DE DAP AN HSG 8 av

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề thi chon đội tuyển học sinh gii lp 8</b>

<b>Năm học: 2009-2010</b>
<b>Môn: Toán</b>

<i><b>(Thời gian làm bài:120 phút </b></i><i><b> Vòng 1)</b></i>

<b>Bài 1</b>(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x4_+6x3_+11x2_+6x

1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 luôn có giá trị là
số chính phơng.

<b>Bài 2</b> (3 điểm):

a)Cho x,y,z là những số nguyên khác 0 và a=x2_{-yz; b=y}2_{-xz; c=z}2_{-xy. Chứng}

minh rằng

ax+by+cz chia hết cho a+b+c.

b)Tìm các cặp số tự nhiên (x,y) thoả mÃn phơng trình.
(x+1) y = x2₊₄

<b>Bài 3</b>(1,5 điểm):

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cđa biĨu thøc B = x+y+z; BiÕt r»ng x; y; z là
các số thực thoả mÃn điều kiện y2 _{+ yz + z}2_{= 2 -}

2

3<i>_x</i>2

.

<b>Bµi 4</b>(3 ®iĨm):

a)Cho tam giác ABC. O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E,
F, M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC, CA, OA, OB, OC. Chứng minh các
đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy.

b)Cho tam gi¸c ABC (AB<AC). Dùng vỊ phía ngoài tam giác ABC các tam
giác ABD cân tại B và tam giác ACE cân tại C sao cho gãc ABD = gãc ACE. Gäi M
lµ trung điểm của BC. HÃy so sánh MD và ME.

H v tên thí sinh:………..; Số báo danh:………
Chú ý:Ngời coi thi khơng c gii thớch gỡ thờm.

<b>Đáp án, biểu điểm môn toán</b>

<b>Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 </b><b> vòng I</b>
<b>Năm học 2009 </b><b> 2010</b>

<b>Bài</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>1.</b>Ln lt phõn tớch để có kết quả f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)

...

………

...

2.Tõ kÕt qu¶ ở câu 1 ta có:

1

..

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1(2,5 đ) + f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + 1 = (x

2_+3x)(x2_{+ 3x+2) + 1}

+ Đặt x2_{+ 3x = t; ta cã A=t(t+2)=t}2_+2t+1=(t+1)2

+ do x

_

Z nên t=x2_+3x

_

_{Z ;do đó (t+1)}2

_

_{Z và (t+1)}2_{là số chớnh phng.}

+ KL :với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 là số chính phơng

0,75
0,25

2(3đ)

<b>a,(</b>1,5) ta có: ax+by+cz = x3_+y3_+z3_-3xyz.

Mµ :

x3_{+ y}3_+z3_{-3xyz = (x+y)}3_-3xy(x+y)+z3_{-3xyz =}

= (x+y+z)( x2_+y2_+z2_{-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)=}

=(x+y+z)(x2_+y2_+z2_-xy-yz-zx).

x3_{+ y}3_+z3_{-3xyz = (x+y+z)( x}2_+y2_+z2_-xy-yz-zx).

Mặt khác: a+b+c = (x2_+y2_+z2_-xy-yz-zx).

T ú ta có : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm).

<b>0,25</b>

<b>1®</b>
<b>0,25</b>

b,(1,0®) Ta cã : (x+1)y= x2₊₄_ _(x+1)y-(x2_-1)=5_ _{(x+1)(y-x+1)=5}

Do đó : x+1N và là ớc của 5 Suy ra x+1=1;5

Suy ra x=0,4. Thử trực tiếp ta đợc các cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề là (0;4);
(4;4).

