SKKN rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học
sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi giáo viên phải biết chắt lọc những nội dung
kiến thức cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn và đầy đủ, phải đi từ dễ đến khó, từ
đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng giúp học sinh có thể nắm được nội
dung chính trong bài học, đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát
triển tư duy cũng như kĩ năng phân tích, trình bày bài giải một cách chặt chẽ, logíc,
có hệ thống. Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn
đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư duy tích cực,
độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho
các em năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Chính vì vậy, mỗi giáo viên
đứng lớp phải có một phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ
thống, phân loại và chọn lựa các dạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối
thiểu của người học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong
học tập của học sinh.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả các bài
kiểm tra, bài thi của học sinh, tơi nhận thấy vẫn cịn nhiều học sinh mắc phải các
sai lầm khơng đáng có khi giải tốn chứa căn thức bậc hai cịn nhiều sai sót, rập
khn máy móc hoặc chưa làm được do chưa nắm chắc các phương pháp giải, vận
dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng tốn.
Trong khi đó, ở kỳ thi học kỳ 1 và các kỳ thi cuối cấp. Nội dung đề thi thường
rơi vào kiến thức cơ bản khơng thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới
dạng rút gọn biểu thức, thực hiện phép tính căn hoặc giải phương trình.
Để tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng
thời nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, tơi nhận thấy việc rèn luyện kỹ
năng giải tốn có chứa căn thức bậc hai cho học sinh là rất cần thiết. Với các lí do
trên, tơi xin được trình bày một số kinh nghiệm được rút ra trong quá trình giảng
dạy với tên đề tài: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số
dạng tốn có chứa căn thức bậc hai”. Đề tài này nhằm giúp học sinh lớp 9, các
học sinh khá, giỏi mơn tốn và được thực hiện trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn

thi vào lớp 10 về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức, thực hiện phép
tính và giải phương trình chứa căn bậc hai.
1.2. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài này đã có một số sách tham khảo cho học sinh THCS nhng cha
tæng hợp đợc và cha vận trong nhiều dạng toán, ứng dụng các bài
toán khác nhau.

1


- Ở đề tài này tôi đã xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất cả
các trường hợp về áp dụng hằng đẳng thức để giải bài tập rút gọn biểu thức có
chứa căn thức bậc hai, thực hiện phép tính và giải phương trình chứa căn bậc hai.
- Có hệ thống bài tập áp dụng để HS hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường
hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng tốn này, đồng thời có
những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân.
- Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, chống tư tưởng ngại khó, sợ
tốn, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi cái hay cái mới trong tốn
học.
Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và
nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy. Ngồi mục đích trên đề tài có thể coi như
một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát
huy năng lực của học sinh và đổi mới kiểm tra đánh giá ở trường THCS.
1.3. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài được áp dụng để giảng dạy cho hầu hết các đối tượng học sinh học lớp
9, cho đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện bậc THCS và là tài liệu cho
học sinh học lên THPT vừa là tài liệu tham khảo cho giáo viên tham gia giảng dạy
mơn tốn THCS và bồi dưỡng HSG toán 9.
Đề tài chỉ nghiên cứu đến dạng bài toán về sử dụng hằng đẳng thức để giải bài
tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức, thực hiện phép tính và giải phương trình

chứa căn bậc hai.

2


2. PHẦN NỘI DUNG
2.1.THỰC TRẠNG KHI CHƯA ÁP DỤNG ĐỀ TÀI:
2.1.1. Số liệu thống kê:
Để thực hiện đề tài tôi tiến hành khảo sát chất lượng học sinh dạng bài tập này
trước khi triển khai kinh nghiệm thu được như sau:
Kết quả bài kiểm tra số 1 ( Trước khi triển khai kinh nghiệm.)
Giỏi
Khá
TB
Yếu – kém
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
9
35
4
11,4
8

22,9
12
34,3
11
31,4
2
9
34
4
11,7
7
20,6
13
38,3
10
29,4
2.1.2. Tình hình trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài:
Đối với học sinh trường THCS nơi tôi đang công tác phần lớn các em được
học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng và nâng cao nhiều. Song khi
gặp một bài toán, học sinh vẫn bị lúng túng trong định hướng phương pháp giải,
chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã
học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, công
thức mà thầy, cô đã hướng dẫn. Điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính
tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em khơng
ham học tốn và khơng tự tin khi giải tốn, lúng túng trong lí luận và trình bày.
2.1.3. Nguyên nhân dẫn đến tình hình trên:
* Về giáo viên:
- Việc truyền tải kiến thức của căn thức bậc hai cho học sinh đang cịn hạn
chế.
- Chưa hình thành được cho học sinh kỹ năng giải, mơ hình giải, cách giải

