Các bài toán về góc và khoảng cách giữa các phẳng trong không gian euclide hữu hạn chiều

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

Mục lục
Trang
Lời cảm ơn ................................................................................................................. 1
PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI ............................................................................... 2
I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 2
II. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 3
III. Mục đích chọn đề tài.................................................................................... 3
IV. Ứng dụng của đề tài ...................................................................................... 3
PHẦN II: NỘI DUNG ............................................................................................... 4
Chương I: Cơ sở lí luận ............................................................................................ 4
§1 Sơ lược về khơng gian Affine ...................................................................... 4
1. Không gian Affine ...................................................................................... 4
1.1 Định nghĩa ........................................................................................... 4
2. Phẳng ......................................................................................................... 5
2.1 Định nghĩa ........................................................................................... 5
3. Giao giữa các phẳng ................................................................................... 6
3.1 Định lí .................................................................................................. 6
3.2 Định nghĩa ........................................................................................... 6
4. Vị trí tương đối giữa các phẳng ................................................................. 6
4.1 Định nghĩa ........................................................................................... 6
4.2 Một số tính chất ................................................................................... 6
§2 Sơ lược về khơng gian Euclide .................................................................. 7
1. Tích vơ hướng ............................................................................................ 7
1.1 Định nghĩa ........................................................................................... 7
1.2 Tính chất tích vơ hướng ....................................................................... 7
2. Khơng gian euclide .................................................................................... 7
2.1 Các định nghĩa ..................................................................................... 7

Vũ Quang Huy – 09ST


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

3. Định nghĩa sự trực giao giữa các phẳng trong không gian vector Euclide 8
3.1 Định nghĩa ........................................................................................... 8
3.2 Định lí ................................................................................................. 9
4. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng. .......................................................... 9
4.1 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng ..................................................... 9
4.2 Hệ quả .................................................................................................. 9
5. Một số vấn đề về ma trận và định thức Gram ............................................ 9
5.1 Định lí ................................................................................................ 10
6. Khoảng cách ............................................................................................. 13
6.1 Định nghĩa ......................................................................................... 13
6.2 Đường vng góc chung.................................................................... 13
6.3 Các cơng thức tính khoảng cách ........................................................ 14
7. Thể tích hình hộp m-chiều trong khơng gian Euclide.............................. 16
7.1 Các định nghĩa ................................................................................... 16
7.2 Cơng thức tính thể tích hình hộp m-chiều ......................................... 16
8. Góc ........................................................................................................... 21
8.1 Góc giữa hai vector ............................................................................ 21
8.2 Góc giữa hai đường thẳng ................................................................. 21
8.3 Góc giữa hai siêu phẳng .................................................................... 21
8.4 Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng ................................................ 21
Chương II: Các bài toán về góc và khoảng cách trong khơng gian E n ............ 23
§1 Các bài tập tính khoảng cách và thể tích ..................................................... 23

§2 Một số bài tốn xác định góc....................................................................... 37
§3 Một số bài tập tổng hợp ............................................................................... 42
§4 Một số bài tập đề nghị ................................................................................. 49
PHẦN III: KẾT LUẬN ........................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 55

Vũ Quang Huy – 09ST


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

Lời Cảm Ơn
Tơi xin chân thành cảm ơn cơ giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt tình
hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở những ý tưởng
giúp tơi hồn thành khóa luận này.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy, cơ giáo khoa Tốn Trường
Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng
góp ý kiến quỹ báu giúp tơi hồn thành tốt khóa luận tố nghiệp của
mình.
Tơi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Đà
Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi có được nguồn tài liệu làm khóa
luận.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những
người ln ủng hộ tôi, cung cấp cho tôi những thông tin cần thiết,
những lời động viên, khích lệ chân thành cùng các ý kiến q báu trong
thời gian tơi làm khóa luận.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Vũ Quang Huy

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
I. Lý do chọn đề tài
Tốn học có nguồn gốc trong thực tiễn, có vai trị to lớn trong đời sống và khoa học
kĩ thuật, nó giúp chúng ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề, rèn
luyện trí thơng minh sáng tạo. Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực
cánh sinh nên dù học ngành nào, trong cơng tác nào thì kiến thức tốn học cũng rất
quan trọng.
Ở trường phổ thơng, mơn tốn là mơn học khá quan trọng, khá hay, địi hỏi nhiều tư
duy, kĩ năng. Đặc biệt là mơn hình học, đây là môn học khá trừu tượng khiến học
sinh tương đối vất vả
Hình học là mơn học xuất hiện rất sớm. Con người phải đo đạc những thửa ruộng,
đong thóc gạo khi thu hoạch. Lúc này mơn hình học ra đời là khoa học về đo đạc
nhưng con người lại nghiên cứu nhiều vấn đề phức tạp hơn. Do đó hình học trở
thành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên tính chất hình học bằng con
đường suy diễn chặt chẽ.
Hệ tiên đề hình học đầu tiên lấy mơ hình từ khơng gian vật lý theo nhận thức là các
khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Từ ba khái niệm này Euclide đã xây dựng
thành nội dung toàn bộ mơn hình học ở phổ thơng hiện nay. Sau này gọi là hình học
Euclide.