<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>

<b>3(1,5®)</b>

+Ta cã y2_+yz+z2

=2-2

3<i>_x</i>2

 2y2_+2yz+2z2_=4-3x2
 3x2_+2y2_+2yz+2z2_{=4 (1)}

 x2_+y2_+z2_{+2xy+2xz+2yz+x}2_-2xy+y2_+x2_-2xz+z2₌₄
 (x+y+z)2_+(x-y)2_+(x-z)2₌₄

+Do (x-y)2_₀_{; (x-z)}2__{0 nªn tõ (*) suy ra (x+y+z)}2_₄

Hay -2_x+y+z_2

+Dấu “ ”<i><b>=</b></i> xảy ra khi x-y=0 và x-z=0 hay x=y=z
Thay vào (1) ta đợc 9x2_{= 4}  _{x =}

3
2

hc x=

-3
2

+KL: Víi

x=y=z=-3
2

th× min B = -2
Víi x = y = z =

3
2

th× max B = 2

<b>0,25</b>

<b>0,5</b>

<b>0,25</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>4(3đ)</b>

a.(1,5đ) Vẽ hình chính xác

Hc sinh chng minh c MF//NE; MF=NE (Tính chất đờng trung bình)
Suy ra MFEN là hình bình hành nên EM, FN cắt nhau tại một trung điểm I
của chúng.

Chứng minh tơng tự: MDEP là hình bình hành nên ME, DP cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đờng.

Từ đó suy ra DP, ME, NF ng quy ti I.

<b>0,5đ</b>

<b>0,5đ</b>
<b>0,5đ</b>

b.(1,5đ)

*Vẽ hình chính xác

Dựng hình bình hành ABFC

Học sinh chứng minh đợc <i>BDF</i> <i>CFE</i>(<i>c</i>.<i>g</i>.<i>c</i>) <i>FD</i><i>FE</i>
Trên cạnh CA lấy điểm A1, trên cạnh CE lấy điểm C1 sao cho

CA1=CC1 <i>A</i>1<i>CC</i>1 <i>ABD</i>(<i>c</i>.<i>g</i>.<i>c</i>) <i>A</i>1<i>C</i>1 <i>BD</i>.Dựng hình bình hành

AEGA1 do tam giác ACE cân tại C nên góc CAE<900, suy ra góc AEG>900

do đó góc CAE= góc AEC< góc AEG suy ra A1C1<A1G hay DA<AE. Xột

hai tam giác AFD và AFE suy ra gãc AFD = gãc AFE. XÐt 2 tam gi¸c MFD
và tam giác MFE suy ra MD<ME.(đpcm)

<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,5</b>

<b>0,5</b>

<i><b>C</b><b>hỳ ý : Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa</b></i>
<i><b>theo thang điểm quy định.</b></i>

<b>CÂU LẠC BỘ TOÁN 8</b>

 Câu 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x2 - 14x + 11

b) x5 + x - 1

c) x(y3-z3) + y(z3-x3) + z(x3-y3)

d) x(y+z)2 + y(x+z)2 + z(x+y)2 - 4xyz

 Câu 2 : Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:
A=3xn-1_y6_-5xn+1_y4

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có
a) n2_(n2_{-1) chia hết cho 12}

b) n5_{-n chia heát cho 30}

 Câu 4: Chứng minh rằng
(x + y + z)2 __3(x2_{+ y}2_{+ z}2₎

với mọi x, y, z thuộc R

 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm E thuộc đường chéo AC.Qua E kẻ đường
thẳng thẳng song song với BD, cắt các đường thẳng AD, CD ở M,N .Vẽ hình chữ
nhật DMKN.Chứng minh rằng K, E, B thẳng hàng

ĐÁP ÁN
 Câu1:

a) =(x-1)(3x-11)
b) =(x2_-x+1)(x3_+x2_-1)

c) =(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
d) =(x+y)(y+z)(z+x)

 Caâu2:
n=4
 Câu3:

a) =n.n(n-1)(n+1) nên chia hết cho 12

b) n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1) nên chia hết cho 30
 Câu 4:

(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2 _₀

 Caâu 5:

Gọi O, I là giao điểm các đường chéo của các hình chữ nhậtABCD và DMKN.
Ta chứng minh KE//IO và KB//IO.Suy ra K, E, B thẳng hàng

<b>đề thi hc sinh gii cp huyn</b>

năm học: 2009-2010
<b>Môn: Toán 8</b>

(Thời gian làm bài: 120phút)

<b>Câu 1 </b>(1,5 điểm):<b> </b>

<b> </b>a/ TÝnh nhanh: 999<b>.</b>1001+992_.

b/ Phân tích đa thức thành nhân tử : +/ x2_-7x+10.