ứng với từng trường hợp, từng bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới
dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9.
- Kỹ năng rèn luyện cho học sinh tư duy, định hướng trước một bài tốn và
khả năng phân tích đề bài chưa được chú trọng.
* Về học sinh:
- Động cơ thái độ học tập của nhiều học sinh chưa thật tốt. Học sinh vẫn quen
với lối học thụ động, chưa sẵn sàng tham gia một cách tích cực, chủ động vào các
nội dung học tập.
- Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 nên không chuẩn bị tốt
tâm thế cho giờ học Toán.

3


- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu
căn thức ở lớp 9 chưa thành thạo.
- Học sinh chưa hình thành được mơ hình giải tốn, các bước để giải một bài
tốn.
- Kỹ năng phân tích đề bài và định hướng được cách làm của một bài, một
dạng của học sinh còn khiêm tốn.
2.2. CÁC GIẢI PHÁP:
2.2.1. Cho học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh nắm chắc bảy hằng
đẳng thức đã học ở lớp 8.
1) Bình phương một tổng :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2) Bình phương một hiệu :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3) Hiệu hai bình phương :
a2 – b2 = (a + b).(a – b)

4) Lập phương một tổng :
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) Lập phương một hiệu :
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
6) Tổng hai lập phương :
a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)
7) Hiệu hai lập phương :
a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2)
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ
tự) viết dưới dạng có dấu căn. (với a ; b > 0)
1) a + 2 ab + b =
2) a − 2 a + 1 =

(

(

a+ b

)

a −1

)

2

2

( a ) − ( b ) = ( a + b ) .(

4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a +
5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ). ( 1 +
3) a − b =

2

2

3

3

3

3

a− b

(

)

b ). a − ab + b
a +a

)

)

6) a b + b a = ab ( a + b )

7) a + a = a ( a + 1)

2.2.2. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai:
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
2

1− a a
 1 − a 
 = 1 (với a ≥ 0; a ≠ 1)
+ a 
a) 

 1− a
 1 − a 

Nhận xét đề bài: Bài tốn cho gồm có các hằng đẳng thức sau :

4


( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a + a )
− ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a )
3

1 − a a = 13 −
1 − a = 12

2

tương tự hằng đẳng thức số 3; 7 lớp 8. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế
trái:
Giải
2

1− a a
 1 − a 
VT = 
+ a ÷
÷ 1 − a ÷
÷
 1− a



(

)(

)

 1− a . 1+ a + a
 

1− a




=

+ a .

  1+ a . 1− a 
1− a

 


(

)(

2

)

2

 1 
= 1 + 2 a + a .
÷
1+ a 

(

)

Đến đây ta lại thấy xuất hiện hằng đẳng thức: ( 1 + 2 a + a ) = ( 1 + a ) tương tự
2

hằng đẳng thức số 1 lớp 8. Tiếp tục biến đổi ta được kết quả:

(

)

2

VT = 1 + a .

b)

1

(1 + a )

2

= 1 = VP

a+b
a 2b 4
=a
b2
a 2 + 2ab + b 2

(với a + b > 0 và b ≠ 0 )

Nhận xét: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hằng đẳng thức số 1 lớp 8. Áp dụng vào bài
toán ta biến đổi vế trái :

Giải
VT =

a+b
a 2b 4
a+b
= 2
2
2
2
b
a + 2ab + b
b

a 2b 4
( a + b) 2

2
2
a + b ab
a+b b a
= 2 .
= 2 .
= a
a+b
a+b
b
b

(vì a + b > 0) (đpcm)

Bài 2: Chứng minh đẳng thức:
 1
1 
a +1
+
=

÷:
a −1 a − 2 a +1
a− a

a −1
a

(vớiaa>>0b;; a ≠≠ 1)
voi
1

Nhận xét: bài tốn đã cho kết hợp phân tích đa thức thành nhân tử và dạng
hằng đẳng thức thứ 2 lớp 8 ở mẫu thức:

5


a− a = a

(

a − 2 a +1 =

)

a −1

(

)

a −1

2

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái :

Giải

 1
1 
a +1
1
1 
:
VT = 
+
 :
= 
+
a −1  a − 2 a +1  a a −1
a − 1 

a− a
 1+ a
= 
 a a −1

(


:



) (

a +1

)

a −1

2

 1+ a
= 
 a a −1

(

)


.



