Cac cong thuc luong giac co ban

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>
<b>A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT</b>

<b>1. Cung liên kết</b>

a) Cung đối:

cos

_



<i>x</i>

_



cos ; sin

<i>x</i>

_



<i>x</i>

_



sin ;

<i>x</i>

b) Cung bù:

cos







<i>x</i>





cos ; sin

<i>x</i>







<i>x</i>





sin ;

<i>x</i>

c) Cung phụ:

cos

sin ; sin

cos ; tan(

) cot ; cot

tan

2

<i>x</i>

<i>x</i>

2

<i>x</i>

<i>x</i>

2

<i>x</i>

<i>x</i>

2

<i>x</i>

<i>x</i>





























































d) Cung hơn kém



:

cos







<i>x</i>





cos ; sin

<i>x</i>







<i>x</i>





sin ;

<i>x</i>

e) Cung hơn kém

2



:

cos

sin ; sin

cos ;

2

<i>x</i>

<i>x</i>

2

<i>x</i>

<i>x</i>





































<b>2. Công thức lượng giác</b>

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi





cos

cos cos

sin sin

sin(

) sin cos

cos sin

tan

tan

tan(

)

1 tan tan

cot a cot

1

cot(

)

cot a cot

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>b</i>





























2 2
2
2
2

sin 2

2sin .cos

cos2

cos

sin

2cos

1

1 2sin

2 tan

tan 2

1 tan

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>











 





c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3

3

sin 3

3sin

4sin

cos3

4cos

3cos

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>









2 2

3 3

1 cos 2

1 cos 2

sin

; cos

2

2

3sin

sin3

3cos

cos3

sin

; cos

4

4

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

















e) Cơng thức tích thành tổng f) Cơng thức tổng thành tích













1

cos cos

cos(

) cos(

)

2

1

sin sin

cos(

) cos(

)

2

1

sin cos

sin(

) sin(

)

2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>



























cos

cos

2cos

cos

2

2

cos

cos

2sin

sin

2

2

sin

sin

2sin

cos

2

2

sin

sin

2cos

sin

2

2

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

































3. Hằng đẳng thức thường dùng





2 2 4 4 2 6 6 2

2

2 2

2 2

1

3

sin

cos

1 sin

cos

1

sin 2a sin

cos

1

sin 2

2

4

1

1

1 tan

1+cot

1 sin 2

sin

cos

cos

sin

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>







 



 













4. Phương trình lượng giác cơ bản

khi

1

2

sin ( )

( ) arcsin

2

; sin

sin

2

khi

1

( )

arcsin

2

<i>VN</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>f x</i>

<i>m</i>

<i>f x</i>

<i>m k</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>m</i>

<i>f x</i>

<i>m k</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

khi

1

2

cos ( )

_{( ) arccos}

₂

; cos

cos

2

khi

1

( )

arccos

2

<i>VN</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>f x</i>

<i>m</i>

<i>_{f x}</i>

<i>_{m k}</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>m</i>

<i>f x</i>

<i>m k</i>



















 









_

_

_





  



_



_

_





tan ( )

<i>f x</i>



<i>m</i>



<i>f x</i>

( ) arctan



<i>m k</i>





; tan

<i>x</i>



tan





<i>x</i>

 



<i>k</i>



cot ( )

<i>f x</i>



<i>m</i>



<i>f x</i>

( ) arccot



<i>m k</i>





; cot

<i>x</i>



cot





<i>x</i>

 



<i>k</i>



5. Phương trình thường gặp
a. Phương trình bậc 2

2 2 2

2 2 2

2

2

.sin

( )

.cos ( )

0

sin

( ) 1 cos

( )

.cos

( )

.sin ( )

0

( ) 1 sin

( )

cos 2 ( )

cos ( )

0

cos2 ( ) 2cos

( ) 1

cos 2 ( )

sin ( )

0

cos 2 ( ) 1 2sin

( )

.t

<i>a</i>

<i>f x</i>

<i>b</i>

<i>f x</i>

<i>c</i>

<i>Thay</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>a</i>

<i>f x</i>

<i>b</i>

<i>f x</i>

<i>c</i>

<i>Thay</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>a</i>

<i>f x</i>

<i>b</i>

<i>f x</i>

<i>c</i>

<i>Thay</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>a</i>

<i>f x</i>

<i>b</i>

<i>f x</i>

<i>c</i>

<i>Thay</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>a</i>



  

