Đề+Đáp án HSG Toán 8

Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8
năm học 2009 2010
(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2điểm)
Cho biểu thức
x
xx
x
x
xx
x
A
3
13
1
42
:3
1
2
3
2
2
+

+

+
+
+
=
a) Rút gọn A
b)Tìm A với x = 2010
c)Tìm x để A < 0
Bài 2. (2điểm)
a) Chứng minh hằng đẳng thức

( )
( )
acbcabcbacbaabccba
++++=++
222333
.3
b) Chứng minh rằng a
2
+b
2
+c
2


ab+bc+ac với mọi a;b;c
Bài 3. (2điểm)
a) Chứng minh (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y

4
là số chính phơng với mọi số
nguyên x;y
b) Cho a,b,c thỏa mãn





=++
=++
2010
2010
1111
cba
cba
Chứng minh rằng có một số bằng 2010
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đờng thẳng
OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng:
a)
1..
=
NA
CN
MC
BM
PB
AP
b) Tổng

OM ON OP
AM BN CP
+ +
không phụ thuộc vị trí điểm O
Bài 5. (1điểm)
Giải phơng trình sau:
2009 2011
3 4 1y y + =
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8
năm học 2009 2010
Bài 1. (2điểm)
Cho
x
xx
x
x
xx
x
A
3
13
1
42
:3
1
2
3
2

2
+

+








+
+
+
=
a)Rút gọn A
b)Tìm A với x =2010
c)Tìm x để A < 0
ĐKXĐ x

0; -1;
1
2
x
xx
x
x
xx
x

A
3
13
1
42
:3
1
2
3
2
2
+

+








+
+
+
=
=
( )( ) ( )
( )
x

xx
x
x
xx
xxxxx
3
13
42
1
.
13
19612
2
+


+
+
++++
=
2 2 2
2 8 3 1 1 2 3 1 1
3 (2 4 ) 3 3 3
x x x x x x x
x x x x
+ + +
= =

b) giá trị của A =
2009

3
c) A < 0
1
3
x

< 0

x < 1
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2.(2điểm)
a) Chứng minh hằng đẳng thức

( )
( )
acbcabcbacbaabccba
++++=++
222333
.3
biến đổi vế phải nhân phá ngoặc, rút gọn cho kết quả bằng vế trái
b) Chứng minh rằng a
2
+b
2
+c
2

ab+bc+ac với mọi a;b;c
chuyển vế nhân hai vế với 2 ta đợc 2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2bc-2ac

0
(a-b)
2
+ (b-c)
2
+(c-a)
2


0 ( luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c
1đ
0,75đ
0,25đ
Bài 3.(2điểm)
a) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y
4
là số chính phơng với mọi số
nguyên x;y
Nhân phá ngoặc đợc A= (x

2
+5xy+4y
2
)( x
2
+5xy+6y
2
) +y
4
đặt x
2
+5xy+5y
2
= m => A= (m-y
2
)(m+y
2
)+y
4
= m
2
= (x
2
+5xy+5y
2
)
2
vậy A luôn chính phơng với mọi số nguyên x;y
b) Cho a,b,c thỏa mãn

=++
=++
2010
2010
1111
cba
cba
Chứng minh rằng có một số bằng 2010
0,5Đ
0,5Đ
Biến đổi





=++
=++
2010
2010
1111
cba
cba

Thành
cbacba

++
=++
1111
=> (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc

a
2
b+ab
2
+b
2
c+bc
2
+a
2
c+ac
2
+2abc =0

(a+b)(b+c)(c+a) =0
xét các trờng hợp
nếu a+b =0 => c=2010
tơng tự với các trờng hợp còn lại
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4.(2điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đờng thẳng OA;OB;OC
cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng:
a)

1..
=
NA
CN
MC
BM
PB
AP
b) Tổng
OM ON OP
AM BN CP
+ +
không phụ thuộc vị trí điểm O
O
N
P
A
B
C
I
M
H
a) vẽ qua A đờng thẳng song song với BC cắt BN; CP tại H;I
ấp dụng định lí Ta lét
AH
BC
NA
CN
AI
AH

MC
BM
BC
AI
PB
AP
===
;;
thay vào ta có
1..
=
NA
CN
MC
BM
PB
AP
b)
0,5đ
1đ
0,5đ
O
A
B
C
M
N
P
D
E

Kẻ OD; OE song song với AB; AC
Ta có
AB
OD
AM
OM
=
; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên
BC
DE
AM
OM
BC
DE
AB
OD
==>=
BC
BD
CP
OP
BC
EC
BN
ON
==
;
Thay vào hệ thức đợc
1
OM ON OP DE EC BD

AM BN CP BC BC BC
+ + = + + =
0,5đ
0,5đ
Bài 5.(1điểm) Giải phơng trình sau:
2009 2011
3 4 1y y + =
Nhận thấy: y=3 hoặc y=4 là nghiệm của phơng trình
- Nếu y < 3 thì
4y
= 4- y >1 => Phơng trình vô nghiệm
- Nếu 3 < y < 4 thì 0 <
3y
< 1 và 0 <
4y
< 1
Do đó
2009
3y
2009
3y <
3y
= y 3 và
2011
4y
2011
4y <
4y
= 4-y
Suy ra

2009 2011
3 4y y +
2009 2011
3 4y y + < y 3 + 4 y =1 phơng trình vô
nghiệm
- Nếu y > 4 thì
3y
= y 3 > 1 Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm y = 3 hoặc y = 4
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Lu ý:
- Trên đây chỉ là một phơng án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn
cho điểm tối đa
-Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp
với bài làm của học sinh.