9 chuyên đề ôn thi vào 10 thpt môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 66 trang )
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Chuyên đề 1
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
VÀ CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN CĂN THỨC BẬC HAI
Mọi liên hệ xin gửi về địa chỉ gmail :
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Các phép toán biến đổi căn bậc hai.
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai :
( )
2
x 2 1 x 1 5 x 2 0
⇔ − + + + − − =
;
+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai :
( )
A.B A. B A 0,B 0= ≥ ≥
.
+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai :
( )
A A
A 0,B 0
B
B
= ≥ >
.
+) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai :
( )
2
A B A B B 0
= ≥
.;
+) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :
( ) ( )
2 2
A B A B A 0,B 0 ; A B A B A 0,B 0
= − < ≥ = ≥ ≥
;
+) Khử mẫu của biểu thức lấy căn :
( )
A 1
AB AB 0,B 0
B B
= ≥ ≠
;
+) Trục căn thức ở mẫu :
( )
A A B
B 0
B
B
= >
;
( )
( )
C A B
C
A 0, B 0,A B
A B
A B
−
= ≥ ≥ ≠
−
+
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho biểu thức : Cho biểu thức :
a 2a a
P
a 1 a a
-
= -
- -
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với
a 3 8= -
c) Tìm a để P < 0.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2000 – 2001).
Gợi ý
a) ĐKXĐ : a > 0,
a 1≠
; P
a 1= -
b) Ta có
( ) ( )
2 2
a 3 8 3 2 2 2 2 2 1 2 1= - = - = - + = -
( )
2
a 3 8 2 1 2 1 2 1Þ = - = - = - = - Î
ĐKXĐ
Thay
a 2 1= -
vào P, ta được : P =
( )
P 2 1 1 2 2= - - = -
.
Vậy P =
P 2 2= -
khi
a 3 8= -
.
c) P < 0
Û
a 1 0 a 1 0 a 1- < Û < Û £ <
. Kết hợp với ĐKXĐ, P < 0 khi 0 < a < 1.
Ví dụ 2. Cho biểu thức :
x 2 x 1
A
x 1 x( x 1)
-
= -
- -
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A. b) Tính giá trị của A với x =36.
c) Tìm x để
A A>
.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2001 – 2002).
Đáp án gợi ý :
a. ĐKXĐ : P có nghĩa
( )
x 0
x 0
x 1 0
x 1
x x 1 0
ì
ï
³
ï
ï
ì
ï
>
ï
ï
ï
Û - ¹ Û
í í
ï ï
¹
ï ï
î
ï
- ¹
ï
ï
î
. ĐS :
x 1
A
x
-
=
b. Biến đổi x = 36
Î
ĐKXĐ
Þ
x
=
( )
2
36 6 6 6= ± = ± =
.
Thay x = 36 vào biểu thức A , ta được A =
36 1 5
6
36
-
=
.
Vậy
5
A
6
=
khi x = 36.
c. Ta có
A A A 0> Û < Û
x 1
x
-
< 0
Với x
Î
ĐKXĐ thì
x 0>
. Để
x 1
x
-
< 0 thì
x 1 0 0 x 1- < Û £ <
.
Kết hợp với ĐKXĐ,
A A>
khi 0 < x < 1.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
1
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Ví dụ 3. Cho biểu thức:
1 1 1
A 1
x 1 x 1 x
æ öæ ö
÷ ÷
ç ç
= + +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è øè ø
- +
a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi x =
1
4
.
c) Tìm giá trị của x để:
A A=
.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2003 – 2004).
Gợi ý.
a) ĐKXĐ : x > 0,
x 1¹
; A =
2
x 1-
.
b. Ta có x =
1
4
Î
ĐKXĐ. Thay vào A ta được :
2
A 4
0,5 1
= =-
-
.
c. Ta có :
A 0
A A
A 1
é
=
ê
= Û
ê
=
ë
. Suy ra
2
0
2 2
x 1
x 9
2
x 1 x 1
1
x 1
é
ê
=
ê
-
ê
= Û Û =
ê
- -
ê
=
ê
-
ë
.
Kết hợp ĐKXĐ,
A A=
khi x = 9.
Ví dụ 4. Cho biểu thức:
1 1 3
M :
x 3 x 3 x 3
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
- + -
a) Rút gọn M. b) Tìm x để M >
1
3
.
c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2002 – 2003).
Đáp án gợi ý :
a) ĐKXĐ :
x 0 ; x 9³ ¹
;
2
M
x 3
=
+
.
b) Ta có M >
1
3
Û
2 1 3 x
0
3
x 3 x 3
-
> Û >
+ +
.
Với x
Î
ĐKXĐ thì
x 3+
> 0. Để
3 x
0
x 3
-
>
+
cần
3 x 0 0 x 9- > Û £ <
.
Kết hợp ĐKXĐ, M >
1
3
khi
0 x 9£ <
.
c) Ta có M =
2 2
3
x 3
£
+
với x
Î
ĐKXĐ.
Đẳng thức xảy ra
Û
x 0 x 0= ⇔ =
(x
Î
ĐKXĐ). Vậy maxM =
2
3
khi x = 0.
LUYỆN TẬP
1. Cho biểu thức:
1 1
P 1 .
x 1 x x
æ ö
÷
ç
= +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
- -
.
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của A với x = 25.
c) Tìm x để :
2
P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + +
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2004 – 2005).
2. Cho biểu thức
:
( )
+
= +
÷
− − −
2
1 1 x 1
P
x x 1 x 1 x
a) Rút gọn P ; b) Tìm x để P > 0.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2006 – 2007)
3. Cho biểu thức A =
x 1 1
:
x 1 x x x 1
−
÷
÷
− − −
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0.
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
A x m x= −
có nghiệm.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2007 – 2008)
4. Cho biểu thức:
3 1 1
P :
x 1
x 1 x 1
æ ö
÷
ç
= +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
-
+ +
a) Rút gọn P ; b) Tìm các giá trị của x để
5
P
4
=
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 12 1
M .
P
x 1
+
=
-
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
2
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2008– 2009)
5. Cho biểu thức :
x x 1 x 1
A
x 1
x 1
+ −
= −
−
+
.
a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tính giá trị của biểu thức A khi
9
x
4
=
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2009 – 2010)
6. Cho biểu thức
= − −
−
− +
x 2 2
A
x 1
x 1 x 1
.
a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1).
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2010 – 2011)
7. Cho biểu thức :
( )
2
1 1 x 1
A :
x x x 1
x 1
+
= +
÷
− −
−
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A ; b) Tìm giá trị của x để
1
A
3
=
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9
x
.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2011 – 2012)
8. Cho biểu thức :
1 1 x 2
A .
x 2 x 2 x
−
= +
÷
+ −
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A ; b) Tìm tất cả các giá trị của x để A
1
2
>
.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để
7
B A
3
=
là một số nguyên.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2012 – 2013).
9. Cho biểu thức :
2 1 1
P :
x 4
x 2 x 2
= +
÷
−
+ +
a) Tìm ĐKXĐ và rút biểu thức P. b) Tìm x để P =
3
2
.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2013 – 2014).
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. a) ĐKXĐ :
x 0
x 0
x 1
x x 0
ì
³
ì
ï
>
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
¹
- ¹
ï ï
î
î
;
( ) ( )
( )
2
1 1 x 1 1 1 x 1 1
P 1 .
x 1 x x x 1 x 1
x x 1 x x 1
x 1
æ ö
- +
÷
ç
= + = × = × =
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
- - - -
- -
-
b) Ta có x = 25
Î
ĐKXĐ. Thay x = 25 vào biểu thức
( )
2
1
P
x 1
=
-
, ta được
P =
( )
2
2
1 1 1
P
4 16
5 1
= = =
-
. Vậy P =
1
16
khi x = 25.
c. Với
2
P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + +
,
( )
2
1
P
x 1
=
-
Ta có phương trình :
( )
( ) ( )
2
1
2 3 x 1
x 1
+ -
-
. = x – 2005 +
( )
2 3+
Û
x – 2005 = 0
Û
x = 2005
Î
ĐKXĐ.