 



  

 



  







  

 

cos

1

an ( )

cot ( )

0

cot ( )

tan ( )

<i>f x</i>

<i>b</i>

<i>f x</i>

<i>c</i>

<i>Thay</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>



 





b. Phương trình dạng

<i>a</i>

sin ( )

<i>f x</i>



<i>b</i>

cos ( )

<i>f x</i>



<i>c</i>

 Điều kiện có nghiệm:

<i>a</i>

2

_

<i>b</i>

2

_

<i>c</i>

2

 Chia 2 vế cho

<i>_a</i>

2

_

<i>_b</i>

2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp

 Dạng

<i>a</i>

.sin

2

<i>x b</i>

_

.sin cos

<i>x</i>

<i>x c</i>

_

.cos

2

<i>x d</i>

_

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay khơng.

 Xét cosx



0, chia 2 vế cho cos2x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

 Dạng

<i>a</i>

.sin

3

<i>x b</i>

_

.sin

2

<i>x</i>

cos

<i>x c</i>

_

.sin .cos

<i>x</i>

2

<i>x d</i>

_

.cos

3

<i>x</i>

_

0

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay khơng.

 Xét cosx



0, chia 2 vế cho cos3x để được phương trình bậc 3 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

d. Phương trình đối xứng loại 1:

<i>a</i>

(sin

<i>x</i>



cos )

<i>x</i>



<i>b</i>

.sin cos

<i>x</i>

<i>x c</i>



 Đặt t = sinx



cosx, điều kiện

<i>t</i>



2

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.
e. Phương trình đối xứng loại 2 :

<i>a</i>



tan

<i>n</i>

<i>x</i>



cot )

<i>n</i>

<i>x</i>



<i>b</i>

(tan

<i>x</i>



cot

<i>x</i>





0



Đặt t = tanx - cotx thì t



R ; Đặt t = tanx + cotx thì

<i>t</i>



2

.
 Chuyển về phương trình theo ẩn t.

f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản
 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.
 Phương pháp đặt ẩn phụ.

 Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.
<b>B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP</b>

<b>Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.</b>
<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

cos

sin 2

0

3

<i>x</i>



<i>x</i>



















<b>2. </b>

cos

<i>x</i>

3

cos

<i>x</i>

3

1





































<b>3. </b>

tan 2 .tan

<i>x</i>

<i>x</i>



1

<b>4. </b>

_sin

2

<i>_x</i>

_{sin .tan}

2

<i>_x</i>

2

<i>_x</i>

₃





<b>5. </b>

5cos

2

<i>x</i>



sin

2

<i>x</i>



4

<b>3. </b>

3sin

cos

1

cos

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>7. </b>

_{cos 2}

4

<i>_x</i>

_{sin 3}

<i>_x</i>

_{sin 2}

4

<i>_x</i>





<b>8. </b>

tan

1 tan

4

<i>x</i>



<i>x</i>







 









<b>9. </b>

3

1

3

sin

cos

cos sin

4

<i>x</i>

<i>x</i>

 

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>10. </b>

_sin

4

<i>_x</i>

_cos

4

<i>_x</i>

_{cos 4}

<i>_x</i>





<b>11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) </b> <b>12. sin + cos = </b>
<b>13. </b>

_{sin 5}

2

<i>_x</i>

_{cos 3}

2

<i>_x</i>

₁





<b>14. </b>

cos cos2 cos4

2

16

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





<b>15. </b>

sin





sin

<i>x</i>





1

<b>16. </b>

2 2

cos

sin

1 sin

1 cos

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>x</i>





<b>17. </b>

1

1

2

cos

<i>x</i>



sin 2

<i>x</i>



sin 4

<i>x</i>

<b>18. </b>

3 2

4sin 2

<i>x</i>



6sin

<i>x</i>



3

<b>Bài 2 : Cho phương trình </b>

tan





cos

<i>x</i>





cot





sin

<i>x</i>



<b>1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.</b>

<b>2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn </b>





3 ;

 



<b> của phương trình.</b>
<b>Bài 3 : Cho phương trình sin6_{x + cos}6_{x = m.}</b>

<b>1. Xác định m để phương trình có nghiệm.</b>

2.