Hình học Euclide là mơn học khá hay, quan trọng đối với sinh viên. Trong môn học
này ta sẽ biết được cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt
phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng, mặt phẳng, tính thể tích, góc và vận
dụng nó vào việc giải các bài tốn phổ thơng được nhanh hơn, ngắn gọn hơn.
Chính vì vậy tơi xây dựng đề tài này nhằm nghiên cứu những vấn đề xoay quanh
việc tính khoảng cách, góc trong khơng gian Euclide hữu hạn chiều.

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

Với những lý do đó nên tơi chọn đề tài: “Các bài tốn về góc và khoảng cách
giữa các phẳng trong không gian Euclide hữu hạn chiều”
II. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu và đưa ra lời giải, cách giải cho một số dạng tốn
tính khoảng cách và góc. Đồng thời mở rộng những vấn đề có liên quan đến khoảng
cách và góc như thể tích. Ngồi ra cịn vận dụng những cơng thức tổng qt về góc,
khoảng cách, thể tích để áp dụng vào không gian Euclide ba chiều ở trung học phổ
thơng
III. Mục đích của đề tài
Đề tài nghiên cứu về các cơng thức, cách giải, trình bày lời giải một bài tốn
tính góc, khoảng cách, thể tích trong khơng gian Euclide hữu hạn chiều nhằm thấy
được sự tương ứng giữa khơng gian Euclide ba chiều và khơng gian Euclide có số
chiều lớn hơn ba
IV. Ứng dụng của đề tài

Đề tài được sử dụng cho tất cả các sinh viên khoa Toán, giáo viên dạy Toán
THPT nhằm củng cố, mở rộng một số kiến thức về không gian Affine, không gian
Euclide, đại số tuyến tính

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
§1: SƠ LƯỢC VỀ KHƠNG GIAN AFFINE
1. KHƠNG GIAN AFFINE
1.1. Định nghĩa
Cho V là một không gian vectơ trên trường K và A là một tập hợp khác
rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm.Giả sử có ánh xạ
f: A  A  V
(M,N)

f (M,N)  MN

Thỏa mãn hai điều kiện sau
i.
ii.

Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ v  V có duy nhất một điểm

N thuộc A sau cho MN  v
Với ba điểm M,N,P tùy ý thuộc A ta ln có
f (M,N) + f (N,P) = f (M,P) hay MN  NP  MP

Khi đó ta nói A là một khơng gian affine, hay đầy đủ hơn A là không
gian affine trên trường K liên kết với không gian vectơ V
Không gian vectơ V liên kết với khơng gian affine A cịn được kí hiệu
là A và được gọi là nền của khơng gian affine A
Khi K=R ta nói A là một khơng gian affine thực. Khi K=C, ta nói A là
một khơng gian affine phức.
Đơi khi ta nói A là một K-không gian affine để nhấn mạnh về trường K.
(A, A ,f ) là ký hiệu đầy đủ của một không gian affine. Trong trường
hợp khơng có điều gì gây nhầm lẫn, để đơn giản ta chỉ ghi vắn tắt là A(K)
hoặc A.
⃗⃗ là khơng gian vector n-chiều thì ta nói A là không gian affine nKhi 𝑨
chiều và dùng ký hiệuAn để nhấn mạnh về số chiều của A. Ký hiệu số chiều
của A là dimA. Như vậy

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

dim A = dim⃗⃗⃗𝑨
Nếu khơng nói gì thêm thì khơng gian affine là khơng gian affine nchiều và trường K sẽ là trường số thực R hoặc là trường số phức C. Tuy vậy,
một số phần như liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ sẽ chú trọng đến việc

trình bày trong khơng gian thực.
Ví dụ
a) Đối với hình học giải tích ở PTTH, chúng ta cần phân biệt không gian
ba chiều thông thường, là không gian chỉ gồm các điểm (ký hiệu là E3)
và không gian các vector “tự do” (ký hiệu là V3 ) Xét ánh xạ
f: E3  E3  V3
(M,N) MN
Khi đó f thỏa mãn các điều kiện i) và ii) Vậy E3 là không gian affine .
Tương tự như trên ta cũng có E2 cũng là khơng gian affine
b) Cho V là một không gian vectơ . Nếu ta xem các vectơ của V là các
điểm khi đó xét ánh xạ
f: V  V  V

 a, b 

 

f a, b = a  b

Ánh xạ f xác định như trên cũng thỏa mãn hai điều kiện i) và ii) nên V
trở thành khơng gian affine liên kết với chính nó
Một số tính chất
a) MN  0 khi và chỉ khi M  N
b) MN   NM
c) MN  PQ  MP  NQ
d) MN  PN  PM
2. PHẲNG
2.1 Định nghĩa
⃗⃗ ,f ) là một không gian affine, P là một điểm thuộc A và  là
Cho (A,𝑨

