Chuyên đề: Kĩ thuật giải Phương trình Lượng giác qua các kì thi

Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

1


LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI

A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Công thức lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm
( )
0 0
;
M x y
sao cho
số đo cung

AM
α
=
.




tan
AP
α
= có nghĩa k.v.c.k
2
k

π
α π
≠ +

cot
BQ
α
=
có nghĩa k.v.c.k
k
α π
≠

3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt






















2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

α


0

6
π

4
π

3
π

2
π

sin
α

0

1
2

2
2

3

2

1
cos
α

1
3
2

2
2

1
2

0

tan
α

0

3
3

1
3



cot
α



3

1
3
3

0


1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG
sin
tan
cos
α
α
α
=

cos
cot
sin
α
α
α

=

2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =

2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =

2 2
sin cos 1
α α
+ =

( )( )
2
sin 1 cos 1 cos
α α α
= + −

( )( )
2
cos 1 sin 1 sin
α α α
= + −

( )
2
1 sin 2 sin cos
α α α
± = ±

4 4 2 2
sin cos 1 2sin cos
α α α α
+ = −

6 6 2 2
sin cos 1 3sin cos
α α α α
+ = −

a. Hai góc đối nhau
( )
cos cos
α α
− =

( )

sin sin
α α
− = −

( )
tan tan
α α
− = −

(
)
cot cot
α α
− = −

b. Hai góc bù nhau

( )
cos cos
π α α
− = −

( )
sin sin
π α α
− =

( )
tan tan
π α α

− = −

(
)
cot cot
π α α
− = −

d. Hai góc hơn kém
π

( )
cos cos
π α α
+ = −

( )
sin sin
π α α
+ = −

( )
tan tan
π α α
+ =

(
)
cot cot
π α α

+ =

c. Hai góc phụ nhau
cos sin
2
π
α α
 
− =
 
 

sin cos
2
π
α α
 
− =
 
 

tan cot
2
π
α α
 
− =
 
 

cot tan
2
π
α α
 
− =
 
 

e. Hai góc hơn kém
2
π

cos sin
2
π
α α
 
+ = −
 
 

sin cos
2
π
α α
 
+ =
 
 

tan cot
2
π
α α
 
+ = −
 
 

cot tan
2
π
α α
 
+ = −
 
 

Khi
đ
ó,
0
cos
x
α
=

0
sin

y
α
=

0
0
tan
y
x
α
=

0
0
cot
x
y
α
=

( )
sin 2 sink
α π α
+ =

( )
cos 2 cosk
α π α
+ =

( )
sin ,
sin
sin ,
k
k
k
α
α π
α

+ =

−

ch½n
lÎ

( )
tan tank
α π α
+ =

( )
cot cotk
α π α
+ =

( )
cos ,

cos
cos ,
k
k
k
α
α π
α

+ =

−

ch½n
lÎ


www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

2

11. Phép biến đổi hàm số
( )
2 2
asin cos 0y x b x a b= + + ≠


Cũng có thể biến đổi







Đặc biệt, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos

2
1
sin cos sin sin
2
1
cos sin sin sin
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
 
 
= − + − −
 
 
= + + −
 
 
= + − −
 
 

4. Công thức cộng
( )
cos cos cos sin sin
α β α β α β
± = ∓

( )
sin sin cos cos sin
α β α β α β
± = ±

( )
tan tan
tan
1 tan tan
α β
α β
α β
±
± =
∓

5. Công thức nhân đôi
sin 2 2sin cos
α α α
=

2 2
cos2 cos sin
α α α
= −


2 2
2cos 1 1 2sin
α α

= − = −

2
2tan
tan2
1 tan
α
α
α
=
−

6. Công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sin
α α α
= −

3
cos3 4cos 3cos
α α α
= −

3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
α α
α

α
−
=
−

7. Công thức hạ bậc
2
1 cos2
cos
2
α
α
+
=

2
1 cos2
sin
2
α
α
−
=

2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α

α
−
=
+

3
3sin sin3
sin
4
α α
α
−
=

3
cos3 3cos
cos
4
α α
α
+
=

9. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =

cos cos 2sin sin
2 2
α β α β
α β
+ −
− = −
sin sin 2sin cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =
sin sin 2cos sin
2 2
α β α β
α β
+ −
− =
( )
sin
tan tan
cos cos
α β
α β
α β
±
± =

8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi
Đặt

tan
2
t
α
=
. Khi đó,

2
2
sin
1
t
t
α
=
+

2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+

2
2
tan
1
t
t
α
=
−

2
1
cot
2
t
t
α
−
=

2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
 
= + +
 
+ +

 
( )
2 2
cos sin sin cosa b x x
ϕ ϕ
= + +

( )
2 2
sina b x
ϕ
= + +
với
tan .
b
a
ϕ
=

( )
2 2
sin sin cos cosy a b x x
α α
= + +

( )
2 2
cosa b x
α
= + −

với
tan .
a
b
ϕ
=

sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
   
   

sin cos 2sin 2 cos .
4 4
x x x x
π π
   
− = − = +
   
   

sin 3cos 2sin 2cos
3 6
x x x x
π π
   

± = ± = ±
   
   
∓

3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
π π
   
± = ± = ±
   
   
∓

www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

3
b. Phương trình
cos
x m
=

- Nếu
1m >
thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
1m ≤
thì chọn góc

α
sao cho
cos m
α
=
.
Khi đó,
( )
2
cos cos
2
x k
x k
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ℤ

Đặc biệt,
cos 0
2
x x k
π

π
= ⇔ = +


cos 1 2
x x k
π
= ⇔ =

( )
k ∈
ℤ


cos 1 2
x x k
π π
= − ⇔ = +

( )
cos cos cos cosx x
α π α
= − ⇔ = −

*Tổng quát
2
cos cos
2
k
k

α β π
α β
α β π
= +

= ⇔

= − +


II. Phương trình lượng giác
1. Phương trình lượng giác cơ bản








2.
3.
4.
5.
6.




2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

 Phương pháp giải.




3. Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x

 Phương trình có dạng
sin cosa x b x c+ =

 Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
.
 Phương pháp giải.





a. Phương trình
sin
x m
=

- Nếu
1
m >
thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
1
m ≤
thì chọn góc
α
sao cho
sin
m
α
=
.
Khi đó,
( )
2
sin sin
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈


= − +

ℤ

Đặc biệt,
sin 0
x x k
π
= ⇔ =


sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +

( )
k ∈
ℤ


sin 1 2
2
x x k
π
π
−
= − ⇔ = +

*
Tổng quát

2
sin sin
2
k
k
α β π
α β
α π β π
= +

= ⇔

= − +


c. Phương trình
tan
x m
=

Chọn góc
α
sao cho tan m
α
= .
Khi đó,

( )
tan tan
x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
ℤ

Phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
*Tổng quát
tan tan k
α β α β π
= ⇔ = +

d. Phương trình
cot
x m
=

Chọn góc
α
sao cho cot m
α
= .
Khi đó,
( )
cot cot x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈

ℤ

Phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
*Tổng quát
cot cot k
α β α β π
= ⇔ = +

Phương pháp 1. Dùng
tan
b
a
ϕ
=
để đưa
phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
sin cos sin tan cos
sin cos
b c c
x x x x
a a a
c
x
a
ϕ
ϕ ϕ
+ = ⇔ + =

