5 CHUYÊN đề TOÁN THI vào 10 CHUYÊN

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10
CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TỐN PHỤ
A. LÝ THUYẾT
1. CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.

 A neu A ≥ 0
A2 = A = 
 − A neu A < 0

2.

AB =

3.

A
=
B

4.

A2 B = A

A B

(Với

A
B

(Với
B

5.

A B=

6.

A B = − A2 B

(Với

A2 B

7.

A
1
=
B
B

8.

A
A B
=
B
B

(Với
(Với

AB

(Với

(Với

(

9

C A±B
C
=
A − B2
A±B

1
0

C
C
=
A± B

1
1

( A)
3

3

=

3

(

)

A± B
A− B

(Với

)

(Với

A ≥ 0; B ≥ 0
A ≥ 0; B > 0

B≥0

)

)

A ≥ 0; B ≥ 0
A < 0; B ≥ 0

A ≥ 0; B > 0

B>0

)

)
)
)

)

A ≥ 0; A ≠ B2

)

A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B

A3 = A

2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC

1

)

BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1
.
2
.

A

A
B

3
.

A
B

4
.

A
B

5
.

ĐKXĐ:

ĐKXĐ:

ĐKXĐ:

ĐKXĐ:

A
B

ĐKXĐ:

A≥0

VÍ DỤ
Ví dụ:

B≠0
Ví dụ:

B>0
Ví dụ:
A ≥ 0; B > 0

Ví dụ:
 A ≤ 0

 B < 0
 A ≥ 0

  B > 0

Ví dụ:

Cho a > 0 ta có:
6
.

7
.

x > a
x2 > a ⇔ 
 x < − a

Ví dụ:

Cho a > 0 ta có:

x 2

Ví dụ:

ĐKXĐ:

x ≥ 2018

ĐKXĐ:

x≠3

x+2
x−3

ĐKXĐ:

x>3

x
x−3

ĐKXĐ:

x ≥ 0
⇔ x>3

x > 3

ĐKXĐ:

 x + 1 ≤ 0

  x + 2 < 0 ⇔  x < −2
x ≥ 1
 x + 1 ≥ 0


  x + 2 > 0

x − 2018

x+2
x −3

x +1
x+2

x > a
⇔
x 2 > 1  x < − a

x 2 < 4 ⇔ −2 < x < 2

Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1
.

Dạng tổng quát
1:

A( x ) = k ⇔ A( x ) = ± k

2
.

Dạng tổng quát
2:

A( x ) = B ( x ) ⇔ A( x ) = ± B ( x )

2

( k ≥ 0)

với k là hằng số


3
.

Dạng tổng quát
3:

A( x) = B ( x)
A( x) ≥ 0

• Trường hợp
1

Nếu

• Trường hợp
2

A( x) < 0
Nếu
thì phương trình trở thành
A( x ) = − B ( x )

thì phương trình trở thành

A( x ) = B ( x)

Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng tổng quát
1:
1
.

f ( x) < g ( x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x)

k >0
Đặc biệt với hằng số
thì
f ( x ) < k ⇔ − k < f ( x) < k
Dạng tổng quát
2:

2
.

 f ( x) > g ( x)
f ( x) > g ( x ) ⇔ 
 f ( x) < − g ( x)

Đặc biệt với hằng số
3
.

k >0

thì

 f ( x) > k
f ( x) > k ⇔ 
 f ( x) < − k

Dạng tổng quát
3:
2

2

2

2

• Trường hợp
1

f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x )

• Trường hợp
2

f ( x) < g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x)

Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b khơng âm ta có:

a + b ≥ 2 ab

⇔a =b
Dấu “ = ” xảy ra

3


Ví dụ: cho

x≥2

A= x+

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
x

Hướng dẫn

Vì

x ≥ 1 > 0.

A= x+

Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có
⇔x=

Dấu “ = ” xảy ra
Vậy

1
1
≥ 2 x. = 2
x
x

1
⇔ x =1
x

Amin = 2 ⇔ x = 1

Ví dụ: cho

x≥2

B = x+

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
x

Hướng dẫn
Cách giải sai: Vì
B = x+

x ≥ 2 > 0.