Vậy
2
P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + +
khi x = 2005.
2. a) ĐKXĐ :
x 0 ; x 1> ¹
;
:
( )
+
= +
÷
− − −
2
1 1 x 1
P
x x 1 x 1 x
( ) ( )
( ) ( )
− + − −
÷
= + × = × =
÷
− + +
− −
÷
2 2
1 1 1 x 1 x 1 x 1 x
1 x x 1 x 1 x
x 1 x x 1 x
Vậy
-
=
1 x
P
x
khi
x 0 ; x 1> ¹
b) Với x
Î
ĐKXĐ, suy ra
x 0>
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
3
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Để
1 x
0
x
-
>
thì
1 x 0 x 1 0 x 1- > Û < Û £ <
.
Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1.
3. a) ĐKXĐ :
; > ≠x 0 x 1
.
:
= −
÷
÷
− − −
x 1 1
A
x 1 x x x 1
( )
( )
( )
.
−
− − −
÷
= − = × =
÷
−
− −
÷
2
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
1 1
x 1 x
x x 1 x x 1
Vậy
−
=
x 1
A
x
khi
; > ≠x 0 x 1
b) A < 0 ⇔
x 1
0
x
−
<
⇔ x - 1 < 0 (vì
x 0
>
) ⇔ x < 1.
Kết hợp với điều kiện ta có kết quả 0 < x < 1.
c) Với x > 0, x ≠ 1 thì A
x
= m -
x
trở thành
x 1
x m x
x
−
× = −
⇔
x x m 1 0
+ − − =
(1)
Đặt
x
= t, vì x > 0, x ≠ 1 nên t > 0, t ≠ 1.
Phương trình (1) qui
về
t
2
+ t - m - 1 = 0 (2). Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương khác 1.
Nhận thấy
b
1 0
a
− = − <
. Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1.
⇔
m 1 0 m 1
1 1 m 1 0 m 1
− − < > −
⇔
+ − − ≠ ≠
Kết luận: m > -1 và m ≠ 1.
4. a) ĐKXĐ : P có nghĩa
x 0 x 0
x 1 0 x 1
≥ ≥
⇔ ⇔
− ≠ ≠
.
( ) ( )
3 1 1 3 1 x 1
P :
x 1 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
+
÷
= + = + ×
÷
÷
−
+ + +
− −
( ) ( )
3 x 1 x 1 x 2
1
x 1
x 1 x 1
+ − + +
= × =
−
− −
Vậy
x 2
P
x 1
+
=
−
với
x 0≥
, x
≠
1.
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 x 13 x 169
4 4
x 1
+
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ = ⇔ =
−
Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả x = 169.
c) Với
x 0³
và x
¹
11,
x 12 1
M .
P
x 1
+
=
-
, trở thành :
( )
2
x 2
x 12 x 1 x 12
M . 2 2
x 1 x 2 x 2 x 2
−
+ − +
= = = + ≥
− + + +
.
Đẳng thức xảy ra khi
x 2 0 x 4− = ⇔ =
.
Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4.
5. a) ĐKXĐ : A có nghĩa
x 0 x 0
x 1 0 x 1
ì ì
³ ³
ï ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
- ¹ ¹
ï ï
î î
.
( ) ( )
x x 1 x 1 x x 1 x 1
A
x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
+ − + −
= − = −
−
+ +
+ −
( )
( )
( ) ( )
x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
+ − − −
=
+ −
( )
( ) ( )
x x 1 x x x x 1
x 1 x 1
+ − − − +
=
+ −
( ) ( )
( )
( ) ( )
x x 1
x x x
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
+
+
= = =
−
+ − + −
Vậy A =
x
A
x 1
=
-
với
x 0≥
, x
≠
1.
b)
9
x
4
= ∈
ĐKXĐ. Thay vào A ta được : A =
9
3 3
4
A : 1 3
2 2
9
1
4
æ ö
÷
ç
= = - =
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
-
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
4
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
c) A < 1
⇔
x
x 1-
< 1
x 1
1 0 0 x 1 0 x 1
x 1 x 1
⇔ − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ <
− −
Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả
0 x 1£ <
.
6. a) ĐKXĐ : A có nghĩa
x 0
x 0
x 1 0
x 1
x 1 0
ì
³
ï
ï
ï
ì
³
ï
ï
ï ï
Û - ¹ Û
í í
ï ï
¹
ï ï
î
ï
- ¹
ï
ï
î
.
(
)
(
)
= − − = − −
−
− + − +
− +
x 2 2 x 2 2
A
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x 1 2 x 1 2
x x
x 1 x 1 x 1 x 1
+ − − −
−
= =
− + − +
( )
( ) ( )
x x 1
x
x 1
x 1 x 1
−
= =
+
− +
Vậy
=
+
x
A
x 1
với
x ≥
0, x
≠
1.
b) x = 9
Î
ĐKXĐ. Suy ra
x 9 3= =
.
Thay
x 3=
vào biểu thức A =
+
x
x 1
, ta có kết quả : A =
=
+
3 3
3 1 4
.
c) Với x
0
≥
và x
1≠
, ta có:
( )
( )
x
B A. x 1 (x 1) x x 1 x x
x 1
= − = − = − = −
+
2
2 2
1 1 1 1 1 1
( x) 2. x. ( x )
2 2 4 2 4 4
æö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + - = - + - ³ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Dấu bằng xảy ra khi
2
1 1 1
( x ) 0 x 0 x
2 2 4
− = ⇔ − = ⇔ =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là
1
4
−
÷
đạt được khi
1
x
4
=
.
7. a) ĐKXĐ: x > 0, x
≠
1 . Rút gọn: A =
1
−
x
x
b)
( )
1 x 1 1 9
A 3 x 1 x x
3 3 4
x
−
= ⇔ = ⇔ − = ⇒ =
(thỏa mãn)
c)
x 1 1
x xP A 9 1 9 x
x
9
x
−
= = − += −
−
÷
Áp dụng BĐT Côsi :
1
9 x 2.3 6
x
+ ≥ =
=> P
≥
-5.
Vậy MaxP = - 5 khi x =
1
9
8. a) ĐKXĐ:
x 0, x 4> ≠
.
( ) ( )
1 1 x 2 x 2 x 2 x 2
A . .
x 2 x 2 x x
x 2 x 2
− − + + −
= + =
÷
+ −
+ −
( )
2 x 2
x 2
x x 2
= =
+
+
.
Vậy
2
A
x 2
=
+
với
x 0, x 4
> ≠
.
b)
1 2 1
A 4 x 2 x 2 x 4
2 2
x 2
> ⇒ > ⇔ > + ⇔ < ⇔ <
+
Kết hợp với ĐKXĐ ta có :
1
A
2
>
khi
0 x 4< <
.
c)
7 7 2 14
B .A
3 3
x 2 3 x 6
= = =
+ +
Do x > 0 =>
3 x 6 0+ >
=> 0 <
14
3 x 6+
<
7
3
Vì B là một số nguyên => B = 1 hoặc B = 2
Với B = 1 => x =
1
9
; Với B = 2 => x =
64
9
Vậy
1 64
x ;
9 9
∈
thì B là một số nguyên.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
5
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
9. a) ĐKXĐ:
x x
x x
ì ì
³ ³
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- ¹ ¹
ï ï
î î
0 0
4 0 4
P =
2 1 1 2 x 2 x
: .( x 2)
x 4
x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x 2
+ −
+ = + =
÷
−
+ + − + −
Vậy
x
P
x 2
=
−
với
x 0, x 4≥ ≠
.
b)
= Û
3
P
2
x
x
=
-
3
2
2
x x x xÛ = - Û = Û =2 3 6 6 36
(TMĐKXĐ)
Vậy
=
3
P
2
khi x = 36.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I. Năm học 2013 – 2014.
