chuyen đề 1 toán 9 ôn vào 10

DẠNG 1.RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ
LOẠI 1:ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
CÂU 1. Rút gọn M = 45 + 245 − 80
Gỉai
M = 45 + 245 − 80
= 32.5 + 7 2.5 − 42.5
= 3 5 +7 5 −4 5 = 6 5

Câu 2. Khơng sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 + 36 − 25
Gỉai
Có A = 2015 + 36 − 25 = 2015 + 6 – 5 = 2016
Câu 3. Rút gọn biểu thức : A = 5 8 + 50 − 2 18
Gỉai
A = 5 8 + 50 − 2 18 = 5.2 2 + 5 2 − 2.3 2 = 10 2 + 5 2 − 6 2 = (10 + 5 − 6) 2 = 9 2
Câu 4 Rút gọn biểu thức : A = 27 − 2 12 − 75

Gỉai
A = 27 − 2 27 − 75 = 3 3 − 4 3 − 5 3 = −6 3
Câu 5.Rút gọn biểu thức: A= 12 + 27 − 48

Giải.
A = 12 + 27 − 48 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = 3

Câu 6.Rút gọn biểu thức:
Gỉai

B = 2 3 + 3 27 − 300

B = 2 3 + 3 27 − 300
= 2 3 + 3 32.3 − 102.3
= 2 3 + 3.3. 3 − 10 3

= 3

Câu 7.Rút gọn biểu thức:
Gỉai

A = 3 2 + 4 18

A = 3 2 + 4 9.2
A = 3 2 + 12 2
A = 15 2

Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau:
A = 2 3 − 4 27 + 5 48

Giải.
A = 2 3 − 4 27 + 5 48 = 2 3 − 12 3 + 20 3 = 10 3
Câu 9.Rút gọn các biểu thức sau : M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2

Gỉai


M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2
= (15 2 − 15 2 + 6 2) 2
= 6 2. 2 = 12

Câu 10.Rút gọn các biểu thức sau: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3
Giải.
A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3
= (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3
= − 5 3 : 3 = −5

Câu 11.Rút gọn các biểu thức sau: A = 125 − 4 45 + 3 20 − 80
Giải.
A = 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5 = −5 5

Câu 12. Rút gọn biểu thức sau 2 9 + 25 − 5 4
Gỉai
2 9 + 25 − 5 4

=5+6-10
=1
Câu 13.
Gỉai

2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75

2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75

= 2 42.2 − 5. 32.3 − 4. 22.2 + 3. 52.3
= 8 2 − 15 3 − 8 2 + 15 3

=0
2
2
2
Câu 14. Rút gọn biểu thức: A = 2 3.5 − 3. 3.2 + 3.3
Giải.

a ) A = 2 3.52 − 3 3.22 + 3.32 = 2.5. 3 − 3.2. 3 + 3 3
= 10 3 − 6 3 + 3 3 = 7 3

Câu 15. Tính: A = 2 5 + 3 45 − 500

Giải.
A = 2 5 + 3 45 − 500 = 2 5 + 3.3 5 − 10 5 = 5
16.Rút gọn các biểu thức sau : M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2

Câu
Gỉai

M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2
= (15 2 − 15 2 + 6 2) 2
= 6 2. 2 = 12

Câu 17. Rút gọn các biểu thức sau: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3


Giải.
A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3
= (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3
= −5 3 : 3 = −5

Câu 18. Rút gọn các biểu thức sau: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3
A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3
= (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3
= −5 3 : 3 = −5

Câu 19. Rút gọn các biểu thức sau: A = 3 − 12 + 27
Gỉai
A = 3 − 2 2.3 + 32.3 = 3 − 2 3 + 3 3 = 2 3
20. Rút gọn: B = 20 − 45 + 2 5

Câu
Gỉai

B = 22.5 − 32.5 + 2 5 = 2 5 − 3 5 + 2 5 = 5
21.Rút gọn biểu thức A = 3( 27 + 4 3)

Câu
Gỉai

A = 3( 27 + 4 3) = 81 + 4 9 = 9 + 4.3 = 21

LOẠI 2:ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG
2
Câu 1.Tính B = (2 − 3) + 3
Gỉai

Có B= | 2 − 3 | + 3 = 2 − 3 + 3 = 2(Do 2> 3)
Câu 2. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai

N = 6+2 5 − 6−2 5

N = 6+2 5 − 6−2 5
= 5 + 2 5 +1 − 5 − 2 5 +1
= ( 5 + 1) 2 − ( 5 − 1)2
=| 5 + 1| − | 5 − 1|= 5 + 1 − 5 + 1 = 2

Câu 3.Rút gọn các biểu thức:
Giải.