⇔ + =

Phương pháp 2*. Chia 2 vế cho
2 2
a b+

để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos
cos
a b c
x x
a b a b a b
c
x
a b
ϕ
+ =
+ + +
⇔ − =
+

với
2 2
sin
a
a b
ϕ

=
+
và
2 2
cos
b
a b
ϕ
=
+
.
Phương pháp 3.
(Thường dùng khi phương trình chứa tham số)
Dùng ẩn số phụ
tan
2
x
t =
thì phương trình trở thành:
( ) ( )
2
2 2
2
2 1
. .
1 1
2 0
t t
a b c
t t

b c t at c b
−
+ =
+ +
⇔ + − + − =

(Đây là phương trình bậc hai theo t ).
- Dạng
2
sin sin 0a x b x c+ + =
, đặt
sin , 1 1.t x t= − ≤ ≤

- Dạng
2
cos cos 0a x b x c+ + =
, đặt
cos , 1 1.t x t= − ≤ ≤

- Dạng
2
tan tan 0a x b x c+ + =
, đặt tant x= .
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

4

 Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng
asin cos

x b x c
+ =
về phương trình lượng giác
cơ bản
( )
sin
X x Y c
+ =
hoặc
( )
cos
X x Y c
− =
. ☺
☺☺
☺
* Đưa về dạng
( )
sin
X x Y c
+ =

- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4
- Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện
dấu “,”, nhập b.
- Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X.
- Bấm ALPHA
S D⇔
= để xem giá trị của Y.
- Khi đó,

( )
asin cos sin
x b x c X x Y c
+ = ⇔ + =
.
* Đưa về dạng
( )
cos
X x Y c
− =
thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y.
Khi đó,
( )
asin cos cos
x b x c X x Y c
+ = ⇔ − =
.
Chú ý:
• Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu.
• Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu.



 Ví dụ 1: Giải phương trình
3sin2 cos2 3x x− =

 Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm:
( 3, 1Pol −
ta được 2
X

= và
6
Y
π
= −
.
Giải:
3sin2 cos2 3 2sin 2 3
6
x x x
π
 
− = ⇔ − =
 
 
3
sin 2 sin
6 2 3
x
π π
 
⇔ − = =
 
 

2 2
6 3
2 2
6 3
x k

x k
π π
π
π π
π π

− = +

⇔


− = − +


2 2
2
5
2 2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔



= +


4
5
12
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


.
 Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm:
( 1, 3Pol −
ta được 2
X
= và
2
3

Y
π
=
.
Giải:
2
3sin 2 cos2 3 2cos 2 3
3
x x x
π
 
− = ⇔ − =
 
 
2 3
cos 2 cos
3 2 6
x
π π
 
⇔ − = =
 
 

2
2 2
3 6
2
2 2
3 6

x k
x k
π π
π
π π
π

− = +

⇔


− = − +


5
2 2
6
2 2
2
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔



= +


5
12
4
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


.


 Ví dụ 2: Giải phương trình
2sin 2cos 2
x x
− + =

 Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm:
( 2,2Pol −
ta được
2 2
X
=
và
3
4
Y
π
=
.
Giải:
3
2sin 2cos 2 2 2sin 2
4
x x x
π
 
− + = ⇔ + =
 
 
3 1
sin sin
4 2 6
x
π π
 

⇔ + = = ⇔
 
 

 Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm:
(2, 2Pol −
ta được
2 2
X
=
và
4
Y
π
= −
.
Giải:
2sin 2cos 2 2 2cos 2
4
x x x
π
 
− + = ⇔ + =
 
 
1
cos cos
4 2 3
x
π π

 
⇔ + = = ⇔
 
 



 Ví dụ 3: Giải phương trình
sin3 3cos3 1
x x
+ =

Giải:
1
sin3 3cos3 1 2sin 3 1 sin 3 sin
3 3 2 6
x x x x
π π π
   
+ = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔
   
   

www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

5
hoặc
1
sin3 3cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos

6 6 2 3
x x x x
π π π
   
+ = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔
   
   

4. Phương trình đối xứng đối với sin
x
và cos
x

 Phương trình có dạng
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c± + + =

 Phương pháp giải.










5. Phương trình đẳng cấp đối với
sin

x
và
cos
x

- Đẳng cấp bậc 2 có dạng
2 2
sin cos sin cosa x b x c x x d+ + =

 Phương pháp giải.







- Đẳng cấp bậc 3 có dạng
3 3 2 2
sin cos sin cos sin cos esin cos 0a x b x c x x d x x x f x+ + + + + =

 Phương pháp giải.


Dùng ẩn số phụ
( )
sin cos 2sin 2 .
4
t x x x t
π

 
= ± = ± ≤
 
 

2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇒ = ± ⇒ = ±
.
Phương trình trở thành
( )
2
2
1
. 0 2 2 0.
2
t
at b c bt at c b
−
± + = ⇔ ± + + =∓

(Đây là phương trình bậc hai theo t với
2t ≤
).

 Phương pháp 1.
i. Nếu
cos 0
x
=
không thỏ
a ph
ươ
ng trình thì chia 2 v
ế
cho
2
cos
x
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
đố
i
v
ớ
i tant x
=
là
( )
( ) ( )

2 2 2
tan tan 1 tan tan tan 0.a x b c x d x a d x c x b d+ + = + ⇔ − + + − =

ii.
N
ế
u cos 0
x
=
th
ỏ
a ph
ươ
ng trình thì
đặ
t
cos
x
làm th
ừ
a s
ố
chung r
ồ
i gi
ả
i, b
ằ
ng cách thay
2 2

sin 1 cos
x x
= −
.

 Phương pháp 2.
Dùng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c
2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=
;
2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=

và
sin2
sin cos
2
x
x x =

để

đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng
đ
ã bi
ế
t.
i.
N
ế
u cos 0
x
=

không th
ỏ
a ph
ươ
ng trình thì chia 2 v
ế
cho
3
cos
x
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c ba
đố
i
v
ớ
i tant x
=
là
( ) ( )
3 2 2 2
tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0a x b c x d x e x x f x+ + + + + + + =

( ) ( ) ( ) ( )
3 2

tan tan tan 0.a e x d f x c e x b f
⇔ + + + + + + + =

ii.
N
ế
u cos 0
x
=
th
ỏ
a ph
ươ
ng trình thì
đặ
t
cos
x
làm th
ừ
a s
ố
chung r
ồ
i gi
ả
i, b
ằ
ng cách thay
2 2

sin 1 cos
x x
= −
.
6. i. Phương trình dạng

sin ,cos ,tan ,tan ,cot 0
2
x
f x x x x
 
=
 
 

 Phương pháp giải.

Đặ
t
tan
2
x
t
=
, r
ồ
i áp d
ụ
ng công th
ứ

c
tang góc chia
đ
ôi bi
ể
u di
ễ
n
sin ,cos ,tan ,cot
x x x x
theo t .
ii. Phương trình dạng

( )
sin 2 ,cos2 ,tan ,tan2 ,cot2 0f x x x x x
=



Phương pháp giải.