⃗⃗ . Tập hợp
một không gian vectơ con của 𝑨

  {M  A: PM  }
Gọi là phẳng đi qua P với không gian chỉ phương 
Nếu dim  = m thì ta nói  là một m- phẳng và viết dim  = m
Siêu phẳng là phẳng có đối chiều 1
Nhận xét

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

a) Nếu  là phẳng đi qua P thì P   và M , N   , vectơ MN 
b) 0- phẳng là tập hợp chỉ gồm 1 điểm
c) Điểm P trong định nghĩa phẳng bình đẳng với mọi điểm khác trong
phẳng
d) Giả sử  là phẳng đi qua P với phương  và  là là phẳng đi qua
 P  
Q với phương  . Khi đó     
  
e) Phẳng được xem là không gian affine con
3. GIAO GIỮA CÁC PHẲNG
3.1 Định lí : Cho i : i  I  là một họ không rỗng các phẳng trong không
gian affine A. Nếu

iI

i  {M  A : PM 

là một phẳng có phương
3.2 Định nghĩa:

iI

iI

iI

 i } khác rỗng thì

iI

i

i

i  {M  A : PM 

iI

 i } trong định lí trên được gọi

là phẳng giao của các phẳng  i
4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC PHẲNG

4.1 Định nghĩa
Hai phẳng  và  được gọi là cắt nhau cấp r nếu    là một rphẳng .
Hai phẳng  và  được gọi là chéo nhau cấp r nếu      và





dim     r

Hai phẳng  và  được gọi là song song nếu    hoặc   
4.2 Một số tính chất
Định lí 1: Cho hai mặt phẳng song song  và  . Nếu      thì
   hoặc   
Định lí 2: Qua một điểm A có một và chỉ một m- phẳng song song với
m phẳng đã cho
Định lí 3: Trong khơng gian affine n chiều 𝑨 cho một siêu phẳng 
và một m-phẳng  với 1  m  n  1 .Khi đó  và  hoặc song song
hoặc cắt nhau theo một  m  1 -phẳng

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

§2:SƠ LƯỢC VỀ KHƠNG GIAN EUCLIDE

1. TÍCH VƠ HƯỚNG
1.1 Định nghĩa: Cho V là khơng gian vector trên tường số thực xét một
phép toán f ( hay ánh xạ f)
f: V  R

 a, b 

 

f a, b : a.b

Thỏa mãn bốn tiên đề sau
a) a.b  b.a
b) a. b  c  a.b  a.c



 



 

c) .a .b   a.b với   R
d) a.a  0 , dấu “=” xảy ra kho a  0
Một không gian vector được tran bị thêm tích vơ hướng đối với hai
vector bất kì của nó sẽ trở thành một khơng gian vector Euclide
1.2 Tính chất của tích vơ hướng

 

 a.b | a | .| b | .cos a, b
2

 | a |2  a | a | a

2

 a  b  a.b  0
2. KHÔNG GIAN EUCLIDE
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Không gian affine thực được gọi là không gian Euclide
nếu không gian liên kết là một không gian vector Euclide
Định nghĩa 2: Cho E n là một không gian Euclide n- chiều. Một mục
tiêu affine của E n gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là cơ
n

sử trực chuẩn của E . Tọa độ của điểm M  E n đối với một mục tiêu
trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn
Nhận xét:
a) Tọa độ của điểm M trong không gian Euclide n chiều đối với mục
tiêu trực chuẩn E0 , Ei  gọi là tọa độ trực chuẩn khi đó

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

M  x1, x2 ,..., xn 

Khoa Toán

E0 Ei 

 E0 M  x1 E0 E1  x2 E0 E2  ...  xn E0 En

 

b) Trong E n , xét công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn O, ei