(

(

)

a −1
a +1

)

2

=

a −1
a

(

a +1

)

a −1

2

= VP

Dạng 2: Rút gọn biểu thức:
 a
1   1
2 
−
+
Bài 1: Cho biểu thức K = 
÷: 
÷
 a −1 a − a   a +1 a −1
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Nhận xét: Bài tốn cho có dạng hằng đẳng thức số 3 lớp 8.
a − 1 = ( a − 1)( a + 1) để rút gọn biểu thức K.
Giải:
a) Rút gọn biểu thức K:
Điều kiện a > 0 và a ≠ 1
 a
  1

1
2
K =
−

+
÷: 
÷
a ( a − 1)   a + 1 ( a + 1)( a − 1) 
 a −1
=

a −1
a +1
:
a ( a − 1) ( a + 1)( a − 1)

=

a −1
a −1
.( a − 1) =
a ( a − 1)
a

b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2
Ta có: a = 3 + 2 2 = (1 +

2 )2 ⇒ a = 1 + 2 (dạng hằng đẳng thức thứ nhất)

6


3 + 2 2 − 1 2(1 + 2)
=

=2
1+ 2
1+ 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
a − 1 < 0
a < 1
a −1
K<0⇔
<0⇔
⇔
⇔ 0 < a <1
a
 a>0
a > 0

Do đó: K =

Bài 2: a) Cho biểu thức A =

x +4
. Tính giá trị của A khi x = 36
x +2



x
4  x + 16
+
÷
÷: x + 2 (với x ≥ 0; x ≠ 16 )

x
+
4
x
−
4



b) Rút gọn biểu thức B = 

c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để
giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Nhận xét: Bài tốn cho có dạng hằng đẳng thức số 3 lớp 8:
( x − 4)( x + 4) = x − 16 để rút gọn biểu thức B.
Giải:
36 + 4 10 5
=
=
36 + 2 8 4

a) Với x = 36, ta có : A =
b) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có :

 x( x − 4) 4( x + 4)  x + 2
(x + 16)( x + 2)
x+2
+
=
÷

=
x − 16 ÷
(x − 16)(x + 16) x − 16
 x − 16
 x + 16

B = 

c) Ta có: B(A − 1) =

x+2  x+4 
x+2
2
2
.
− 1÷
=
.
=
.
÷
x − 16  x + 2  x − 16 x + 2 x − 16

Để B(A− 1) nguyên, x nguyên thì x− 16 là ước của 2, mà Ư(2) = { ±1; ±2 }
Ta có bảng giá trị tương ứng:
x− 16 1
−1
−2
2
x

17
15
18
14
Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 16 , để B(A− 1) nguyên thì x ∈ { 14; 15; 17; 18 }
Bài 3: Cho biểu thức


1

1



x

+
P= 
÷:
x −1  x - 2 x +1
x- x
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c)

Tìm các giá trị của x để P >

1
.
2

Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hằng đẳng thức
số 2 và 3 lớp 8.
Giải:
a) ĐKXĐ : x > 0, x ≠ 1
7




1

b) P = 


x
 :
x −1 x − 2 x +1
1

+

x− x


1
=
+
 x x −1
x



(

)

1+ x

=

(

x

)

x −1


x
÷.
x −1 ÷


(
(
.

(

)
x − 1)
(
=
2

)

x −1

2

x

)(

x +1

x

) = x-1

x −1

x. x

x

x-1 1
> ⇔ 2 ( x - 1) > x ⇔ x > 2 .

x
2
1
Vậy với x > 2 thì P > .
2

c) Với x > 0, x ≠ 1 thì

Bài 4: Cho biểu thức:

(
A=

a+ b

)

2

− 4 ab

a− b

−

a b +b a
ab

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a

Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành
nhân tử:
a ± 2 ab + b =

(

a± b

)

2

Áp dụng vào bài tốn ta có lời giải:

a b + b a = ab ( a + b )

Giải
A=

(

a+ b

)