Đặ
t tant x
=
, r
ồ
i
áp d
ụ
ng công th

ứ
c tang góc chia
đ
ôi
bi
ể
u di
ễ
n
sin 2 ,cos2 ,tan2 ,cot2
x x x x

theo t .

www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

6

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phân tích thành nhân tử
Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học. Để tìm một nhân
tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhóm thừa số chung theo nhân tử đó ☺.
Phương pháp (Toán học Tuổi trẻ)
- Bước 1: Sử dụng MTBT nhẩm nghiệm.
• Chuyển phương trình về dạng
( )
0f x =
.
• Nhập vào MTBT hàm số

( )
f x
.
• Tiến hành thử lần lượt các góc lượng giác đặc biệt
2 3 5
0; ; ; ; ; ; ; ; ;2
6 4 3 2 3 4 6
π π π π π π π
π π
với chức năng
CALC của MTBT.
- Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm
3
x
π
=
. Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc
biệt với nó.
• Thử với góc đối:
3
x
π
= −
nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm
x
sao cho
1
cos
2
x =

hay
phương trình có một nhân tử là
2cos 1
x
−
.
•
Thử với góc bù:
2
3
x
π
=
n
ế
u th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x
sao cho
3
sin
2
x =

hay ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là 2sin 3x − .
•
Thử với góc hơn kém
π
:

4
3
x
π
=
ho
ặ
c
2
3
x
π
−
=
n
ế
u th
ỏ

a mãn ph
ươ
ng trình thì ph
ươ
ng trình có
nghi
ệ
m
x
sao cho tan 3x = hay ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là sin 3cos
x x
− .
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này, n
ế
u ph
ươ
ng trình có h
ệ
s
ố

t
ự
do
a
thì ta thay b
ở
i
( )
2 2
sin cos
a x x
+ r
ồ
i ti
ế
n hành
nhóm nhân t
ử
chung.
- Bước 3:
Nhóm th
ừ
a s
ố
chung theo nhân t
ử

đ
ã bi
ế

t.
- Bước 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình tích.





Ví dụ 1:

Giải phương trình

sin 2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
− + − − =

(KD – 2010)

Nh
ậ
p vào MTBT sin 2 cos2 3sin cos 1
x x x x
− + − − . S
ử
d
ụ

ng ch
ứ
c n
ă
ng CALC c
ủ
a MTBT ta tìm
đượ
c
m
ộ
t nghi
ệ
m
6
x
π
= .
•

Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị

đố
i:
6

x
π
−
= không th
ỏ
a ph
ươ
ng trình.
•

Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị
bù:
5
6
x
π
= th
ỏ
a ph
ươ
ng trình. V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi

ệ
m
x
sao cho
1
sin
2
x
=
hay ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là 2sin 1
x
−
☺
.
Giải:
Ta có sin 2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
− + − − =
( )
2
2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x⇔ − − + − − =

( )
( )

2
cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x⇔ − + + − =

( ) ( )( )
cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x⇔ − + − + =

( )( )
2sin 1 sin cos 2 0x x x⇔ − + + =

www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

7
( )
1
sin
2
sin cos 2
x
x x VN

=

⇔

+ = −


2
6

5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


( )
k ∈ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
6
x k
π
π
= +
;
5

2
6
x k
π
π
= +
.
Chú ý: Trong bài trên
cos2
x
có 3 công thứ
c,
ở

đ
ây ph
ươ
ng trình có nhân t
ử
là
2sin 1
x
−
nên ta áp d
ụ
ng
công th
ứ
c
đư

a v
ề

sin
, t
ứ
c là
2
cos2 1 2sin
x x
= −

☺
.


 Ví dụ 2: Giải phương trình

( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − +

(KB – 2012)

Nh
ậ
p vào MTBT
( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
+ − + −

. S
ử
d
ụ
ng ch
ứ
c n
ă
ng CALC c
ủ
a MTBT ta
tìm
đượ
c m
ộ
t nghi
ệ
m
2
3
x
π
=
.
•
Th
ử
v
ớ
i giá tr

ị

đố
i:
2
3
x
π
−
=
th
ỏ
a ph
ươ
ng trình. V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x
sao cho
1
cos
2
x
= −
hay ph
ươ

ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là 2cos 1
x
+
☺
.
Giải:
Ta có
( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
+ = − +

2
2cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0x x x x x⇔ + − + − =
( )
( )
2
2cos cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − − + + =

( )( ) ( )
cos 1 2cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − + + + =
( )
( )
2cos 1 3sin cos 1 0x x x⇔ + + − =
2cos 1 0
3sin cos 1

x
x x
+ =

⇔

+ =

1
cos
2
1
sin
6 2
x
x
π
−

=


⇔
 

+ =
 

 


2
2
3
2
x k
x k
π
π
π

= ± +

⇔

=

( )
k ∈
ℤ
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
2

2
3
x k
π
π
= ± +
;
2
x k
π
=
.


 Ví dụ 3:

Giải phương trình
( )
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos
x x x x x
+ + = +
(DBII – KA – 2007)

Nh
ậ
p vào MTBT
( )
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos

x x x x x
+ + − +
. S
ử
d
ụ
ng ch
ứ
c n
ă
ng CALC c
ủ
a
MTBT ta tìm
đượ
c m
ộ
t nghi
ệ
m
2
3
x
π
=
.
•

Th
ử

v
ớ
i giá tr
ị

đố
i:
2
3
x
π
−
=
không th
ỏ
a ph
ươ
ng trình.
•

Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị
bù:
3
x
π

=
không th
ỏ
a ph
ươ
ng trình.
•

Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị
h
ơ
n
π
:
5
3
x
π
=
th
ỏ
a ph
ươ
ng trình. V
ậ

y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x
sao cho
tan 3x = −
hay ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là
sin 3cos
x x
+

☺
.
Khi
đ
ó
để
nhóm
đượ
c nhân t
ử

sin 3cos
x x
+
, ta thay h
ệ
s
ố
t
ự
do
2 2
1 sin cos
x x
= +
.


www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

8

Giải:
Ta có
( )
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos
x x x x x
+ + = +
( )

2 2 2
2cos 2 3sin cos sin cos 3 sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + + + − + =
( )
2 2
sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3cos 0x x x x x x⇔ + + − + =
( ) ( )
2
sin 3cos 3 sin 3 cos 0x x x x⇔ + − + =
( )( )
sin 3cos sin 3cos 3 0x x x x⇔ + + − =
( )
sin 3cos 0
sin 3cos 3
x x
x x VN

+ =
⇔

+ =


tan 3
3
x x k
π
π
−
⇔ = − ⇔ = +
( )

k ∈ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
3
x k
π
π
−
= +
.


 Ví dụ 4: Giải phương trình
( )
2
4cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1 0x x x x x+ + − − =

Nhập vào MTBT
( )
2
4cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1
x x x x x
+ + − −
. Sử dụng chức năng CALC của MTBT
ta tìm được một nghiệm
2
3
x
π
=

.
• Thử với giá trị đối:
2
3
x
π
−
=
không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù:
3
x
π
=
không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị hơn
π
:
5
3
x
π
=
thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm
x
sao cho
tan 3x = −
hay phương trình có một nhân tử là
sin 3cos
x x

+
☺.
Khi đó để nhóm được nhân tử
sin 3cos
x x
+
, ta thay hệ số tự do
2 2
1 sin cos
x x
= +
.
Giải:
( ) ( )
2 2 2 2 2
4sin cos 4cos 2 3cos 2cos 1 2sin sin cos 0x x x x x x x x⇔ + + − − − + =
( ) ( )
( )
2 3 2 2
4sin cos 4 3cos 2sin 2 3cos sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + − + − − =
( ) ( ) ( )( )
2
4cos sin 3 cos 2 sin 3cos sin 3cos sin 3cos 0x x x x x x x x x⇔ + − + − + − =
( )( )
2
sin 3 cos 4cos 2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − − + =
( )( )
sin 3 cos 2cos2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − + =
sin 3cos 0
2cos2 sin 3cos

x x
x x x

+ =
⇔

= −


tan 3
5
cos2 cos
6
x
x x
π

= −

⇔
 

= −
 

 


3
5

2 2
6
5
2 2
6
x k
x x k
x x k
π
π
π
π
π
π

= − +



⇔ = − +



= − + +


3
5
2
6

5 2
18 3
x k
x k
x k
π
π
π
π
π π

= − +



⇔ = − +



= +


( )
k ∈
ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
3
x k
π

π
= − +
;
5
2
6
x k
π
π
= − +
;
5 2
18 3
x k
π π
= +
.
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

9
II. Biến đổi phương trình về dạng
sin cosa x b x c+ =

 Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện
3sin kx
hoặc
3coskx
thì phương
trình đó có thể đưa được về dạng

sin cosa x b x c
+ =
☺.



 Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
( )( )
( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
I
x x
−
=
+ −
(KA – 2009)
Giải:
Điều kiện:
2
2
sin 1
2
1
6
sin
2

7
2
6
x k
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
π

≠ +

≠


−
 
⇔ ≠ +
 −
≠
 


≠ +



.
Với điều kiện trên, ta có
( )
( )
2
cos sin2 3 1 sin 2sin
I x x x x
⇔ − = + −

( )
cos sin 2 3 cos2 sin
x x x x
⇔ − = +

sin 2 3cos2 3sin cos
x x x x
⇔ + = − +

5
2sin 2 2sin
3 6
x x
π π
   
⇔ + = +
   
   
5
sin 2 sin

3 6
x x
π π
   
⇔ + = +
   
   

5
2 2
3 6
5
2 2
3 6
x x k
x x k
π π
π
π π
π π

+ = + +


⇔
 

+ = − + +
 


 

2
2
2
18 3
x k
k
x
π
π
π π

= +

⇔

−

= +


( )
k ∈ℤ
.
Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình
2
18 3
k
x

π π
−
= +
.


 Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +
(KB – 2009)
Giải:
Ta có
( )
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +

( )
2
1 2sin sin cos sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
⇔ − + + =

sin cos2 cos sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
⇔ + + =

sin3 3cos3 2cos4
x x x
⇔ + =

cos 3 cos4
6
x x
π
 
⇔ − =
 
 

4 3 2
6
4 3 2
6
x x k
x x k
π
π
π
π

= − +

⇔



= − + +


( )
2
6
2
42 7
x k
k
x k
π
π
π π
−

= +

⇔ ∈


= +


ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
6
x k

π
π
−
= +
;
2
42 7
x k
π π
= +
.


 Ví dụ 3: Giải phương trình
( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
+ = − +
(KB – 2012)
Giải:

Ta có
( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
+ = − +
( )
2
2cos 1 2 3sin cos cos 3sin
x x x x x

⇔ − + = −
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

10

cos2 3sin 2 cos 3sin
x x x x
⇔ + = −

cos 2 cos
3 3
x x
π π
   
⇔ − = +
   
   

( )
2
2 2 2
3 3 3
2
2 2
3 3 3
x x k x k
k
k
x x k x

π π π
π π
π π π
π
 
− = + + = +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
− = − − + =
 
 
ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
2
3
x k
π
π
= +
;
2
3
k
x
π
=

.
III. Biến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác


 Ví dụ 1: Giải phương trình
sin3 cos2 sin 0
x x x
+ − =
(KD – 2013)
Giải:
Ta có sin3 cos2 sin 0
x x x
+ − =
3 2
3sin 4sin 1 2sin sin 0
x x x x
⇔ − + − − =

3 2
4sin 2sin 2sin 1 0
x x x
⇔ + − − =

( )
( )
2
2sin 1 2sin 1 0x x⇔ + − =

2
2sin 1 0

2sin 1 0
x
x
+ =

⇔

− =

1
sin
2
cos2 0
x
x
−

=

⇔

=

2
6
7
2
6
4 2
x k

x k
k
x
π
π
π
π
π π
−

= +



⇔ = +



= +


( )
k ∈ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
6
x k
π
π

−
= +
;
7
2
6
x k
π
π
= +
;
4 2
k
x
π π
= +
.


 Ví dụ 2: Giải phương trình
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ − − =
(KD – 2006)
Giải:
Ta có cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ − − =
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0

x x x x
⇔ − + − − − =

3 2
4cos 2cos 4cos 2 0
x x x
⇔ + − − =

cos 1
cos 1
1
cos
2
x
x
x


=

⇔ = −


−
=


2
2
3

x k
x k
π
π
π
=


⇔

= ± +

( )
k ∈ℤ
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
x k
π
=
;
2
2

3
x k
π
π
= ± +
.


 Ví dụ 3:

Giải phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =
(KD – 2002)
Giải:

Ta có cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =
( )
3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
x x x x⇔ − − − + − =

3 2
4cos 8cos 0
x x
⇔ − =

( )
2
4cos cos 2 0
x x⇔ − =

( )
cos 0
cos 2
2
x
x k
x VN
π
π
=

⇔ ⇔ = +

=


( )
k ∈ℤ
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ

a ph
ươ
ng trình là
2
x k
π
π
= +
.
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

11
C. LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
Giải các phương trình sau
1. sin 4cos 2 sin 2
x x x
+ = + (KA – A1 – 2014)
2.
1 tan 2 2 sin
4
x x
π
 
+ = +
 
 
(KA – A1 – 2013)
3.
3sin2 cos2 2cos 1 x x x+ = −

(KA – A1 – 2012)
4.
2
1 sin2 cos2
2sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(KA – 2011)
5.
( )
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 
 
=

+
(KA – 2010)
6.
( )
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(KA – 2009)
7.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 

 
−
 
 
(KA – 2008)
8.
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin2
x x x x x
+ + + = +
(KA – 2007)
9.
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(KA – 2006)
10.
2 2
cos 3 cos2 cos 0
x x x
− =
(KA – 2005)

11.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(KA – 2003)
12. Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2
π
của phương trình
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 
+
 

(KA – 2002)

13.
( )
2 sin 2cos 2 sin2
x x x
− = −
(KB – 2014)
14.
2
sin5 2cos 1
x x
+ =
(KB – 2013)
15.
( )
2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − + (KB – 2012)
16. sin 2 cos sin cos cos2 sin cos
x x x x x x x
+ = + + (KB – 2011)
17.
( )
sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0
x x x x x+ + − =
(KB – 2010)
18.
( )
3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +
(KB – 2009)

19.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
− = −
(KB – 2008)
20.
2
2sin 2 sin7 1 sin
x x x
+ − =
(KB – 2007)
21. cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 
 
(KB – 2006)
22. 1 sin cos sin2 cos2 0
x x x x
+ + + + =
(KB – 2005)
23.
( )
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x

− = −
(KB – 2004)
24.
2
cot tan 4sin 2
sin2
x x x
x
− + =
(KB – 2003)
25.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = −
(KB – 2002)
26. sin3 cos2 sin 0
x x x
+ − =
(KD – 2013)
27. sin3 cos3 sin cos 2cos2
x x x x x
+ − + =
(KD – 2012)
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

12

28.

sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
(KD – 2011)
29. sin 2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
− + − − = (KD – 2010)
30.
3cos5 2sin3 cos2 sin 0 x x x x− − =
(KD – 2009)
31.
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos
x x x x
+ + = +
(KD – 2008)
32.
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 

 
(KD – 2007)
33.
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ − − =
(KD – 2006)
34.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(KD – 2005)
35.
( )( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
− + = −
(KD – 2004)
36.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x

x
π
 
− − =
 
 
(KD – 2003)
37.
Tìm
x
thu
ộ
c
[ ]
0;14
nghi
ệ
m
đ
úng ph
ươ
ng trình cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =
(KD – 2002)
38.
( )
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2

x x
x x+ − =
(CD - KA – 2010)
39.
( )
2
1 2sin cos 1 sin cos
x x x x
+ = + +
(CĐ – KA,B,D – 2009)
40.
sin3 3cos3 2sin 2
x x x
− =
(CĐ – KA,B,D – 2008)
41.
3sin 2cos cos2 1 0x x x+ − − =
(DBI – KA,A1 – 2012)
42.
( )
2 sin cos
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
(DB – KA - 2011)
43.

