Bài giảng Đề và đáp án HSG Tỉnh 2009

Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9
Năm học 2008 -2009
Môn thi :Toán Bảng A
Thời gian :150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (4,5 điểm ).
a) Cho A= k
4
+2k
3
-16k
2
-2k +15 với k

Z .Tìm điều kiện của k để A chia hết cho16
b) Cho 2 số tự nhiên a và b . Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm đợc số
nguyên c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
là số chính phơng .
Câu 2 ( 5,5 điểm ).
a) Giải phơng trình :x
2
x - 2
1 16x+
= 2
b) Cho x ,y thoả mãn :
3 2
2 2 2

2 4 3 0
2 0
x y y
x x y y

+ + =


+ =


Tính Q = x
2
+ y
2
.
Câu 3 (3,0 điểm ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1 1 1 1 1
(3 )(3 )(3 )P
a b b c a c
= + + + + + +
Trong đó các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện :
3
2
a b c+ +
Câu 4 (5,5 điểm)
Cho đờng tròn (O;R), hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là một điểm trên cung
nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.
a) Chứng minh rằng :

. 2 .AM ED OM EA=
.
b) Xác định vị trí điểm E để tổng
OM ON
AM DN
+
đạt GTNN.
Câu 5 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC, lấy điểm C
1
thuộc cạnh AB, A
1
thuộc cạnh BC, B
1
thuộc cạnh CA. Biết rằng
độ dài các đoạn thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
không lớn hơn 1.
Chứng minh rằng :
1
3
ABC
S
(S
ABC
là diện tích tam giác ABC).

Trang 1/4
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng A
----------------------------------------------
CâuNội dungĐiểm14,5a/
2,5Cho A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 với k Z
Vì k Z ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn A = k
4
+ 2k
3
- 16k
2
- 2k +15 là một số lẻ
A không chia hết cho 2
A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0
TH2: k lẻ, ta có:
A = k
4
+ 2k
3
- 16k

2
- 2k +15 = (k
2
- 1)(k
2
+ 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
M
2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0
0,5b/Do tích a.b chẵn nên ta xét các trờng hợp sau:
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009
Trang 2/4
2,0TH1: Trong 2 số a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ.
Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ
a
2

M
4; b
2
chia cho 4 d 1 a
2
+ b
2
chia cho 4 d 1

a
2
+ b
2
= 4m + 1 (m N)
Chọn c = 2m a
2
+ b
2
+ c
2
= 4m
2
+ 4m + 1 = (2m + 1)
2
(thoả mãn) (1)1,0TH2: Cả 2 số
a, b cùng chẵn.
a
2
+ b
2

M
4 a
2
+ b
2
= 4n (n N)
Chọn c = n - 1 a
2

+ b
2
+ c
2
= n
2
+ 2n + 1 = (n + 1)
2
(thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ta luôn tìm c Z thoả mãn bài toán.1,025,5
3,0/Giải phơng trình x
2
- x -
2 1 16x 2+ =
. ĐKXĐ:
1
x
16

Khi đó phơng trình x
2
- x =
2( 1 16x 1)+ +
Đặt:
1 16x 1 2y+ + =
(
1
y
2

)
1 + 16x = 4y
2
-4y + 1 4y
2
- 4y = 16x y
2
- y = 4x (*)

2
2
y y 4x
(x y)(x y 3) 0
x x 4y

=

+ + =

=


x y
1 1
x y 3 0 (loại vì x - và y )
16 2
=

+ + =

Với x = y thay vào (*) x
2
- x = 4x
x
2
- 5x = 0 x(x - 5) = 0

=


=

x 5 (thoả mãn)
x 0 (loại)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5
0,25
Trang 3/4
2,25
0,5
b/
2,5Cho x, y tho¶ m·n:

+ − + =


+ − =



3 2
2 2 2
x 2y 4y 3 0 (1)
x x y 2xy 0 (2)
Tõ (1) ⇒ x
3
= -2y
2
+ 4y -3 ⇔ x
3
= -2(y
2
- 2y + 1) - 1
⇔ x
3
= -2(y - 1)
2
- 1 ≤ -1 víi ∀ y ⇒ x
3
≤ -1 ⇔ x ≤ -1 (*)
Tõ (2) ⇒ x
2
(y
2
+ 1) = 2y ⇔ x
2
=
≤
+

2
2y
1
y 1
víi ∀ y
⇒ x
2
≤ 1 ⇔ | x | ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 (**)
Tõ (*) vµ (**) ⇒ x = -1 thay vµo (2) ta ®îc:
y
2
- 2y + 1 = 0 ⇔ (y - 1)
2
= 0 ⇔ y = 1
⇒ (x; y) = (-1; 1) (tho¶ m·n)
⇒ Q = x
2
+ y
2
= (-1)
2
+ 1
2
= 2
1,0
1,0
Trang 4/4
0,533,0§Æt
+ =
1 1

x
a b
;
+ =
1 1
y
b c
;
+ =
1 1
z
c a
⇒ (x, y, z > 0)
⇒ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z)
= 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz
≥
2
3
3
27 9 (xyz) 27 xyz xyz+ + +
(*)
L¹i cã:
1 1 1 1 1 1 8
xyz
a b b c c a abc
   
= + + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
(v× a, b, c > 0)

mµ
3 3
3 1
a b c 3 abc abc
2 2
≥ + + ≥ ⇒ ≥
⇒
≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥
1 8 8
abc 64 xyz 64
8 abc abc
Thay vµo (*) ta ®îc:
23
3
P 27 9 64 27 64 64≥ + + +
= 27 + 144 + 108 + 64 = 343
DÊu = cã khi a = b = c =
1
2
⇒ P
min
= 343 Khi a = b = c =
1
2

1,5
0,75
0,5
0,25
45,5a/

Trang 5/4
N
M
D
C
O
B
A
E
1
1