A = 7 − 2 10 + 20 +

1
8
2


1
8
2
1
= ( 5 − 2) 2 + 2 5 + .2 2
2
=| 5 − 2 | +2 5 + 2 = 5 − 2 + 2 5 + 2( Do 5 − 2 > 0)
A = 7 − 2 10 + 20 +

=3 5

Câu 4. Rút gọn biểu thức sau :
Gỉai

B = (3 2 + 6) 6 − 3 3

B = (3 2 + 6) 6 − 3 3 = (3 + 3) 12 − 6 3
= (3 + 3) | 3 − 3 |= (3 + 3)(3 − 3) = 9 − 3 = 6

Câu 5. Rút gọn biểu thức sau B = ( 5 − 1) 6 + 2 5
Gỉai
b) B = ( 5 − 1) 6 + 2 5 = ( 5 − 1) ( 5 + 1) 2

= ( 5 − 1) | 5 + 1|
= ( 5 − 1)( 5 + 1)
= 5 −1 = 4

Câu 6. Rút gọn các biểu thức:
Gỉai

A = 7 − 2 10 + 20 +

1
8
2

1
8
2
1
= ( 5 − 2) 2 + 2 5 + .2 2
2
=| 5 − 2 | +2 5 + 2 = 5 − 2 + 2 5 + 2( Do 5 − 2 > 0)
A = 7 − 2 10 + 20 +

=3 5

Câu 7. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

B = (3 2 + 6) 6 − 3 3

B = (3 2 + 6) 6 − 3 3 = (3 + 3) 12 − 6 3

= (3 + 3) | 3 − 3 |= (3 + 3)(3 − 3) = 9 − 3 = 6

Câu 8. Tính giá trị của biểu thức:
Gỉai
P=

4−2 3
=
1− 3

(

)

3 −1

1− 3

2

=

Câu 9.Rút gọn biểu thức:
Gỉai

3 −1
1− 3

A=

P=

4−2 3
1− 3

=1

2+ 3
2− 3
−
2
2


2+ 3
2− 3
4+2 3
4−2 3
−
=
+
2
2
4
4

b) A =

1
( ( 3 + 1) 2 − ( 3 − 1) 2 )

2
1
1
= (| 3 + 1| − | 3 − 1|) = ( 3 + 1 − 3 + 1) = 1
2
2
=

Câu 10. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
21
2
21
=
2
15
=
2

B=

(

(
(

4+2 3 + 6−2 5

)

2

3 +1+ 5 −1 − 3
3+ 5

)

2

(

B = 21

) (
2

−3

(

2+ 3 + 6−2 5

4−2 3 + 6+2 5

)

)

2

) (
2

−6

2− 3 + 3+ 5

)

2

− 15 15

2

3 − 1 + 5 + 1 − 15 15

− 15 15 = 60

LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN
THỨC, QUY ĐỒNG
• PP QUY ĐỒNG
Câu 1 .Rút gọn biểu thức
GIẢI

A=

1
1
2 2− 6

+
+
3 +1
3 −1
2

3 −1+ 3 +1
2(2 − 3) 2 3
+
=
+2− 3 = 3 +2− 3 = 2
3 −1
( 3 + 1)( 3 − 1)
2
1
1
b) B =
+
3+ 7 3− 7
Câu 2. Rút gọn biểu thức :

A=

Gỉai
B=

1
1
6
6

+
=
=
=3
2
9−7
3 + 7 3 − 7 32 − 7
5
P=
−2 5
5 −2
3. Rút gọn biểu thức :

Câu
Gỉai
5
−2 5
5 −2
5 − 2 5( 5 − 2)
5 − 10 + 4 5
=
=
5 −2
5 −2

P=

=

5 5 − 10 5( 5 − 2)