+/ x2_-2x-y2_+1.
<b>C©u 2 </b>(2 ®iĨm):

a/ Giải phơng trình: 1 3 4

3 2 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b/ So sánh A và B biết: A= (1+1

2)(1+ 2
1

2 )(1+ 4
1

2 )(1+ 8
1

2 )(1+ 16
1

2 )(1+ 32
1

2 ) và B=2.

<b>Câu 3 </b>(2 điểm):
Cho T<b>=</b>

2 2

3 2 2

( 1) 4 ( 4) 5 1
:

2 ( 1) ( 2)

<i>x</i> <i>x x x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

     

     <b>.</b>

a/ Rót gän T.

b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất.

<b>Câu 4 </b>(2 điểm): Một ngời đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km.
Một nửa giờ sau một ngời đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời đi xe máy
10 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe
mỏy.

<b>Câu 5: </b><i>(2,5 điểm)</i>:<i> </i>Cho <i>ABC</i> vuông tại A; H nằm trên đoạn BC ( H kh«ng

trùng B hoặc C). Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AB, AC và HE cắt AB
tại P, HF cắt AC tại Q.

a/ Tứ giác HPAQ là hình gì? Tại sao?
b/ Chøng minh: AC.BP=AB.AQ.

c/ Chøng minh ba ®iĨm: E, A, F thẳng hàng.

@

<b>---hng dn chm thi hc sinh gii cp huyn</b>

năm học: 2090-2010
<b>Môn: Toán 8</b>

(Thời gian làm bài: 120phút)

<b>Câu 1 </b>(1,5 điểm):<b> </b>

<b> </b>a/TÝnh nhanh: 999<b>.</b>1001+992 _{= (1000-1)(1000+1)+(100-1)}2 ₌₁₀₀₀2_-1+1002

-200+1= 1000000+10000-200=1009800
( 0,5 ®iĨm)

b/ Phân tích đa thức thành nhân tử:

+/ x2_{-7x+10 = (x}2_{-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5). ( 0,5}

®iĨm)

+/ x2_-2x-y2_{+1= (x}2_-2x+1)-y2 _{= (x-1)}2_-y2_{= (x-1+y)(x-1-y) ( 0,5}

điểm)

<b>Câu 2 </b>(2 điểm):

a/ Giải phơng trình: 1 3 4

3 2 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   4( 1) 6(3 4) 3

12 12 12

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 4(x-1)=6(3x-4)-3x  4x-4=18x-24-3x => x= 20

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b/ Ta cã 1 1
2

 



 

 A=
1
1
2
 

 

  (1+
1

2)(1+ 2
1

2 )(1+ 4
1

2 )(1+ 8
1

2 )(1+ 16
1

2 )(1+ 32
1
2 )
= (1- 1₂

2 )(1+ 2
1

2 )(1+ 4
1

2 )(1+ 8
1

2 )(1+ 16
1

2 )(1+ 32
1

2 ) = (1- 4
1

2 )(1+ 4
1

2 )(1+ 8
1

2 )(1+ 16
1
2 )(1+
32

1
2 )
= (1- 1₈

2 )(1+ 8
1

2 )(1+ 16
1

2 )(1+ 32
1

2 ) = (1- 16
1

2 )(1+ 16
1

2 )(1+ 32
1

2 ) = (1- 32
1

2 )(1+ 32
1

2 ) =
(1-64

1
2 )