1
1
≥ 2 x. = 2
x
x

⇔x=

Dấu “ = ” xảy ra
Vậy

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có

1
⇔ x =1
x

(khơng thỏa mãn vì

x≥2

)

Bmin = 2 ⇔ x = 1

Gợi ý cách giải đúng:

Dự đoán

Bmin

đạt được tại mức

x=2

B = nx +

ta có

1

 nx =
⇔
x

x = 2

4

1
+ x − nx
x

. Dấu “ = ” xảy ra


B=

Do đó ta có

3x  x 1 
+ + ÷
4 4 x

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có

4 1
x 1
1
+ ≥2
. = 2. = 1
x x
4 x
2

⇔

Dấu “ = ” xảy ra
Bmin =

Vậy

x 1
= ⇔x=2
4 x

(vì

x≥2

)

5
⇔ x=2
2

Ví dụ: cho

x≥3

C = x+

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
x

Hướng dẫn
x ≥ 3 > 0.
Tương tự: Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có
1 8 x  x 1  10
C = x+ =
+  + ÷≥
x 9 9 x 3

Dấu “ = ” xảy ra

⇔ x=3

D=

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x + 12
x +2

với

x≥0

Hướng dẫn
D=

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra

⇔ x=4

3. CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC

5

x+2 +

16
−4≥ 4
x +2

Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử,
phân tích tử thành nhân tử
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu
Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hồn thành việc rút gọn

Ví dụ: Rút gọn biểu thức


x +2
x − 2   x +1

A = 
−
.
−
x
+
1
÷

÷
x −1 ÷

 x + 2 x +1
 x

Hướng dẫn

Điều kiện:

x > 0

x ≠ 1

6



x +2
x − 2   x +1

A = 
−
.
− x + 1÷
÷
÷
x −1   x

 x + 2 x +1

A=



(


(
A=

 (
A=
A=

(

x +2


 . x +1+ x − x
x
x +1 


x −2

−

) ( x − 1) (
x + 2 ) ( x − 1) (
−
x + 1) ( x − 1) (
x +1

2

)(

x − 1) (
x −2

2

2 x

)(

x +1

2

)

)

x +1  x +1
.
2 
x
x +1 


)

x +1
x

.

x −1

)

2
x −1

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức.
a)
c)

A = 6−2 5

b)

C = 19 − 8 3

d)

B = 4 − 12
D = 5−2 6

Hướng dẫn

A= 6−2 5 =

a)

(

)

5 −1

2

=

(

B = 4 − 12 = 4 − 2 3 =
b)
C = 19 − 8 3 =

( 4 − 3)

D = 5−2 6 =

(

c)

d)

2

3− 2

5 −1 = 5 −1

)

)

3 −1

2

=

3 −1

= 4− 3 = 4− 3

2

=

3− 2 = 3− 2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức.

7


a)

c)

A = 4+2 3

b)

C = 9−4 5

d)

B = 8 − 2 15
D = 7 + 13 − 7 − 13

Hướng dẫn

(

A = 4+2 3 =
a)

)

3 +1

(

B = 8 − 2 15 =
b)

c)

= 3 +1

)

15 − 1

( 2− 5)

C = 9−4 5 =

2

2

D = 7 + 13 − 7 − 13 =
=

d)

1 

2

(

)

2

13 + 1 −

(

2

= 15 − 1

= 5 −2
1
2

(

14 + 2 13 − 14 − 2 13

)

2
13 − 1  = 2


)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức.