<b>Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng </b>



0;





<b>Bài 4: Giải và biện luận phương trình </b>

_

2

<i>m</i>



1 cos2

_

<i>x</i>



2 sin

<i>m</i>

2

<i>x</i>



3

<i>m</i>



2 0



<b>Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.</b>
<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

2cos

2

5sin

4 0

3

3

<i>x</i>



<i>x</i>





































<b>2. </b>

5

cos2

4cos

0

2

<i>x</i>



<i>x</i>





<b>3. </b>

_sin

4

<i>_x</i>

_cos

4

<i>_x</i>

_{cos 2}

<i>_x</i>





<b>4. </b>

cos

4

sin

4

sin 2

1

2

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<b>5. </b>

2 2 cos 3

2

<i>x</i>





2



2 cos3



<i>x</i>

 

1 0

<b>6. </b>

cos

4

sin

4

2sin

1

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







<b>7. </b>

4 sin



6

cos

6



cos

2

0

2

<i>x</i>



<i>x</i>





_





<i>x</i>



_







<b>8. </b>

2 tan

<i>x</i>



3cot

<i>x</i>



4

<b>9. </b>

cos

4

sin

2

1

4

<i>x</i>



<i>x</i>



<b>10. </b>

2 2

6 6

cos

sin

4cot 2

sin

cos

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







<b>11. </b>

2tan

cot

2sin 2

1

sin 2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







<b>12. </b>

sin

8

cos

8

17

cos 2

2

16

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

<b>13. </b>

4cos

<i>x</i>



cos 4

<i>x</i>

 

1 2cos 2

<i>x</i>

<b>14. </b>

_4sin

5

<i>_x</i>

_cos

<i>_x</i>

_{4cos sin}

5

<i>_x</i>

<i>_x</i>

_{cos 4}

2

<i>_x</i>

₁







<b>15. </b>

_{cos 4}

<i>_x</i>

_{cos 3}

2

<i>_x</i>

_cos

2

<i>_x</i>

₁







<b>16. </b>

sin 3

<i>x</i>



cos 2

<i>x</i>

 

1 2sin cos 2

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>Bài 2 : Cho phương trình </b>

sin 3

<i>x m</i>



cos 2

<i>x</i>



(

<i>m</i>



1)sin

<i>x m</i>





0

<b>1. Giải phương trình khi m = 2.</b>

2.

<b>Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng </b>



0;2





<b>Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.</b>
<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