=> A = 2(1- 1₆₄

2 ) = 2 - 63
1

2 . Do 63
1

2 > 0 => 2 - 63
1

2 < 2 . VËy A<B ( 1 điểm)

<b>Câu 3 </b>(2 điểm): Cho T<b>=</b>

2 2

3 2 2

( 1) 4 ( 4) 5 1
:

2 ( 1). ( 2)

<i>x</i> <i>x x x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

     

     <b>. </b>TX§ x1.

a/ Rót gän T=

2 2

3 2 2

( 1) 4 ( 4) 5 1
:

2 ( 1). ( 2)

<i>x</i> <i>x x x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

     

     <b> = </b>

2
3 2 2

( 1) 1

:
2 2 2 2 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

     <b> =</b>

2
2

( 1) 1

.
( 1)( 2 2) 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



    <b>=</b> 2

1

(<i>x</i>1) 1<b> </b>( 1 điểm)

b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì ₍<i>_x</i> ₁₎2 ₁

  nhá nhÊt mµ (x+1)2 +1>1 .

Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất. ( 1 điểm)

<b>Câu 4 </b>(2 ®iĨm): Gäi vËn tèc cđa ngêi ®i xe máy là x km/h (x > 0)

=> vận tốc của ngời đi xe ô tô lµ 1,5x km/h . (0,5
điểm )

thời gian ngời đi xe máy là: 80

<i>x</i> (h) , thời gian ngời đi xe ô tô là:

80

1,5<i>x</i> ( h) (0,5điểm )

theo bài ra ta cã pt: 80

<i>x</i> -

80
1,5<i>x</i>=

2

3 (ô tô đi trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) =
2

3 (h)
giải pt trên đợc x= 40. (0,5điểm
)

VËy vËn tèc cña ngời đi xe máy là 40 km/h,

vận tốc của ngời đi xe ô tô là 60 km/h
(0,5®iĨm )

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a/ Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật vì có 3 góc
vuông

<i>PAQ</i>= 900_;_

<i>HPA</i>= 900; <i>HQA</i>= 900 (0,75

®iĨm )

b/ Do HP// AC =><i>PBH</i>  <i>ABC</i>=><i>PB</i> <i>PH</i>

<i>AB</i> <i>AC</i>

AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ (0,75
®iĨm )

c (0,75 ®iĨm )

<b>đề thi Ơ-lim -pic huyện</b>

Mơn Tốn Lớp 8
Năm học 2006-2007

<i>(Thêi gian lµm bµi 120 phút)</i>

<i><b>Bài 1. Phân tích thành nhân tử.</b></i>
a) _a3 ₂_a2 ₁₃_a ₁₀





b) (a2_{+ 4b}2_{- 5)}2_{- 16(ab + 1)}2

<i><b>Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho 3 th× a</b></i>3

+ b3_{+ c}3_{+ 3a}2_{+ 3b}2_{+ 3c}2_{chia hÕt cho 6.}

<i><b>Bµi 3. a) Cho a – b = 1. Chøng minh a</b></i>2_{+ b}2 _

2
1

b) Cho 6a 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2_{+ 25b}2

<i><b>Bài 4. §a thøc bËc 4 cã hÖ sè bËc cao nhÊt là 1 và thoả mÃn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3)</b></i>
= 21. TÝnh f(-1) + f(5).