A=
a)
C=
c)

d)

b)

6+2 5
5−2 6
+
5 +1
3− 2

B=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100

D = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7
Hướng dẫn

A=
a)

6+2 5
5−2 6
5 +1
3− 2
+
=
+
=2
5 +1
3− 2
5 +1
3− 2

8

3
4
1
+
+
5− 2
6+ 2
6+ 5


3
3
4
1
+

+
=
5− 2
6+ 2
6+ 5

B=
b)

5+ 2
3

) + 4(

6− 2
4

)+

(

6− 5

)

= 5+ 2+ 6− 2+ 6− 5=2 6

1
1
1

1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100

C=
=
c)

(

(

) (

) (

2 −1 +

)

3− 2 +

4 − 3 + ... +

(

)

100 − 99 = 9
5 2 +7 −5 2 +7

D = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7 =

(5

3

2 +7

)

2

(

)(

) (

+ 3 5 2 +7 5 2 −7 + 3 5 2 −7

)

2

=2

d)
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức.
a)

A = 3−2 2 − 6− 4 2

C=
c)

(

14 + 6

)

b)

5 − 21

B = 9+4 5 − 9−4 5

D=
d)

3 + 3 5 − 2 − 10
6+2 5

Hướng dẫn

a)
b)

A = 3 − 2 2 − 6 − 4 2 = 2 −1 − 2 + 2 = 2 2 − 3
B = 9+4 5 − 9−4 5 = 5 + 2 − 5 + 2 = 2 2

C=

(

D=

3 + 3 5 − 2 − 10
=
6+2 5

c)

d)

14 + 6

)

5 − 21 =

(

(

)

7 + 3 . 10 − 2 21 =

)(

5 +1 3 − 2

(

)

5 +1

2

(

) = ( 3− 2) (

)(

7+ 3 .

)

7− 3 =4

)

5 −1

4

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức.
a)

A = 4−2 3 + 4+2 3

c)

9

C = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7


b)

B=

5 − 3 − 29 − 12 5

d)

D = 3 2+ 5 + 3 2− 5

Hướng dẫn
a)

b)

A = 4 − 2 3 + 4 + 2 3 = 3 −1+ 3 +1 = 2 3

B=

5 − 3 − 29 − 12 5 =

5 − 6−2 5 =

5 − 5 +1 = 1
14

C = 3 5 2 +7 − 3 5 2 −7 =
3

(5

2 +7

)

2

(

)(

) (

+ 3 5 2 +7 5 2 −7 + 3 5 2 −7

)

2

=2

c)
4

D = 3 2+ 5 + 3 2− 5 =
3

d)

( 2 + 5)

2

−

3

( 2 + 5) ( 2 − 5) + ( 2 − 5)
3

2

=1

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức.
a)

c)

b)

A= 7−4 3 − 7+4 3

B = 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3

C = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2

d)

D = 3 9+ 4 5 + 3 9−4 5

Hướng dẫn
a)

b)

A = 7 − 4 3 − 7 + 4 3 = 2 − 3 − 2 − 3 = −2 3

B = 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3 = 5 − 2 3 − 1 + 3 + 2 3 + 1

= 5 − 2 3 −1 + 3 + 2 3 +1 = 2 3

10

c)

C = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2
40

=
3

( 20 + 14 2 )

2

(

)(

d)

D = 9+ 4 5 + 9−4 5
3

)

2

=4

18

=
3

) (

− 3 20 + 14 2 20 − 14 2 + 3 20 − 14 2

3

( 9 + 4 5)

2

(

)(

) (

− 3 9+4 5 9−4 5 + 3 9−4 5

)

2

=3

Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức.
a)
c)

A = 11 + 6 2 + 11 − 6 2

b)

C = 3− 2 2 − 6− 4 2

B = 41 − 12 5 − 41 + 12 5

D=

5−

(

3 − 29 − 12 5

d)

)

Hướng dẫn
a)
b)
c)

A = 11 + 6 2 + 11 − 6 2 = 3 + 2 + 3 − 2 = 6
B = 41 − 12 5 − 41 + 12 5 = 6 − 5 − 6 − 5 = −2 5

C = 3 − 2 2 − 6 − 4 2 = 2 −1 − 2 + 2 = 2 2 − 3

D=
d)

5−

(

)

3 − 29 − 12 5 =

5 − 3−2 5 +3 =

5 − 5 +1 = 1

Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài tốn phụ
Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

A

KHI

x = x0 .

Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức
đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả.

A = 2x + x − 4
Ví dụ: Cho biểu thức

11


A

a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của

A

.

khi

x = 3.

Hướng dẫn
2 x + x − 4 khi x ≥ 4 3 x − 4 khi x ≥ 4
A = 2x + x − 4 = 
=
2 x − x + 4 khi x < 4  x + 4 khi x < 4

a) Ta có
b) Khi

x=3

ta có:

A = 3 + 4 = 7.

x −1 2 x
2−5 x
−
+
4− x
x +2
x −2

A=
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
x=
b) Tính giá trị của A khi

2
.
2− 3
Hướng dẫn

A=

x −1 2 x
2 − 5 x − 2x
−
+
=
4− x
x +2

x −2

(

)(

x −1

a)

=

x−4 x +4

( 2− x) ( 2+ x)
x=

b) Ta có:
x=
Khi

=

2− x
2+ x
với ĐKXĐ:

(

) (

2
= 2 2+ 3 =
2− 3

2
.
2− 3

A=
Ta có:

)

)

( x + 2) + 2 − 5
x) ( 2+ x)

x −2 +2 x

( 2−

x ≥ 0; x ≠ 2.

2

3 +1 ⇒ x = 3 +1

2 − 3 −1 1− 3 3 − 2 3

=
=
.
3
2 + 3 +1 3 + 3

Ví dụ: Cho biểu thức

 x +2
x −2 
4x
A = 
−
:
÷
2
÷
 x − 1 x − 2 x + 1  ( x − 1)

a) Rút gọn A.

12

x − 2x


x − 5 = 4.
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn

a)


 x +2
x −2 
4x
A = 
−
:
=
÷
2
÷


 x − 1 x − 2 x + 1  ( x − 1)


=

2 x

(

)(

x +1

)

x −1

.
2

( x − 1)

2

x +2

)(
(

) ( x − 2) (
x + 1) ( x − 1)

x −1 −

2

x +1
2 x

=

4x

(

với ĐKXĐ:

x > 0; x ≠ 1.
A=

x −5 = 4 ⇔ x −5 = 4 ⇔ x = 9 ⇒ x = 3
b) Khi

. Ta có

Ví dụ: Cho biểu thức

 2 xy
x+ y
A=
−
 x− y 2 x −2 y


3 +1 2
=
6
3

 2 x
.
÷
÷ x− y


a) Rút gọn A.
x 4
= .
y 9

b) Tính giá trị của A biết

Hướng dẫn

a)


 2 xy
x+ y  2 x
 4 xy − x − 2 xy − y
A=
−
.
=
÷
 x− y 2 x −2 y ÷ x − y 2 x − y
x+ y




(


=

2



(

b) Ta có

−

(

x− y

)(

)


÷. 2 x =
x+ y ÷
÷ x− y


x− y

)(

2

)

x+ y
1
=−
= −1 −
A
x

− x
x+ y

y
x

13

)

)

x + 1 ÷ ( x − 1) 2
.
÷ 4x
÷



÷. 2 x
÷ x− y




Khi

x 4
= ⇔
y 9

y 3
=
x 2

1
3 −5
−2
= −1 − =
⇔ A=
A
2 2
5

. Ta có

Ví dụ: Cho biểu thức

 x2 − 2 x
 1 2
2 x2
A= 2

+ 3
÷. 1 − − 2 ÷.
2
 2x + 8 x − 2x + 4x − 8   x x 

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết

x = 4 − 2 3.