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a a a 1
A
a 1
a 1
− −
= −
−
+
(a 0;a 1)≥ ≠
;
4 2 3 6 8
B
2 2 3
+ − − +
=
+ −
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Nam)
2. Cho biểu
x 2 x 2 x
A :
x 1
x 2 x 1 x 1
+ −
= −
÷
÷
−
+ + +
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nam Định)
3. Cho biểu thức: P =
1 1 a 1 a 2
:
a 1 a a 2 a 1
+ +
− −
÷
÷
÷
− − −
với
a 0;a 1;a 4> ≠ ≠
a) Rút gọn P
b) So sánh giá trị của P với số
1
3
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Lào Cai)
4. Cho biểu thức
1 1 x 1
P :
x x x 1 x 2 x 1
+
= +
÷
÷
÷
− − − +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi
x 3 2 2= −
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa)
5. Cho biểu thức:
x 2 x 1 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= + −
−
− + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Quảng Ninh)
6. Cho biểu thức
x 1 x 2 1
P :
x 1 x 1
x x
+ −
= +
÷
÷
− −
−
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để
9
P
2
=
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thái Bình)
7. Cho biểu thức :
1 1 a 1
M :
a a a 1 a 2 a 1
+
= +
÷
− − − +
a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M.
b) So sánh M với 1.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thừa Thiên Huế)
II. Năm học 2012 – 2013.
1. Cho biểu thức
1 x x 9
M .
x 9
3 x 3 x
+
= + −
−
− +
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
6
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
b) Tìm các giá trị của x để M > 1.
2. Cho biểu thức:
2
4a a a 1
P .
a 1 a a
a
−
= −
÷
÷
− −
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P = 3.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Tĩnh)
3. Cho biểu thức :
1 1 x 1
P 2 :
x 1 x 1 1 x x 1 1
−
= −
÷
− − + + − −
a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa; Rút gọn P.
b) Tìm x để P là một số nguyên.
4. Cho biểu thức:
( )
2 x 4
x 8
P
x 3 x 4 x 1 x 4
+
= + −
− − + −
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thái Bình)
II. Năm học 2011 – 2012.
1. Thu gọn các biểu thức sau:
3 3 4 3 4
A
2 3 1 5 2 3
− +
= +
+ −
x x 2x 28 x 4 x 8
B
x 3 x 4 x 1 4 x
− + − +
= − +
− − + −
( 0, 16)
≥ ≠
x x
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh)
2. Cho
x 10 x 5
A
x 25
x 5 x 5
= − −
−
− +
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 9.
c) Tìm x để
1
A
3
<
.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội)
3. Rút gọn biểu thức
6 3 5 5 2
Q :
2 1 5 1 5 3
− −
= +
÷
÷
− − −
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
4. Cho biểu thức
a a 4 a 1 1
P :
a 4
a 2 a 2 a 2
−
= − +
÷
÷
−
+ − +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P tại a = 6 + 4
2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa)
5. Cho biểu thức:
1 1 2
P 1
2 a 2 a a
= − +
÷ ÷
− +
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P >
1
2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Tĩnh)
6. Cho biểu thức
x 1 1 2
A :
x 1
x 1 x x x 1
= + +
÷
÷
÷
−
− − +
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Tây Ninh)
Chuyên đề 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN,
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
7
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
1. Kiến thức cần nhớ :
* Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b = 0 (
a 0≠
) ; a, b
∈¡
, x là ẩn.
Phương trình có duy nhất một nghiệm
b
x
a
= −
.
* Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
ax by c
a 'x b'y c'
+ =
+ =
Trong đó : a, b, c, a', b', c'
∈¡
; a, b không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0 và x, y là ẩn.
2. Các phương pháp giải hệ phương trình :
a) Phương pháp thế :
+) Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình thứ hai ta được phương
trình bậc nhất một ẩn
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
b) Phương pháp cộng.
+) Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số.
Để xác định số nghiệm của hệ phương trình ta có thể sử dụng tính chất sau :
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
ax by c
a 'x b'y c'
+ =
+ =
+) Có nghiệm duy nhất
⇔
a b
a ' b'
≠
.
+) Có vô số nghiệm
⇔
a b c
a ' b' c'
= =
.
+) Vô nghiệm
⇔
a b c
a ' b' c'
= ≠
.
B. VÍ DỤ.
Dạng 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x
2
x 1 x 2
+ =
− +
b)
3
3
2x 1
2
x x 1
−
=
+ +
.
Phương pháp.
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau :
Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax
2
+ bx + x = 0 bằng cách :
+ Tìm ĐKXĐ.
+ Quy đồng và khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa tìm được.
+ Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời.
Giải.
a) ĐKXĐ : x
≠
1, x
2≠ −
.
x 4 0 x 4⇒ − − = ⇔ = −
, thỏa mãn.
b) ĐKXĐ :
3
x x 1 0+ + ≠
(*)
3
2x 3 0 x
2
−
⇒ + = ⇔ =
.
Với
3
x
2
−
=
thay vào (*) ta có
3
3 3 31
1 0
2 2 8
− − −
+ + = ≠
÷
.
Vậy
3
x
2
−
=
là nghiệm.
Ví dụ 2. Tìm m nguyên để phương trình sau đây có nghiệm nguyên :
( )
2
m 2 x 2m m 2 0− + + − =
(1)
Giải.
Với m nguyên thì
2m 3 0− ≠
vậy phương trình 1 có nghiệm :
( )
( )
2
2m m 2
4
x m 2
2m 3 2m 3
− + −
= = − + −
− −
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
8
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3
{ }
1, 2, 4∈ ± ± ±
.
Giải ra ta được m = 2 và m = 1.
Dạng 2. Giải hệ phương trình dạng tổng quát
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau :
a)
2x + 3y = 2
1
x y =
6
−
b)
4x + y = 5
3x 2y = 12
− −
;
Lời giải.
a)
1
2x + 3y = 2 10 5
4x + 6y = 4
2
1 1
1
6x 6y = 1
x y = x y =
6 6
3
=
=
⇔ ⇔ ⇔
−
− −
=
x
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
=
=
1
x
2
1
y
3
b)
2
x =
4x + y = 5 8x 2y = 10 11x = 2
11
3x 2y = 12 3x 2y = 12 4x + y = 5 63
y =
11
−
+ −
⇔ ⇔ ⇔
− − − −
;
Dạng 4. Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình :
2x 3y a
5x 3y 2
+ =
− =
1) Giải hệ phương trình với a = 1.
2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0.
Giải.
1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :
3
x
2x 3y 1 2x 3y 1
7
5x 3y 2 7x 3
1
y
21
=
+ = + =
⇔ ⇔
− = =
=
2) Lấy phương trình đầu cộng với phương trình thứ hai ta có :
a 2 a 2 5a 4
7x a 2 x 2. 3y a y
7 7 21
+ + −
= + ⇒ = ⇒ + = ⇒ =
Hệ có nghiệm :
a 2
a 2
0
x 0
4
7
2 a
4
y 0
5a 4
5
a
0
5
21
+
> −
>
>
⇔ ⇔ ⇔ − < <
<
−
<
<
Vậy với
4
2 a
5
− < <
hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < 0.
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình :
( )
( )
x m 3 y 0
m 2 x 4y m 1
− + =
− + = −
1) Giải hệ khi m = -1.
2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.
Giải.
1) Với m = -1 hệ phương trình đã cho có dạng :
x 2y 0 x 2
3x 4y 2 y 1
− = =
⇔
− + = − =
2) Xét hệ phương trình :
( )
( )
x m 3 y 0 (1)
m 2 x 4y m 1 (2)
− + =
− + = −
Từ (1) ta có :
( )
x m 3 y= +
thay vào (2) ta có :
( ) ( )
m 2 m 3 y 4y m 1− + + = −
( )
( ) ( )
2
m m 2 y m 1 m 1 m 2 y m 1⇒ + − = − ⇒ − + = −
(3)
*) Nếu m = 1 ta có : (3)
⇔
0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y
⇒
hệ có vô số nghiệm.
