Gián án Định lí Rolle và wngs dụng

Định lí Rolle và ứng dụng
Định lí Rolle và ứng dụng
Ths. Nguyễn Bá Thủy
I. Đặt vấn đề
Công tác bồi dỡng học sinh khá và giỏi là nhiệm vụ rất quan trọng đợc tiến
hành thờng xuyên và liên tục trong suốt quá trình dạy học nói chung và dạy học toán
nói riêng. Với đối tợng học sinh khá và giỏi, ngời thầy giáo ngoài việc dạy cho học
sinh cách giải bài toán còn cần phải hớng dẫn học sinh cách tìm tòi, định hớng phơng
pháp giải, sáng tạo bài toán mới và đi tìm những lời giải đẹp cho các bài toán. Từ đó
tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong học tập toán.
Với suy nghĩ trên, trong quá trình bồi dỡng học sinh khá và giỏi toán lớp 12
phần phơng trình, chúng tôi đã hớng dẫn học sinh tìm những phơng pháp, những lời
giải hay và độc đáo cho các bài toán, đặc biệt là các bài toán khó. Quá trình đó đã đa
chúng tôi đến với định lí Rôn (Rolle) Một định lí rất đẹp, một công cụ rất mạnh để
giải các bài toán về phơng trình. Đề tài này của chúng tôi sẽ tìm hiểu các ứng dụng
của Định lí Rolle trong việc nghiên cứu các phơng trình.
Trớc hết chúng ta hãy làm quen với định lí này:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b),
ngoài ra f(a) = f(b) thì tồn tại c

(a; b) sao cho f (c) = 0 .
Chứng minh:
Theo định lí Lagrange vì f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên
khoảng (a; b) nên tồn tại c(a; b) sao cho:
ab
afbf
cf


=
)()(

)('
, nhng vì f(a) = f(b)
nên ta có f(c) = 0.
(Định lí này có thể đợc chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng định lí
Lagrange)
Để ứng dụng giải toán ta có thể hiểu định lí Rôn nh sau: Nếu hàm số f(x)
liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra nếu phơng
trình f (x) =0 có n nghiệm trên (a; b) thì ph ơng trình f(x) = 0 có không quá (n+1)
nghiệm trong khoảng đó.
Thật vậy, nếu phơng trình f(x) = 0 có nhiều hơn (n+1) nghiệm trên khoảng (a;
b). Chẳng hạn là n+2 nghiệm, đợc kí hiệu bởi: x
1
< x
2
< ...< x
n+2
, nh vậy ta có
)(...)()(
221
+
===
n
xfxfxf
do đó trong mỗi khoảng (x
i
; x
i+1
) phơng trình f(x) = 0 sẽ
có một nghiệm trong khoảng (a; b) phơng trình f(x) = 0 sẽ có n+1 nghiệm. (Vì
n+2 số x

1
, ...x
n+2
sẽ xác định n+1 khoảng).
Chính nhờ cách hiểu này mà định lí Rôn trở thành một công cụ rất mạnh để
giải toán. Đặc biệt là trong việc giải phơng trình và chứng minh phơng trình có n
nghiệm trong một khoảng nào đó.
Vận dụng định lí Rolle nghiên cứu phơng trình.
Phơng pháp chung: Ta biến đổi ph ơng trình cần giải về dạng: f(x) = 0.
Xét hàm số y = f(x), Tìm số nghiệm của phơng trình y = 0. Giả sử
phơng trình y = 0 có n nghiệm. Khi đó theo định lí Rôn ph ơng
trình f(x) = 0 có không quá n +1 nghiệm.
Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành
1
Định lí Rolle và ứng dụng
Chỉ ra các nghiệm của phơng trình.
Phơng pháp này rất có tác dụng đối với các phơng trình mũ, lôgarít hoặc ph-
ơng trình lợng giác chỉ có hữu hạn nghiệm (nhất là có nghiệm nguyên).
Ta xét các thí dụ sau:
Ví dụ 1. Giải phơng trình:
( )
( )
xcosxcos
4.342xcos1
=++
(T6/267 TH&TT)
Giải.
Đặt cosx = y, điều kiện -1 y 1, ta có phơng trình
( )
( )

01y
42
4.3
)y(f
4.342y1
y
y
yy
=
+
=
=++
Có:
( )
,1
42
4.4ln.6
)y('f
2
y
y

+
=

Đây là phơng trình bậc 2 đối với ẩn 4
y
nên có không quá 2 nghiệm. Do đó theo định
lí Rôn phơng trình f(y) = 0 có không quá 3 nghiệm.
Mặt khác nhận thấy

1;
2
1
;0
===
yyy
là 3 nghiệm của phơng trình f(y) = 0.
Suy ra phơng trình đã cho có các nghiệm tơng ứng là:
,2k
3
x;k
2
x;2kx
+