 

sang mục tiêu trực chuẩn O ', ei'

 x  A x '  a

(*)

  sang cơ sở trực chuẩn

A là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn ei

e  nên A là một ma trận trực giao
'
i

c) Ngược lại mỗi cơng thức có dạng (*) với A là ma trận trực giao là
công thức chuyển mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn đã cho sang mục

tiêu trực chuẩn hoàn toàn xác định

3. ĐỊNH NGHĨA SỰ TRỰC GIAO GIỮA CÁC PHẲNG TRONG
KHƠNG GIAN VECTOR EUCLIDE
Nếu trong hình học affine, giữa hai phẳng chỉ có thể nói đến các vị trí
tương đối : cắt nhau, song song và chéo nhau thì trong hình học Euclide ta có
một vị trí tương đối là trực giao (vng góc)
3.1 Định nghĩa
Hai phẳng  và  trong không gian Euclide E được gọi là trực
giao (hay vng góc) với nhau, kí hiêu    , nếu phương của chúng
là các không gian vector con trực giao trong E . Nếu các phương  và

 bù trực giao trong E , ta nói  và  là bù trực giao
Chú ý: Theo định nghĩa, hai phẳng  và  trực giao khi và chỉ khi





   , nên     {0} . Từ đây suy ra dim    = dim  dim  .
Do đó
 Nếu dim  + dim   n thì  và  khơng trực giao. (Trong không
gian Euclide 3 chiều, hai mặt phẳng không thể trực giao nhau mặc
dù vẫn có định nghĩa hai mặt phẳng vng góc ở phổ thơng )
 Nếu  và  bù trực giao nhau thì dim  + dim   n . Hay

    En
Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 8

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

3.2 Định lí
Trong khơng gian Euclide E
a. Hai phẳng trực giao có khơng q một điểm chung
b. Hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất

4. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG
4.1 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
Trong khơng gian Euclide E n với mục tiêu trực chuẩn cho trước, giả sử

a   a1, a2 , a3 ,..., an  và b   b1, b2 , b3 ,..., bn  Ta có
n

n

n

i 1

j 1

i 1

a.b   ai ei . b j e j   aibi

4.2 Hệ quả
 | a |

n

a
i 1

2
i

n

a.b
 cos(a, b) 

| a | .| b |

a b
i 1

n

 ai2 .
i 1

i i
n

b

i 1

2
i

5. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC GRAM
Cho không gian vectơ Euclide n - chiều VEn cho hệ vectơ u1 , u2 ,......, um 
Xét ma trận tạo bởi các tích vơ hướng của hệ vectơ trên:
 u1.u1 u1.u2
 u .u u .u
2 2
 2 1
Gr  u1 , u2 ,......, um    ..
..

..
 ..
um .u1 um .u2

..
..
..
..
..

.. u1.um 
.. u2 .um 
..
.. 


..
.. 
.. um .um  ( m )

Ma trận trên gọi là ma trận Gram của hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  .
Gọi  a1i , a2i ,....., ani  là tọa độ của vectơ ui ; i  1..m trong một cơ sở trực
chuẩn nào đó của VEn . Xét ma trận:

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

 a11
a
 21
A   ..

 ..
 an1

a12
a22
..
..
an 2

..
..
..
..
..

.. a1m 
.. a2 m 
.. .. 

.. .. 
.. anm  ( nm )

5.1 Định lí
1. Ma trận Gr  u1 , u2 ,......, um  là ma trận đối xứng.
2. Gr  u1 , u2 ,......, um   At . A
3. det Gr  u1 , u2 ,......, um   0 . Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi hệ vectơ
u1 , u2 ,......, um  phụ thuộc tuyến tính.
4. u1 , u2 ,......, um  là hệ trực giao khi và chỉ khi Gr  u1 , u2 ,......, um  là ma
trận đường chéo. u1 , u2 ,......, um  là hệ trực chuẩn khi và chỉ khi
Gr  u1 , u2 ,......, um  là ma trận đơn vị.
Chứng minh:
1. Ma trận Gr  u1 , u2 ,......, um  là ma trận đối xứng.
Hiển nhiên vì ta có tính chất của tích có hướng là: ui .u j  u j .ui ; i, j .
2. Gr  u1 , u2 ,......, um   At . A
Ta có:

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

 u1.u1 u1.u2
 u .u u .u
2 2
 2 1
Gr  u1 , u2 ,......, um    ..
..

..
 ..
um .u1 um .u2
 a11
a
 12
  ..

 ..
 a1m

a21
a22
..
..
a2 m

..
..
..
..
..

..
..
..
..
..

..
..
..
..
..

n
 n 2
a
ai1.ai2 .. ..


i1

i 1
i 1


.. u1.um 
n
 n
.. u2 .um 
a
.
a
ai22
.. ..

  i2 i1
i 1
i 1
..
..   
..
..
.. ..


..
.. 

..
..
.. ..
.. um .um  ( m )  n
n

  aim .ai1  aim .ai2 .. ..

i 1
 i 1
an1   a11 a12 .. .. a1m 
an 2   a21 a22 .. .. a2 m 
..  .  ..
.. .. .. ..   At . A(dpcm)
 

..   ..
.. .. .. .. 
anm   an1 an 2 .. .. anm 



i 1

n

ai2 .aim 

i 1

..