*) Nếu m = - 2 từ (3)
⇒
0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
9
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
*) Nếu
m 1,m 2≠ ≠ −
từ (3)
⇒
1 m 3
y x
m 2 m 2
+
= ⇒ =
+ +
Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
m 3
x
m 2
1
y
m 2
+
=
+
=
+
Ví dụ 3. Cho hệ phương trình
3x + my = 5
mx - y = 1
a) Giải hệ khi m = 2
b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
Lời giải
a) Với m = 2 ta có hệ
3x + 2y = 5 y = 2x - 1 y = 2x - 1 x = 1
2x - y = 1 3x + 2(2x - 1) = 5 7x = 7 y = 1
⇔ ⇔ ⇔
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1).
b) Hệ có nghiệm duy nhất
2
3 m
m 1
m 3≠⇔ ≠ −⇔
−
với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
LUYỆN TẬP
1. Giải các hệ phương trình sau :
a)
4x + 7y = 18
3x y = 1
−
b)
3x 2y 6
x 3y 2
+ =
− =
; c)
x y 4
2x 3 0
− =
+ =
d)
3x + y = 9
x 2y = 4
− −
; e)
2x y = 1 2y
3x + y = 3 x
− −
−
; f)
3x 2y 1
2x y 4
− =
+ = −
2. Cho hệ phương trình :
3x 2y 6
ax y 3
− =
+ = −
(x, y là ẩn ; a là tham số)
a) Giải hệ phương trình với a = 4.
b) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y =
3
x
4
.
3. Cho hệ phương trình :
ax y 3
x ay 1
+ =
+ = −
a) Giải hệ phương trình với a = 3.
b) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
4. Cho hệ phương trình :
( )
a 1 x ay 3a 1
2x y a 5
− − = −
− = +
a) Giải hệ phương trình với a = 3.
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho : S = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho hệ phương trình:
mx – y 2
3x my 5
=
+ =
a) Giải hệ phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho x + y = 0.
6. Cho hệ phương trình :
mx y 3 (1)
2x my 9 (2)
− =
+ =
a) Giải hệ phương trình khi m = 1.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức A = 3x – y nhận
giá trị nguyên.
7. Cho hệ phương trình:
2x y 5m 1
x 2y 2
+ = −
− =
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x
2
– 2y
2
= 1.
HƯƠNG DẪN GIẢI.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
10
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
1. a)
4x + 7y = 18 4x + 7y = 18 25x = 25 x = 1
3x y = 1 21x - 7y = 7 3x - y = 1 y = 2
⇔ ⇔ ⇔
−
;
b)
( )
x 2 3y
3x 2y 6 x 2 3y x 2
3 2 3y 2y 6
x 3y 2 11y 0 y 0
= +
+ = = + =
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
− = = =
;
c)
3
x
x y 4 2x 3
2
2x 3 0 y x 4 11
y
2
= −
− = = −
⇔ ⇔
+ = = −
= −
;
d)
( )
x 4 2y
3x + y = 9 x 4 2y x 2
3 4 2y y 9
x 2y = 4 7y 21 y 3
= − +
= − + =
⇔ ⇔ ⇔
− + + =
− − = =
;
e)
( )
y = 1 2x
2x y = 1 2y 2x y = 1 y = 1 2x x 1
4x + 1 2x = 3
3x + y = 3 x 4x + y = 3 2x = 2 y 1
−
− − + − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
−
− = −
;
f)
3x 2y 1 3x 2y 1 7x 7 x 1
2x y 4 4x 2y 8 4x 2y 8 y 2
− = − = = − = −
⇔ ⇔ ⇔
+ = − + = − + = − = −
.
2. Cho hệ phương trình :
3x 2y 6
ax y 3
− =
+ = −
(x, y là ẩn ; a là tham số)
a) Với a = 4, hệ phương trình có dạng :
3x 2y 6 (1)
4x y 3 (2)
− =
+ = −
Từ phương trình (2) biểu diễn y theo x, ta được : y = - 3x – 4y (3).
Thay y = - 3x – 4y vào (1) ta có :
( )
2
3x 2 3x 4 6 3x 6x 8 6 x
9
−
− − − = ⇔ + + = ⇔ =
Với
2 2 14
x y 3. 4
9 9 3
− − −
= ⇒ = − − =
Vậy với a = 4 hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
2
x
9
−
=
,
14
y
3
−
=
.
b) a là nghiệm của hệ phương trình :
y
y
3
3x 2 x 6
x 4
4
3x 2y 6
3 3
ax y 3 ax x 3 a
4 2
3
3 y 3
x
x
4
4
− × =
=
− =
−
+ = − ⇔ + = − ⇔ =
=
=
=
Vậy phương trình có nghiệm
y
3
x
4
=
khi
3
a
2
−
=
.
3. Cho hệ phương trình :
ax y 3
x ay 1
+ =
+ = −
a) Với a = 3 hệ phương trình trở thành :
13
x
3x y 3 3x y 3 3x y 3
4
x 3y 1 3x 9y 3 3x 9y 3 3
y
4
−
=
+ = + = + =
⇔ ⇔ ⇔
+ = − + = − + = − −
=
b) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất :
2
a 1
a 1 a 1.
1 a
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±
4. Cho hệ phương trình :
( )
a 1 x ay 3a 1
2x y a 5
− − = −
− = +
a) Với a = 3 hệ phương trình có dạng :
2x 3y 8 x 4
2x y 8 y 0
− = =
⇔
− = =
Vậy với a = 3 hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (4 ; 0).
b) Hệ có nghiệm duy nhất (x ; y)
a 1 a
a 1
2 1
− −
⇔ ≠ ⇔ ≠ −
−
Với
a 1≠ −
hệ có nghiệm duy nhất :
x a 1
y a 3
= +
= −
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
a 1 a 3 2S a 4a 1x 0 2 a 2a 1 8 2 a 1 8 8y = + + − = − + = − + + = − ++ ≥=
Vậy GTNN của S bằng 8
⇔
a – 1 = 0
⇔
a = 1.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
11
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
5. Cho hệ phương trình:
mx – y 2 (1)
3x my 5 (2)
=
+ =
a) Với m = 2, phương trình có dạng :
9
x
2x – y 2 4x 2y 4
7
3x 2y 5 3x 2y 5 4
y
7
=
= − =
⇔ ⇔
+ = + =
=
b) Ta có :
2
m 1
m 3
3 m
−
≠ ⇔ ≠ −
, với mọi m
⇒
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
Với mọi m phương trình luôn có nghiệm :
2
2
2m 5
x
m 3
5m 6
y
m 3
+
=
+
−
=
+
Ta có
2 2 2
2m 5 5m 6 7m 1
0 0
m 3 m 3
x y 0
m 3
+ − −
++ > > ⇔ >
+ + +
⇔
.
Do
2
m 3+
> 0 nên
2
7m 1 1
0 7m 1 0 m
7
m 3
−
> ⇔ − > ⇔ >
+
Vậy phương có nghiệm thỏa mãn x + y > 0
⇔
1
m
7
>
.
6. Hệ phương trình :
mx y 3 (1)
2x my 9 (2)
− =
+ =
a) Với m = 1, hệ phương trình có dạng :
x y 3 x 4
2x y 9 y 1
− = =
⇔
+ = =
Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) = (4 ; 1).
b) Hệ có nghiệm duy nhất
2
m 1
m 2
2 m
−
⇔ ≠ ⇔ ≠ −
với mọi m.
Với mọi m hệ phương trình có nghiệm
2
2
3m 9
x
m 2
9m 6
y
m 2
+
=
+
−
=
+
Ta có
( )
2 2 2
3 3m 9
9m 6 33
A 3x y
m 2 m 2 m 2
+
−
= − = − =
+ + +
A
∈¢
nguyên
⇔
2
2
33
33 m 2
m 2
∈ ⇔ +
+
¢ M
hay
2
m 2
+
∈
Ư(33) =
{ }
1; 11; 33± ± ±
.
Do
2
m 2 2+ ≥
nên
±
1 ; -11 và – 13 không là ước của
2
m 2+
.
+)
2 2
m 2 11 m 9 m 3+ = ⇔ = ⇔ = ±
(thỏa mãn)
+)
2 2
m 2 33 m 31 m 31+ = ⇔ = ⇔ = ± ∉¢
(loại)
Vây A nguyên khi
m 3= ±
.