<i><b>Bµi 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM</b></i>
lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chøng minh:

a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.

b) 1

AB
NB
AN

NC




A
B

C
H
E _P

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>đáp án tốn 8</b></i>

<i><b>Bµi 1. </b>Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, mỗi câu 2 ®iÓm)</i>

a)Ta nhËn thÊy a = 1, a = 2 là nghiệm của đa thức nên:
a3 2a2 13a 10




 (<i>a</i>1)(<i>a</i> 2)(<i>a</i>5)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

) ( 4 5) 16( 1) ( 4 5 4 4)( 4 5 4 4)
( 2 ) 1 ( 2 ) 9 ( 2 1)( 2 1)( 2 3)( 2 3)

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

            

   

_   _{ }   _         

<i><b>Bµi 2. </b>Cho 3 sè tù nhiªn a, b, c. Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho 3 th× </i>
<i>a3_{+ b}3_{+ c}3_{+ 3a}2_{+ 3b}2_{+ 3c}2_{chia hÕt cho 6. (3 ®iĨm)}</i>

A = a + b + c  3 =>2A  6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2
C = B + 2A = a3_{+ 3a}2 _{+ 2a + b}3_{+ 3b}2 _{+ 2b + c}3_{+ 3c}2 _{+ 2c}

= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)

a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
chia hÕt cho 6 => C 6 => B 6

<i><b>Bµi 3. a) </b>Cho a </i>– <i>b = 1. Chøng minh a2_{+ b}2 </i> _

2
1

<i> (*).(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)</i>

Từ a b =1 => a =1 + b => a2_{=1 + 2b + b}2_{, thay vµo (*) ta cã: 1 + 2b + 2b}2 _

2
1

=> 4b2_{+ 4b +1}__{0 =>(2b + 1)}2__{0. BĐT này luôn đúng. Vậy a}2_{+ b}2 _

2
1
.
DÊu b»ng xÈy ra <=> (2b + 1)2_{<=> b =-}

2
1

vµ a =
2
1
;
b) <i>Cho 6a</i> <i> 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña 4a2_{+ 25b}2</i>

Đặt x = 2a; y = - 5b. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

(3x + y)2

 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 

10
1

Hay 4a2_{+ 25b}2



10
1

.
DÊu b»ng xÈy ra <=> _x3 _y1 _{<=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b}
<=>

20
3
a
;
50

1

b 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

NhËn xÐt: g(x) = 2x2_{+ 3 tho¶ m·n g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21.}

Q(x) = f(x) - g(x) lµ ®a thøc bËc 4 cã 3 nghiÖm x = 1, x = 2, x = 3
VËy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta cã:

f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2_{+ 3 = 29 + 24a.}

f(5) = Q(5) + 2.52_{+ 3 = 173 - 24a.}

=> f(-1) + f(5) = 202

<i><b>Bài 5. </b>Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM </i>
<i>lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:</i>

<i>a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.</i>

b) 1

AB
NB
AN
NC



 <i>.(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)</i>

a)ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN)
CNM + MNA = 1v

BAN + NAC = 1v

Mµ MNA = NAC => CNM = BAN

Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN
=>  BNE



BAN

b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN.

Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đờng)

=> CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN

BFA =>

1

AB
NB
AN
NC
AB

NB
AB
AN
NC
AB

NB
FN
AN
NC

BA

BF
AN
FA

(Đpcm)

<i><b>Cách kh¸c: b) Ta cã:</b></i>ACN



EAN => <i>CN</i> <i>AC</i> <i>AN</i> (1)

<i>AN</i> <i>EA</i> <i>EN</i>

 BNE



BAN =><i>AN</i> <i>BA</i> (2) <i>va</i> <i>BE</i> <i>NB</i> (3)

<i>NE</i> <i>BN</i> <i>BN</i> <i>AB</i> . Tõ (1) vµ (2) => BN = AE

Tõ <i>CN</i> <i>AC</i> <i>CN</i> <i>AB</i> <i>AE EB</i> 1 <i>EB</i> 1 <i>EB</i>

_{ }

4

<i>AN</i> <i>EA</i> <i>AN</i> <i>AE</i> <i>AE</i> <i>AE</i> <i>BN</i>



       

Tõ (3) và (4) => <i>CN</i> 1 <i>NB</i>

<i>AN</i> <i>AB</i> (Đpcm)
C

F
M

N

</div>

<!--links-->