Tài liệu Bồi dưỡng HSG Đại số 10

GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: ĐẠI SỐ
I – PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x
2
– x + m = 0 có hai nghiệm dương x
1
, x
2
sao cho P =
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+ − −

đạt GTLN.
HD: P = x
1
x
2
(1 – 3x
1
x
2
). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
2. (BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x
2
– ax -
2
1
2a

=0 . Chứng minh
rằng. b
4
+ c
4
≥ 2 +
2
.
3. (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d ∈ R. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm. ax
2
+ 2bx + c = 0,
bx
2
+ 2cx + d = 0, cx
2
+ 2dx + a = 0, dx
2
+ 2ax + b = 0.
4. (BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x
2
– 2ax + b = 0, x
2
– 2bx
+ c = 0 , x
2
– 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô
nghiệm.
5. (BT_366_12/07) Giải phương trình x
2
(x

4
– 1)(x
2
+ 2) + 1 = 0.
HD: Chuyển về A
2
= 0.
6. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2
2
2
2 2 4
20 5 20 0
1 1
1
x x x
x x
x
− + −
   
+ − =
 ÷  ÷
+ −
−
   
.
HD: Đặt u =
2
1
x

x
−
+
, v =
2
1
x
x
+
−
Chuyển phương trình về dạng aA + b
.A B
+ cB = 0.
7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x
4
= 24x + 32.
HD: Chuyển về A
2
= B
2
.
8. (BT_359_5/07) Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu
phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.
9. (BT_368_2/08) Giải phương trình x
4
- 2x
3
+ 4x

2
– 3x – 4 = 0.
10. (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x
2
+ ax + 1 = 0(1), x
2
+ bx + 1 = 0 (2) , x
2
+ cx + 1 = 0 (3). Biết tích một
nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng
minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4.
HD: Áp dụng Định lí viét.
1
1
2
2
1 2
1 2
1
(4)
1
(5)
(6)
1

x a
x
x b
x
x x c
x x

+ = −



+ = −



+ = −


. Nhân (4); (5) ta có
1 2
2 1
x x
ab c
x x
+ = +
.
Từ (4),(5) ta có
2 2 2 2
1 2
2 2

1 2
1 1
2 ; 2x a x b
x x
+ = − + = −
. Nhân lại ta có
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 2 1
1
( 2)( 2) 4
x x
a b x x
x x x x
   
− − = + + + −
 ÷  ÷
   
.
11. Nghiệm của phương trình x
2
+ ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
cũng là số tự
nhiên.
12. Có thể có hay không biệt số ∆ của phương trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23.
13. Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng với x ∈Z thì ax
2
+ bx + c cũng
nguyên.
14. Tìm a ∈ Z để phương trình có nghiệm nguyên.
a) x
2
+ ax + a = 0 .
b) x
2
– (3 + 2a)x + 40 – a = 0.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 1
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
c) x
2
– (1 + 2a)x + 19 – a = 0.
d) x
2
+ (a + 1)x + a + 2 = 0.
15. Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và
1 1
x y
+
là các số nguyên.
16. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c . Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình af
2

(x) + bf(x) + c =
x vô nghiệm.
17. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008
18. Giả sử |ax
2
+ bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx
2
+ bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1.
HD: Giả sử a ≥ 0.
19. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm.
HD: ay
1
> 0 ⇒ PT: ax
2
+ bx + c = y
1
có nghiệm.
b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x có
4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)
2
> 4(b + c + 1).
20. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng.
a) |a| + |b| + |c| ≤ 3.

b) |f(x) | ≤ 7 với |x| ≤ 2.
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. |f(x) | ≤
5
4
, ∀ |x| ≤ 1.
21.
22.
II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
1. (BT_364_10/07) Giải phương trình.
3
1 1
1
2 2
x x+ + − =
.
HD: Đặt u =
3
1
2
x+
, v =
1
2
x−
. Chuyển về hệ phương trình.
2. (BT_364_10/07) Giải phương trình
4
2 2

1 1 2x x x x− − + + − =
HD: Đặt t =
4
2
1x x+ −
. Tính
4
2
1x x− −
theo t. Chuyển về phương trình ẩn t.
3. (BT_364_10/07) Giải phương trình
2 2 2
7 22 28 7 8 13 31 14 4 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = +
HD:
2 2 2
7 22 28 (2 1) 3(3 ) 3(3 )x x x x x− + = − + − ≥ −
2 2 2
7 8 13 (2 1) 3( 2) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ +
2 2 2
31 14 13 (2 1) 3(3 1) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ +
4. (BT_363_9/07) Giải phương trình
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
HD: C1: Đặt u =
1
x
x
−