7. Cho hệ phương trình:
2x y 5m 1
x 2y 2
+ = −
− =
a) Với m = 1, hệ phương trình có dạng :
2x y 4 4x 2y 8 x 2
x 2y 2 x 2y 2 y 0
+ = + = =
⇔ ⇔
− = − = =
Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 0).
b) Ta có
2 1
4 1
1 2
⇔ ≠ ⇔ − ≠
−
⇒
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
2x y 5m 1 4x 2y 10m 2 x 2m
x 2y 2 x 2y 2 y m 1
+ = − + = − =
⇔ ⇔
− = − = = −
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2
x – 2y 1 2m 2 m 1 1= ⇔ − − =
2
2m 4m 3 0⇔ + − =
,
( )
2
' 2 2. 3 10∆ = − − =
Phương trình có nghiệm :
1
2 10
m
2
− +
=
;
2
2 10
m
2
− −
=
.
Chuyên đề 3.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
12
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Giải phương trình bậc hai dạng : ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
Để giải phương trình bậc hai một ẩn ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau :
Phương pháp 1. Dùng công thức nghiệm :
Tính
∆
:
2
b – 4ac∆ =
.
+) Nếu
∆
> 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm phân biệt: :
1
b
x
2a
− + ∆
=
;
2
b
x
2a
− − ∆
=
+) Nếu
∆
= 0
⇒
phương trình có nghiệm kép:
−
= =
1 2
b
x x
2a
.
+) Nếu
∆
< 0
⇒
phương trình vô nghiệm.
Phương pháp 2. Dùng công thức nghiệm thu gọn.
Nếu b = 2b’ ,
( )
2
' b' – ac∆ =
+) Nếu
∆'
> 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm phân biệt: :
1
b '
x
a
− + ∆
=
;
2
b '
x
a
− − ∆
=
+) Nếu
∆'
= 0
⇒
phương trình có nghiệm kép:
−
= =
1 2
b'
x x
a
.
+) Nếu
∆'
< 0
⇒
phương trình vô nghiệm.
Phương pháp 3. Nhẩm nghiệm
+) Nếu a + b + c = 0
⇒
Phương trình có 2 nghiệm :
1 2
c
x 1, x
a
= =
.
+) Nếu a – b +c = 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm :
1 2
c
x 1, x
a
=− = −
.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
a) Định lý : Nếu x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì ta có :
1 2 1 2
b c
S x x , P x x
a a
= + = − = =
.
b) Định lý đảo:
Nếu
u v S, u.v P+ = =
⇒
u, v là 2 nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0 (ĐK: S
2
– 4P
≥
0).
c) Vận dụng.
3. Phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0 ) chứa tham số
+) Có 2 nghiệm
⇔
0∆ ≥
; +) Có 2 nghiệm phân biệt
⇔
0∆ >
.
+) Có 2 nghiệm cùng dấu
⇔
0
P 0
∆ ≥
>
. +) Có 2 nghiệm dương
⇔
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
>
+) Có 2 nghiệm âm
⇔
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
<
+) Có 2 nghiệm trái dấu
⇔
ac < 0 (hoặc P < 0)
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát.
2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hai
nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu
3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số.
4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
C. VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Ví dụ 1. Cho phương trình: x
2
– 2(m+2)x + m
2
– 9 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x
1
; x
2
. Hãy xác định m để :
1 2 1 2
x x x x− = +
.
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2006 – 2007)
Giải.
a) Với m = 1, phương trình có dạng : x
2
– 6x – 8 = 0
( )
' 2
3 1. 8 17∆ = − − =
⇒
Phương trình có hai nghiệm :
1
x 3 17= +
;
2
x 3 17= −
b)
' 2 2
(m 2) (m 9) 4m 13
∆ = + − − = +
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
13
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> 4m + 13 > 0 <=> m >
13
4
−
c) ĐK để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
là : 4m + 13
≥
0 <=> m
≥
13
4
−
Theo hệ thức Vi-et ta có
1 2
2
1 2
x x 2(m 2)
x x m 9
+ = +
= −
Từ
( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x 0 m 9 0 m 3− = + ⇒ − = + ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ±
Mặt khác
1 2
x x 0 m 2 0 m 2+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
.
Vậy m = 3
Ví dụ 2. Cho phương trình bậc hai, với tham số m: 2x
2
– (m+3)x + m = 0 (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1 2 1 2
5
x x x x
2
+ =
.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
P x x= −
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2009– 2010)
Giải.
a) Với m = 2 thì phương trình trở thành : 2x
2
– 5x + 2 = 0
2
5 4.2.2 9∆ = − =
⇒
Phương trình có hai nghiệm là :
1
5 9
x 2
2.2
+
= =
;
2
5 9 1
x
2.2 2
−
= =
b) Ta có
( ) ( )
2 2
2
D m 3 – 4.2.m m 2m 9 m 1 8 0= + = − + = − + >
với mọi m.
⇒
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Viét ta có:
1 2
1 2
m 3
x x
2
m
x x
2
+
+ =
=
Mà
( )
1 2 1 2
m 3 5 m
2 m 3 5m m 2
2
5
x x x x
2 2 2
+
⇔ = × ⇔ + = ⇔= =+
.
c) Từ câu a phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :
Xét biểu thức :
( ) ( )
( )
2
2
2 2
1 2 2 1
2
1 2
m 3
m 2m 9
x – x x x
(m 1) 8
4x .x – 2m
4
2
44
+
− +
= +
−
=
+
− = ≥=
1 2
x x 2⇔ − ≥
Vậy MinP =
2
⇔ m = 1.
Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m :
( )
2
x – m 1 x 2m – 2 0+ + =
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm giá trị của tham số m để
x 2= −
là một nghiệm của phương trình (1).
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2010 – 2011)
Giải.
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành :
− + =
2
x 3x 2 0
∆ = 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 )
Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2
b) Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên
(- 2)
2
- (m + 1)(-2) + 2m – 2 = 0 (*)
(*) ⇔ 4m + 4 = 0 ⇔ m = - 1 . Vậy m = -1
Ví dụ 4. Cho phương trình: x
2
– 2(m -1)x + m
2
-6 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
x x 16+ =
.
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2012 – 2013)
Giải.
a) Khi m =3 ta có phương trình :
2
x 4x 3 0− + =
Do
( )
a b c 1 4 3 0+ + = + − + =
, suy ra
1 2
x 1, x 3
= =
Vậy với m=3 phương trình có hai nghiệm
1 2
x 1, x 3= =
b) Ta có :
' 2 2 2 2
0 (m 1) (m 6) m 2m 1 m 6 2m 7
∆ ≥ ⇔ − − − = − + − + = − +
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
14
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Phương trình có hai nghiệm
7
' 0 2m 7 0 m
2
⇔ ∆ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤
Theo hệ thứ Vi-ét ta có :
1 2
x x 2m 2+ = −
;
2
1 2
x .x m 6= −
.
Từ hệ thức
( ) ( )
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x 16 x x 2x x 16 2m 2 2(m 6) 16+ = ⇔ + − = ⇔ − − − =
2
2m 8m 0 2m(m 4) 0⇔ − = ⇔ − =
=
⇔
=
m 0 (t/m)
m 4 (loai)
Vậy m = 0 thì phương trình trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
x x 16+ =
Ví dụ 5. Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
x 2(m 1)x 3m 16
+ + ≤ +
.
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2013 – 2014)
Giải.
a) Khi m = 2 phương trình trở thành :
2
x - 6x + 8 = 0
Ta có
'D =1
. Suy ra pt có hai nghiệm là:
1
x = 4
;
2
x = 2
b)
( )
( )
2
2
' m +1 m +4D = - = -2m 3
Phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ; xΔ'
⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
3
0 2m 3 0 m
2
(*)
Theo Viet ta có:
1 2
2
1 2
x + x (m )
x .x m
= +
= +
2 1
4
Suy ra
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
x (m )x m x (x +x )x m
+ + ≤ + ⇔ + ≤ +
2 1 3 16 3 16
2 2 2
(2m + 2) - m m m m
⇔ − ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤
4 3 16 8 16 2
Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra
3
m 2
2
≤ ≤
thì pt (1) có hai nghiệm
1 2
x ; x
thỏa mãn :
2 2
1 2
x + 2(m+1)x 3m 16£ +
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I. Năm học 2013 – 2014.