..

n

2

aim


i 1

n

 a .a
i1

3. Điều kiện cần:
Ta có: det Gr  u1 , u2 ,......, um   det  At . A  det 2 ( A)  0 . Dấu “=” xảy ra khi
detA = 0.
Xét

phương

 a11 a12
a
 21 a22
x1.u1  x2 .u2  .....  xm .um  0   ..
..

..
 ..
 an1 an 2

..
..
..

..
..

trình
.. a1m   x1 
 
.. a2 m   x2 
.. ..  . ..   0  A. X  0 (1)
  
.. ..  .. 
.. anm   xm 

Do detA = 0 nên hệ (1) có nghiệm khác tầm thường. Suy ra hệ
u1 , u2 ,......, um  phụ thuộc tuyến tính.
Điều kiện đủ:
Nếu hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  phụ thuộc tuyến tính tức tồn tại vectơ ui
biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại:
 j 1..m

ui  b1u1  b2u2  ....  bi 1ui 1  bi 1ui 1  ....  bmum    b j u j 
 j i


Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 11

im

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

 u1.u1 ..... u1.ui ..... u1.um 
 ..
.....
..
.....
.. 

Gr  u1 , u2 ,..., ui ,..., um    ui .u1 .. ui .ui .. ui .um 


..
..
..
.. 
 ..
um .u1 ..... um .ui ..... um .um 


 j 1..m

u
.
u
.....
u
.

.....
u1.um


1 1
1   bju j 
 j i





..
.....
..
.....
..


 j 1..m

 j 1..m
  j 1..m

 j 1..m
 
   b j u j  .u1 ..   b j u j  .   b j u j  ..   b j u j  .um 

 j i
  j i


 j i
 
 j  i


..
..
..
..
..




 j 1..m

um .u1
.....
um .   b j u j 
.....
um .um


 j i




Ta thấy cột thứ i là biểu thị tuyến tính của các cột cịn lại nên

det Gr  u1 , u2 ,..., ui ,..., um   0

4. Điều kiện cần:
Hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  là hệ trực giao tức ui .u j  0; i  j . Suy ra
Gr  u1 , u2 ,......, um 

là

ma

det Gr  u1 , u2 ,......, um   u1 . u2 .... um
2

2

trận

đường

chéo

và

2

1 nêu i=j
. Suy ra
0 nêu i  j

Hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  là hệ trực chuẩn tức ui .u j   ij  

Gr  u1 , u2 ,......, um  là ma trận đơn vị và det Gr  u1 , u2 ,......, um   1

Điều kiện đủ:
Nếu Gr  u1 , u2 ,......, um  là ma trận đường chéo tức là các ui .u j  0; i  j
.Tức ui , u j đôi một trực giao với nhau. Suy ra hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  là hệ trực
giao.
Nếu

Gr  u1 , u2 ,......, um 

là

ma

trận

đơn

vị,

tức

ui .u j  0; i  j và ui .ui  1;i  1..m .

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

Suy ra hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  là hệ trực chuẩn.

6. KHOẢNG CÁCH
6.1 Định nghĩa
a) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm M,N trong E , kí hiệu d  M , N  là độ
dài vector MN . Tức là
d  M , N  | MN | MN

2

b) Khoảng cách giữa hai phẳng
Khoảng cách giữa hai cái phẳng  và  trong E kí hiệu d  ,   là
số

inf d  M , N 

N , M 

Nhận xét
i) Nếu  và  là các 0-phẳng (hay các điểm) thì hai định nghĩa
trên trùng nhau
ii) Chúng ta có thể định nghĩa khảng cách giữa hai hình tùy ý như
định nghĩa của hai cái phẳng
6.2 Đường vơng góc chung
Định nghĩa: Trong E cho hai phẳng  và  và d là đường thẳng cắt
cả  và  . Nếu d   và d   thì d được gọi là đường vng góc

chung của  và 
Định lý : Nếu đường vơng góc chung d của  và  cắt  tại A và cắt

 tại B khi đó d  ,    d  A, B 
Chứng minh:
Với mọi M   và N   ta có MN  MA  AB  BN



 | MN |2 | MA  BN |2  | AB |2 2 AB MA  BN







Do MA  và BN   nên 2AB MA  BN =0
Vậy | MN |2 | MA  BN |2  | AB |2
Từ đây suy ra d  A, B   d (M , N )

.Theo định nghĩa ta có

d  A, B   d  ,  
Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

6.3 Các cơng thức tính khoảng cách
Trong không gian Euclide E n với một mục tiêu cho trước. Khi đó
a) Khoảng cách giữa hai điểm
Giả sử điểm M có tọa độ  x1 , x2 , x3 ,..., xn  và điểm N có tọa độ

 y1, y2 , y3 ,..., yn  đối với mục tiêu trực chuẩn {O, ei } của
d M , N  

n

 y  x 
i 1

i

E n . Khi đó

2

i

b) Khoảng cách giữa hai phẳng tùy ý
Nếu      . Khi đó d  ,    0
Nếu      Khi đó  và  có đường vng góc chung AB với
A   và B   . Gọi {1 , 2 , 3 ,...,m } là một cơ sở bất kì của

