Gián án Khái quát hóa BT tổng quát bàng cách mở rộng phạm vi áp dụng PP

Tập dợt khái quát hoá bài toán tổng quát bằng cách mở rộng phạm vi
áp dụng phơng pháp.
Ths. Nguyễn Bá Thủy
Trờng THPT Bắc Yên Thành Nghệ An .
Xác định những bài toán cùng loại, khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng đ-
ờng lối giải cho bài toán tổng quát là kỹ năng tối quan trọng đối với mỗi ngời làm toán. Rèn
luyện kỹ năng này giúp phát huy năng lực t duy sáng tạo trong quá trình học tâp môn toán. Xuất
phát từ thực tiễn dạy học của bản thân, chúng tôi xin đề xuất một hớng để xây dựng bài toán tổng
quát, là: Mở rộng phạm vi áp dụng ph ơng pháp.
Ta xét thí dụ sau:
Bài toán 1: Cho hàm số:
2
x2
2
x2
2
)x(f
+
=
với xR.
Tính tổng:
)1(f)
2000
1999
(f...)
2000
1
(f)0(fS
++++=
? (1)
Lời giải:

Xem xét tổng S ta thấy rằng có thể coi S là tổng của các cặp f(x)+f(1-x).
Trớc hết, ta tính f(1-x), ta có:
2
x2
2
2
2
)x1(2
2
)x1(2
2
)x1(f
+
=
+


=
Suy ra:
1
2
x2
2
2
2
x2
2
x2
2
)x1(f)x(f

=
+
+
+
=+
Ta viết lại tổng S nh sau:
)0(f)
2000
1
(f...)
2000
1999
(f)1(fS
++++=
. (2) (có 2001 số hạng)
Cộng vế với vế 2 đẳng thức (1) và (2) ta có:
[ ] [ ]
1 1999
2S f (0) f (1) f ( ) f ( ) ... f (1) f (0)
2000 2000

= + + + + + +


vế phải có 2001 tổng f(x)+f(1-x).
[ ]
2
2001
)1()(
2

2001
=+ì=
xfxfS
.
Sau khi trình bày lời giải nh trên, ta nhận xét rằng có thể áp dụng phơng pháp trên để giải các
bài toán với tổng S có dạng:
)1(f)
n
1n
(f...)
n
1
(f)0(fS
+

+++=
(*)
Hơn nữa ta có thể mở rộng phạm vi áp dụng phơng pháp giải bằng cách xem Bài toán 1 là tr-
ờng hợp riêng của một bài toán khác tổng quát hơn, để tìm bài toán tổng quát đó ta xem xét lại
lời giải cũng nh đề toán từ đó giữ lại những yếu tố cơ bản và tìm cách thay đổi các yếu tố phụ, với
bài toán trên ta thấy rằng các hệ số đều bằng 2, ta sẽ thay chúng bằng hằng số a>0 và tổng S đợc
cho theo (*). Ta đợc bài toán:
Bài toán 2: Cho hàm số:
a
x2
a
x2
a
)x(f
+

=
(a>0 là hằng số, xR).
Tính tổng:
)1(f)
n
1n
(f...)
n
2
(f)
n
1
(f)0(fS
+

++++=
theo n và a?
Bài toán này có thể đợc giải quyết một cách đơn giản với phơng pháp đã nêu cho Bài toán 1
(chúng tôi xin dành lại cho bạn đọc). Sau khi giải Bài toán 2, với mục đích đi tìm một bài toán
tổng quát hơn ta xem xét lại 2 bài toán trên. Ta nhận thấy:
1
ở Bài toán 1 có thể xem
2
x2
2
0x2
2
)x(f
+
+

=

Và trong Bài toán 2:
a
x2
a
0x2
a
)x(f
+
+
=

Từ đó ta coi hai bài toán trên là trờng hợp riêng của bài toán:
Bài toán3: Cho hàm số:
a
x2
a
kx2
a
)x(f
+
+
=
, (với a, k> 0 là các tham số, xR).
Tính tổng:
)1(f)
n
1n
(f...)

n
1
(f)0(fS
+

+++=
. (*)
(Cho a=2, k=0, n=2000 ta đợc Bài toán1; cho k=0 ta có Bài toán 2).
Công việc còn lại là tìm lời giải cho Bài toán 3, cũng giống nh Bài toán 1, ta tiến hành
nh sau:
Ta có:
(
)
2(1 x) k
2 k 2x k 1
a a a a
f (1 x) .
2x 2x
2(1 x)
2 2x
a a a
a a.a
a a
+
+ +
= = =

+
+
+

k
a
a
x2
a
1k
a
a
x2
a
kx2
a
)x1(f)x(f
=
+
+
+
+
+
=+
.
Viết lại tổng S:
)0(f)
n
1
(f...)
n
1n
(f)1(fS
+++

+=
(**)
Cộng vế với vế 2 đẳng thức (*) và (**) ta có:
[ ] [ ]
1 n 1 n 1 1
2S f (0) f (1) f ( ) f ( ) ... f ( ) f ( ) f (1) f (0)
n n n n


= + + + + + + + +


.
vế phải có (n+1) tổng f(x)+f(1-x).
Suy ra
[ ]
k
a.
2
1n
)x1(f)x(f.
2
1n
S
+
=+
+
=
.

Trên đây chỉ là một thí dụ minh hoạ cho ý tởng nghiên cứu tìm bài toán tổng quát từ các bài
toán cụ thể, có thể các bạn cha thoả mãn nhng dẫu sao theo chúng tôi đó cũng là một hớng hay,
ngoài ra thí dụ trên một lần nữa khẳng định rằng, lời giải của bài toán tổng quát hoàn toàn có thể
đợc suy ra từ tổ hợp lời giải của các trờng hợp riêng. Mong quý độc giả tiếp tục tìm tòi suy nghĩ.
Chúc các bạn thu đợc nhiều thành công!
Tài liệu tham khảo:
1. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy: Phơng pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, H.1992.
2. Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục, H.1997.
3. G.Polya: Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, H.1992
4. Nguyễn Quý Dy (chủ biên): Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, tập 1: Đại số, NXB Giáo dục,
H.2001.
2