D10.C6-ÔN TẬP CHƯƠNG 6

Trường:……………………………..

Họ và tên giáo viên: ……………………………

Tổ: TOÁN

Ngày dạy đầu tiên:……………………………..

Ngày soạn: …../…../2021
Tiết:

ƠN TẬP CHƯƠNG VI
Mơn học/Hoạt động giáo dục: Tốn - ĐS: 10
Thời gian thực hiện: ..... tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Củng cố và hệ thống lại các kiến thức đã học ở chương VI: cung và góc lượng giác, giá trị lượng
giác của một cung, công thức lượng giác.
- Nắm vững các kĩ năng biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác (tức xác định điểm
cuối của cung), tính các giá trị lượng giác của cung (góc) lượng giác, rút gọn biểu thức, chứng minh
đẳng thức lượng giác đơn giản thông qua việc sử dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác và công
thức lượng giác kết hợp với bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
2. Năng lực
- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều
chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân
tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tự quản lý:Trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho
từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hồn thành được nhiệm
vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có

thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng
góp hồn thành nhiệm vụ được giao.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngơn ngữ Tốn học.
3. Phẩm chất
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề tốn học một cách lơgic và hệ thống.
- Biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Kiến thức về cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, công thức lượng giác
- Máy chiếu
- Bảng phụ, bút lơng
- Phiếu học tập
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :
1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu: Ôn tập, tổng kết, hệ thống hóa và khái quát hóa các kiến thức về cung và góc lượng
giác, giá trị lượng giác của một cung, công thức lượng giác.
b) Nội dung: GV chia học sinh thành 4 nhóm và tổ chức cho học sinh ơn tập lại lí thuyết của


chương.
GV treo các bảng phụ ở một phía góc bảng và u cầu học sinh lên hồn thiện bảng.
Nhóm 1- Hồn thành bảng phụ thứ nhất:

Nhóm 2: Hồn thành bảng phụ thứ hai:

Nhóm 3: Hồn thành bảng phụ thứ ba

Nhóm 4: Hồn thành bảng phụ thứ tư

Mỗi nhóm trao đổi trong hai phút và cử bạn đại diện lên hồn thành bảng.
c) Sản phẩm:
Câu trả lời của HS
Nhóm 1:


Nhóm 2:

Nhóm 3:


Nhóm 4:

d) Tổ chức thực hiện:
*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu nhiệm vụ thực hiện của các nhóm: nối mỗi ý ở cột A với một ý
của cột B để được kết quả đúng và điền vào chỗ trống.
*) Thực hiện: HS suy nghĩ và thảo luận nhóm.
*) Báo cáo, thảo luận:
- GV yêu cầu học sinh đại diện của 4 nhóm lên bảng hồn thành nhiệm vụ.
- Các học sinh nhóm khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện bảng.
*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:
- GV đánh giá thái độ làm việc, đáp án trả lời, thời gian làm việc của các thành viên trong nhóm,
ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Từ đó đưa ra các dạng bài tập để học sinh ôn tập.
2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
I. ƠN TẬP VỀ CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
HĐ1. Cung và góc lượng giác

a) Mục tiêu: Học sinh ghi nhớ và thành thạo về cung và góc lượng giác, cách biến đổi các đơn vị
đo, cách biểu diễn một cung trên đường tròn lượng giác.
b)Nội dung: GV yêu cầu nhắc lại toàn bộ các khái niệm về cung và góc lượng giác như: Đường
trịn định hướng, cung lượng giác, góc lượng giác, số đo của cung và góc lượng giác.
Câu 1:

Câu 2:

H1: Bài tốn. Góc có số đo 108o đổi ra radian là
3

3
.
A. .
B. .
C.
5
10
2

H2: Giá trị k để cung    k 2 thỏa mãn 10    11 là
2
A. k  4.

Câu 3:

B. k  6.

C. k  7.

D.


.
4

D. k  5.


, trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M
4
thuộc góc phần tư nào ?
A. I .
B. II .
C. III .
D. IV .
Xét góc lượng giác

số đo


.
4

c) Sản phẩm:
Câu 1:

H1: Bài tốn. Góc có số đo 108o đổi ra radian là
3


3
.
A. .
B. .
C.
5
10
2

D.