   , M   và N  

Ta có
MN  MA  AB  BN





Do MA  BN  AB nên











det Gr 1 , 2 ,..., m , MN  det Gr 1 , 2 ,..., m , MA  BN  det Gr 1, 2 ,..., 





Mà det Gr 1 , 2 ,..., m , MA  BN  0
Nên ta có







det Gr  ,  ,...,  , MN 

det Gr  ,  ,...,  



det Gr 1 , 2 ,..., m , MN  det Gr 1, 2 ,..., m , AB | AB |2 det Gr 1, 2 ,..., m

Vậy d  ,  

2

1

2

1

m

2

m

c) Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng
Trong E n giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng

 có phương trình
a1 x1  a2 x2  ...  an xn  a0  0
Gọi  là phương của siêu phẳng  . Xét vector n   a1, a2 ,..., an  là
vector pháp tuyến của siêu phẳng
. Với P  p1, p2 ,..., pk  và M  m1, m2 ,..., mk  bất kì thuộc  ta có
Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 14




Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

 n
 ai pi  a0  0
 i 1
 n
 am a 0
i i
0

i 1
Trừ vế theo vế của hai phương trình trong hệ trên ta có
n

 a  m  p   0 hay n.PM  0 Vậy n
i 1

i

i

i

vng góc với bất kì vector

nào thuộc  và ta gọi n là vector pháp tuyến của 
Cho điểm K  k1, k2 ,..., kn  không thuộc siêu phẳng  . Gọi H là hình
chiếu vng góc của K trên  . Khi đó khoảng cách từ K đến 
bằng độ dài KH .
Đường thẳng KH có phương trình là
xi  ki  ait với i  1,2,..., n
Tọa độ hình chiếu H của đường thẳng KH và siêu phẳng  là
nghiệm của hệ phương trình
 xi  ki  ait
 n
với i  1, 2,..., n

a
x

a

0

i
i

0

 i 1
Lần lượt thay các xi  ki  ait vào phương trình

n

a x  a
i 1

i i

0

 0 ta

được
 n 2
a
k

a
t


i i
i 
  ai t  0
i 1
 i 1 

n

n

t 

a k
i 1

i i

 a0

n

a
i 1

2
i

Vì KH  tn nên | KH || t | .| n |

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

n

Do đó KH  d  I ,  

a k
i 1

i i

 a0

n

a
i 1

2
i

7. THỂ TÍCH HÌNH HỘP m-Chiều trong khơng gian euclide
7.1 Các định nghĩa
a) Định nghĩa 1: Trong không gian Euclide n- chiều E n cho điểm I và hệ m
vector độc lập tuyến tính là u1 , u2 ,..., um  . Hình hộp xác định bởi I và hệ

u1 , u2 ,..., um  là tập hợp các điểm M thỏa mãn :
m



n
M

E
|
IM

tiui ; 0  ti  1


i 1


Ví dụ:
Khi m  0 thì 0 -hộp là 1 điểm
Khi m  1 thì 1-hộp là đoạn thẳng
Khi m  2 thì 2-hộp là một miền hình bình hành
Khi m  3 thì 3-hộp là một khối hình hộp theo định nghĩa trong trung
học phổ thông

b) Định nghĩa: Ta định nghĩa m – thể tích của m – hộp trong khơng gian

Euclide n – chiều En , kí hiệu V  H  I , u1, u2 ,...., um   bằng quy nạp:
m = 1: V  H  I , u1    u1
m > 1: V  H  I , u1, u2 ,...., um    V  H  I , u1, u2 ,...., um1  .hm

Với hm là khoảng cách từ đỉnh Sm voi um  ISm đến (m – 1) – phẳng đi
qua điểm I với hệ vectơ chỉ phương   u1 , u2 ,...., um1 .
Chú ý:
Khái niệm thể tích ứng với m=1 đó là độ dài đoạn thẳng, cịn ứng

với m=2 đó là diện tích của hình bình hành.
7.2 Cơng thức tính thể tích hình hộp m- chiều

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

a) Định lí : Bình phương thể tích của m – hộp đi qua điểm I dựng theo hệ
vectơ u1 , u2 ,......, um  bằng định thức Gram của hệ vectơ u1 , u2 ,......, um  .
Tức là:

V  H  I , u , u ,...., u  
1

2

m

2

 det Gr  u1 , u2 ,......, um 

V  H  I , u1 , u2 ,...., um    det Gr  u1 , u2 ,......, um  .

hay

Chứng minh:
Bằng
m =

quy

nạp

theo

m,

V  H  I , u1    u1 = det Gr  u1  .

