2
2
6
Bài 3. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vng cân
tại B với BA = BC = a, biết A¢B hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích V
của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.
3a3
a3
3a3
3
A. V =
.
B. V = 2a .
C. V =
.
D. V = .
6
2
2
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy là hình bình hành. Các đường chéo
DB¢và AC ¢lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 30°. Biết chiều cao của lăng trụ là
·
a và BAD
D ¢.
= 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A¢B¢C ¢
2a3
a3
3a3
A. V = 3a3 .

B. V = .
C. V =
.
D. V =
.
2
3
2
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vng tại A,
·
AC = a, ACB
= 60°. Đường thẳng BC ¢ tạo với (ACC ¢A¢) một góc 30°. Tính thể
tích V của khối lăng trụ.
3a3
3
A. V = 6a .
B. V =
.
C. V = 3a3 .
D. V = 3a3 .
3
Bài 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
·
ABC
= 60°, cạnh BC = a, đường chéo AB¢của mặt bên (ABB¢A¢) tạo với mặt
phẳng (BCC ¢B¢) một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.
A. V =

6a3
.

3

B. V = 6a3 .

C. V =

3a3
.
3

D. V = 3a3 .
15


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
·
AC = a, ACB
C ) tạo với mặt phẳng
= 60°. Đường chéo BC ¢ của mặt bên (BB¢C ¢
(AA¢C ¢C ) một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
3a3
3
A. V = 6a .
B. V =
.
C. V = 3a3 .
D. V = 3a3 .
3

Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vng tại A,
·
AC = a, ACB
= 60°. Đường chéo BC ¢ của mặt bên (BCC ¢B¢) tạo với mặt phẳng
(ACC ¢A¢) một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢theo a.
4a3 6
2a3 6
a3 6
3
A. V =
.
B. V = a 6 .
C. V =
.
D. V =
.
3
3
3
3. Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vng
cân tại B với BA = BC = a , biết ( A¢BC ) hợp với đáy ( ABC ) một góc 600 . Tính thể
tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có

A¢A ^ ( ABC ) ùỹ
ùý ị BC ^ AÂB
ùùỵ
BC ^ AB

Ã
Ã
Â= 600
Suy ra ( ( A¢BC ) ,( ABC ) ) = ABA
V ABA¢ có AA¢= AB.tan600 = a 3
1
a2
Suy ra SV ABC = BC.BA =
2
2
a3 3
.
2
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác đều. Mặt
( A¢BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A¢BC bằng 8. Tính thể tích
Vậy V = SV ABC .AA¢=

khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của BC .
16


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

V ABC đều nên AI ^ BC mà AA¢^ ( ABC ) nên A¢I ^ BC .
·
· ¢IA = 300
Suy ra ( ( A¢BC ) ,( ABC ) ) = A

Giả sử BI = x Þ AI =

2x 3
= x 3.
2

Ta có V A¢IA vng tại A nên
A¢I =

AI
2AI 2x 3
=
=
= 2x ,
cos300
3
3

AA¢= AI .tan300 = x 3.

3
= x.
3

Suy ra VABC.A¢B¢C ¢ = CI .AI .A¢A = x3 3
Mà SV A¢BC = BI .AÂI = x.2x = 8 ị x = 2 .
Do đó VABC .A¢B¢C ¢ = 8 3
Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có cạnh đáy a và mặt phẳng
( BDC ¢) hợp với đáy ( ABCD) một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vng nên OC ^ BD
CC ¢^ ( ABCD ) ị OC Â^ BD .
Ã
Ã
Â= 600 .
Suy ra ( ( BDC ¢) ,( ABCD ) ) = COC
Ta có VABCD.A¢B¢C¢D¢ = SABCD .CC ¢.
ABCD là hình vng nên SABCD = a2
VOCC ¢vng nên CC ¢= OC.tan600 =
a3 6
Vậy V =
.
2

a 6
.
2

17


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có AA¢= 2a; mặt phẳng ( A¢BC )
hợp với đáy ( ABCD ) một góc 600 và A¢C hợp với đáy ( ABCD ) một góc 300 . Tính
thể tích khối hộp chữ nhật.
Lời giải:

Ta có AA¢^ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vng góc của A¢C trên ( ABCD ) .
· ¢CA = 300
suy ra (·
A¢C,( ABCD ) ) = A
Ta có BC ^ AB Þ BC ^ A¢B (đl 3 đường vng góc)
·
· ¢BA = 600
suy ra ( ( A¢BC ) ,( ABCD ) ) = A
V A¢AC có AC = AA¢.cot300 = 2a 3
V A¢AB có AB = AA¢.cot600 =

2a 3
3

V ABC có BC = AC 2 - AB2 =

4a 6
3

2a 3 4a 6
16a3 2
Vậy V = AB.BC.AA¢=
.
.2a =
3
3
3

18

Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có đáy ABCD là hình vng và cạnh
D ¢) hợp với đáy một góc 300 . Tính thể tích khối
bên bằng a . Biết rằng mặt ( ABC ¢
lăng trụ.
Đs: V = 3a3
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác vng cân tại B
và AC = 2a. Biết rằng ( A¢BC ) hợp với đáy ABC một góc 450 . Tính thể tích lăng
trụ.
Đs: V = a3 2
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác cân tại A với
0
·
AB = AC = a và BAC
= 1200 biết rằng ( A¢BC ) hợp với đáy ABC một góc 45 .
Tính thể tích lăng trụ.
a3 3
Đs: V =
.
8
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác vng tại B và
BB¢= AB = h biết rằng ( B¢AC ) hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích
lăng trụ.
h3 2
Đs: V =
.

4
Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC đều biết cạnh bên AA¢= a .
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng ( A¢BC ) hợp với đáy ABC một góc 600 .
2) A¢B hợp với đáy ABC một góc 450 .
3) Chiều cao kẻ từ A¢ của tam giác A¢BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
a3 3
3
Đs: 1) V = a 3 ; 2) V =
; 3) V = a3 3
4
Bài 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có cạnh bên AA¢= 2a. Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
19


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

1) Mặt ( ACD ¢) hợp với đáy ABCD một góc 450 .
2) BD ¢hợp với đáy ABCD một góc 600 .
3) Khoảng cách từ D đến mặt ( ACD ¢) bằng a .
16a3
Đs: 1) V = 16a ; 2) V = 12a ; 3) V =
.
3
3

3

Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có đáy ABCD là hình vng cạnh a .
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng ( BDC ¢) hợp với đáy ABCD một góc 600 .
2) Tam giác BDC ¢là tam giác đều.
3) AC ¢hợp với đáy ABCD một góc 450 .
a3 6
Đs: 1) V =
; 2) V = a3 ; 3) V = a3 2 .
2
Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
góc BAD
= 600 . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng ( BDC ¢) hợp với đáy ABCD một góc 600 .
2) Khoảng cách từ C đến ( BDC ¢) bằng

a
.
2

3) AC ¢hợp với đáy ABCD một góc 450 .
Đs: 1) V =

3a3 2
3a3
3a3 3
; 2) V =
;V =

.
8
2
4

Bài 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có BD ¢= 5a, BD = 3a . Tính thể
tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a .
2) BD ¢hợp với AA¢D ¢D một góc 300 .
3) ( ABD ¢)   hợp với đáy ABCD một góc 300 .
Đs: 1) V = 8a3 2 ; 2) V = 5a3 11 ; V = 16a3 .
20


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài tập trắc nghiệm
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy là tam giác ABC vuông tại A,
AB = 2, AC = 3. Mặt phẳng (A¢BC ) hợp với (A¢B¢C ¢) góc 60°. Tính thể tích V
của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.
9 39
3 39
18 39
6 39
A. V =
.
B. V =
.
C. V =