1. Cho phương trình
2
x (m 2)x 8 0+ − − =
, với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho biểu thức
2 2
1 2
Q (x 1)(x 4)= − −
có giá trị lớn nhất.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
2. Cho phương trình: x
2
+ 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
m R∀ ∈
.
b) Tìm giá trị của m sao cho (4x
1
+ 5)(4x
2
+ 5) + 19 = 0.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Nam)
3. Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
x 2(m 1)x 3m 16+ + ≤ +
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nghệ An)
4. Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m –1 =0 (1), với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện
1 1 2 2
x (x 2) x (x 2) 10+ + + =
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nam Định)
II. Năm học 2012 – 2013.
1. Cho phương trình : x
2
– 2mx + m – 2 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức :
2 2
1 2 1 2
24
M
x x 6x x
−
=
+ −
đạt giá trị nhỏ nhất.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh)
2. Cho phương trình x
2
– 2x – 3m
2
= 0, với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khác 0 và thỏa điều kiện
1 2
2 1
x x 8
x x 3
− =
.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
15
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
3. Cho phương trình
( )
2 2
x 2 m 2 x m 4m 3 0− + + + + =
a) Chứng minh rằng: phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi giá trị của m.
b) Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2
A x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Đăk lăk)
4. Cho phương trình : x
2
- 2(m – 1)x + m
2
– 6 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
x x 16+ =
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nghệ An)
5. Cho phương trình x
2
– 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
,x
2
mà biểu thức A = x
2
1
– x
1
x
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị
nhỏ nhất đó.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Phú Thọ)
6. Cho phương trình (ẩn số x):
( )
2 2
x 4x m 3 0 *− − + =
.
a) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm
1 2
x , x
thỏa
2 1
x 5x= −
.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Cần Thơ)
7. Cho phương trình x
2
– 2mx – 2m – 5 = 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b) Tìm m để |x
1
– x
2
| đạt giá trị nhỏ nhất ( x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phương trình )
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bình Dương)
8. Cho phương trình: mx
2
– (4m – 2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) ) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bắc Ninh)
9. Cho phương trình (ẩn x) : x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0 (1).
a) Giải phương trình (1) với m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1)có nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn: (x
1
+ m)( x
2
+ m) = 3m
2
+12.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Phú Thọ)
10. Cho phương trình :
2
x 2(m 1)x m 2 0
− + + − =
, với x là ẩn số,
∈m R
a) Giải phương trình đã cho khi m = – 2.
b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
mà không
phụ thuộc vào m.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Gia Lai)
11. Cho phương trình
( )
2
x 2 m 1 x m 3 0− − + − =
(m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là
1 2
x , x
. Xác định m để giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A x x= +
nhỏ nhất.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Gia Lai)
12. Cho phương trình : x
2
– mx – 3 = 0 (1), với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m sao cho x
1
+ x
2
= 2x
1
x
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2(
2 2
1 2
x x+
) – x
1
x
2
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bến Tre)
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
16
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Chuyên đề
HÀM SỐ Y = AX + B VÀ HÀM SỐ Y = AX
2
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số y = ax + b :
a) Tính chất :
+ Xác định với mọi giá trị của x thuộc
¡
.
+ Đồng biến trên
¡
khi a > 0.
+ Nghịch biến trên
¡
khi a < 0.
b) Đồ thị :
+ Đồ thị là đường thẳng với hệ số góc a.
+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
c. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b.
Bước 1 : Xác định hai điểm phân biệt.
Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng y = ax + b (d
1
) và y = a'x + b' (d
2
)
+) (d
1
) cắt (d
2
) :
a a '≠
; +) (d
1
) song song (d
2
)
a a'
b b'
=
⇔
≠
+) (d
1
) trùng (d
2
)
a a'
b b'
=
⇔
=
+) (d
1
) vuông góc (d
2
)
⇔
a . a' = -1.
Chú ý : Giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b (d
1
) và y = a'x + b' (d
2
) là nghiệm của hệ :
ax b a 'x b'
y ax b
+ = +
= +
e) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
;y
A
) ; B(x
B
;y
B
) có dạng :
A A
A B A B
x x y y
x x y y
− −
=
− −
2. Hàm số y = ax
2
(a
≠
0):
a. Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) có những tính chất sau:
+ Xác định với mọi giá trị của x thuộc R.
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
b. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0):
+ Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
c. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0):
+ Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
+ Dựa và bảng giá trị
→
vẽ (P).
3. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax
2
(a
≠
0) và (d): y = kx + b:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax
2
= kx + b
⇔
2
ax kx c 0.
− − =
Giải phương trình hoành độ giao điểm:
+ Nếu
∆
> 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇒
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu
∆
= 0
⇒
phương trình có nghiệm kép
⇒
(d) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu
∆
< 0
⇒
phương trình vô nghiệm
⇒
(d) và (P) không giao nhau.
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
y k 3 x k 2= − + +
. Xác định các giá trị của của k để :
a) Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến.
b) Vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 ; k = 3 ; k = 4.
c) Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2).
d) Đồ thị cắt hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp án gợi ý.
a) Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến
⇔
k 3 0 k 3− > ⇔ <
b) HS vẽ đồ thị.
c. Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2) ta có :
( )
1
2 k 3 .1 k 2 k
2
−
− = − + + ⇔ =
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
17
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
d. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A
2 k
;0
3 k
+
÷
−
, cắt trục tung tại B
( )
0;2 k+
.
Diện tích tam giác vuông AOB (O là gốc tọa độ) bằng :
( )
2
1 2 k
. 2 k 2 2 k 3 k
2 3 k
+
+ = ⇔ + = −
−
.
+) Với
3 k 0 k 3− ≥ ⇔ ≤
thì phương trình có dạng :
2
k 8k 8 0+ − =
, phương trình có hai nghiệm
1
k 4 2 6= − −
,
2
k 4 2 6= − +
(thỏa mãn)
+) Với
3 k 0 k 3− < ⇔ >
thì phương trình có dạng :
2
k 16 0+ =
, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5).
a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B.
b) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).
c) Lập phương trình đường thẳng đi qua C(-4 ; 1) và song song với (d) ; vuông góc với (d).
Đáp án gợi ý.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng :
A A
A B A B
x x y y
x x y y
− −
=
− −
nên :
( ) ( )
x 1 y 3
2 x 1 y 3
1 2 3 5
− −
= ⇔ − − = − −
− −
hay y = 2x + 1
Vậy đường thẳng (d) có dạng : y = 2x + 1.
b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại D(
1
2
−
; 0), cắt trục tung Oy tai E(0 ; 1). Gọi H là chiếu của O trên (d), ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 1 5 OH
5
OH OD OE 1
1
2
= + = + = + = ⇒ =
−
÷
c. Đường thẳng (d
1
) đi qua C có dạng : y = ax + b.
Do (d
1
) // (d) nên hệ số góc : a = 2
y 2x b⇒ = +
(b
≠
1). Vì (d
1
) đi qua C(-4 ; 1) nên :
1 = 2(-4) + b
⇔
b = 9. Vậy đường thẳng (d) là y = 2x + 9.
+) Do (d
1
)
⊥
(d) nên a . 2 = -1
1
a
2
⇒ = −
1
y x b
2
−
⇒ = +
. Vì (d
1
) đi qua C(-4 ; 1) nên :
1 =
1
2
−
(-4) + b
⇔
b = -1. Vậy đường thẳng (d) là
1
y x 1
2
−
= −
.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Cho parabol (P) : y =
1
2
x
2
và đường thẳng (d) : y = mx −
1
2
m
2
+ m +1.
a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
sao cho
1 2
x x 2− =
.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội)
2. a) Vẽ đồ thị hàm số
2
1
y x
2
=
.
b) Cho hàm số bậc nhất
y ax 2= −
(1) . Hãy xác định hệ số a, biết rằng a > 0 và đồ thị của hàm số (1) cắt trục
hoành Ox, trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho
OB = 2OA (với O là gốc tọa độ).
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
3. Cho parabol (P): y =
3
4
x
2
và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số)
a) Vẽ parabol (P).