_3sin

<i>_x</i>

_

_cos

<i>_x</i>

_

_{2 0}

_

<b>2. </b>

_3sin

<i>_x</i>

_{1 4sin}

3

<i>_x</i>

_{3 cos3}

<i>_x</i>







<b>3. </b>

sin

4

cos

4

1

4

<i>x</i>





_

<i>x</i>







_







<b>4. </b>





4 4

2 cos

<i>x</i>



sin

<i>x</i>



3 sin 4

<i>x</i>



2

<b>5. </b>

_{2sin 2}

<i>_x</i>

_

_{2 sin 4}

<i>_x</i>

_

₀

<b>6. </b>

3sin 2

<i>x</i>



2cos 2

<i>x</i>



3

<b>7. </b>

3cos

2 3sin

9

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>9. </b>

_{sin cos}

<i>_x</i>

<i>_x</i>

_sin

2

<i>_x</i>

_{cos 2}

<i>_x</i>





<b>10. </b>

tan

<i>x</i>



3cot

<i>x</i>



4 sin



<i>x</i>



3 cos

<i>x</i>



<b>11. </b>

_{2sin 3}

<i>_x</i>

_

_{3 cos7}

<i>_x</i>

_

_{sin 7}

<i>_x</i>

_

₀

<b>12. </b>

cos5

<i>x</i>



sin3

<i>x</i>



3 cos3

_

<i>x</i>



sin 5

<i>x</i>

_

<b>13. </b>

_

2sin

<i>x</i>



cos

<i>x</i>

_{ }

1 cos



<i>x</i>

_



sin

2

<i>x</i>

<b>14. </b>

1 cos



<i>x</i>



sin 3

<i>x</i>



cos3

<i>x</i>



sin 2

<i>x</i>



sin

<i>x</i>

<b>15. </b>

_3sin

<i>_x</i>

_{1 4sin}

3

<i>_x</i>

_{3 cos3}

<i>_x</i>







<b>16. </b>

3sin

cos

2cos

2

3

<i>x</i>



<i>x</i>





_

<i>x</i>







_







<b>Bài 2 : Cho phương trình </b>

3 sin

<i>m</i>

<i>x</i>



_

2

<i>m</i>



1 cos

_

<i>x</i>



3

<i>m</i>



1

<b>1. Giải phương trình khi m = 1.</b>

<b>2. Xác định m để phương trình có nghiệm.</b>

<b>Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số</b>

<b>1. </b>

cos

sin

1

sin

2cos

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











<b>2. </b>

cos3

sin3

1

cos3

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>









<b>3. </b>

1 3sin

2cos

2 sin

cos

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











<b>4. </b>

2

sin cos

cos

sin cos

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







<b>Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp</b>
<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

_2sin

2

<i>_x</i>

_{sin cos}

<i>_x</i>

<i>_x</i>

_3cos

2

<i>_x</i>

₀







<b>2. </b>

2sin 2

<i>x</i>



3cos

2

<i>x</i>



5sin cos

<i>x</i>

<i>x</i>



2 0



<b>3. </b>

sin

2

<i>x</i>



sin 2

<i>x</i>



2cos

2

<i>x</i>



0,5

<b>4. </b>

_{sin 2}

<i>_x</i>

_2sin

2

<i>_x</i>

_{2cos 2}

<i>_x</i>





<b>5. 2sin</b>2_{x + 3sinx.cosx - 3cos}2_{x = 1} <b>_6.</b>₄ 2 1 ₃ 2 ₃

2 2 2

os <i>x</i> sin sin <i>x</i>

<i>c</i>  <i>x</i> 

<b>7. </b>3sin2<i>x</i>4sin 2<i>x</i>



8 3 9 cos



2<i>x</i>0 <b>8. </b>

_2cos

3

<i>_x</i>

_3cos

<i>_x</i>

_8sin

3

<i>_x</i>

₀







<b>9. </b>

3 cos

3

5sin

3

7sin

8

cos

0

3

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<b>10. </b>

6sin

2cos

3

5sin 4 cos

2cos 2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





<b>11. </b>

sin

2

2 sin

4

<i>x</i>



<i>x</i>

















<b>12. </b>

3 2 cos

<i>x</i>



sin

<i>x</i>



cos3

<i>x</i>



3 2 sin sin 2

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>13. </b>

_3sin

2

<i>_x</i>

_{2sin 2}

<i>_x</i>

_cos

2

<i>_x</i>

₀







<b>14. </b>

12 sin

3





<i>x</i>





₄







2 sin

<i>x</i>





<b>Bài 2 : Cho phương trình </b>

<i>m</i>

sin

2

<i>x</i>



_

<i>m</i>



3 sin 2

_

<i>x</i>



_

<i>m</i>



2 cos

_

2

<i>x</i>



0

<b>1.</b> <b>Xác định m để phương trình có nghiệm.</b>

<b>2.</b> <b>Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng </b>

0,

4















<b>.</b>

<b>Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 1</b>
<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

2 sin

_

<i>x</i>



cos

<i>x</i>

_



sin 2

<i>x</i>

 

1 0

<b>2. </b>

sin cos

<i>x</i>

<i>x</i>



6 sin

_

<i>x</i>



cos

<i>x</i>



1

_

<b>3. </b>

sin 2

2 sin

1

4

<i>x</i>





_

<i>x</i>







_







<b>4. </b>

tan

<i>x</i>



2 2 sin

<i>x</i>



1

<b>5. </b>

_sin

3

<i>_x</i>

_cos

3

<i>_x</i>

₁





<b>6. </b>



1 sin <i>x</i>

 