=
=5
5−2
5−2

Câu 4. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

P=

1
1
+
5−2
5+2


P = 5 +2+ 5 −2 = 2 5

5. Rút gọn biểu thức sau

B=

1
1
+
3− 2
3+ 2

Câu

Gỉai
1
1
3+ 2
3− 2
+
=
+
3− 2
3−2
3− 2
3+ 2

B=

= 3− 2+ 3− 2 =2 3

• PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
1. Rút gọn biểu thức :

P = ( 3 − 1)

3+ 3
2 3

Câu
Gỉai
3+ 3
3( 3 + 1) ( 3 − 1)( 3 + 1) 3 − 1
= ( 3 − 1)

=
=
=1
2
2
2 3
2 3
2
1
+ . 18
Câu 2. Tính: 2 + 2 3
P = ( 3 − 1)

Giải.
2
1
2
9.2
2( 2 − 1) 3 2
+ 18 =
+
=
+
3
1− 2
3
2+2 3
1+ 2
=

2 −2
+ 2 = 2− 2 + 2 = 2
−1

• LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Giải.
B=

B=

2
− 28 + 54
7− 6

2
− 28 + 54
7− 6

=

2( 7 + 6)
− 7.4 + 9.6
( 7 − 6)( 7 + 6)

=

2 7 +2 6
−2 7 +3 6

7−6

= 2 7 +2 6 −2 7 +3 6
=5 6

CÂU 2: Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:
Gỉai
A=

1
8 − 10
2 −1
2(2 − 5)
−
=
−
= 2 − 1 − 2 = −1
1
2 +1 2 − 5
2− 5

A=

1
8 − 10
−
2 +1
2− 5

CÂU 3.Cho A = 3 − 1; B = 3 + 1 . Tính giá trị của biểu thức
hoặc biến đổi thích hợp
GIẢI
Ta có:

A + B; A.B;

A + B = ( 3 − 1) + ( 3 + 1) = 2 3
AB = ( 3 − 1)( 3 + 1) = ( 3) 2 − 12 = 3 − 1 = 2
A
3 −1
( 3 − 1) 2
4−2 3
=
=
=
= 2− 3
B
2
3 + 1 ( 3 + 1)( 3 − 1)
A2 + B 2 = ( A + B )2 − 2 AB = (2 3) 2 − 2.2 = 12 − 4 = 8

Câu 4. Rút gọn biểu thức:
Gỉai
P=

2

(

(

)

3 +1

)(

3 −1

)

3 +1

−3 3 + 3 =

Câu 5. Rút gọn biểu thức :
Giải.
B=

2
3
− 27 +
3 −1
3

P=

2

B=

(

) −2

3 +1
3 −1

3 = 3 +1− 2 3 = 1− 3

2
− 28 + 54
7− 6

2
− 28 + 54
7− 6

=

2( 7 + 6)
− 7.4 + 9.6
( 7 − 6)( 7 + 6)

=

2 7 +2 6
−2 7 +3 6
7−6

= 2 7 +2 6 −2 7 +3 6
=5 6

Câu 6. Rút gọn biểu thức sau:
Giải.

A=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

A 2
; A + B2
B
bằng cách rút gọn


A=
=

5+ 5
5
3 5
+

−
5+2
5 −1 3 + 5

(5 + 5)( 5 − 2)
5( 5 + 1)
3 5(3 − 5)
+
−
( 5 − 2)( 5 + 2) ( 5 − 1)( 5 + 1) (3 + 5)(3 − 5)

5 + 5 9 5 − 15
−
4
4
5 + 5 − 9 5 + 15
= 3 5 −5+
4
= 3 5 −5+5−2 5
= 3 5 −5+

= 5

LOẠI 4 KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HĐT TRONG CĂN
Câu 1.Cho biểu thức :
Gỉai
M=

M=

6
+ (2 − 3)2 − 75
2− 3
. Rút gọn M.

6
+ | 2 − 3 | − 75
2− 3

= 6(2 + 3) + 2 − 3 − 5 3 = 14

2. Rút gọn biểu thức

A=

1
+ 7−4 3
2− 3

Câu
Gỉai
1
+ 7−4 3
2− 3
1
1
=
+ 4−4 3 +3 =
+ (2 − 3) 2
2− 3

2− 3
A=

=

1
2+ 3
2+ 3
+ 2− 3 =
+2− 3 =
+2− 3 = 4
1
2− 3
(2 − 3)(2 + 3)

Câu 3. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức:
Giải.
A = ( 5) − 2 −
2

Ta có

2

(2 − 3) 2
3−2

A=

Câu 4. Thu gọn biểu thức

Giải.

