Đề&Đáp án HSG Toán 8

Phòng giáo dục Bỉm sơn Đề thi học sinh giỏi lớp 8

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu1:( 5điểm)
1.Chứng minh rằng: (a+b+c)
3
-(a
3
+b
3
+c
3
) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ.
2.So sánh :
1100
1100
....
14
14
.
13
13
.
12
12
A
3
3
3
3
3

3
3
3

+

+

+

+
=
Với
2
3
Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2.
Chứng minh : a
2
+b
2
+c
2
+2abc<2.
Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,z

Z
+
thỏa mãn các phơng trình sau:
1/ xy-4x=35-5y
2/ x+y+z=xyz

Câu 4:(4điểm)
1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x
2
+5y
2
2/ Cho a+b=1 Chứng minh:
3ba
)2ab(2
1a
b
1b
a
2233
+

=

+

Câu 5: (4điểm) Trên đờng chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M. Từ M kẻ đờng thảng ME
vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E
ADF;AB

).
Chứng minh : Các đờng thẳng BF,CMvà DE đồng quy.
Hết .
đáp án
Câu 1:1 Biến đổi: B= (a+b+c)
3
-(a

3
+b
3
+c
3
)=3(a+b)(b+c)(c+a)

3
* a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B

8
* a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B

8
Mà (3;8)=1

B
24
2: Ta có:
1100
1100
....
14
14
.
13
13
.
12
12

A
3
3
3
3
3
3
3
3

+

+

+

+
=
=
10101.99
9901.101
.....
21.3
13.5
.
13.2
7.4
.
7.1
3.3

A=
10101....21.13.7
9001.....13.7.3
.
99......4.3.2.1
101.....5.4.3
=
10101
10100
.
2
3
10101
3
.
2
101.100
=
<
2
3
Câu2: a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0

a<1,b<1,c<1


(1-a) (1-b)(1-c)>0

1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0


-1+
0abc
2
cba
bcacab
2
cba
222222
>
++
+++
++

-1+
( )
0abc
2
cba
2
cba
222
2
>
++

++

1
0abc
2
cba
222
>
++

Hay : a
2
+b
2
+c
2
+2abc<2.
Câu 3:1/ Biến đổi phơng trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trờng hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là
(10;5); (0;7)
2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x
zy

Suy ra : xyz=x+y+z
3xyz3

(*)
Nếu x=y=z
3x;0xxx3
23
===
Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba
Sốkhông bằng nhau.

Từ (*)
1xy3xy
=
hoặc xy=2. Nếu xy=1
1yx
==
(vì x,y
+

Z
)
2zz
+=
(vô lí ). Nếu xy=2
2y;1x
==
(vì x<y) Khi đó :2z=z+3
3z
=
Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó.
Câu 4: 1/Có x=
4
y37 +
khi đó M=
8
49y42y49
2
++
=
( )

55
8
3y7
2
+
+
Vậy Mmin =5 khi y=
7
3
2/Có a=1-b
Vế trái :
( )
3b3b
1
1bb
1
1b1
b
1b
b1
1a
b
1b
a
22
3
333
+

++

=

+


=

+

=
( )
][
( )
( )
3ba
2ab2
3b1b
2b1b2
22
2
2
+

=
+

Suy ra ddpcm
Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM
và BC ; BF và DE lần lợt là E
/

;F
/
và O
Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME
/
CF
/

bằng nhau
MEFMCEMCEEFM
//
==
EFCM

(1).
Mặt khác hình chữ nhật AE E
/
D bằng hình chữ nhật
CF
/
FD
DECFDCFADEDFCAED
==
.Tơng tự có:FB
0CE

là trực tâm tam giác CEF
EFCO

(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy.

A
B
C
D
M
O
F
/
/
E
/
F
E