1:

ta

có:

m > 1: Giả sử đúng với ( m – 1), tức:

V  H  I , u , u ,...., u 
1

2

m 1

2

 det Gr  u1 , u2 ,......, um1 

Cần chứng minh đúng với m, thật
vậy:
Đặt

  u1 , u2 ,...., um1

và

um  x  hm

với

x    u1 , u2 ,...., u m1 và hm  ui ; i  1..m 1 , ta có : hm  hm .





det Gr  u1 , u2 ,......, um   det Gr u1 , u2 ,......, x  hm 

Xét



u1.u1

u1.u2

..

u2 .u1

u2 .u2

.... .....

..
..

..
..

 x  h .u  x  h .u
m

Vũ Quang Huy – 09ST

1

m

..
..
2

..

..
..

.... ....

 
u . x  h 
u1. x  hm
2

m



..
..

 x  h . x  h 
m

m

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

u1.u1 .. .. u1.x u1.u1
..
.. .. .. ..


..
.. .. .. ..
x.u1

.. ..

.. .. u1.hm u1.u1 .. .. u1.hm u1.u1
.. ..
..
.. .. ..
..
..


.. ..
..
.. .. ..
..
..

hm .u1 .. .. hm .hm

x.x





x.u1



.. ..



x.hm

.. .. u1.x
.. .. ..
.. .. ..

hm .u1 .. .. hm .x

 det Gr u1 , u2 ,..., um1 , x  det Gr u1 , u2 ,..., um1 , hm  M  N

Ta có: hm  ui  hm .ui  0; i  1..m  1 và do x    u1 , u2 ,...., um1 suy
u1.u1 .. .. u1.hm u1.u1 .. .. 0
.. .. .. ..
.. .. ..
..
ra hm .x  0 . Suy ra M 

 0.
.. .. .. ..

.. .. ..
..
x.u1
u1.u1
..
N
..
hm .u1



.. .. u1.x u1.u1
.. .. ..
..

.. .. ..
..
0
.. .. hm .x



.. ..
..
..
..
..

x.u1

x.hm

.. .. 0

.. u1.x
.. ..
0
.. ..
.. 0



và



det Gr u1 , u2 ,..., um1 , x  0 vì hệ u1 , u2 ,..., um1 , x phụ thuộc tuyến tính.

Vậy







det Gr  u1 , u2 ,......, um   det Gr u1 , u2 ,......, x  hm  det Gr u1 , u2 ,..., um1 , hm



u1.u1
..

..

.. .. u1.hm
.. ..
..
.. ..
..

hm .u1 .. .. hm .hm
u1.u1
..
 ..
um1.u1
0

..
..
..
..

.. u1.um1
..
..
..
..
.. um1.um1

.. ..

..

0
..
..
..
hm .hm

u1.u1
2
..
 hm .
..
um1.u1

..
..
..
..

.. u1.um1
..
..
 hm 2 .det Gr  u1 , u2 ,..., um1 
..
..
.. um1.um1

Vậy

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn



det Gr  u1 , u2 ,......, um   hm 2 .det Gr  u1 , u2 ,..., um1   hm 2 . V  H  I , u1 , u2 ,...., um1  



 V  H  I , u1 , u2 ,...., um1 , um  



2



2

(dpcm)

b) Hệ quả

1. Nếu u1 , u2 ,......, um  là hệ trực giao thì
V  H  I , u1 , u2 ,...., um    u1 . u2 ..... um

2. Nếu m = n và A là ma trận của các cột tọa độ của hệ u1 , u2 ,......, un 
theo một cơ sở trực chuẩn nào đó thì thể tích của hình hộp bằng giá trị
tuyệt đối của định thức A, tức là:
V  H  I , u1 , u2 ,...., un    det A

3. Cho f  f  : E n



E n là một phép biến đổi affine và  I , u1 ,......, un 

là n – hộp tùy ý trong En thì hộp  f  I  , f  u1  ,......, f  un  cũng là một n
– hộp và thể tích của nó:

 



V H f  I  , f  u1  ,......, f  un   det f .V  H  I , u1 ,..., un  

Chứng minh:
1. Đây là tính chất được suy ra từ định thức Gram.
Và đây cũng là phép chứng minh tổng qt cho cơng thức tính thể tích
của hình hộp chữ nhật trong khơng gian 3 chiều sơ cấp: V  abc với a,
b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
2. Theo cơng thức tính thể tích của m – hộp và định thức Gram, ta có:
V  H  I , u1 , u2 ,...., un    det Gr  u1 , u2 ,...., un  

 det A

2

 det A (dpcm) .