= 5−4−

A = ( 5 − 2)( 5 + 2) −

2− 3
= 1 − (−1) = 2
3−2

2− 3
1+ 4 + 2 3

+

2+ 3
1− 4 − 2 3

7−4 3
3−2


a) A =
=
=

2− 3
1+ 4 + 2 3
2− 3

+

2+ 3
1− 4 − 2 3
2+ 3

+

1 + 3 + 2.1. 3 + 1 1 − 3 − 2.1. 3 + 1
2− 3
1 + ( 3 + 1) 2

+

2+ 3
1 − ( 3 − 1) 2

=

2− 3
2+ 3
+
1+ 3 +1 1− 3 +1

=

2− 3 2+ 3
+
2+ 3 2− 3

(4 − 4 3 + 3) + (3 + 4 3 + 3)
4 −1
14
=
1
= 14
=

A=

Câu 5.Rút gọn biểu thức :
Giải.
A=

Rút gọn biểu thức
=
=

2+ 3
(2 − 3) 2

−

2+ 3
7−4 3

2+ 3
7−4 3

−

−

2− 3
7+4 3

2− 3
7+4 3

2− 3
(2 + 3) 2

2+ 3 2− 3
−
2− 3 2+ 3

= (2 + 3) 2 − (2 − 3) 2
= ( 3 + 2 − 2 + 3)(2 + 3 + 2 − 3)
=8 3

Câu 6: Rút gọn biểu thức sau:

A=

3 3−4
3+4
−
2 3 +1
5−2 3

3 3−4
3+4
−
2 3 +1
5−2 3

A=
=

=

(3

)(
( 2 3)

)− (

3 − 4 2 3 −1
2

−1

)(
)
− ( 2 3)

3 +4 5+2 3
52

2

22 − 11 3
26 + 13 3
−
11
13

= 2− 3 − 2+ 3
4−2 3
4+2 3
−
2
2
2
2 
1 
=
3 −1 −
3 +1 ÷

2

1
=
3 −1 − 3 −1
2
1
=

.(−2) = − 2
2
=

(

)

(

(

)

)

B = 3 85 + 62 7 + 3 85 − 62 7
Tính
giá
trị
biểu
thức:
Câu 7.

GIẢI
B = 3 85 + 62 7 + 3 85 − 62 7
3
3
Đặt a = 85 + 62 7 ; b = 85 − 62 7 => a + b = B
Mặt khác:

a 3 + b 3 = (85 + 62 7) + (85 − 62 7) = 170
ab = 3 85 + 62 7 3 85 − 62 7 = 3 852 − (62 7) 2 = 3 −19683 = −27

Ta có:
B 3 = ( a + b)3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b)
= 170 − 3.27.B
=> B 3 + 81B − 170 = 0
2
=> (B− 2)(B
+ 22B4+ 3
85) = 0
14
>0

=> B = 2

Vậy B=2


RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ
A = ( a + 2)( a − 3) − ( a + 1) 2 + 9a với a ≥ 0
Rút
gọn
biểu
thức
VÍ DỤ.

Gỉai
( a + 2)( a − 3) = a − a − 6

( a + 1) 2 = a + 2 a + 1
A = a − a − 6 − (a + 2 a + 1) + 3 a

A= -7
• PP ÁP DỤNG HĐT
Câu 1.Rút gọn biểu thức
Gỉai

M=

(a + b) 2 − ( a − b) 2
ab
với ab ≠ 0

(a + b)2 − (a − b)2 (a + b + a − b)(a + b− a + b) 2a.2b
=
=
=4
ab
ab
ab
1− a a
1− a 2
P=(
+ a ).(
)
1− a
1− a
Câu 2.Rút gọn biểu thức:
(với a ≥ 0;a ≠ 1)

M=

Gỉai
Với a ≥ 0 a ≠ 1 ta có:
1− a a
1− a 2
P=(
+ a ).(
)
1− a
1− a
2

 (1 − a )(1 + a + a 2 )