1 cos <i>x</i>



2

<b>7. </b>2sin tan cot

4

 

  

 

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>

<i>p</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>11. </b>

sin

3

<i>x</i>



cos

3

<i>x</i>



2 sin

_

<i>x</i>



cos

<i>x</i>

_



3sin 2

<i>x</i>



0

<b>12. </b>

_

sin

<i>x</i>



cos

<i>x</i>

_

3

 

1 sin cos

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>13. </b>

sin

cos

2 tan

cot

1

1

0

sin

cos

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



 









<b>14. </b>



1 sin 2



<i>x</i>

 

sin

<i>x</i>



cos

<i>x</i>





cos2

<i>x</i>

<b>Bài 2 : Cho phương trình </b>

_cos

3

<i>_x</i>

_sin

3

<i>_{x m}</i>





<b>. Xác định m để phương trình có nghiệm.</b>
<b>Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 2</b>

<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

3 tan



<i>x</i>



cot

<i>x</i>





2 tan



2

<i>x</i>



cot

2

<i>x</i>





2 0



<b>2. </b>

_tan

7

<i>_x</i>

_cot

7

<i>_x</i>

_tan

<i>_x</i>

_cot

<i>_x</i>







<b>3. </b>

_tan

<i>_x</i>

_tan

2

<i>_x</i>

_tan

3

<i>_x</i>

_cot

<i>_x</i>

_cot

2

<i>_x</i>

_cot

3

<i>_x</i>

₆













<b>4. </b>

9 tan



<i>x</i>



cot

<i>x</i>



4



48 tan



2

<i>x</i>



cot

2

<i>x</i>





96

<b>5. </b>

3 tan

_

<i>x</i>



cot

<i>x</i>

_



tan

2

<i>x</i>



cot

2

<i>x</i>



6

<b>6. </b>_{3 tan}



_cot



4 _{8 tan}



2 _cot2



₂₁

   

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 2 : Cho phương trình </b>

tan

2

<i>x</i>



cot

2

<i>x</i>



2

_

<i>m</i>



2 tan

_{ }

<i>x</i>



cot

<i>x</i>

_

 

<i>m m</i>

2<b>. Xác định m để phương trình </b>
<b>có nghiệm.</b>

<b>Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản</b>
<b>Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

sin

3

cos

sin cos

3

3

8

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>x</i>

<i>x</i>



<b>2. </b>

cos

2

<i>x</i>



cos 2

2

<i>x</i>



cos 3

2

<i>x</i>



cos 4

2

<i>x</i>



2

<b>3. </b>

sin

3

<i>x</i>



cos

3

<i>x</i>



2 in



<i>s</i>

5

<i>x</i>



cos

5

<i>x</i>



<b>4. </b>

sin

8

cos

8

2 sin



10

cos

10



5

cos2

4

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

<b>5. </b>

sin cot 5

1

cot

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



<b>6. </b>6 tan<i>x</i>5cot 3<i>x</i>tan 2<i>x</i>

<b>Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0</b>

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 _{x+2cosx-2+sin}2 _x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3

2 sin2x+ 2cos

2_x+ ₆_cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3₃ <i>x</i> sin 5₅ <i>x</i>

9/ 2cos2x-8cosx+7= 1

cos<i>x</i> 10/ cos

8_x+sin8_x=2(cos10_x+sin10_x)+5

4cos2x

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
13/ sin2 _{x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3} _{14/ 2sin3x-} 1

sin<i>x</i>=2cos3x+

1

cos<i>x</i>

15/cos3_x+cos2_x+2sinx-2=0 _{16/cos2x-2cos}3_x+sinx=0

17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos<i>x</i>)=0 18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x

<b>Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích</b>
<b>Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

1. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2. sin2x + sin22x = sin23x + sin24x
<b>3.</b> sin2_{x + sin}2_{2x + sin}2_{3x + sin}2_{4x = 2} _4._cos2 _{cos 2}2 _{cos 3}2 3

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5. sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x 6.

sin

sin

1

3

<i>x</i>

3

<i>x</i>

2



































7.