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu)
4. a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y = mx + 1 luôn cắt parabol (P): y = x
2
tại hai
điểm phân biệt. Khi đó tìm m đễ
1 2 1 2
y y y .y 7+ + =
, với
1 2
y ,y
là tung độ của các giao điểm
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bình Thuận)
5. Cho đường thẳng (d) có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2.
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) : y = x
2
tại hai điểm phân biệt A,B.
b) Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m.
6. Cho hàm số y = (m - 2)x + 3 + m.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
18
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
a) Xác định m để hàm số là hàm số bậc nhất đồng biến.
b) Xác định m để đồ thị hàm số là đường thẳng đi đi qua M(1 ; 3) ;
c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 1.
7. Cho parabol (P) : y = x
2
và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1.
a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3.
diện tích bằng 1 (đvdt).
8. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
−
2 1
.
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
9. Cho parabol (P) : y = x
2
và đường thẳng (d) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số).
a) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
b) Chứng minh rằng với mọi a (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Giả sử
1
x
và
2
x
là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm a để
+ =
2 2
1 2
x x 6
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
19
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Chuyên đề 5.
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
A. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước1. Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và
kết luận.
Cần lưu ý ki giải bài toán này.
- Đọc kĩ đề toán.
- Chọn ẩn (thường chọn trực tiếp.
- Tóm tắt đề bài (chú ý các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết và mố quan hệ giữa các đại lượng
đó).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ CÁC SỐ TỰ NHIÊN.
Những kiến thức thường vận dụng.
ab 10.a b= +
(
0 a 9< ≤
;
0 b 9≤ ≤
; ; a, b
∈
N).
abc 100.a 10.b c= + +
(
0 a 9< ≤
;
0 b 9≤ ≤
;
0 c 9≤ ≤
; a, b, c
∈
N).
Ví dụ 1. Tìm một số có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1. và
chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2.
Hướng dẫn.
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y.
Điều kiện : x, y
*∈¥
, x, y
9
≤
(*)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
2x 5y 1 x 8
x 2y 2 y 3
− = =
⇔
= + =
thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy số phải tìm là : 83.
Ví dụ 2. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được
cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
Hướng dẫn.
Gọi số cần tìm là
xy
( x, y
*∈¥
, x, y
9≤
) (*)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
x y 6
x 2
y 4
xy 18 yx
+ =
=
⇔
=
+ =
thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy số phải tìm là : 24.
Dạng toán 2. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC.
I. Phương pháp giải.
a) Đối với bài toán công việc :
+ Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia : Toàn bộ công việc, năng suất, thời gian.
+ Làm xong công việc coi là một đơn vị.
+ Làm xong công việc hết a giờ thì 1 giờ làm được
1
a
công việc.
b) Đối với bài toán về vòi nước.
+ Vòi chảy vào bể cạn hết nước cho đến đầy coi là một đơn vị.
+ Nếu vòi chảy đầy bể hết a giờ thì 1 giớ vồi chảy được
1
a
bể.
II. VÍ DỤ GIẢI TOÁN.
Ví dụ 3. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3
giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành
công việc đó trong bao lâu ?
Lời giải. Đổi
1
25%
4
=
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
20
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Cách 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Gọi x (giờ) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để người thứ
nhất hoàn thành công việc (y > 0) . Ta có :
Trong một giờ :
Người thứ nhất hoàn thành được
1
x
công việc;
Người thứ hai hoàn thành được
1
y
công việc ;
Hai người hoàn thành công việc trong 16 giờ thì trong 1 giờ hai người cùng làm được
1
16
công việc. Ta có
phương trình :
1 1 1
x y 16
+ =
(1)
Người thứ nhất làm trong 3 giờ được
3
x
công việc, người thứ hai làm trong 6 giờ được
6
y
công việc thì hoàn
thành
1
4
công việc. Ta có phương trình :
3 6
1
x y
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 1
x y 16
3 6 1
x y 4
+ =
+ =
Giải ra ta được : x = 24, y = 48 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ và người thứ hoàn thành công việc
trong 48 giờ.
Cách 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (giờ).
Điều kiện x > 16. Ta có :
Trong một giờ : Người thứ nhất làm được :
1
x
(công việc) ;
Người thứ hai làm được :
1 1
16 x
−
(công việc) ;
Thời gian để người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là :
1 1
1:
16 x
−
÷
(giờ).
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ được
6
y
công việc thì hoàn thành 25% công
việc. Ta có phương trình :
3 1 1 1
6
x 16 x 4
+ − =
÷
Giải ra ta được x = 24 (thỏa mãn điều kiện bài toán)
Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ ;
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là :
1 1
1: 48
16 24
− =
÷
giờ.
Ví dụ 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau
24
5
giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi
thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vời thứ hai thì sau
6
5
giờ nữa đầy bể. Hỏi nếu chảy một mình thì vòi hai
chảy đầy bể trong bao lâu ?
Lời giải.
Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (x
> 0). Ta có :
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được :
1
x
bể, vòi thứ nhất chảy được :
1
y
bể.
Hai vòi chảy đầy bể sau
24
5
nên một giờ cả hai vòi cùng chảy được
5
24
(bể).
Ta có phương trình :
1 1 5
x y 24
+ =
(1)
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
21
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Trong 9 giờ vòi thứ nhất chảy được
9
x
bể, trong
6
5
giờ cả hai vòi chảy được
6 1 1
.
5 x y
+
÷
bể nên ta có phương
trình :
9 6 1 1
. 1
x 5 x y
+ + =
÷
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 5
x y 24
x 12
y 8
9 6 1 1
. 1
x 5 x y
+ =
=
⇔
=
+ + =
÷
Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.
Cách 2. HS tự làm.
Dạng 3. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
I. Phương pháp giải.
Toán chuyển động thường có ba đại lượng : quảng đường, vận tốc, thời gian.
Cần chú ý một số yếu tố sau :
+ Quảng đường = vận tốc x thời gian.
+ Vận tốc xuôi dòng = vận tốc ca nô (thuyền) + vận tốc dòng nước.
+ Vận tốc ngược dòng = vận tốc ca nô (thuyền)
−
vận tốc dòng nước.
II. VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Ví dụ 5. Một ô tô đi từ A và dự định đến B với một thời gian nhất định. Biết rằng nếu xe chạy với vận tốc
30 km/h thì đến B chậm hơn so với dự định 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B sớm hơn so
với dự định 1 giờ. Tính quảng đường AB và thời gian và thời gian dự định đi từ A đến B.
Lời giải.
Gọi x (km) là độ dài quảng đường AB (x > 0) ; y (giờ) là thời gian dự định đi từ A đến B ( y > 0) 0. Ta có :
Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ là : y + 2 (giờ) nên ta có x = 30.(y + 2)
Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 45 km/giờ là : y – 1 (giờ) nên ta có x = 45.(y – 1)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
( )
x 270
y 7
x 45.(y 1)
x 30. y 2= +
=
⇔
=
= −
Vậy AB = 270 km, thời gian dự định đi từ A đến B là : 7 giờ.
Dạng 4. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VỀ HÌNH HỌC.
Ví dụ 6. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m. Tính chiều
dài và chiều rộng của sân trường.
Hướng dẫn.
Gọi x (m) là chiều dài, y (m) là chiều dài sân trường. Điều kiện : x, y > 0.
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
( )
2. x y 340
x 100
y 70
3x 4y 20
+ =
=
⇔
=
− =
Dạng 5. DẠNG TOÁN KHÁC.
Ví dụ 7. Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết
10 000 đồng. Hôm nay mẹ Lan mua ba quả trứng và bảy quả trứng vịt thì hết 9 600 đồng mà giá trứng thì vẫn giá cũ.
Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
Hướng dẫn.
Gọi x (đồng) là giá trứng gà, y (đồng) là giá trứng vịt. Điều kiện : x, y > 0.
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
5.x 5.y 10000 x 1100
3x 7y 9600 y 900
+ = =
⇔
+ = =
LUYỆN TẬP.
Dạng 1. DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ CÁC SỐ TỰ NHIÊN.
1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi hai chữ số hàng
chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
2. Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4. Nếu đổi chỗ các chữ số
hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số giảm đi 99 đơn vị.