Hướng dẫn

a)

 ( x2 − 2 x ) ( x − 2) + 4x2   x2 − x − 2  
x3 + 4 x
÷

A=
.
=

÷
2
 2 ( x2 + 4) ( x − 2) ÷ 
x2
  2 ( x + 4 ) ( x − 2 )



  ( x + 1) ( x − 2 ) 
÷. 
÷ = x +1
÷
x2


2x

với ĐKXĐ:

b) Khi

x = 4 − 2 3 = 3 −1

A=
. Ta có
A=

Ví dụ: Cho biểu thức

3 −1+1 3 + 3
=
5
2 3−2

x− x
1
1
+

−
.
x −9
x +3
x −3

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết

x = 11 − 6 2
x=

c) Tính giá trị của A biết

d) Tính giá trị của A biết

.

1
1
−
3 −1
3 +1


x = 2 


.

2
−
3 +1

2 
÷.
3 −1 ÷


Hướng dẫn

14

x ≠ 0; x ≠ 2.


A=
a)

x − x + x −3− x −3
=
( x + 3) ( x − 3 )

x = 11 − 6 2 =
b) Khi
x=
c) Khi

(

3− 2

x +2
x +3

)

2

2
−
3 +1

A=
. Ta có:

2 
÷= 2
3 −1 ÷


(

. Ta có:

(

−4
3 −1 +

3 +1

)

5 − 2 28 − 2
=
.
34
6− 2

3
A= .
4

)

3 −1 −

3 +1 =

d) Khi
=

x ≥ 0; x ≠ 9.

⇔ x = 3− 2

1
1
−

=1⇔ x =1
3 −1
3 +1


x = 2 


với ĐKXĐ:

(

2

(

)

3 −1− 3 −1
3 −1 +

3 +1

)

(Loại)

Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
• Nếu bài tốn u cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A−k = 0 tính kết

quả, kết hợp với điều kiện để kết luận.
• Nếu bài tốn u cầu tìm x để A > k (≥,≤,< k). Ta đi đánh giá dựa
vào điều kiện hoặc đi xét hiệu A−k > 0 với điều kiện của đề bài để tìm x.
A=
Ví dụ: Cho biểu thức

2− x
2+ x

với

x ≥ 0, x ≠ 4.

Tìm

x

để

1
A=− .
2

Hướng dẫn
A=−
Để

1
2− x
1

⇔
= − ⇔ 2 x − 4 = x + 2 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36.
2
2
2+ x

Ví dụ: Cho biểu thức

(thỏa mãn điều kiện)

2
1 
 1
  2
A=
−
÷:  x − 4 −
÷.
x −2
 x +2 x+4 x +4 

a) Rút gọn A.

15


b) Tìm x để A = 0.
Hướng dẫn

a)


 
x +2−2÷ 

A=
:
2 ÷

 x + 2 ÷ 



(

)

(

 
÷=
x + 2 ÷ 
 

2− x −2
x −2

)(

)


÷.  −
2 ÷
x + 2 ÷ 

x

(

)

(

x −2

)(

)

x +2  2− x
÷=
÷
x
x +2


với ĐKXĐ:
A=0⇔
b) Để

2− x
= 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4.
x +2
P=

Ví dụ: Cho biểu thức
x ≥ 0; x ≠ 4.

x > 0, x ≠ 4.

(không thỏa mãn điều kiện)

x
x
x−2 x
+
−
x−4
x −2
x +2

Q=
và

x +2
x −2

với

a) Rút gọn P.
b) Tìm x sao cho P= 2.
Hướng dẫn
P=

x

(

)

(
( x − 2) (

x +2 + x

a)
P=2⇔
b) Để

)

x −2 − x+2 x
x +2

)

x
.
x −2

=

x
= 2 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16.
x −2
A=

Ví dụ: Cho biểu thức

1
x −3

(TMĐK)

với

x ≥ 0, x ≠ 9.

Hướng dẫn
A >1⇔
Để

1
>1⇔
x −3

1
−1 > 0 ⇔
x −3

x −4
<0
x −3

16

Tìm

x

để A > 1.