1

sin cos

4 <i>x</i> 12 <i>x</i> 2

 

   

  

   

    8. cosx. cos4x - cos5x=0

9. sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10. 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x

<b>Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

1/ sin2 _x+sin2_3x=cos2_2x+cos2_4x _{2/ cos}2_x+cos2_2x+cos2_3x+cos2_4x=3/2

3/sin2_{x+ sin}2_{3x-3 cos}2_2x=0 _{4/ cos3x+ sin7x=2sin}2₍ 5

4 2

<i>x</i>



 )-2cos29
2

<i>x</i>

5/ sin2₄_{x+ sin}2_{3x= cos}2_{2x+ cos}2_x _6/sin2_4x-cos2_6x=sin(_10,5_ _₁₀<i>_x</i>₎

7/ cos4_x-5sin4_x=1 _8/4sin3_x-1=3- ₃_cos3x

9/ sin2_{2x+ sin}2_{4x= sin}2_6x _{10/ sin}2_{x= cos}2_{2x+ cos}2_3x

11/ 4sin3_xcos3x+4cos3_{x sin3x+3} ₃_cos4x=3 _{12/ 2cos}2_{2x+ cos2x=4 sin}2_2xcos2_x

<b>Dạng 8 : Đặt ẩn phụ</b>
<b>Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

tan 2

<i>x</i>



2 tan

<i>x</i>



sin 2

<i>x</i>



0

<b>2. </b>

_cos

<i>_x</i>

_{2 cos}

2

<i>_x</i>

_cos

<i>_x</i>

_{2 cos}

2

<i>_x</i>

₃











<b>3. </b>

3sin

cos

5

3

3sin

cos

3

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











<b>4. </b>

2

cos

<i>x</i>



2 2 cos



<i>x</i>



2

<b>Dạng 9 : Phương pháp đối lập</b>

<b>Giải các phương trình lượng giác sau :</b>
<b>1. </b>

_sin

3

<i>_x</i>

_cos

4

<i>_x</i>

₁





<b>2. </b>

sin

2010

<i>x</i>



cos

2010

<i>x</i>



1

<b> 3. </b>

_3cos

2

<i>_x</i>

_{1 sin 7}

2

<i>_x</i>

 

<b>4. </b>

sin3 .cos4

<i>x</i>

<i>x</i>



1

<b>5. </b>

_sin

3

<i>_x</i>

_cos

3

<i>_x</i>

_{2 sin 2}

2

<i>_x</i>



 

<b>6. </b>

cos2 .cos5

<i>x</i>

<i>x</i>



1

<b>Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương</b>
<b>Giải các phương trình lượng giác sau :</b>

<b>1. </b>

cos 2

<i>x</i>



cos6

<i>x</i>



4 3sin



<i>x</i>



4sin

3

<i>x</i>



1





0

<b>2. </b>

_{3sin 2}

<i>_x</i>

_2sin

2

<i>_x</i>

_4cos

<i>_x</i>

_{6 0}





 

<b> 3. </b>

_{2sin 2}

<i>_x</i>

_

_cos2

<i>_x</i>

_

_{2 2 sin}

<i>_x</i>

_

_{4 0}

_

<b>4. </b>

_cos2

<i>_x</i>

_3sin2

<i>_x</i>

_4sin

2

<i>_x</i>

_2sin

<i>_x</i>

_{4 2 3cos}

<i>_x</i>







 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 1 </b> 2 2

cos <i>x</i> 3 sin 2<i>x</i> 1 sin <i>x</i>

<b>Bài 2 </b>_cos3<i>_x</i> _4sin3<i>_x</i> _{3cos .sin}<i>_x</i> 2<i>_x</i> _sin<i>_x</i> ₀

   

<b>Bài 3 Giải phương trình: </b>sin 2<i>x</i>2 tan<i>x</i>3

3

sin .sin 2<i>x</i> <i>x</i>sin 3<i>x</i>6 cos <i>x</i>

<b>Bài 4 </b>_cot ₁ cos 2 _sin2 1_{sin 2}

1 tan 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

   



<b>Bài 5 </b>sin 3<i>x</i>cos3<i>x</i>2cos<i>x</i>0

<b>Bài 6 </b>_sin<i>_x</i> _4sin3<i>_x</i> _cos<i>_x</i> ₀

  