3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các bình phương của hai chữ số của nó bằng 20. Nếu đổi hai chữ số
của nó cho nhau ta được một số mới lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
22
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
4. Chia một số tự nhiên cho tổng hai chữ số của nó thì được thương là 3 còn dư 1. Nếu chia số đó cho tích
hai chữ số của nó thì được thương là 4 còn dư 1. Tìm số đó.
5. Tìm số có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11 được thương bằng tổng các chữ số
của số bị chia.
Dạng 2. DẠNG TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC.
6. Hai đội công nhân làm chung một công việc thì 12 ngày sẽ xong. Nếu đội I làm một mình trong 5 ngày rồi
nghỉ, đội II làm tiếp trong 15 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 75% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi đội làm xong công việc đó trong bao lâu.
7. Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được bằng
2
3
đội
B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
8. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong hai ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4
ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì xong công việc đó. Hỏi mỗi người làm một mình thì
bao lâu sẽ xong công việc.
9. Một hợp tác xã có hai máy bơm nước. Nếu chỉ máy I bơm trong 4 giờ rồi mở máy II cùng làm trong 8 giờ
nữa thì xong việc. Nếu máy I chạy trước 11 giờ rồi mở máy II thì hai máy cùng làm việc 4 giờ nữa thì xong
công việc. Hỏi nếu chạy riêng thì mỗi máy phải mất bao lâu mới đạt mức được quy định.
10. Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi
thứ nhất đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
11. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 5 giờ và vòi
thứ hai chảy trong 2 giờ thì được
8
15
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể?
12. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau
4
4
5
giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ
nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
6
5
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì
sau bao lâu mới đầy bể.
Dạng 3. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
13. Một ô tô đi từ tỉnh A đến B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng 20km/h thì thời gian đi giảm 1 giờ,
nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian đi tăng 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
14. Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau.
Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ thì chúng gặp nhau.
Tính vận tốc của mỗi xe.
15. Một ô tô đi quãng đường dài 150 km với vận tốc dự định. Nhưng khi đi được
2
3
quãng đường xe bị hỏng
máy phải dừng lại 15 phút. Để đến đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường
còn lại. Tính vận tốc ô tô dự định đi.
16. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại đi ngược dòng từ
bến B về bến A . Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và đi ngược dòng là 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết
vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Dạng 4. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VỀ HÌNH HỌC.
17. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích của tam
giác đó sẽ tăng thêm 36cm
2
, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26
cm
2
.
18. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và
chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi của thửa ruộng vẫn không thay đổi.
Dạng 5. DẠNG TOÁN KHÁC.
19. Nhà Lan có một mảnh vườn tròng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây
bắp cải. Lan tính rằng : Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây.
Nếu giảm đi 4 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà lan
trồng được bao nhiêu câu bắp cải.
20. Trên một cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất
mội loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trròng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.
21. Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có ghế ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 4
học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ghế.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
23
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
22. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt
mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản
phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
23. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất làm vượt mức
15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12 % so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi
năm mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?
24. Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt
mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng
trong tháng hai, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
25. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%. còn tỉnh B tăng
1,1%. Tổng số dân của hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
1. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
ab
(0 < a,b
≤
9 ;
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
a b 11
a b 11 a 4
a b 3 b 7
ab 27 ba
+ =
+ = =
⇔ ⇔
− = − =
+ =
a = 4, b = 7 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy số cần tìm là : 47.
2. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
a4b
(ĐK : 0 < a,b
≤
9 ;
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
a 4 b 17
a4b 99 b4a
+ + =
− =
a b 13 a b 13 a 7
100a 40 b 99 100b 40 a a b 1 b 6
+ = + = =
⇔ ⇔ ⇔
+ + − = + + − = =
a = 7, b = 6 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy số tự nhiên cần tìm là 746.
3. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
ab
(0 < a,b
≤
9 ;
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
2 2
2 2
a b 20
a b 20 (1)
a b 2 (2)
ab 18 ba
+ =
+ =
⇔
− = −
+ =
Từ phương trình (2) biểu diễn a theo b, ta được :
a 2 b= − +
(3).
Thay
a 2 b= − +
vào phương trình (1) ta được :
( )
2
2 2
b 2 b 20 b 2b 8 0− + = ⇔ − − =
(4)
Giải phương trình (4) ta được : b
1
= 4 ; b
2
=
2−
.
b
2
=
2−
không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với b = 4
a 2 4 2⇒ = − + =
Vậy số cần tìm là : 24.
4. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
ab
(0 < a
≤
9 ; 0
≤
b
≤
9
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
( )
ab 3 a b 1
7a 2b 1 (1)
10a b 4ab 2 (2)
ab 4ab 1
= + +
− =
⇔
+ − =
= +
Từ phương trình (1) rút b theo a ta được :
7a 1
b
2
−
=
(3)
Thay
7a 1
b
2
−
=
vào phương trình (2), ta được phương trình :
( )
4a 7a 1
7a 1
10a 1
2 2
−
−
+ − =
1
2
2
a 1
28a 31a 3 0
3
a
28
=
⇔ − + = ⇔
=
Ta thấy
2
3
a
28
=
không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Thay a = 1 vào (3) ta được : b = 3.
Vậy số cần tìm là : 13.
5. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
abc
(0 < a
≤
9 ; 0
≤
b,c
≤
9 ;
a,b∈¥
).
Theo bài ra ta có phương trình :
( )
abc 11 a b c= + +
100a 10b c 11a 11b 11c 89a b 10c cb⇔ + + = + + ⇔ = + =
Do
0 cb 99≤ ≤
và
89a cb=
a 1⇒ =
,
c 8=
, b = 9.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
24
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Ta có a = 1, b = 9, c = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy số cần tìm là : 198.
6. Cách 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian để đội I và đội II làm một mình hoàn thành công việc. Điều kiện x, y >
12. Ta có :
Trong một ngày : Đội I làm được
1
x
(công việc) ; Đội II làm được
1
y
(công việc) Do hai đội hoàn
thành công việc trong 12 ngày . Ta có phương trình :
1 1 1
x y 12
+ =
(1)
Đội I làm trong 5 ngày và đội II làm tiếp trong 15 ngày thì đạt 75% công việc.
Ta có phương trình :
5 15 3
x y 4
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 1
1 1
x 20
x y 12
x 20
1 1
5 15 3 y 30
y 30
x y 4
+ =
=
=
⇔ ⇔
=
=
+ =
Giải ra ta được : x = 20, y = 30 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nếu làm riêng thì đội hoàn thành công việc trong 20 ngày và đội II hoàn thành công việc trong 30 ngày.
Cách 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để đội I làm một mình hoàn thành công việc.
Điều kiện : x > 12. Ta có :
Một ngày : Đội I làm được
1
x
(CV) ;
Đội II làm được
1 1
12 x
−
(CV) ;
Thời gian đội II làm một mình hoàn thành công việc :
1 1
1:
12 x
−
÷
(ngày)
Đội I làm trong 5 ngày và đội II làm tiếp trong 15 ngày thì đạt 75% công việc.
Ta có phương trình :
5 1 1 3
15.
x 12 x 4
+ − =
÷
Giải ra ta được : x = 20(thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc trong 20 ngày và đội II hoàn thành công việc là :
1 1
1: 30
12 20
− =
÷
(ngày).
7. Cách 1 : HS tự giải.
Cách 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để đội A làm một mình hoàn thành công việc.
Điều kiện x > 24. Ta có :
Một ngày : Đội A làm được
1
x
(CV) ;
Đội B làm được
1 1
24 x
−
(CV) ;
Thời gian đội B làm một mình hoàn thành công việc :
1 1
1:
24 x
−
÷
(ngày)
Do công việc đội A làm bằng
2
3
công việc đội B.
Ta có phương trình :
1 2 1 1
x 3 24 x
= × −
÷
Giải ra ta được : x = 60 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nếu làm riêng thì đội A hoàn thành công việc trong 60 ngày và đội B hoàn thành công việc là :
1 1
1: 40
24 60
− =
÷
(ngày).
8. Cách 1 : HS tự giải.
Cách 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc.
Điều kiện x > 2. Ta có :
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
25