( )
cos2 2cos sin cos cos2 sin2
x x x x x x
+ + = −
(DBI – KB – 2010)
44.
( )
2
1
cos 2 cos 2 sin cos2 1
4 4 4
x x x x
π π
   
+ − + + =
   
   

v
ớ
i
;
4 4
x
π π
−
 
∈
 
 

(DBII – KB – 2010)
45.
2 2
2sin 2 sin6 2cos
x x x
+ =
(DBI – KD – 2010)
46.
( ) ( )
2
2 3 cos 2 sin 4 cos 1 cos os2
cos
x x x x c x
x
− + − = +
(DBII – KD – 2010)
47.
2
2sin cos 3sin 2 cos sin 4
0
2sin 3
x x x x x
x
+ −
=
+
(DBI – KA – 2009)
48.
( )

( )
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − = (DB II – KA – 2009)
49.
2
3cos3 4sin cos
3
cos
x x x
x
−
= (DB – KD – 2009)
50.
( )
4 4
4 sin cos cos4 sin 2 0 x x x x+ + + = (DBI – KD – 2008)
51.
2
3sin cos2 sin2 4sin cos
2
x
x x x x+ + = (DBII – KB – 2008)
52.
1
2sin sin 2
3 6 2
x x
π π
   
+ − − =

   
   
(DBI – KB – 2008)
53.
3
sin 2 sin
4 4 2
x x
π π
   
− = − +
   
   
(DBII – KA – 2008)
54.
2
tan cot 4cos 2
x x x
= + (DBI – KA – 2008)
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

13
55.
( )( )
1 tan 1 sin2 1 tan
x x x
− + = +
(DBII – KD – 2007)
56.

2 2sin cos 1
12
x x
π
 
− =
 
 
(DBI – KD – 2007)
57.
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
(DBII – KB – 2007)
58.
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
π π
   
− − − =
   
   
(DBI – KB – 2008)
59.

( )
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos
x x x x x
+ + = + (DBII – KA – 2007)
60.
1 1
sin2 sin 2cot2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − = (DBI – KA – 2007)
61.
3 2
4sin 4sin 3sin2 6cos 0
x x x x
+ + + =
(DBII – KD – 2006)
62.
3 3 2
sin cos 2sin 1
x x x
+ + =
(DBI – KD – 2006)
63.
( )( )
cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x+ + − =
(DBII – KB – 2006)
64.
( ) ( )

2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x− + − =
(DBI – KB – 2006)
65.
2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 
 
(DBII – KA – 2006)
66.
3 3
2 3 2
cos3 .cos sin3 .sin
8
x x x x
+
− =
(DBI – KA – 2006)
67.
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x

x
π
−
 
+ − =
 
 
(DBII – KD – 2005)
68.
( )
2 2 3
sin .cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x+ − + = (DBI – KD – 2005)
69. Tìm nghiệm trên
( )
0;
π
của phương trình
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
x
x x
π
 
− = + −
 
 

(DBII – KB – 2005)

70. sin 2 cos2 3sin cos 2 0
x x x x
+ + − − = (DBI – KB – 2005)
71.
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π
 
− + =
 
+
 
(DBII – KA – 2005)
72.
3
2 2cos 3cos sin 0
4
x x x
π
 
− − − =
 
 
(DBI – KA – 2005)
73.
( )

sin sin2 3 cos cos2
x x x x
+ = +
(DBII – KD – 2004)
74.
2sin cos2 sin 2 cos sin 4 cos
x x x x x x
+ =
(DBI – KD – 2004)
75.
sin 4 sin7 cos3 cos6
x x x x
=
(DBII – KB – 2004)
76.
1 1
2 2cos
4 sin cos
x
x x
π
 
+ + =
 
 
(DBI – KB – 2004)
77.
1 sin 1 cos 1 x x− + − =
(DBII – KA – 2004)
78.

( )
3 3
4 sin cos cos 3sin
x x x x
+ = +
(DBI – KA – 2004)
79.
2cos4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
(DBII – KD – 2003)
80.
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
(DBI – KD – 2003)
www.VNMATH.com

Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

14

81.
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
 
− − −
 
 
=
−
(DBII – KB – 2003)
82.
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0
x x x
− + + =
(DBI – KB – 2003)
83.
( )

3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x− + + =
(DBII – KA – 2003)
84.
( )
cos2 cos 2tan 1 2 x x x+ − =
(DBI – KA – 2003)
85. Xác định
m
để phương trình
( )
4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + − =
có ít nhất một nghiệm
thuộc
0;
2
π
 
 
 
. (DBII – KD – 2002)
86.
2
1
sin
8cos
x
x
=
(DBI – KD – 2002)

87.
4 4
sin cos 1 1
cot2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −
(DBII – KB – 2002)
88.
( )
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ = (DBI – KB – 2002)
89.
2
tan cos cos sin 1 tan tan
2
x
x x x x x

 
+ − = +
 
 
. (DBII – KA – 2002)
90. Cho phương trình
2sin cos 1
.
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +
(a là tham số) (DBI – KA – 2002)
a. Giải phương trình khi
1
.
3
a =
b. Tìm
a
để phương trình có nghiệm.
91.
( )
2 2
2cos2 sin cos sin cos 2 sin cos
x x x x x x x
+ + = + (ĐHSP – ĐHL TPHCM)

92.
( )
4 4
4 sin cos 3sin4 2x x x+ + = (ĐHSP TPHCM)
93.
8 8
1
sin cos cos4 0
8
x x x+ + = (TT ĐTBD CBYT TPHCM)
94.
( )
2 2
cos3 2 cos 3 2 1 sin 2
x x x
+ − = + (HVNH TPHCM)
95. sin sin 2 sin3 0
x x x
+ + = (HVNH – ĐHKT TPHCM)
96.
1 cos cos2 cos3 0
x x x
+ + + =
(ĐHNL TPHCM)
97.
4 4
4sin 2 4cos 2 cos4 3
x x x
+ + = (ĐHTS)
98.

3 3
sin cos cos2
x x x
− = (ĐHDL NN – TH TPHCM)
99. 2sin2 3tan 1
x x
= + (CĐSP TPHCM)
100.
( )
3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
(ĐH CT)
101.
5
sin cos sin 2
2 2
x x x
π π
   
− + = −
   
   
(ĐH AG)

102. 2sin2 cos2 7sin 2cos 4
x x x x
− = + − (ĐHQG HN)


Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.

Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺
☺☺
☺☺
☺☺
☺☺
☺☺
☺


www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

15
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014
103.
( )
sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sin
x x x x x
+ = + + +
(Đại học Vinh)
104.

( )
2
2
2
2cos sin cos
3
sin 3 sin
1 tan 4 4
2 2
x x x
x x
x
π π
− +
 
   
= + − +
   
 
+
   
 
(THPT Hồng Quang)
105.
cos2 2sin 2
4
1
1 sin
x x
x

π
 
− + +
 
 
=
−
(THPT Quốc Oai)
106.
( )
1 cos cot cos2 sin sin 2
x x x x x
− + + = (THPT Lương Ngọc Quyến)
107.
2
2sin sin 2 3sin cos 2 0
x x x x
+ − + − =
(THPT Hồng Quang)
108.
sin 1
cot 2
1 cos 1 cos
x
x
x x
+ + =
+ −
(Đại học Vinh)
109.

( )
1
1 sin sin2 1 cot 1 tan
4 2 4
x x x x
π π
 
   
+ − + = + + −
   
 
   
 
(THPT Hà Huy Tập)
110.
( )
( )
1
1 sin cos sin2
1
2
1 cot
2
1 tan
4
x x x
x
x
π
+ − +

= +
 
+ −
 
 
(THPT Hà Huy Tập)
111.
( )( )
1 sin 2sin2 6cos 2sin 3
2
2cos 1
x x x x
x
− + + +
=
+
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn)
112.
( )
sin 2 sin 4 cos 2
0
2sin 3
x x x
x
− + −
=
+
(THPT Quỳnh Lưu 1)
113.
3

2sin cos2 cos 0
x x x
− + =
(THPT Lương Thế Vinh)
114.
( )
1 sin 1 sin sin 2 cos2
x x x x
+ + + =
(THPT Lương Thế Vinh)
115.
3 3 2
sin cos 3sin 4sin cos 2 0
x x x x x
− + + − + =
(THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
116.
cos tan 1 tan sin
x x x x
+ = +
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
117.
2cos6 2cos4 3cos2 sin 2 3x x x x+ − = +
(THPT Hùng Vương)
118.
sin 2 cos2 4 2sin 3cos
4
1
cos 1
x x x x

x
π
 
− + + −
 
 
=
−
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
119.
1 cos2
2 cos . 1 cot
4 sin
x
x x
x
π
+
 
− = +
 
 
(THPT Chuyên Lương Văn Chánh)
120.
( )( )
1 tan 1 sin2 1 tan
x x x
− + = +
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
121.

( ) ( )
2
tan 1 sin cos2 2 3 cos sin sin
x x x x x x
+ + + = +
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
122.
( ) ( )
2
1
cos 2 sin 12 4 cos 2013 2 0
2
x x x
π π
− + − − =
(THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
123.
2 3 4
2
2
3sin 7sin 2sin 1
sin3 cot
sin
x x x
x x
x
− + +
+ =
(THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
124.

sin 2 cos2 2sin 0
x x x
− − =
(THPT Chu Văn An)
125.
( )
2
5
5sin 3 1 cos cot 2
2
x x x
π
 
− − − =
 
 
(THPT Chu Văn An)
126.
( )
sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sin
x x x x x
+ = + + +
(Đại học Vinh)
127.
2
2cos 2 2cos2 4sin6 cos4 1 4 3sin3 cos
x x x x x x
− + + = +
(THPT Triệu Sơn 4)
128.

( )
2
tan 1 sin cos2 0x x x+ + =
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

16

129.
2 cos2
cot
sin 2 cos
x
x
x x
= −
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
130.
1
2sin sin 2
2 6
x x
π
 
= + −
 
 
(THPT Phan Châu Trinh)
131.

sin 2 cos2 4 2sin 4cos 1 0
4
x x x x
π
 
− + + − + =
 
 
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
132.
3 2 6
4 3sin sin 3cos cos
x x x x
+ + = +
(THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
133.
2 2 2
cos 3 3cos 2 cos cos2 2
x x x x
+ + + =
(THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
134.
2
2cos 3cos 2cos3 4sin sin 2
x x x x x
+ − =
(THPT Lạng Giang số 1)
135.
( )
2

3cos 2 3 cos 1 cot
x x x
− = − (THPT Lạng Giang số 1)
136.
( )
2 2
3cot 2 2sin 2 3 2 cos
x x x
+ = + (THPT Chuyên Hạ Long)
137. cot cos2 sin sin 2 cos cot
x x x x x x
+ + = + (THPT Thuận Thành số 3)
138.
( )
2
2 3sin2 1 cos2 4cos2 sin 3
0
2sin2 1
x x x x
x
+ − −
=
−
(Hà Nội Amsterdam)
139.
2
3
3sin 2sin 3
3 2sin 0
cot

x x
x
x
+ −
+ − =
(THPT Nguyễn Khuyến)
140.
( )
3 sin 2 sin cos2 cos 2x x x x+ = − =
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
141.
( )
1 2sin 2sin2 2cos
cos2 3 1 cos
2sin 1
x x x
x x
x
− − +
= − +
−
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
142.
5cos sin 3 2 sin 2
4
x x x
π
 
+ − = +
 

 
(THPT Đoàn Thượng)
143.
2cos5 cos3 sin cos8
x x x x
+ =
(THPT Ngô Gia Tự)
144.
( )( )
cos2 5 2 2 cos sin cos
x x x x
+ = − −
(THPT Ngô Gia Tự)
145.
( )
6 6
8 sin cos 3 3cos2 11 3 3sin4 9sin 2
x x x x x
+ − = − −
(THPT Hậu Lộc 2)
146.
( )
2
2tan 1 cos 2 cos2
x x x
− = −
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
147.
2
2sin cos sin cos2 cos2 2 cos

2 4
x
x x x x x
π
 
+ = + −
 
 
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
148.
2
4sin
1 cot2
1 cos4
x
x
x
+ =
−
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
149.
2
sin cos 2sin cos sin cos
6 cos2
sin
4
x x x x x x
x
x
π

+ + +
=
 
+
 
 
(THPT Đức Thọ)
150.
( )
2 2
7
4cos 2cos 3cos 2 3 3
2 4
0
1 sin
x
x x
x
π
π
 
+ − − − −
 
 
=
−
(THPT Chuyên Tỉnh Lào Cai)
151.
( )
2 2

3
tan 1 sin 3cos sin 2 0
2
x x x x− + − = (THPT Hà Huy Tập)
152.
( )
3 2
2sin 3 3sin 2sin 3 tan
x x x x
− = + − (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
153.
( ) ( )
( )
( )
3 3
3 1 3 cos2 3 1 3 sin2 8 sin cos 3sin cos 3 3 3x x x x x x− + + = + + − −
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
154. 2 sin 2 2sin 1
4
x x
π
 
− = −
 
 
(THPT ĐặngThúc Hứa)
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

17

155.
2 2
4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x
π π
+
   
+ + − =
   
   
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
156. sin 4 2 cos3 4sin cos
x x x x
+ = + + (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
157.
1 cos 7
sin 2sin 2
tan 4
x
x x
x
π
−
 
+ = +
 
 

(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
158. cos2 cos cos sin 2 sin
x x x x x
+ = (THPT Quế Võ 1)
159. 2sin cos3 sin2 1 sin 4
x x x x
+ + = + (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
160.
2 2
sin sin5 2cos 2cos 2
4 4
x x x x
π π
   