2

− 4 ab

a− b

aĐK
)
a: b; > 0 a; ≠
b

(
b) A =
A=
A=

a+ b

)

2

a b +b a
ab

− 4 ab

−

a− b

a − 2 ab + b
−
a− b

(

−

) (

a− b −

(

ab
a b + b a a + 2 ab + b − 4 ab
=
−
ab
a− b

)

a+ b =

(

a− b

)

a− b

)

(

a+ b

)

ab

2

−

(

a+ b

)

a + b = a − b − a − b = −2 b

Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 5: Cho biểu thức: A =

x x +1 x −1
−
x −1
x +1

a) Rút gọn biểu thức A?
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A sau nhận giá trị nguyên?

Nhận xét: ta thấy

x x + 1 = x3 + 1 =
x −1 =

(

)(

x −1

(

)

)(

)

x +1 x − x +1

x +1

8


Áp dụng cho bài tốn trên ta có lời giải:
Giải:
a ) ĐKXĐ : x ≥ 0; x ≠ 1
A=

=

x x +1 x −1
−
=
x −1
x +1

x − x +1
x −1

(

− ( x − 1) =

b) Ta có: A =

x
x −1

)(

)−(

)(

x +1 x − x +1

(

)(

)

x −1

x +1

x −1

x +1

x − x +1− x + 2 x −1
x −1

1

= 1+

x −1

)

x +1

=

x
x −1

,

A nhận giá trị nguyên khi x − 1 là ước của 1 ⇒ x − 1 ∈ { − 1;1}
Với:
x − 1 = 1 ⇒ x = 4 (TM )
x − 1 = −1 ⇒ x = 0 ( TM )

Vậy x ∈ { 0;4} thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức R =

c +2
2 c −4

+

c −2
2 c +4

(Điều kiện c ≥ 0; c ≠ 4).

a) Rút gọn biểu thức R.
b) Tìm c để R = 2
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2008 - 2009)
Nhận xét: bài tốn đã cho sau khi quy đồng có hằng đẳng thức:
a−b =

(

a+ b

)(

a− b

)

và (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . Áp dụng vào bài toán ta

có lời giải:
Giải:
a) Điều kiện c ≥ 0; c ≠ 4
R=
=

c +2
2 c −4

+

c −2
2 c +4

(
=

) ( c − 2)
2( c + 2 )( c − 2 )
2

c +2 +

2

c + 2 c + 4 + c − 2 c + 4 2(c + 4) c + 4
=
=
2(c − 4)
2(c − 4) c − 4

b) R = 2 ⇔

c+4
= 2 ⇔ c + 4 = 2c − 8 ⇔ c = 12(TM )
c−4

Vậy khi R = 2 thì c =12
Bài 7: Cho biểu thức sau:
 ab + b 3
ab + a 3  2 a − 2 b
B=
−
:


a−b
a
+
b
a
+

b



a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Với giá trị nào của a,b thì B = 0.
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2009 - 2010)
9


Nhận xét: Bài tốn sau khi tìm ĐKXĐ và phân tích đa thức thành nhân tử rồi
rút gọn xuất hiện hằng đẳng thức a − b = ( a + b ) ( a − b ) . Áp dụng vào bài tốn
ta có lời giải:
Giải:
a) ĐKXĐ của biểu thức: a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b
 b ( a + b)
a ( b + a) 
2( a − b )
:
b) B = 
−
( b + a )  ( a − b )( a + b )
 ( a + b)
2
b−a
= b− a :
=
2
( a + b)

(

)

b−a
= 0 ⇔ b = a (KTM)
2
Vậy khơng có giá trị nào của a,b thì B = 0

c) B = 0 ⇔

x

Bài 8: Cho biểu thức Q =

x −1

1

−

x− x

, với x >0 và x ≠ 1.

a) Thu gọn biểu thức Q.
1
9

b) Tìm các giá trị của x ∈ R sao cho x > và Q có giá trị ngun.
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2011 - 2012)
Nhận xét: Bài tốn đã cho phân tích đa thức thành nhân tử: x − x = x ( x − 1)
rồi quy đồng và xuất hiện hằng đẳng thức, rút rọn. Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải:
a) Với x >0 và x ≠ 1 ta có:
x