.
D. V =
.
26
26
13
13
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng
(ABC ) và (A¢BC ) bằng 60o. Biết diện tích tam giác A¢BC bằng 2a2. Tính thể tích
V của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.
2a3
a3 3
A. V = 3a3 .
B. V = a3 3 .
C. V =
.
D. V =
.
3
3
Bài 3. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác cân với
·
AB = AC = a, BAC
= 120°. Mặt phẳng (AB¢C ¢) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể
tích V của khối lăng trụ đã cho.
3a3
9a3
a3
3a3
A. V =

.
B. V =
.
C. V = .
D. V =
.
8
8
8
4
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng
(AB¢C ¢) tạo với mặt đáy góc 60°. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ
ABC.A¢B¢C ¢.
3 2a3
A. V =
×
8

3 3a3
B. V =
×
8

3a3
3 3a3
C. V =
×
× D. V =
8
4

Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có cạnh đáy 4 3 (m). Biết
mặt phẳng (D ¢BC ) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích V của khối lăng trụ
ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢.
A. V = 478m3.
B. V = 648m3.
C. V = 325m3.
D. V = 576m3.
II. Lăng trụ xiên
Ví dụ 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

21


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:
Gọi

H là hình chiếu vng góc của C ¢ lên mặt phẳng ( ABC ) .

Ta

có: C ¢H ^ ( ABC ) nên CH là hình chiếu của CC ¢ trên ( ABC ) .

(

)

0
·
·
Suy ra CC ¢,( ABC ) = C ¢CH = 60 .

Tam giác CHC ¢vng tại H , ta có C ¢H = CC ¢.sin600 =

3a
.
2

a2 3
V ABC đều cạnh a nên ta có SV ABC =
.
4
Vậy V = SV ABC .C ¢
H=

3a3 3
8

Ví dụ 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a . Hình chiếu của A¢ xuống ( ABC ) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Biết AA¢hợp với đáy ABC một góc 600 .
1) Chứng minh rằng BB¢C ¢C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
1) Ta có AÂO ^ ( ABC ) ị OA l hỡnh chiu của AA¢trên ( ABC )

(

)

0
·
·
Suy ra AA¢,( ABC ) = OAA¢= 60 .

Ta có BB¢C ¢C là hình bình hành (vì mặt bên của lăng trụ)
AO ^ BC tại trung điểm H của BC nên BC ^ A¢H (đl 3 ng ^)
ị BC ^ ( AAÂH ) ị BC ^ AA¢ mà AA¢/ / BB¢nên BC ^ BB¢. Vậy BB¢C ¢C là hình
chữ nhật.
2
2a 3 a 3
2) V ABC đều nên AO = AH =
=
3
3 2
3
V AOA¢ vng tại O có A¢O = AO.tan600 = a
22


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

a3 3
Vậy V = SV ABC .A¢O =
.
4

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy là hình chữ nhật với
AB = 3, AD = 7 . Hai mặt bên ( ABB¢A¢) và ( ADD ¢A¢) lần lượt tạo với đáy
những góc 450 và 600 . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải:
Kẻ A¢H ^ ( ABCD ) , HM ^ AB, HN ^ AD Þ A¢M ^ AB, A¢N ^ AD (đl 3 đường ^
)
à ÂMH = 450, A
à ÂNH = 600 .
ị A
t A¢H = x . Khi đó A¢N =

x
2x
=
.
0
sin60
3

3- 4x2
AN = A¢A - A¢N =
= HM
3
2

2

Mà HM = x.cot450 = x .
Suy ra x =

3- 4x2
3
.
Û x=
3
7

Vậy VABCD.A¢B¢C ¢D¢ = AB.AD.x = 3. 7.