+ = − − +
   
   
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
161.
2
sin 2 cos2
cot 1
cos sin
x x
x
x x
+ = −
(THPT Can Lộc)
162.
sin 1

cot 2
1 cos 1 cos
x
x
x x
+ + =
+ −
(Đại học Vinh)
163.
3 2 2
2sin 2 3sin cos 2sin cos 2
3
0
2cos 3
x x x x x
x
π
 
+ − + +
 
 
=
−
(THPT CN Việt Trì)
164.
3 3
2
1 sin sin3 cos cos3
5cos2 1
sin

x x x x
x
x
− −
= +
(THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
165.
( )
( )
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0x x x x+ − + − = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
166.
( )
1 cos cos2 cos3 2
3 3sin
cos cos2 3
x x x
x
x x
+ + +
= −
+
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn)
167.
3
sin 2 sin 2sin 1
2
0
2cos 3
x x x

x
π
 
+ − − +
 
 
=
−
(THPT Chuyên Trần Phú)
168.
2
4cos 2
tan 2 tan 2
4 4 tan cot
x
x x
x x
π π
   
− + =
   
−
   
(THPT Chuyên Trần Phú)
169.
2
1
8cos 2cos 6 2 3sin 0
cos
x x x

x
− − − + = (THPT Nam Sách)
170. 2 cos 2cos sin 2 1 sin 2
4
x x x x
π
 
− + = −
 
 
(Nguoithay.vn)
171.
( )
sin cos2 2cos cos2 cos 1
x x x x x
− = −
(Đại học Vinh)
172.
( ) ( )
cos cos3 2 3sin 4 3 sin 2 3 sin3
x x x x x
+ − + = − (VNMATH.COM)
173. cos cos 2 sin3
6 3
x x x
π π
   
+ + + =
   
   

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong)
174.
3
2cos 4sin sin 1 4 2sin
2 2 4
x x
x x
π
 
+ − = +
 
 
(THPT Hai Bà Trưng – Huế)
175.
3
sin3 sin sin 4 cos cos
2 4 4
0
2sin 1
x x x x x
x
π π
   
+ + − +
   
   
=
−
(THPT Nguyễn Huệ - Huế)
176.

3 1 2 2 3
1 cos2 sin2 cot 3
x x x
+ = +
+
(VNMATH.COM)

Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

18

ĐÁP ÁN LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
1.
2
3
x k
π
π
= ± +

2.
; 2 .
4 3
x k x k
π π
π π
−

= + = ± +

3.
2
; 2 ; 2 .
2 3
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +

4.
; 2 .
2 4
x k x k
π π
π π
= + = +

5.
7
2 ; 2 .
6 6
x k x k
π π
π π
−
= + = +

6.

2
.
18 3
x k
π π
−
= +

7.
5
; ; .
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
− −
= + = + = +

8.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
−
= + = + =

9.
5
2

4
x k
π
π
= +
.
10.
.
2
x k
π
=

11.
4
x k
π
π
= +
.
12.
5
; .
3 3
x x
π π
= =

13.
3

2
4
x k
π
π
= ± +

14.
2 2
;
6 3 14 7
x k x k
π π π π
− −
= + = +
.
15.
2 2
2 ;
3 3
x k x k
π π
π
= + =
.
16.
2
2 ;
2 3 3
x k x k

π π π
π
= + = +
.
17.
.
4 2
x k
π π
= +

18.
2
2 ;
6 42 7
x k x k
π π π
π
−
= + = +
.
19.
; .
4 2 3
x k x k
π π π
π
−
= + = +

20.
2 5 2
; ; .
8 4 18 3 18 3
x k x k x k
π π π π π π
= + = + = +

21.
5
;
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
.
22.
2
; 2
4 3
x k x k
π π
π π
−
= + = ± +
.
23.
5
2 ; 2

6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
.
24.
.
3
x k
π
π
= ± +

25.
; .
9 2
x k x k
π π
= =

26.
7
; 2 ; 2 .
4 2 6 6
x k x k x k
π π π π
π π
−
= + = + = +

27.
7
; 2 ; 2 .
4 2 12 12
x k x k x k
π π π π
π π
−
= + = + = +

28.
2
3
x k
π
π
= +
.
29.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
.
30.
;

18 3 6 2
x k x k
π π π π
−
= + = +
.
31.
2
2 ;
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = +
.
32.
2 ; 2
2 6
x k x k
π π
π π
−
= + = +
.
33.
2
; 2 .
3
x k x k
π

π π
= = ± +

34.
4
x k
π
π
= +
.
35.
2 ;
3 4
x k x k
π π
π π
−
= ± + = +
.
36.
2 ;
4
x k x k
π
π π π
−
= + = +
.
37.
3 5 7

; ; ; .
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =

38.
5
;
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
.
39.
5
2 ; ; .
2 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +

40.
4 2
2 ;
3 15 5
x k x k

π π π
π
= + = +
.
41.
2
2 ; 2 .
3
x k x k
π
π π
= = ± +

42.
2
4
x k
π
π
−
= +
.
43.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
−
= + = + = +

44.
.
8
x
π
= ±

www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

19
45.
; ; .
6 3 8 2 4
x k x k x k
π π π π π
π
= + = + = +

46.
2
3
x k
π
π
= +
.
47.
2

; 2 ; .
2 6 18 3
x k x k x k
π π π π
π
−
= = + = +

48.
2
2 ; 2 ; .
3 3 6
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +

49.
; .
6
x k x k
π
π π
−
= = +

50.
4
x k

π
π
−
= +
.
51.
7
2 ; 2 ; 2 .
6 6 2
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +

52.
2 ; .
2 3
x k x k
π π
π π
= + = − +

53.
; 2 .
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +

54.
; .
4 2 8 2
x k x k
π π π π
−
= + = +

55.
; .
4
x k x k
π
π π
−
= + =

56.
; .
4 3
x k x k
π π
π π
= + = +

57.
2
3
x k

π
π
= ± +
.
58.
2
; 2 ; 2 .
3 3 2
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +

59.
2
3
x k
π
π
= +
.
60.
4 2
x k
π π
= +
.
61.
2
2 ; 2 .

2 3
x k x k
π π
π π
−
= + = ± +

62.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
− −
= + = = +

63.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = +

64.
6 2
x k
π π
= ± +
.

65.
7
; 2
6
x k x k
π
π π
= = +
.
66.
16 2
x k
π π
= ± +
.
67.
4
x k
π
π
−
= +
.
68.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π

= + = +
.
69.
5 17 5
; ;
18 18 6
x x x
π π π
= = =
.
70.
5
2 ; 2 ; 2 ; 2 .
6 6 2
x k x k x k x k
π π π
π π π π π
= + = + = + = +

71.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
.
72.
;

2 4
x k x k
π π
π π
= + = +
.
73.
2 2
; 2 .
9 3
x k x k
π π
π π
= + = +

74.
; .
3
x k x k
π
π π
= = ± +

75.
;
20 10 2
x k x k
π π π
π
= + = +

.
76.
4
x k
π
π
= ± +
.
77.
; 3 .
3
x k k l
π
= ≠

78.
;
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
.
79.
3
x k
π
π
= ± +
.