.
4

Lời giải
Chọn A.
Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad  

n.
.
180

Cách 2:
3
tương ứng 108o .
5



tương ứng 18o .
10
3
tương ứng 270o .
2


. tương ứng 45o .
4
Câu 2

H2: Giá trị k để cung  
A. k  4.


 k 2 thỏa mãn 10    11 là
2

B. k  6.

C. k  7.

D. k  5.

Lời giải
Chọn D.
10    11 � 10 
Câu 3: H3: Xét góc lượng giác
thuộc góc phần tư nào ?


19
21
19
21
 k .2  11 �
 k 2 
�
k
� k 5.
2
2
2
4
4


, trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M
4


A. I .

B. II .

C. III .

D. IV .

Lời giải

Chọn A.


Ta có 4 1 . Ta chia đường trịn thành tám phần bằng nhau.

2 8
Khi đó điểm M
y
B

M
x
A'

O

A

B'

d) Tổ chức thực hiện
- GV trình chiếu hình các câu hỏi kiểm tra lý thuyết.
-GV chiếu và giao nhiệm vụ các hoạt động 1;2;3
Chuyển giao

- HS trả lời câu hỏi và thực hiện nhiệm vụ
+ Đổi các đợn vị đo cung và góc.
+ Biểu diễn một cung hoặc góc bất kỳ trên đường tròn lượng giác.

Thực hiện

Báo cáo thảo luận

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm
- HS nêu rõ ràng cách đổi các đơn vị đo, xác định được số đo của một cung
lượng giác, biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.
- GV gọi 3 HS lên bảng trình bày lời giải cho VD1; VD 2 và VD3
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh cịn
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
tổng hợp
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện tính tốn.
II. ƠN TẬP VỀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
HĐ2. Giá trị lượng giác của một cung
a) Mục tiêu: Nhắc nhớ và yêu cầu học sinh luyện tập thành thạo về giá trị lượng giác của một cung,
ý nghĩa hình học của tang và cotang, mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác.
b) Nội dung: GV yêu cầu nhắc lại toàn bộ các khái niệm về giá trị lượng giác của một cung, ý
nghĩa hình học của tang và cotang, mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác.
Câu 1.

Cho 2  a 

5
. Kết quả đúng là
2

A. tan a  0 , cot a  0 .

B. tan a  0 , cot a  0 .

C. tan a  0 , cot a  0 .

D. tan a  0 , cot a  0 .


Câu 2.

Vì 2  a 
A.

Câu 3.

4
.
5

4
B.  .
5

Cho sin  
A.

5
3

� tan a  0 , cot a  0 .Cho sin   và     . Giá trị của cos là

2
5
2
4
C. � .
5

D.

16
.
25

3
cot   2 tan 
và 900    1800 . Giá trị của biểu thức E 
là :
5
tan   3cot 

2
.
57

B. 

2
.
57

C.

4
.
57

D. 

4
.
57

c) Sản phẩm:
Câu 1 Cho 2  a 

5
. Kết quả đúng là
2

A. tan a  0 , cot a  0 .

B. tan a  0 , cot a  0 .

C. tan a  0 , cot a  0 .

D. tan a  0 , cot a  0 .
Lời giải

Chọn A
Câu 2 Vì 2  a 

A.

4
.
5

5
3

� tan a  0 , cot a  0 .Cho sin   và     . Giá trị của cos là :
2
5
2
4
B.  .
5

4
C. � .
5

D.

16
.
25

Lời giải
Chọn B.
4

�
cos  
�
9 16
5
2
2
��

Ta có : sin 2   cos 2   1 � cos  =1  sin   1 
.
4
25 25
�
cos   
�
5
�
Vì


4
    � cos   .
2
5

Câu 3 Cho sin  
A.

2

.
57

3
cot   2 tan 
và 900    1800 . Giá trị của biểu thức E 
là :
5
tan   3cot 
B. 

2
.
57

C.

4
.
57

Lời giải
Chọn B.
4
�
cos 
�
9 16
5
2

2
��
sin 2   cos 2   1 � cos  =1  sin   1  
4
25 25
�
cos  
�
5
�
4
3
4
Vì 900    1800 � cos   . Vậy tan    và cot    .
5
4
3

D. 