, v =
5
2x
x
−
. Chuyển về HPT.
C2: Chuyển về PT tích hoặc dạng A
2
= B
2
.
5. (BT_365_11/07) Giải phương trình
2 3
2( 8) 5 8x x+ = +
.
HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b
.A B
+ cB = 0.
6. (BT_366_12/07) Giải phương trình x
2
+ 2 = 2
3
1x +
.
HD: C1: aA + b
.A B
+ cB = 0. C2: Chuyển về A
2
= 0.
7. (BT_366_12/07) Giải phương trình

4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + −
.
HD: Chuyển về A
2
+ B
2
+ C
2
= 0.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 2
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
8. (BT_366_12/07) Giải phương trình
1 1
2
2 4
x x x+ + + + =
.
HD: Đặt t =
1
4
x +
. Chuyển về phương trình ẩn t.
9. (BT_366_12/07) Giải phương trình
4 2
2008 2008x x+ + =
.
HD: Đặt y =
2
2008x +
. Chuyển về hệ phương trình.

10. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
.
HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
C2: Đặt
2 2
4 5 1, 1a x x b x x= + + = − +
. Chuyển về hệ phương trình ẩn a, b.
11. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2 2 3
2 1 6 9 6 ( 1)(9 ) 38 10 2x x x x x x x+ + − + + − = + − −
.
HD: Đặt t =
2
1 3 9x x+ + −
. Chuyển về phương trình ẩn t.
12. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 4 3 2
2 4 7 4 3 2 7x x x x x x+ + = + + − −
.
HD: Đặt u = (x + 1)
2
, v =
2
2( 1) 5x + +
. Chuyển về hệ phương trình.
13. (BT_362_8/07) Giải phương trình
3
3

3
6 6 6x x− + + =
.
HD: Đặt z =
3
6x +
, y =
3
6z +
. Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh”. Giả sử x ≥ y ≥ z.
14. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình
2
4
1 3 1 2 1m x x x+ = − − + −
có nghiệm.
HD: Đặt t =
4
1
1
x
x
−
+
. Do t =
4
2
1
1x
−
+

nên 0 ≤ t < 1. Chuyển về vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai.
15. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình
2
4
1 4 3 2 ( 3) 2 0x m x x m x− + − + + + − =
có nghiệm.
HD: Đặt t =
4
2
1
x
x
−
−
. Tìm điều kiện của t. Chuyển bài toán về theo tam thức bậc hai.
16. (BT_359_5/07) Giải phương trình
2
2 2
4 8
4
x
x x+ − = −
.
HD: Áp dụng công thức
2
| |A A=
17. (BT_359_5/07) Giải phương trình
2 2
1 1 1 1x x x x x x+ − + − + + + + =
18. (BT_368_2/08) Gải phương trình

2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
.
19. (BT_368_2/08) Giải phương trình
2
4 3 4 3 10 3x x x− = − −
.
20. (Olympic 04) Giải phương trình
1 1 1
2 1 3
x
x x
x x x
−
+ = − + −
.
HD: Đặt t =
1
1
x
−
.Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số.
PT ⇔
1 1 1
2 1 3 1
x x
x x
x x x
− −
+ = − + +

⇔
2
2 3 1.x t t x t+ = + +
⇔ t =
2( 1 1)x + +
v t =
1 1x + −
PT: t =
2( 1 1)x + +
Vô nghiệm.
PT: t =
1 1x + −
. Bình phương hai vế chuyển về
2
( 1) 0x x− + =
.
21. (Olympic 99) Giải phương trình
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x− + = − + +
.
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 3
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
22. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
3
3
2 3 3 2x x+ = −

.
HD: Đặt y =
3
3 2x −
. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
23. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2
4 2 2x x x− + = +
HD: Đặt
2x +
= y – 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
24. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2 2 2
4 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x− + = − + + − + −
.
HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá. VT ≥ 2 ≥ VP.
25. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
, x ≥ - 1.
HD: Đặt
3
2
x +