=+

==
(kZ)
Ví dụ 2. Giải phơng trình

( )
x21logx13
3
x
+++=
(1) (T7/298 TH&TT)
Giải.
Điều kiện
2

1
021
>>+
xx
.
(1)
( )
xxx
x
21log213
3
+++=+

( )
0t,t
)x21(f)3(f
x21logx213log3
x
3
x
3
x
>+=
+=
+++=+
3
logtf(t) với

Với t > 0 ta có f(t) là hàm số đồng biến nên
xxff

x
213 )21()3(
x
+=+=
.
Xét hàm số

2
1
-x với213)(
>=
xxg
x
,
có
23ln3)('
=
x
xg
là hàm số đồng biến, nên phơng trình g(x) = 0 có không quá 1
nghiệm. Theo định lí Rôn ta suy ra phơng trình g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Rõ
ràng ta có g(0) = g(1) = 0.
Vậy phơng trình g(x) = 0 có đúng 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. Hay phơng trình (1) có
đúng 2 nghiệm là x = 0 và x=1.
Trong 2 ví dụ trên chúng ta đã vận dụng định lí Rôn để chứng minh phơng
trình có nhiều nhất là n nghiệm rồi chỉ ra các giá trị nghiệm đó bằng cách dự đoán.
Và việc vận dụng định lí Rôn không đợc đặt ra từ đầu mà chỉ xuất hiện trong quá
trình đi tìm lời giải của bài toán trung gian.
Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho việc vận dụng định lí Rôn ở mức độ phức tạp hơn:
Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành

2
Định lí Rolle và ứng dụng
Ví dụ 3. Hỏi phơng trình
xsin2
100x
=
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [2; 3]?
(T7/305 TH&TT)
Giải.
Với x > 0 ta có
xxxx
xx
sinlg10100
sinsin2
===
Xét hàm số
xxxf sinlg)(
=
với
32 x
Có
,xcos
10lnx
1
)x('f
=
110ln.xcosx0)x('f,xcos
10lnx
1
)x('f

===
Xét hàm số:

=
32 vớicos)( xxxxg
.
Có
xxxxg sincos)('
=
Phơng trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x
0
(2; 3) và ta có
2
5
2
0

<<
x
(Vì
)0)
2
5
().2(
<


gg
.
Hàm số g(x) đồng biến trên (2; x

0
) và nghịch biến trong (x
0
; 3).
Hơn nữa g(2) = 2>
;
10ln
1
g(3) = -3 < 0 nên phơng trình f(x) =0 có đúng một
nghiệm trên (2; 3). Theo định lí Rôn ta có phơng trình f(x) có không quá 2 nghiệm
trên (2; 3).
Mặt khác,
,0)2lg()2(f
>=
f (2 ) lg(2 ) 0,
= >


5 5
f ( ) lg( ) 1 0
2 2

= <
,
0)3lg()3(f
>=
Phơng trình f(x) = 0 có đúng 2 nghiệm trên [2; 3].
Ví dụ 4: Tồn tại hay không các số thực a, b, c để phơng trình sau có 4 nghiệm thực
phân biệt:
xxx2x3

e.
4
1
e.ce.be.a
6
5
x

++=+
(OLP 30/4 2003)
Giải.
Đặt
x
et
=
mỗi giá trị t > 0 cho một nghiệm x = -lnt.
Ta có phơng trình:

0ctbtat
6
5
t
4
1
tln.t
2343
=+++
Xét hàm số:
2343
6

5
4
1
ln.)( ctbtatttttf
+++=
liên tục trong (0; +)
)t1t(ln6)t('"f
,c2t3tln.t6)t("f
;ct2bt
2
3
ttln.t3)t('f
2
232
+=
+=
++=
)1
1
(6)(
)4(
=
t
tf
, với t > 1, f
(4)
(t) > 0
f(t) đồng biến trên (1; +).
với t< 1, f
(4)

(t) < 0 f(t) nghịch biến trên (0; 1)
Suy ra f(t) > f(1) =0 x(0; +)
Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành
3
Định lí Rolle và ứng dụng
f(t) nghịch biến trong (0: +). Do đó f(t) chỉ có thể có nhiều nhất là một
nghiệm t > 0. Theo định lí Rôn ta có f(t) có nhiều nhất là 2 nghiệm t>0 và do đó f(t)
chỉ có thể có nhiều nhất là 3 nghiệm t > 0. Vậy f(t) không thể có 4 nghiệm dơng
phân biệt hay không tồn tại a, b, c để phơng trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt.
Trên đây là một vài thí dụ thể hiện u thế của việc sử dụng Định lí Rôn để giải
các bài toán về phơng trình. Hy vọng rằng các bạn có thể tìm thấy những điều bổ ích
qua bài viết này.
Để luyện tập xin mời các bạn giải các phơng trình sau:
1)
xx cos2)1(coslog
2
=+

(OLP 30/4 2003)
2)
xx
=
]1)13(log3[log
22
3)
1)56(log67
7
1
+=

x
x
4)
12)15(log36
6
+++=
xx
x
5)
2400620052003
+=+
x
xx

(Đề thi HSG tỉnh lớp 12 năm học 04-05)
Tài liệu tham khảo:
1.Tạp chí TH&TT. NXB Giáo dục
2.Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ 9. NXB GD - 2003.
3. PP giải toán Mũ Lôgarit. Lê Hồng Đức (cb). NXB Hà Nội - 2003
Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành
4