 

 
⇔
 

 

x −4>0

  x > 16

x −3< 0
x < 9
⇔
⇔ 9 < x < 16

 x < 16
x −4<0

  x > 9
x −3 > 0
(TMĐK)
A=

Ví dụ: Cho biểu thức

3 x −5
2 x +1

x ≥ 0.

với

Tìm

x

để

3
A< .
2

Hướng dẫn

A<

3
3 x −5 3
−13
⇔
< ⇔
<0
2
2 x +1 2
2 2 x +1

(

Cách 1: Để
A−

Vậy

3
2

với

(luôn đúng)

3
−13
=
2 2 2 x +1

(

Cách 2: Xét hiệu

A<

)

)

<0

x ≥ 0.

Ví dụ: Cho biểu thức

3
x
3 x −3
 1
 
A=
+
−
÷.
÷: 
 x +3 x x −9 x   x +3 x+3 x ÷


a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A > 1.
Hướng dẫn

a)


x−3 x +3
A=
 x x −3
x +3


(

)(

)

 

÷:  x − 3 x + 3 ÷ =
÷  x x +3 ÷
 


(

)

17

1
.
x −3
với

x > 0, x ≠ 9.


A >1⇔
b) Để

1
−1 > 0 ⇔
x −3

Ví dụ: Cho biểu thức

x −2
<0
x −3
⇔ 4 < x < 9.

(TMĐK)

 x2 − 2 x
 1 2
2x2
A= 2
+ 3

÷. 1 − − 2 ÷.
2
 2x + 8 x − 2x + 4x − 8   x x 

a) Rút gọn A.

b) Giải bất phương trình

1
A> .
3
Hướng dẫn

a)

 ( x2 − 2 x ) ( x − 2) + 4x2   x2 − x − 2  
x3 + 4 x
÷

A=
.
=
÷ 
2
 2 ( x 2 + 4 ) ( x − 2 ) ÷ 
x2
  2 ( x + 4) ( x − 2)



  ( x + 1) ( x − 2 ) 
÷. 
÷ = x +1
÷
x2


2x

với ĐKXĐ:
A>
b) Để

x > 3
1
x −3
⇔
>0⇔
3
6x
x < 0
P=

Ví dụ: Cho biểu thức
x ≥ 0; x ≠ 4.

(TMĐK)
x
+
x −2

x
x−2 x
−
x−4
x +2

a) Rút gọn P.

b) Tìm M = P : Q. Tìm giá trị của x để

1
M2 < .
4

Hướng dẫn
P=
a)

x

(

)

(
( x − 2) (

x +2 + x

)

x −2 − x+2 x
x +2

)

x ≠ 0, x ≠ 2.

=

x
.
x −2

18

Q=
và

x +2
x −2

với


x
x +2

M = P :Q =

b)

M2 <

x
1
x +2
< ⇔
< 0 ⇔ x < 2 ⇔ x < 4.
x −2 2
2 x −2

1
1
⇔04
2

(

Để
Kết hợp với ĐKXĐ:

)

0 ≤ x < 4.

x −1
x −2

A=
Ví dụ: Cho biểu thức

b) Rút gọn biểu thức

và

x− x +2
x− x −2

với

x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4.

x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8

a) Tính giá trị biểu thức A khi

P=

B=

B
.
A
3
P x ≥− .
2

c) Tìm giá trị nguyên của x để

Hướng dẫn
a) Khi

P=
b)

x = 5+ 2 −4− 2 +8 = 9 ⇔ x = 3
B
=
A

(

x− x +2

P x ≥−
c) Để

)(

x +1

x −2

)

.