3
=3
7

Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy ABCD là hình vng cạnh a , biết cạnh
bên bằng 8a và hợp với đáy ABCD một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ.
·
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có AB = a; AD = b; AA¢= c và BAD
= 300
và biết cạnh bên AA¢hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =

abc 3
.
4

23

Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

2a 3 . Tính thể tích lăng trụ.
điểm A¢ cách đều A, B,C biết AA¢=
3

Đs: V =

a3 3
4

Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A¢ có
hình chiếu trên ( ABC ) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên
( BB¢C ¢C ) hợp với đáy ABC một góc 600 .
1) Chứng minh rằng BB¢C ¢C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.
Đs: V =

3a3 3
8

Bài 5. Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O, cạnh a .
Có CC ¢= a hợp với đáy ( ABC ) một góc 600 và C ¢ có hình chiếu trên ( ABC )
trùng với O.
1) Chứng minh rằng AA¢B¢B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA¢B¢B .
2) Tính thể tích lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.

3
2
3
a
3
a
3
Đs: 1) S =
2) V =
8
2

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết chân
đường vng góc hạ từ A¢ trên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC và AA¢= a .
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy của lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ.
a3 3
0
Đs: 1) 30 ; 2) V =

8

Bài 7. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O.
Hình chiếu của C ¢ trên ( ABC ) là O . Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng
cách từ O đến CC ¢ là a và hai mặt bên ( AA¢C ¢C ) và ( BB¢C ¢C ) hợp với nhau một
góc 900 .

27a3
Đs: V =
4 2

24


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢ có 6 mặt là hình thoi cạnh a , hình chiếu
vng góc của A¢ trên ( ABCD ) là điểm H nằm trong hình thoi ABCD , các cạnh
xuất phát từ A của hộp đơi một tạo với nhau một góc 600 .
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD .
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
3) Tính thể tích của hộp.
Đs: 2) SACC 'A ' = a2 2;SBDD 'B' = a2 ; 3) V =

a3 2
2

Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
µ = 600 . Chân đường vng góc hạ từ B¢ xuống ABCD trùng với giao điểm 2
A
đường chéo đáy, biết BB¢= a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
2) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
3
3
a
Đs: 1) 60 ; 2) V =
& S = a2 15
4

0

Bài tập trắc nghiệm
·
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢
D ¢có BCD
= 60°, AC = a 7, BD = a 3,
AB > AD và đường chéo BD ¢hợp với mặt phẳng (ADD ¢A¢) góc 300. Tính thể tích
V của khối hộp.
39a3
3
A. V = 39a .
B. V =
C. V = 2 3a3.
D. V = 3 3a3.
×
3
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC là tam giác vng cân tại A,
cạnh AC = 2 2. Biết AC ¢tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc 600 và AC ¢= 4.
Tính thể tích V của khối đa diện ABCB¢C ¢.
8
16
A. V = ×
B. V = ×
3
3
C. V =

8 3
×

3

D. V =

16 3
×
3

25


Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ

Bài 3. Khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên
và đáy là 300. Hình chiếu vng góc của A¢ trên mặt (ABC ) trùng với trung điểm
của BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢.
3a3
3a3
3a3
3a3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
×
×
×
×
8
3

4
12
Bài 4. Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b và tạo
với mặt phẳng đáy một góc a. Tính thể tích V của khối chóp có đáy là đáy của lăng
trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại.
3 2
A. V =
a bsina .
12
3 2
B. V =
a bsina .
4
3 2
C. V =
a bcosa .
12
3 2
a bcosa .
4
9
3
A. V = ×
B. V =
×
8
3
D. V =

C. V = 3 3.

D. V = 3.

Bài 5. Lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy là tam giác đều diện tích bằng 3, góc
giữa cạnh bên và đáy bằng 300. Hình chiếu của A¢ lên mặt phẳng (ABC ) là trung
điểm I của BC. Tính thể tích V khối lăng trụ.
Bài 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢, có đáy ABC là
tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A¢ xuống (ABC ) là
tâm
O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết AA¢hợp
với
0
đáy (ABC ) một góc 60 . Tính thể tích V của khối
lăng trụ
ABC.A¢B¢C ¢.
3a3
3 3a3
A. V =
B. V =
×
×
12
4
3a3
3a3
C. V =
D. V =
×
×
36

4
26