Q=
=

x −1
x −1

x

(

−

)

x −1

1
x− x
=

b) Ta có: Q =

x

=

x −1

−

x

(

1

)

x −1

x +1
x
x +1

= 1+

x
1

1
x

1

1

1
< 3 ⇒ 1 < 1+
<4
Vì x > nên x > 3 ⇒
9
x
x
Suy ra : 1< Q < 4
Mà Q nhận giá trị nguyên nên Q ∈ { 2 : 3}

Với Q = 2, ta có:
Với Q = 3,ta có:

1
x
1
x

= 1 ⇒ x = 1 ( KTM )
=2⇒ x=

1
(TM )
4

1

4

Vậy x = thì Q nhận giá trị nguyên.
10


2.2.3. Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính có chứa căn thức
bậc hai:
* Bên cạnh bài tốn cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, đơi khi
cịn có những câu đề bài u cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì khơng nói
gì, nhưng có những câu mà ở các bài khó hơn đưa ra lại có những biểu thức chứa
căn chồng căn. Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức
trong căn về lũy thừa bậc chẳn (thường viết dưới dạng bình phương) để khai
phương . Muốn làm được điều đó, cần phải biết vận dụng thành thạo hằng đẳng
thức (bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu). Sau đây tơi đưa ra một
vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài
tốn
Ví dụ 1: Rút gọn : a) 4 + 2 3 + 4 − 2 3
Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : 4 ± 2 3
dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn. Để
làm được điều này ta làm các bước sau :
Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2
( bài toán đã cho 2 3 )
Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là: 3 và 1
Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2, rồi viết
chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc
trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn )
Chú y :
+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau:

" Nếu hai số a và b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của
phương trình bậc hai: X2 – SX + P = 0 ". Điều kiện tồn tại hai số a và b là:
S 2 − 4P ≥ 0 .
+ khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị
dương (số bị trừ lớn hơn số trừ ) để khi khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị
tuyệt đối.
Áp dụng các bước trên vào ví dụ 1, ta có lời giải sau:
Giải

11


4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 3 + 2 3.1 + 1 + 3 − 2 3.1 + 1
=

( 3)

2

( 3)

+ 2 3 + 12 +

2

− 2 3 + 12 =

(

)

3 +1

2

+

(

)

3 −1

2

= 3 +1+ 3 −1 = 2 3

Ví dụ 2 : Chứng minh đẳng thức
2+ 3 + 2− 3 = 6

Nhận xét: Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số
là 1
( 3 ) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau: Nhân cả tử và mẫu cho 2
Bước 1 :
2+ 3 + 2− 3 =

(

2 2+ 3
2

) + 2( 2 − 3) =
2

4+2 3
4−2 3
+
2
2

Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng
bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức
dưới dấu căn lớn )
Giải

(

2 2+ 3

VT = 2 + 3 + 2 − 3 =
VT =

(

)

3 +1
2

2

+

(

2

) =(

3 −1
2

2

) + 2( 2 − 3) =
2

) +(

) =(

3 +1

3 −1

2

2

3 + 2 3.1 + 1
3 − 2 3.1 + 1
+
2
2

) (

3 +1 +

) =2

3 −1

2

3
= 6 = VP
2

Hai ví dụ lấy phía trên là hai trường hợp mà chúng ta thường gặp. Tùy theo
từng loại bài, ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhưng cơ bản là biết vận
theo ba bước ở trên là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy. Sau
đây là một số bài tập trong sách bài tập và một số bài trong các kì thi tuyển vào lớp
10 mà tơi chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ở trên để giải, không phải làm chi
tiết theo từng mục như ở trên.
Bài 1 : Rút gọn biểu thức
11 + 6 2 − 3 + 2 = 11 + 2.3 2 − 3 + 2 = 9 + 2 9.2 + 2 − 3 + 2
=

(

9+ 2

)

2

−3+ 2 = 3+ 2 −3+ 2 = 2 2

Bài 2: Rút gọn biểu thức:
15 − 6 6 + 33 − 12 6 = 15 − 2.3 6 + 33 − 2.6 6
= 9 − 2. 9.6 + 6 + 33 − 2. 36.6 =

(

9− 6

)

2

+ 33 − 2. 216

12


=

( 3− 6)

2

( 3− 6)

+ 24 − 2. 24.9 + 9 =

2

+

(

24 − 9

)

2

= 3 − 6 + 24 − 3 = − 6 + 2 6 = 6

2.2.4. Dùng phương pháp thêm bớt để có dạng hằng đẳng thức để giải
một số bài toán rút gọn nâng cao
Bài 1: Chứng minh :
P = a+4 a−2 +2 + a−4 a−2 +2 =