<b>Bài 7</b>_{tan .sin}<i>_x</i> 2<i>_x</i> _2sin2<i>_x</i> _{3(cos 2}<i>_x</i> _{sin cos )}<i>_x</i> <i>_x</i>

  

<b>Bài 8 </b>cos 3<i>x</i> 4cos 2<i>x</i>3cos<i>x</i> 4 0

<b>Bài 9 </b>(2 cos<i>x</i>1)(2sin<i>x</i>cos ) sin 2<i>x</i>  <i>x</i> sin<i>x</i>

<b>Bài 10 </b>cos<i>x</i>cos 2<i>x</i>cos3<i>x</i>cos 4<i>x</i>0

<b>Bài 11 </b>_sin2 <i>_x</i> _{sin 3}2 <i>_x</i> _{cos 2}2 <i>_x</i> _{cos 4}2 <i>_x</i>

  

<b>Bài 12 </b>_sin3<i>_x</i>_cos3<i>_x</i> _cos3<i>_x</i>_{sin 3}<i>_x</i> _{sin 4}3 <i>_x</i>

 

<b>Bài 13 </b>_4sin3<i>_x</i> _3cos3<i>_x</i> _3sin<i>_x</i> _sin2 <i>_x</i>_cos<i>_x</i> ₀

   

<b>Bài 14 Giải phương trình:</b>

2

(2sin<i>x</i>1)(3cos 4<i>x</i>2sin<i>x</i> 4) 4cos <i>x</i>3

<b>Bài 15 </b>_sin6<i>_x</i> _cos6<i>_x</i> _2(sin8<i>_x</i> _{cos )}8<i>_x</i>

  

<b>Bài 16 </b>cos .cos 2 .cos 4 .cos8 1
16

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 17 </b>8cos3 cos3
3

<i>x</i>  <i>x</i>

 

 

 

 

<b>Bài 18 Giải phương trình:</b>

2

(2sin<i>x</i>1)(2sin 2<i>x</i>1) 3 4cos  <i>x</i>

<b>Bài 19 Giải phương trình: </b>cos 2<i>x</i> cos8<i>x</i>cos 6<i>x</i>1

<b>Bài 20 Giải phương trình:</b>

sin 4<i>x</i> 4sin<i>x</i>4cos<i>x</i> cos 4<i>x</i>1

<b>Bài 21 Giải phương trình: </b>3sin<i>x</i>2cos<i>x</i> 2 3tan<i>x</i>

<b>Bài 22 Giải phương trình: </b> 3

2cos <i>x</i>cos 2<i>x</i>sin<i>x</i>0

<b>Bài 23 Giải phương trình:</b>

2(tan<i>x</i> sin ) 3(cot<i>x</i>  <i>x</i> cos ) 5 0<i>x</i>  

<b>Bài 24 Giải phương trình:</b>

4 cos<i>x</i> 2 cos 2<i>x</i> cos 4<i>x</i>1

<b>Bài 25 Giải phương trình:</b>
sin sin 2 sin 3

3
cos cos 2 cos3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



 

<b>Bài 26 Giải phương trình:</b>

sin .sin 4 2cos 3 cos .sin 4
6

<i>x</i> <i>x</i> _  <i>x</i>_ <i>x</i> <i>x</i>

 

<b>Bài 27 Giải phương trình:</b>

2 2

1 sin sin cos sin 2 os

2 2 4 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>c</i>  

   _  _

 

<b>Bài 28 Giải phương trình:</b>

2 cos 2<i>x</i> sin 2<i>x</i>2(sin<i>x</i>cos )<i>x</i>

<b>Bài 29 Giải phương trình: </b>cos cos 2 cos3 1
2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 30 Giải phương trình: </b>sin3 2 sin
4

<i>x</i>  <i>x</i>

 

 

 

 

<b>Bài 31 Giải phương trình:</b>

1 sin <i>x</i>cos<i>x</i>sin 2<i>x</i>cos 2<i>x</i>0

<b>Bài 32 Giải phương trình:</b>

2 3 2 3

tan<i>x</i>tan <i>x</i>tan <i>x cotx cot x cot x</i>   6

<b>Bài 33 Giải phương trình: </b>1 sin 3 <i>x</i>sin<i>x</i>cos 2<i>x</i>

<b>Bài 34 Giải phương trình:</b>

4 4 7

sin cos cot .cot

8 3 6

<i>x</i> <i>x</i> _<i>x</i> _ _  <i>x</i>_

   