4
.
57


4
� 3�
  2. �
 �
cot   2 tan 

3
4� 2
�
E

 .
3
tan   3cot 
� 4 � 57
  3. �
 �
4
� 3�
c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện
- GV trình chiếu hình các câu hỏi kiểm tra lý thuyết.
-GV chiếu và giao nhiệm vụ các hoạt động 1;2;3
Chuyển giao

- HS trả lời câu hỏi và thực hiện nhiệm vụ
+ Hiểu và tahnhf thạo bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
+ Thuần thục các công thức lượng giác cơ bản, biết áp dụng vào làm toán,
biết biến đổi toán học quy lạ về quen.
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

Thực hiện

Báo cáo thảo luận

- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm
- HS thuần thục các cơng thức lượng giác cơ bản, biết áp dụng vào làm
toán, biết biến đổi toán học quy lạ về quen.
- GV gọi 3 HS lên bảng trình bày lời giải cho VD1; VD 2 và VD3
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh cịn
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
tổng hợp
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện tính tốn.
II. ƠN TẬP VỀ CƠNG THỨC CỘNG LƯỢNG GIÁC
HĐ3. Cơng thức lượng giác
a) Mục tiêu: Nhắc nhớ và yêu cầu học sinh luyện tập thành thạo về công thức lượng giác bao gồm:
Công thức cộng lượng giác, công thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức biến đổi tích thành tổng.
b) Nội dung: GV yêu cầu nhắc lại toàn bộ các công thức lượng giác bao gồm: Công thức cộng
lượng giác, cơng thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức biến đổi tích thành tổng.
Câu 1.

Trong các cơng thức sau, công thức nào sai?
A. cot 2 x 

cot 2 x  1
.
2 cot x

B. tan 2 x 

C. cos3 x  4 cos 3 x  3cos x .
Câu 2.

Giá trị của biểu thức cos

6 2
.
4

A.
Câu 3.

D. sin 3 x  3sin x  4sin 3 x

37
bằng
12
B.

6 2
.
4

C. –

6 2
.
4

D.

2 6

.
4

3
1
Cho x, y là các góc nhọn, cot x  , cot y  . Tổng x  y bằng :
4
7
A.


.
4

B.

3
.
4

c) Sản phẩm:
Câu 1.

2 tan x
.
1  tan 2 x

Trong các công thức sau, công thức nào sai?

C.


.
3

D.  .


A. cot 2 x 

cot 2 x  1
.
2 cot x

B. tan 2 x 

C. cos 3x  4cos 3 x  3cos x .

2 tan x
.
1  tan 2 x

D. sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
Lời giải.

Chọn B.
Công thức đúng là tan 2 x 
Câu 2.

Giá trị của biểu thức cos

6 2
.
4

A.

2 tan x
.
1  tan 2 x

37
bằng
12
B.

6 2
.
4

C. –

6 2
.
4

D.

2 6
.

4

Lời giải.
Chọn C.
cos

 �
37
�
�  �
� �
�  �
 cos �2    � cos �
  �  cos � �  cos �  �
12 �
12 �
12
�
� 12 �
�
�3 4 �



�
� 
 �
cos .cos  sin .sin �  6  2 .
4
3

4�
� 3
4
Câu 3.

3
1
Cho x, y là các góc nhọn, cot x  , cot y  . Tổng x  y bằng :
4
7
A.


.
4

B.

3
.
4

C.


.
3

D.  .

Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
4
7
tan x  tan y
3
3
tan  x  y  

 1 , suy ra x  y 
.
1  tan x.tan y 1  4 .7
4
3

d) Tổ chức thực hiện
- GV trình chiếu hình các câu hỏi kiểm tra lý thuyết.
-GV chiếu và giao nhiệm vụ các hoạt động 1;2;3
Chuyển giao

- HS trả lời câu hỏi và thực hiện nhiệm vụ
+ Hiểu và thành thạo các công thức lượng giác
+ Thuần thục các công thức lượng giác cơ bản, biết áp dụng vào làm toán,
biết biến đổi toán học quy lạ về quen.

Thực hiện

Báo cáo thảo luận

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm
- HS thuần thục các công thức lượng giác cơ bản, biết áp dụng vào làm
toán, biết biến đổi toán học quy lạ về quen.
- GV gọi 3 HS lên bảng trình bày lời giải cho VD1; VD 2 và VD3
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét,

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận


tổng hợp

và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh cịn
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện tính tốn.

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các công thức lượng giác vào giải các bài toán liên quan.
b) Nội dung:
PHIẾU HỌC TẬP 1
Câu 1. Rút gọn biểu thức M = cos4 15o - sin4 15o.
A. M = 1.

B. M =

1
4

3
.
2

C. M = .

D. M = 0.

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức M = cos100 cos200 cos400 cos800.
A. M =

1
cos100 .
16

B. M = cos100 .

1
4

D. M = cos100 .

1
2

1
8

C. M = cos100 .
Câu 3. Tam giác ABC có cos A =

A.