4 nếu 2 ≤ a ≤ 6
2 a − 2 nếu a > 6

Nhận xét : Làm tương tự như bài trên ta có lời giải sau :

Giải
P = a + 4 a − 2 + 2 + a − 4 a − 2 + 2 = a − 2 + 2.2 a − 2 + 4 + a − 2 − 2.2 a − 2 + 4
=
=

(
(

a−2

)

2

(

+ 2.2 a − 2 + 2 2 +

a−2 +2

)

2

+

(

a−2 −2

)

2

a−2

=

)

2

− 2.2 a − 2 + 2 2

a−2 +2 +

a−2 −2

Nếu 2 ≤ a ≤ 6 , ta có:
P = a−2 +2+2− a−2 = 4
Nếu a > 6 , ta có
P = a−2 +2+ a−2 −2 = 2 a−2

* Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu
thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai. Những
bài tập tôi đưa ra ở trên đã dược chọn lọc, để cho các em học sinh nhận thấy được
tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ, qua đó các em có thể biết cách học
và cách áp dụng vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức
bậc hai và thực hiện phép tính có dấu căn. Mục đích của nội dung này là nhằm góp
phần nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường mà hiện nay có chiều hướng đi

xuống bởi vì một số em do chưa nắm bắt được kiến thức cơ bản và chưa biết cách
vận dụng kiến thức vào làm bài tập.
2.2.5. Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình có chứa căn thức bậc hai
a. Các ví dụ:
a) x − 1 = 1
b) 3x + 7 − x + 1 = 2
c) x − x + 3 x 2 − x + 1 =3

13


d)

x 3 x −1
3

x2 − 1

−

x2 − 1
=4
3
x +1

3

b. Phương pháp chung:
Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể :

- Tìm ĐKXĐ của phương trình .
- Sử dụng HĐTđể biến đổi đưa phương trình về dạng đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
c. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế
phương trình):
* Giải phương trình dạng:

f ( x ) = g ( x)

Bài 1: Giải phương trình : x + 1 = x − 1 (1)
ĐKXĐ : x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
Với x ≥ -1 thì vế trái của phương trình khơng âm.
Để phương trình có nghiệm thì x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.Khi đó phương trình (1) tương
đương với phương trình :
x = 0
x = 3

x+1 = (x-1)2 ⇔ x2 -3x= 0 ⇔ x(x-3) = 0 ⇔ 
Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x ≥ 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Bài 2: Giải phương trình: x + x − 1 = 13
⇔

x − 1 = 13 − x (1)
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
⇔ 
13 − x ≥ 0
 x ≤ 13

⇔ 1 ≤ x ≤ 13 (2)

ĐKXĐ : 

Bình phương hai vế của (1) ta được : x − 1 = (13 − x) 2 ⇔ x 2 − 27 x + 170 = 0
Phương trình này có nghiệm x1 = 10 và x 2 = 17 . Chỉ có x1 = 10 thỗ mãn (2) .
Vậy nghiệm của phương trình là x = 10
* Giải phương trình dạng:
Bài 3:
ĐKXĐ:

f ( x ) + h( x ) = g ( x )

Giải phương trình:
1− x ≥ 0
⇔
2+ x ≥0

x ≤1
x ≥ −2

1− x − 2 + x = 1 ⇔ 1− x = 1+ 2 + x

(1)

⇔ − 2 ≤ x ≤1

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
1− x = 1+ 2 2 + x + 2 + x ⇔ x2 + x −1 = 0

Phương trình này có nghiệm x =

−1− 5
thỗ mãn (2)
2

14


Vậy nghiệm của phương trình là x =
Bài 4:

Giải phương trình:

3

−1− 5
2

x + 1 + 3 7 − x = 2 (1)
x + 1 + 7 − x + 33 ( x + 1)(7 − x). 2 = 8

Lập phương trình hai vế của (1) ta được:
⇔ (x-1) (7- x) = 0 ⇔

x = -1
x = 7 (đều thoả mãn (1).
Vậy x = −1; x = 7 là nghiệm của phương trình .
* Giải phương trình dạng:

Bài 5:

Giải phương trình
⇔ x + 1 = 12 − x + x − 7 (1)

f ( x ) + h( x ) =

g (x)

x + 1 - x − 7 = 12 − x

x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1


ĐKXĐ: 12 − x ≥ 0 ⇔  x ≤ 12 ⇔ 7 ≤ x ≤ 12
x − 7 ≥ 0
x ≥ 7



Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 (12 − x)( x − 7) (3)
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thỗ mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế
của phương trình (3) ta được :
(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
⇔ 5x2 - 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x1 =
Vậy x1 =

44

và x2 = 8 là nghiệm của phương trình.
5

* Giải phương trình dạng:
Bài 6:

44
và x2 = 8 đều thoả mãn (2) .
5

f ( x ) + h( x ) =

g (x) +

q (x)

Giải phương trình : x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5 (1)

ĐKXĐ :

x + 1 ≥ 0
 x + 10 ≥ 0


x + 2 ≥ 0
 x + 5 ≥ 0

 x ≥ −1
 x ≥ −10


⇔ 
 x ≥ −2
 x ≥ −5

⇔

x ≥ -1 (2)

Bình phương hai vế của (1) ta được :
x+1 + x+ 10 + 2 ( x + 1)( x + 10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x + 2)( x + 5)
⇔ 2+

( x + 1)( x + 10) =

( x + 2)( x + 5)

(3)

Với x ≥ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta
được
( x + 1)( x + 10) = 1- x

Điều kiện ở đây là x ≤ -1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
15


 x ≥ −1

 x ≤ −1

⇔

x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1).

Nhận xét:
Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương
trình vơ tỉ quen thuộc, song trong q trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ
thừa bậc chẵn
Với hai số dương a,b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1, 2, 3.....)
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương
trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng
phương pháp này.
Ngồi ra cịn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều
phương pháp khác lại với nhau .
* KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC :
Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng, bản thân tơi nhận thấy đề tài này có tác dụng
rất lớn trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, tôi đã vận dụng từng phần sau
mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức
hay giải phương trình có chứa căn thức bậc hai để học sinh được củng cố và khắc
sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này.
Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một cách hồn chỉnh theo
các dạng trên. Vì thế các em khơng cịn lúng túng khi giải các dạng bài tập này mà
còn rất hứng thú.
Kết quả bài kiểm tra số 2: (Sau khi triển khai kinh nghiệm.)
Giỏi
Khá
TB
Yếu - kém
Lớp Sĩ số

SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
9
35
6
17,2
12
34,3
13
37,1
4
11,4
2
9
34
6
17,6
11
32,4
14
41,2
3
8,8

Để đạt được kết quả và chất lượng học sịnh được nâng lên rõ rệt là do học
sinh đã hiểu thấu đáo vấn đề ở những góc độ áp dụng từng hằng đẳng thức khác
nhau. Đặc biệt là ở học sinh đã hình thành được kỹ năng giải bài tập, biết phân tích
nhận dạng bài tốn. Tuy nhiên việc áp dụng từng phần trong nội dung của đề tài
tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh. Đối với các lớp đại trà tôi chỉ rèn luyện cho các
em dạng bài áp dụng những hằng đẳng thức đơn giản từ hằng đẳng thức thứ 1 đến
hằng đẳng thức thứ 3. Đối với học sinh khá giỏi thì áp dụng tất cả hằng đẳng thức
sau đó mới đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó giúp học sinh hình thành kỹ
năng giải dạng bài tập này.

16


3. PHẦN KẾT LUẬN:
3.1. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI:
Trên đây là một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng giải một số dạng toán
chứa căn thức bậc hai mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường
cho học sinh đại trà cũng như học sinh khá giỏi và tôi đã thu được kết quả như sau:
- Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập và
ngày càng u thích học chương có căn thức bậc hai từ đó thích học mơn Tốn.
- Học sinh phân loại được các dạng bài tập và từ đó tìm được các hằng đẳng
thức để áp dụng cho từng dạng chứ không bị nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với
nhau.
-Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thành thạo
các hằng đẳng thức để giải tốn từ đó phát huy được tính tích cực của học sinh.
Bên cạnh đó để đạt được kết quả như mong muốn đòi hỏi giáo viên cần phải
thường xuyên trau dồi kiến thức nâng cao kỹ năng giải toán, kỹ năng phân loại bài
tập cho học sinh.
- Trong quá trình giảng dạy trên lớp bên cạnh giảng dạy những kiến thức cơ
bản trong SGK người giáo viên cần tìm tịi đưa thêm các kiến thức, kỹ năng cho