3. Gọi ( ) : 1,2 ,....,n là một cơ sở trực chuẩn trong En và gọi

 a1i , a2i ,....., ani  là tọa độ của vectơ ui ; i  1..n trong

Vũ Quang Huy – 09ST

( ) . Xét

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

 a11 a12
a
a
A   21 22
 .... ....

 an1 an 2

.......
.......
.......
.......

a1n 
a2 n 
.... 

ann 

Gọi  b1i , b2i ,....., bni  là tọa độ của f ( ) trong ( ) , ta có:
 b11 b12
b b
B   21 22
 .... ....

bn1 bn 2

.......
.......
.......
.......

b1n 
b2 n 
là ma trận đổi cơ sở từ ( ) sang
.... 

bnn 

f ( ) và cũng là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong ( ) .

 

Ta







có:

V H f  I  , f  u1  ,......, f  un   det Gr f  u1  , f u2  ......, f un   det C

với C là ma trận các cột tọa độ của f  ui  trong cơ sở trực chuẩn ( ) .
Ta

có:

 f  u1   a11 f 1   a21 f  2   ......  an1 f  n 
u1  a111  a21 2  ......  an1 n

u  a   a   ......  a 
 f  u2   a12 f 1   a22 f  2   ......  an 2 f  n 
 2
12 1
22 2

n2 n


...........................................
...........................................
un  a1n1  a2 n 2  ......  ann n

 f  un   a1n f 1   a2 n f  2   ......  ann f  n 

Ta có:
 f  u   /   T  f   .u / 
 

 dstt 

 C  Af /   T  f   . Af / f    B. A

Vậy:

 







V H f  I  , f  u1  ,......, f  un   det Gr f  u1  , f  u2  ......, f  un   det C
 det B.det A  det B . det A  det f .V  H  I , u1 ,..., un   (dpcm)

Với det A  V  H  I , u1 ,..., un   ( theo hệ quả 2 ).
Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

det B  det f

8. GĨC
8.1 Góc giữa hai vector
Trong E n cho hai vector u, v đều khác 0 . Ta gọi góc giữa hai vector
u, v là số  thỏa 0     và cos 

u.v
| u | .| v |

 Nếu u, v phụ thuộc tuyến tính thì v   u với  nào đó thuộc R
2

u.v
.u

 1 Vậy   0 hoặc   
cos 
| u | .| v | |  | .| u |2
 Nếu u  v thì  



2
 Với ba điểm A,B,C bất kì ta có
ˆ
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cosA
8.2 Góc giữa hai đường thẳng
Trong E n cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương là  và  .
Gọi a và b là các vector khác 0 lần lượt lấy trên  và  .
Khi đó góc  giữa hai đường thẳng d và d’ tính bởi cơng thức

cos 

| u.v |
| u | .| v |

Từ công thức trên ta thấy 0   


2

8.3 Góc giữa hai siêu phẳng
Trong E n cho hai siêu phẳng  và  . Gọi u, v lần lượt là hai vector
pháp tuyến của hai siêu phẳng  và  .Khi đó góc  giữa hai siêu
phẳng tính bởi cơng thức

| u.v |
| u | .| v |
8.4 Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

cos 

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

Trong E n cho đường thẳng d có vector chỉ phương u và siêu phẳng 
có vector pháp tuyến n . Khi đó góc  giữa đường thẳng và siêu phẳng
tính bởi cơng thức

sin  

| u.n |
| u | .| n |

Vũ Quang Huy – 09ST

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Tốn

CHƯƠNG II: CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG

KHƠNG GIAN E n
§1 CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ TÍNH THỂ TÍCH
Bài 1: Trong E n cho một điểm I và một m- phẳng  khơng chứa I với



m


làm cơ sở. Gọi J

là hình chiếu vng góc của I xuống  . Chứng minh



G u1 , u2 ,..., um , SI

d 2  I ,   IJ 2 



G u1 , u2 ,..., um




Giải





Ta có m-phẳng  có phương  nhận m vectơ u1 , u2 ,..., um làm cơ sở và J
là hình chiếu vng góc của I xuống  . Xét ma trận Grram được lập từ hệ vectơ:

u , u ,..., u , SI  . Do SI  SJ  JI vì SJ  nên SJ là một tổ hợp tuyến tính
của các vecto u , u ,..., u  và | G  u , u ,..., u , SJ  | 0 và từ đẳng thức
1

2

m

1



2

1

m



2

m



G u1 , u2 ,..., um , SI  G u1, u2 ,..., um , SJ  JI












 G u1 , u2 ,..., um , SI  0  G u1 , u2 ,..., um , JI  JI 2 . G u1, u2 ,..., um
i 



(Vì JI  ui

*

Do đó ta có cơng thức

d 2  I ,   IJ 2 

Vũ Quang Huy – 09ST



G u1 , u2 ,..., um , SI



G u1 , u2 ,..., um





Trang 23