= y + 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
26. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 3
2( 3 2) 3 8x x x− + = +
.
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
27. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2
15
(30 4 ) 2004( 30060 1 1)
2
x x x− = + +
HD: Đặt y =
15
( 30060 1 1)
2
x + +
. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II.
28. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
.
HD: Chuyển vế bình phương hai vế. Chuyển về phương trình đẳng cấp.
29. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
3 2
1 1 1
2( 1) 4(1 ) 4 6 0
x x x
m m m
x

x x x
+ + +
+ − + − + − =
.
HD: Đặt t =
1
x
x
+
; t ≥ 2. Chuyển về tam thức bậc hai.
30. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 3 3 2
4
4 4 4
(1 ) (1 ) 1 (1 )x x x x x x x x+ − + − = − + + −
.
HD: Đặt ẩn phụ u =
4
x
, v =
4
1 x−
. Chuyển về phương trình tích.
31. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2 2
19 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = +
.
HD: Phân tích trong các căn (2x – 1)
2
. Áp dụng BĐT

2 2
| |A B A+ ≥
.
32. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2
8 816 10 267 2003x x x x− + + + + =
.
HD: Phương pháp BĐT
| | | | | |a b a b+ ≤ +
r r r r
. Xét
(4 ;20 2), (5 ;11 2)a x b x− +
r r
33. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2 2
1 1x x x m x− = + + −
.
HD: Đặt ẩn phụ
2
1t x x= + −
, - 1 ≤ t ≤
2
.
34. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2
2 15 32 32 20x x x+ = + −
HD: Đặt ẩn phụ
2 15 4 2x y+ = +
. Chuyển về HPT đối xứng loại II.
35. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

2
2 4 8 2x x x x m+ + − − + − =
.
HD: Đặt ẩn phụ
2 4t x x= + + −
,
6
≤ t ≤
2 3
.
2 3 3m = −
36. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + − − − =
.
HD: Xét
1 3 1 3
( ; ), ( ; ), ( ;0)
2 2 2 2
A B M x−
. Ta có AB = 1 và PT ⇔ |AM – BM| < AB = 1
37. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2
( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +
.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 4
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
HD: Đặt t =
2
2 3x x− +

. Tính x
2
, Chuyển về phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
38. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2
1
1 1 2
2
x x x− − = −
.
HD: Chuyển về phương trình chứa gt tuyệt đối ở VT, phân tích thành nhân tử ở VP.
39. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2 2
4
( )( 3 2007) 2005 4 4 30 1 2006x x x x x x x x− + + − − = + − +
.
HD: PT ⇔
2 2 2 2
4
( 1) 2005( 1 ) 30 1 0x x x x x x+ − + + − + + − =
.
40. (Olympic 04_11) Giải phương trình
2
3
1
1
x
x
x
+ =

+
HD: Chuyển vế. Bình phương. Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4
41. (Olympic 06) Giải phương trình
1 3
1 0
4 2
x
x x
+
− =
+ +
.
HD: Quy đồng. Nhân liên hợp
42. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
3 2 4 4 4x x x x m− − − + − − =
.
43. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
4 4 4x x x x m+ − + + − =
.
44.
III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_359_5/07) Giải bất phương trình
2 2
2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − −
.
2. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
9 16 2 2 4 4 2x x x+ ≥ + + −
.
HD: Bình phương hai vế. Đặt t =

2
8 32x− +
. Chuyển về bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
3. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2 2 2
(1 3) 2 (1 3) 2 3 2 2 2x x x x x x+ − + + + + + ≤ − − +
.
HD: Nhân hai vế với
2
. Phân tích
2 2 2 2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) 6x x x x x x− + + + + − + + + + ≤
Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1;
3
), C(- 1; -
3
). Ta có BPT ⇔ MA + MB + MC ≤ 6
và ∆ ABC đều.Dùng phép quay
0
60
B
Q
−
. MA + MB + MC = AM + MM
1
+ M
1
C ≥ AC
1
= 6.

BPT ⇔ M ≡ O.
4. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
35
12
1
x
x
x
+ >
−
.
HD: Đặt x =
1
a
, Đặt t = a +
2
1 a−
.
5.
IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
( 1)( 1) 8 0
1
4
1 1
x y xy
x y

x y

+ + + =


+ = −

+ +

.
HD: Đặt u = x +
1
x
, v = y +
1
y
.
2. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
3
4 2
2
2 3
x y
x y
x y

− = −




= +

HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2).
TH1: x = 2 v x =
1 13− ±
. TH2: C/m PT vô nghiệm.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 5