<b>Bài 35 Giải phương trình:</b>

2 3

cos 2<i>x</i>2(sin<i>x</i>cos )<i>x</i>  3sin 2<i>x</i> 3 0

<b>Bài 36 Giải phương trình:</b>

4(sin 3<i>x</i> cos 2 ) 5(sin<i>x</i>  <i>x</i>1)

<b>Bài 37 Giải phương trình: </b>_sin<i>_x</i> _4sin3<i>_x</i> _cos<i>_x</i> ₀

  

<b>Bài 38 Giải phương trình:</b>

3

cos10<i>x</i> 1 cos8<i>x</i>6cos3 .cos<i>x</i> <i>x</i>cos<i>x</i>8cos .cos 3<i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 39 Giải phương trình: </b>sin4 cos4 1

4 4

<i>x</i> _<i>x</i>_
 

<b>Bài 40 Giải phương trình:</b>

3 3 2

cos .cos3 sin .sin 3

4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 41 Giải phương trình:</b>

3 3 3 3

(sin<i>x</i>sin 2<i>x</i>sin 3 )<i>x</i> sin <i>x</i>sin 2<i>x</i>sin 3<i>x</i>

<b>Bài 42 Giải phương trình:</b>8sin 3 1
cos sin

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8></div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A02:T×m no thuéc (0;2 ) cña PT:

5_ _ 3

 



  



cosx sin3x

sinx cos2x

1 2sin2x

B02: GPT: _{sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.}2 _ 2 _ 2 _ 2
D02: T×m no thc [0;14] cđa PT:

cos3 4cos2 3cos

<i>x</i>

_

<i>x</i>

_

<i>x</i>



4 0.

A03: Giải phơng trình:

_{cot x 1} cos 2x _{sin x}2 1 _{sin 2x.}

1 tan x 2

   


B03: Gi¶i phơng trình:

cot x tan x 4 sin 2x

2

.

sin 2x







D03: Giải phơng trình

sin

2

x

tan x cos

2

2

x

0.

2

2 4











B04: Giải phơng trình

_{5 sin x 2}

_

_

_{3 1 sin x tan x.}







2

D04: Giải phơng trình



2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x.













A-05: GPT: cos2_3x.cos2x-cos2_{x = 0}

A-06: GPT:





6 6

2 sin cos sin cos
0
2 2sin

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 




B-06: GPT:

cot

sin 1 tan tan

4

2

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>x</i>



_



<i>x</i>



_







D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0

2 2

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2
2

B07: GPT: 2sin 2 sin7 1 sin
2

D07: GPT: sin cos 3cos 2
2 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

    

  

 

  

 

 

A08: GPT

1 1 7

4sin .

3

sin _sin 4

2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>_x</i>




  



























B08: GPT

3

3

2

2

sin

<i>x</i>



3 cos

<i>x</i>



sin cos

<i>x</i>

<i>x</i>



3 sin

<i>x</i>

cos .

<i>x</i>

D08: GPT

2sin (1 cos 2 ) sin 2

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

 

1 2 cos .

<i>x</i>

A09: GPT

(1 2sin ) cos

3

(1 2sin )(1 s inx)

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>









.

B09: GPT

3

sinx cos sin 2



<i>x</i>

<i>x</i>



3 os3

<i>c</i>

<i>x</i>



2( os4

<i>c</i>

<i>x</i>



sin ).

<i>x</i>

D09: GPT

3 os5

<i>c</i>

<i>x</i>



2sin 3 cos 2

<i>x</i>

<i>x</i>



s inx 0.



A10: GPT

(1 sinx

os2 )sin

1

4

_{cos .}

1 t anx

2

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











_



_





_



B10: GPT

(sin 2

<i>x c</i>



os2 )cos

<i>x</i>

<i>x</i>



2cos 2

<i>x</i>



sinx 0.



D10: GPT

</div>

<!--links-->