học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh khá giỏi.
- Hướng dẫn học sinh đọc sách báo, học hỏi mở rộng kiến thức trong thực tế .
- Người giáo viên không ngừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức để làm chủ
kiến thức tự tin trước bài giảng và học sinh .
- Kiến thức của học sinh chỉ bền vững khi kĩ năng được thiết lập mà để hình
thành những kĩ năng cho học sinh thì khơng có gì khác ngồi q trình rèn luyện.
Bồi dưỡng thường xun cho các em.
Với phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ là một mảng kiến thức tương đối hẹp
so với toàn bộ chương trình hố học nhưng tơi hi vọng nó sẽ giúp ích cho các em
học sinh và các thầy cơ giáo trong việc giảng dạy phần kiến thức này, giúp các em
và thầy cơ có cách nhìn tổng qt hơn về dạng tốn này và là tài liệu hữu ích cho
việc ôn luyện thi vào các trường THPT. Các bài tập trong đề tài ở mức độ từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp, giúp các em rèn luyện được kỹ năng không chỉ giải
được dạng bài tập phần này mà còn rèn được một số kỹ năng khác như kỹ năng
tính tốn, phân dạng bài tập để giải.

17


Qua giảng dạy, nghiên cứu tôi thấy phần kiến thức này, học sinh thường lúng
túng khi gặp phải. Do vậy, khi các em được học và rèn kỹ năng tôi tin chắc rằng
những lúng túng đó sẽ khơng cịn mà thay vào đó là sự tự tin và u thích mơn học.

3.2. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT:
* Về phía học sinh:
- Học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học, tự rèn luyện, kiên trì và
chịu khó trong quá trình học tập.
- Học sinh phải nắm vững lý thuyết, có kỹ năng vận dụng tốt lý thuyết vào
giải bài tập.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập; giành nhiều thời

gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để
nâng cao kiến thức cho bản thân.
* Về phía giáo viên:
- Giáo viên phải khơng ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm
đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng
đối tượng học sinh và phải hiểu được khả năng tiếp thu của các em, từ đó tìm ra
phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh.
- Giáo viên cần linh hoạt trong khi dạy các tiết học, luyện tập, ôn tập đó là cho
các em phải nắm vững những hằng đẳng thức đã học đồng thời rèn luyện cho học
sinh kĩ năng vận dụng từng hằng đẳng thức vào từng nội dung, từng phần của bài
tốn.
- Trong q trình giảng dạy giáo viên cần phải nghiêm khắc, chỉ ra những
điểm yếu mà học sinh chưa vận dụng được, đồng thời động viên kịp thời khi các
em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em. Theo dõi kết quả tiến bộ
của các em qua học trên lớp, qua các bài kiểm tra.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra
kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức
của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng
dạy và học.
- Đối với học sinh trung bình và yếu giáo viên cần dành nhiều thời gian để bố
trí các buổi phụ đạo, kèm cặp những lúc rảnh, để các em có thể tiếp cận các kiến
thức đã bị hỏng.
* Về phía tổ chun mơn:

18


Thông qua các tiết dự giờ, thao giảng, thảo luận chun đề để góp ý, tư vấn
chun mơn. Giúp giáo viên học hỏi được kinh nghiệm cũng như phương pháp rồi
vận dụng vào cơng tác giảng dạy của mình. Ngồi ra cần nhân rộng phong trào

nghiên cứu khoa học, coi việc viết sáng kiến kinh nghiệm không chỉ là trách nhiệm
mà cịn là để tự mình nâng cao chun mơn nghiệp vụ.

* Về phía nhà trường:
- Nêu cao tinh thần việc tự học, viết sáng kiến kinh nghiệm của mỗi cá nhân
một cách thường xuyên.
- Tăng cường công tác tập huấn nội bộ, trao đổi kinh nghiệm trong giảng dạy.
Trên đây là kinh nghiệm được rút ra từ trong thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn 9
theo suy nghĩ và hiểu biết của cá nhân xin được trình bày lại. Tuy nhiên, trong q
trình thực hiện khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân
thành từ hội đồng khoa học các cấp, các đồng chí đồng nghiệp để sáng kiến hay
hơn, phong phú đa dạng hơn và hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

19