56
.
65

4
5

và cosB =

B. -

5
.
13

Khi đó cosC bằng

56
.
65

C.

16
.
65

D.

33
.
65

4
p
Câu 4. Cho góc a thỏa mãn < a < p và sin a = . Tính P = sin2( a + p) .
5

2

24
.
25

A. P = -

B. P =

24
.
25

C. P = -

12
.
25

D. P =

12
.
25

2
1+ sin2a + cos2a
p
Câu 5. Cho góc a thỏa mãn 0 < a < và sin a = . Tính P =
.
3

2

2 5
.
3

A. P = -

3
2

B. P = .

C. P = -

sin a + cosa

3
.
2

D. P =

2 5
.
3

2
Câu 6. Cho góc a thỏa mãn sin2a = . Tính P = sin4 a + cos4 a .
3

A. P = 1.

B. P =

17
.
81

7
9

9
7

C. P = .

D. P = .

5
3p
< a < 2p . Tính P = tan2a .
Câu 7. Cho góc a thỏa mãn cosa = và
13

A. P = -

120
.
119

B. P = -

2

119
120
. C. P =
.
120
119

Câu 8. Rút gọn biểu thức M =

D. P =

sin3x - sin x

.
2cos2 x - 1

A. tan 2x B. sin x. C. 2 tan x.
Câu 9. Rút gọn biểu thức A =

D. 2sin x.
1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x
2 cos 2 x + cos x - 1

A. cos x.

B. 2 cos x - 1.

Câu 10. Rút gọn biểu thức A =
A. 1.

B. tan a.

C.

5
.
2

119
.
120

1- sin a- cos2a

.
sin2a- cosa

D. 2 tan a.

.
C. 2 cos x.

D. cos x - 1.


c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình

d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1
HS: Nhận nhiệm vụ,
GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

Thực hiện

HS: 4 nhóm tự phân cơng nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện
nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.
Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Báo cáo thảo luận

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn
các vấn đề
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh,
ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.
Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.
a)Mục tiêu: Giải quyết một số bài tốn bất đẳng thức lượng giác và tìm min, max của biểu thức
lượng giác.
b) Nội dung
PHIẾU HỌC TẬP 2
p
. Chứng minh rằng
2
�
�
�
1 �
1 �
�
�
�
sin a +
cos
a
+
�2
�
�

�
�
�
�
�
2cosa �
2sin a �
�
�
�
0< a <

Vận dụng 1: Cho

Vận dụng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a) A = sin x + cosx

b) B = sin4 x + cos4 x

Vận dụng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A = 2 - 2sin x - cos2x
Vận dụng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B = cos2x + 1 + 2sin2 x
Vận dụng 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) cosA + cosB + cosC �
b) sin A + sin B + sinC �

3
2

3 3
3

c) tan A tan B tanC � 3 3 với ABC là tam giác nhọn.
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh

d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Thực hiện

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết 53 của bài
HS: Nhận nhiệm vụ,
Các nhóm HS thực hiện tìm tịi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .
HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết 54

Báo cáo thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn
các vấn đề.

Đánh giá, nhận

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh,


ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

xét, tổng hợp

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ
đồ tư duy.

*Hướng dẫn làm bài
+ Vận dụng 1
�
�
1 �
1 �
1
�
�
�
sin a +
cosa +
+1
�
�= sin a cosa +
Ta có �
�
�
�
�
�
�
�
2cosa �
�
2sin a �
4sin a cosa
Vì 0 < a <

p
nên sin a cosa > 0.
2

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có
sin a cosa +

1
1
�2 sin a cosa.
=1
4sin a cosa
4sin a cosa

�
�
�
�
1 �
1 �
�
sin a +
cos
a
+
� 2 ĐPCM.
�
�
Suy ra �
�

�
�
�
2cosa �
2sin a �
�
�
�
�
+ Vận dụng 2
2

a) Ta có A 2 = ( sin x + cosx ) = sin2 x + cos2 x + 2sin x cosx = 1 + sin2x
Vì sin2x �1 nên A2 = 1 + sin2x �1 + 1 = 2 suy ra Khi x =

p
3p
thì A = 2 , x = thì A = 4
4

Do đó max A =

2 và min A = -

2 �A � 2 .