. Ta có

A=2

x −2 x− x +2
=
x −1
x −1

3
x x −x+2 x 3
2 x x − 2 x + 4 x + 3x − 3
⇔
+ ≥0 ⇔
≥0
2
x −1
x +1 2
2 x −1
x +1

(

)(

)

(

19

)(

)


Ví dụ: Cho biểu thức:

3
x
3 x −3 
 1
 
A=
+
−
÷
÷: 
 x +3 x x −9 x   x +3 x +3 x ÷


a) Rút gọn.
b) Tìm

x

để

A >1

Hướng dẫn: ĐK:

x > 0; x ≠ 9

3
x
3 x −3
 1
 
A=
+
−
÷
÷: 
 x +3 x x −9 x   x +3 x+3 x ÷

 1
 
3
x
3 x −3 
A=
+
−
÷
÷: 
x ( x − 3)( x + 3)   x + 3
x ( x + 3) ÷
 x +3

A=

A=
A=

x −3 x +3
x −3 x +3
:
x ( x − 3)( x + 3) x ( x + 3)
x −3 x +3
x ( x + 3)
.
x ( x − 3)( x + 3) x − 3 x + 3
1
x −3
1
1− x + 3
>1⇔
>0
x −3
x −3
⇔

b) Với
Với

x > 0; x ≠ 9

x > 0; x ≠ 9

để

để

A >1

A >1

thì

Ví dụ: Cho biểu thức:

thì

4− x
>0
x −3

  4 − x > 0
  x < 16


  x − 3 > 0
x > 9
⇔
⇔
⇔ 9 < x < 16
  x > 16
  4 − x < 0


  x < 9

x
−
3
<
0
 

9 < x < 16

 x2 − 2x
  1 2
2x2
A= 2
+ 3
÷: 1 − − 2 ÷
2
 2x + 8 x − 2x + 4x − 8   x x 

a) Rút gọn.

20


A>

b) Giải bất phương trình

1
3

HDG:
ĐKXĐ:

x ≠ 0; x ≠ 2

 x2 − 2 x
 1 2
2x2
A= 2
+ 3
÷.  1 − − 2 ÷
2
 2x + 8 x − 2x + 4x − 8   x x 
 x2 − 2 x
 x2 − x − 2
2 x2
A=
+
÷.
2
2
x2
 2( x + 4) ( x + 4)( x − 2) 
A=

x3 − 2 x 2 − 2 x 2 + 4 x + 4 x 2 x 2 − x − 2
.
2( x 2 + 4)( x − 2)
x2

x( x 2 + 4)
x2 − x − 2
.
2( x 2 + 4)( x − 2)
x2
( x + 1)( x − 2) x + 1
A=
=
2 x ( x − 2)
2x
A=

b) Với

x ≠ 0; x ≠ 2

A>

để

1
3

thì

P=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn

b) Biết

x +1 1
3x + 3 − 2 x
x +3
> ⇔
>0⇔
>0
2x 3
6x
6x
 x + 3 > 0
  x > −3


x > 0
x > 0
x > 0

⇔
⇔
⇔
 x + 3 < 0
  x < −3
 x < −3


  x < 0
  x < 0
x
+

x −2

x
x−2 x
−
x−4
x +2

P

M = P :Q

Tìm giá trị của

x

M2 <

để

HDG:
a) Với

x ≥ 0; x ≠ 4

ta có:

21

1

4

Q=
và

x +2
x −2

với

x ≥ 0; x ≠ 4


P=

x
x
x−2 x
+
−
=
x−4
x −2
x +2

P=

x
x −2

M = P :Q =
b)
M2 <

⇔ 

Do

x
x
x ( x − 2)
+
−
x −2
x + 2 ( x + 2)( x − 2)

x
x +2
:
=
x −2 x −2

x
x +2

1
1
1
⇔ ( M − )( M + ) < 0
4

2
2
x
1 
x
1
− ÷
+
÷
÷< 0
x + 2 2 ÷
 x + 2 2 

x
1
+ >0⇒
x +2 2

x
1
− <0
x +2 2

x −2
<0⇒ x −2<0
2( x + 2)
⇔ x<4
⇔

Để

Với

M2 <

x ≥ 0; x ≠ 4

1
4

để

thì

x −1
x −2

A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Tính giá trị biểu thức
P=

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm giá trị nguyên của

x

A

0≤ x<4

khi

B=
và

x− x +2
x− x −2

x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8

B
A

P x≥

để

với

x > 0; x ≠ 1; x ≠ 4

−3
2

HDG:

22

x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8 =
a)Ta có:
Thay
A=

(5+ 2)

2

−

( 3+ 2)

2

+8

x = 5 + 2 − 3 − 2 + 8 = 10 > 0

x = 10(TM )

vào biểu thức

A

ta có:

10 − 1 ( 10 − 1)( 10 + 2) 9 10 − 2
=

=
10 − 4
6
10 − 2

B=

b)

x− x +2
x− x +2
=
x − x − 2 ( x + 1)( x − 2)

P=

Có:

B
x− x +2
x −1 x − x + 2
=
:
=
A ( x + 1)( x − 2) x − 2
x −1

DẠNG 3: SO SÁNH BIỂU THỨC
số)

A

VỚI

k

HOẶC BIỂU THỨC

B k
( là hằng

A
A
Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức với hằng số hay biểu
A
A
thức khác là thì ta đi xét hiệu và xét dấu biểu thức này rồi kết luận.

A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn

2 x
x+9 x
−
x −9
x −3

A

P=
b) Hãy so sánh

A
B

với

1

Hướng dẫn:
A=
a)

x
x +3

23

B=

và

x+5 x
x − 25

với

x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25

P=
b)Ta có:

x
x+5 x
:
=
x + 3 x − 25

A
=
B

x −5
−1 =
x +3

P −1 =
Xét hiệu:

A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn

x −5
x +3

−8
<0

x +3

với

x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25

2 x −9
x + 3 2 x −1
−
−
x−5 x +6
x − 2 3− x

với

x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4

A

b) Hãy so sánh

1
A

với

1

HDG:
x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4

a) với
A=
A=

2 x −9
x + 3 2 x +1 2 x − 9 − x + 9 + 2x − 3 x − 2
−
−
=
x−5 x +6
x − 2 3− x
( x − 2)( x − 3)
x− x −2
( x − 2)( x − 3)

b) Xét hiệu:

Vậy

=

x +1
x −3

x −3
−1 =
x +1

1

−1 =
A

x − 3 − x −1
=
x +1

−4
<0
x +1

1
1
−1 < 0 ⇒ < 1
A
A

A=
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn

3x + 9 x − 3
x +1
x −2
−
+
x+ x −2
x − 2 1− x

A

b) Hãy so sánh

A

với

1
2

24

với

x ≥ 0; x ≠ 1


HDG:
x ≥ 0; x ≠ 1

Với
A=

3x + 9 x − 3
x +1
x − 2 3x + 3 x − 3 − x + 1 − x + 4
−
+
=
x+ x −2

x + 2 1− x
x −1
x +2

A=

(
( x − 1) ( x + 2) (
x+3 x +2

=

Ví dụ: Cho biểu thức:
x ≥ 0; x ≠ 1
a) Rút gọn

)(
x − 1) (

x +1

(

)=
x + 2)
x +2

)(

)

x +1
x −1

 1
 
2 x
x+ x
1 
A = 
−
:
+
÷

÷
÷
÷
 x −1 x x − x + x −1   x x + x + x +1 x + 1 

A

b) Hãy so sánh

A

với

1

 1
 
2 x
x+ x
1 
A = 
−
:
+
÷

÷
÷
÷
 x −1 x x − x + x −1   x x + x + x + 1 x + 1 
 1
 
2 x
x ( x + 1)
1 
A = 
−
:
+
÷

÷
÷
÷
 x − 1 ( x − 1)( x + 1   ( x + 1)( x + 1) x + 1 

A=

( x − 1) 2
x +1
x −1 x + 1
:
=
.
=
x +1
( x − 1)( x + 1) x + 1
x +1
A −1 =

Xét hiệu

x −1
−1 =
x +1

x −1
x +1

x −1 − x −1
−2
=
<0
3( x + 1)
3 x +1

(

)

⇒ A <1

Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn


x −1  
6 x +1
x 
A =  2 −
:
+
÷

÷

2 x −3÷
x +1 ÷

  (2 x − 3)( x + 1)


A

25

với