80.
2 ; 2 .
2
x k x k
π
π π π
−
= + = +

81.
4
2
3
x k
π
π
= +
.
82.
; .
4 2
x k x k
π π
π
= + =

83.
3
x k
π

π
= ± +
.
84.
2 ; 2
3
x k x k
π
π π
= ± + =
.
85.
10
2
3
m
−
≤ ≤ −
.
86.
3 5 7
2 ; 2 ; 2 ; 2
8 8 8 8
x k x k x k x k
π π π π
π π π π
= + = + = + = +

87.
6

x k
π
π
= ± +
.
88.
2 5 2
; .
18 3 18 3
x k x k
π π π π
= + = +

89.
2
x k
π
=
.
90. a.
4
x k
π
π
−
= +
b.
1
2
2

a
−
≤ ≤
.
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

20

91.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
− −
= + = = +

92.
;
4 2 12 2
x k x k
π π π π
−
= + = +
.
93.
4 2
x k
π π

= +
.
94.
2 .
x k
π
=

95.
2
; 2
2 3
x k x k
π π
π
= = ± +
.
96.
; 2 ; 2 .
2 3
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = ± +

97.
;
4 2 12 2
x k x k
π π π π

= + = ± +
.
98.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
= + = − + = +

99.
4
x k
π
π
−
= +
.
100.
2
2 .
3
x k
π
π
= ± +

101.
2 7 2
; ; .

4 2 18 3 6 3
x k x k x k
π π π π π π
−
= + = + = +

102.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
.
103.
2
2
x k
π
π
−
= +
;
2
x k
π π
= +

104.

8 2
k
x
π π
= +
;
2
6
x k
π
π
= +
;
5
2
6
x k
π
π
= +
.

105.
2
2
x k
π
π
= − +
;

2
3
x k
π
π
= − +
;
2
3
x k
π
π
= +

106.
4 2
k
x
π π
= +
;
2
2
x k
π
π
= +
.
107.
2

6
x k
π
π
−
= +
;
7
2
6
x k
π
π
= +
.
108.
4
x k
π
π
−
= +
;
2
2
x k
π
π
= +
.

109.
2
12
x k
π
π
= +
;
17
2
12
x k
π
π
= +

110.
2
12
x k
π
π
= +
;
17
2
12
x k
π
π

= +

111.
2
2
x k
π
π
−
= +
;
2
6
x k
π
π
= +
;
5
2
6
x k
π
π
= +

112.
2
3
x k

π
π
= +

113.
2
x k
π
=
;
4
x k
π
π
= − +

114.
2
x k
π
=
;
4
x k
π
π
= − +

115.
2

x k
π
=
;
2
2
x k
π
π
= − +

116.
4
x k
π
π
= + ; 2
x k
π
=
117.
2
x k
π
π
= + ;
24 2
k
x
π π

= + ;
36 3
k
x
π π
= +
118. 2
x k
π π
= +
119.
4 2
k
x
π π
= +
120.
4
x k
π
π
= − + ;
x k
π
=
121.
4
x k
π
π

= + ;
3
x k
π
π
= ± +
122.
4 2
k
x
π π
= + ;
2
x k
π
π
= − +
123. 2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= + ; 2

2
x k
π
π
= +
124.
11
2
12
x k
π
π
= − +
;
2
4
x k
π
π
= − +
;
2
4
x k
π
π
= +


5

2
12
x k
π
π
= +
.
125. 2
3
x k
π
π
= ± +
126. 2
2
x k
π
π
= − + ; 2
x k
π π
= +
127.
12
x k
π
π
= − + ;
24 2
x k

π π
= + ;
3
x k
π
=
128.
4
x k
π
π
= − +
129. 2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= +
130. 2
6
x k
π
π

= + ;
x k
π
=
131.
x k
π
=
132.
x k
π
= ; 2
2
x k
π
π
= − +
133.
2
x k
π
π
= + ;
6
x k
π
π
= ± +
134.
2

2
3
x k
π
π
= ± + ; 2
x k
π π
= +
135. 2
3
x k
π
π
= ± + ;
2
arccos 2
3
x k
π
 
= ± − +
 
 

136.
2
4
x k
π

π
= ± +
;
2
3
x k
π
π
= ± +

137.
4
x k
π
π
= +
;
2
2
x k
π
π
= − +

138.
3
x k
π
π
= +

www.VNMATH.com
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

21
139.
2
2
3
x k
π
π
= ± +

140.
6
x k
π
π
= +
;
2
3
x k
π
π
= +
; 2
x k
π π

= +
141. 2
x k
π π
= + ; 2
6
x k
π
π
= − +
142. 2
3
x k
π
π
= ± +
143. 2
2
x k
π
π
= + ;
2
6
x k
π
π
= − +
;
7

2
6
x k
π
π
= +

144. 2
2
x k
π
π
= + ; 2
x k
π π
= +
145.
12
x k
π
π
= + ;
5
12
x k
π
π
= + ;
4
x k

π
π
= + ;

7
12
x k
π
π
= +
146. 2
3
x k
π
π
= ± +
147. 2
2
x k
π
π
= + ;
2
3 3
x k
π π
= +
148.
4 2
x k

π π
= +
149.
12
x k
π
π
= +
150.
5 2
18 3
x k
π π
= +
151.
4
x k
π
π
= + ;
3
x k
π
π
= ± +
152.
2
2
3
x k

π
π
= ± +
153.
4
x k
π
π
= − + ;
6
x k
π
π
= +
154.
x k
π
= ; 2
2
x k
π
π
= +
155. 2
2
x k
π
π
= − +
156. 2

6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= + ; 2
x k
π
=
157.
4 2
x k
π π
= +
158.
2
x k
π
π
= − + ;
4 2
x k
π π
= +

159. 2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= + ;
2
3
x k
π
=
160.
3
x k
π
=
161.
2
6
x k
π
π
= +

;
5
2
6
x k
π
π
= +

162.
4
x k
π
π
= − +
;
2
2
x k
π
π
= +

163.
5
2
6
x k
π
π

= +
;
7 2
18 3
x k
π π
= +

164.
6
x k
π
π
= ± +

165.
6
x k
π
π
= − +
;
2
3
x k
π
π
= +
;
2

2
3
x k
π
π
= +

166.
2
x k
π
=

167.
2
x k
π
=
;
5
2
6
x k
π
π
= +

168.
8 2
x k

π π
= +

169.
2
3
x k
π
π
= − +
;
2
15 5
x k
π π
= +

170.
3
4
x k
π
π
= − +
;
11
2
12
x k
π

π
= − +
;

2
4
x k
π
π
= − +
;
5
2
12
x k
π
π
= +

171.
2
x k
π
=
;
4
x k
π
π
= +

;
2
2
x k
π
π
= +

172.
2
x k
π
=
;
4
2
3
x k
π
π
= − +

173.
11
12
x k
π
π
= − +
;

5
12
x k
π
π
= − +


2
2
x k
π
π
= +
;
5
2
6
x k
π
π
= − +

174.
5
2
6
x k
π
π

= − +
;
2
6
x k
π
π
= − +

175.
13
18
x k
π
π
= − +
;
7
18
x k
π
π
= − +
;

18
x k
π
π
= − +

;
2
6
x k
π
π
= − +

176.
2
3
x k
π
π
= − + ;
6
x k
π
π
= − + ;
6
x k
π
π
= +

HẾT

Nguy
ễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.

 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
 Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638

www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

22


Chú ý: Có thể giải phương trình lượng giác bằng trang web ☺
☺☺
☺



Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng
những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội – Albert Einstein.
☺
☺☺
☺



Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.

 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
 Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺
☺☺
☺☺

☺☺
☺☺
☺☺
☺
www.VNMATH.com