2

2.

b) Ta có
2

2

�
�
1- cos2x �
1 + cos2x �
1- 2cos2x + cos2 2x 1 + 2cos2x + cos2 2x
�
�
�
B =�
+
=
+
�
�
�
�
� �
�
� 2
� 2
4
4
�
�
�

=

2 + 2cos2 2x
2 + 1 + cos4x
3 1
=
= + .cos4x
4
4
4 4

Vì - 1 � cos4x �1 nên

1 3 1
1
� + .cos4x �1 suy ra � B �1.
2 4 4
2

Vậy max B = 1 khi cos4x = 1 và min B =

1
khi cos4x = - 1.
2

+ Vận dụng 3
Ta có A = 2 - 2sin x -

( 1-

2sin2 x ) = 2sin2 x - 2sin x + 1

Đặt t = sin x, t �1 khi đó biểu thức trở thành A = 2t2 - 2t + 1
Xét hàm số y = 2t 2 - 2t + 1 với t �1.

Bảng biến thiên:
t

-1

1
2

1


y

5

1
1
2

Từ bảng biến thiên suy ra max A = 5 khi t = - 1 hay sin x = 1.
min A =

1
1
1

khi t = hay sin x = .
2
2
2

+ Vận dụng 4
Ta có B = cos2x + 1 + 1- cos2x = cos2x + 2 - cos2x
Đặt t =

1 cos2x
2 - cos2x � cos2x = 2 - t2 , vì �‫��ޣ‬-

1

1

t

3

Biểu thức trở thành B = 2 - t2 + t .
Xét hàm số y = - t 2 + t + 2 với 1 �t � 3 .

Bảng biến thiên
t

1

y

2

3
3- 1

Từ bảng biến thiên suy ra max B = 2 khi t = 1 hay cos2x = 1.
min A =

3 hay cos2x = - 1.

3 - 1 khi t =

+ Vận dụng 5
a) Ta có cosA + cosB + cosC = 2cos
Vì

A +B
A- B
cos
+ cosC
2
2

A +B
p C
A +B
C
nên cos
= = sin
2

2 2
2
2

Mặt khác cosC = 1 - 2sin2

C
do đó
2

cosA + cosB + cosC = 2sin

� 2C
�
C
A- B
C
C
A - B 1�
cos
+ 1- 2sin2 = - 2�
sin
- sin cos
- �
�
�
2
2
2
2

2
2�
� 2
�

� 2C
C 1
A- B 1 2A- B�
1
A- B
�
= - 2�
sin
- 2sin . cos
+ cos
+ 1 + cos2
�
�
�
�
2 2
2
4
2 �
2
2
� 2
2

� C

�
1
A- B�
1
A- B
= - 2�
sin + cos
+ 1 + cos2
�
�
�
�
2 �
2
2
� 2 2
Vì cos

A- B
‫�ޣ‬
1
2

cos2

A- B
2

cosA + cosB + cosC �1 +

1 nên

1 3
= � ĐPCM.
2 2

b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
sin x + sin y
x +y
Nếu 0 � x � p, 0 �y � p thì
.
� sin
2
2


Thật vậy, do 0 �

x +y
x +y
x- y
� p � sin
> 0 và cos
�1 nên
2
2
2

sin x + sin y
x +y

x- y
x +y
= sin
cos
� sin
2
2
2
2
p
p
sin A + sin B
A + B sinC + sin
C +
Áp dụng bổ đề ta có:
,
� sin
3 � sin
3
2
2
2
2

Suy ra

sin A + sin B
+
2

sinC + sin
2

�
p
p
p�
�
C +
C + �
�
�
A +B
p
3 � sin A + B + sin
3 � 2sin 1�
3�
�
�
�
+
= 2sin
�
�
2
2
2�
2
2 �
3

�
�
�
�
�
�
�
�

Do đó sin A + sin B + sinC � 3sin

p
3 3
hay sin A + sin B + sinC �
ĐPCM.
3
3

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tan A > 0, tan B > 0, tanC > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tan A + tan B + tanC � 33 tan A.tan B.tanC
Theo ví dụ 2 ta có tan A + tan B + tanC = tan A.tan B.tanC nên
tan A tan B tanC � 33 tan A.tan B .tanC
2
�3
�
� 3 tan A.tan B.tanC �
tan A tan B tanC ) - 3�
�0
(
�

�
�
�
۳

3

( tan A tan B tanC )

2

3 ۳ tan A tan B tanC

3 3 ĐPCM.

Ngày ...... tháng .......
TTCM ký duyệt

năm 2021