1− a
=
+ a ÷
÷

÷ (1 − a )(1 + a ) ÷
1− a



1
= (1 + a ) 2 .
=1
(1 + a ) 2

Câu 3.Rút gọn biểu thức B = x − 1 − 2 x − 2 + 1 + x − 2 với 2 ≤ x < 3
Gỉai
B = x −1− 2 x − 2 +1+ x − 2

với 2 ≤ x < 3

B = ( x − 2 − 1) 2 + 1 + x − 2 =| x − 2 − 1| +1 + x − 2
= − x − 2 +1+1+ x − 2 = 2
(Vì 2 < x < 3 => x − 2 – 1 < 0)

Câu 4. Rút gọn biểu thức:
Giải.
a

A=(

A=(

2 x+x
1
x +2
−
) : (1 −
)
x x −1
x −1
x + x + 1 với x ≥ 0, x ≠ 1

2 x+x

1
x +2
−
) : (1 −
)
x x −1
x −1
x + x + 1 với x ≥ 0, x ≠ 1


 2 x+x
x + x + 1  x + x + 1 − ( x + 2)
= 
−
÷
3
3
÷:
(
x
)
−
1
(
x
)
−
1
x + x +1



=

2 x + x − x − x −1
x + x +1
.
( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1 − x − 2

=

2 x + x − x − x −1
( x − 1)( x − 1)

=

x −1

( x − 1)( x − 1)
1
=
x −1

Câu 5
Cho biểu thức

A=

x x + 1 x −1
−
x −1

x + 1 (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi

x = 2016 + 2 2015

GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có

( x ) + 1 − ( x − 1) ( x + 1) = x − x + 1 −
A=
(
x +1
x −1
( x + 1) ( x − 1)
x − x + 1 − ( x − 1)
x
=
=
3

)

x −1

2

x −1

A −1 =

x−

(

)=

x −1

x −1

x −1

1
x −1

Ta có x = 2016 + 2 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có

x = 2015 + 2 2015 + 1 =

A −1 =

(

)

2

2015 + 1 ⇒ x = 2015 + 1

. Thay vào biểu thức A – 1 ta được:

1
2015

2
Câu 6.Cho biểu thức: D = (1 − x ) . x + 1 + 2 x
Rút gọn D.

D = ( x − 1) 2 . ( x + 1) 2
=| x − 1| .( x + 1)

- Nếu x − 1 ≥ 0 <=> x ≥ 1 => D = ( x − 1)( x + 1) = x − 1
- Nếu x − 1 < 0 <=> 0 ≤ x < 1 => D = −( x − 1)( x + 1) = 1 − x
Q=(

1
2 x + x 1− x
−
)(
−
)
x −1 x −1
x +1
x − x ( với x>0;x ≠ 1)

LH CÂU 33. Cho biểu thức
1 Rút gọn biểu thức Q .
2 Tìm các giá trị của x để Q = −1.

GIẢI
1 (1,0 điểm)
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1, ta có

x +1
2   x ( x + 1)
1− x 
Q = 
−
.
−
÷

÷
÷
x +1
x (1 − x ) ÷
 ( x − 1)( x + 1) x − 1  

 x +1
2 
1
= 
−
.(
x
−
)
÷
÷

x
−
1
x
−
1
x


 x −1   x −1 
x −1
= 
.
=
÷

÷
÷
x
 x −1   x 

2 (0,5 điểm) Với x > 0 và x ≠ 1, ta có
Do đó
Q = −1 <=>

Q=

x −1
x

x −1
= −1
x

<=> x − 1 = − x
<=> 2 x = 1
1
<=> x = (TM )
4
1
x=
4 thì Q= -1
Vậy với

• PP ÁP DỤNG QUY ĐỒNG
Câu
Gỉai
B=

1. Rút gọn biểu thức :

B=

1
1
−
1+ x 1− x

(1 − x ) − (1 + x) −2 x
=

(1 + x )(1 − x ) 1 − x 2

Câu 2. Rút gọn biểu thức:
Gỉai
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:

B=

4
2
x −5
+
−
x − 1 với x ≥ 0, x ≠ 1
x +1 1− x


B=

4
2
x −5
+
−
x −1
x +1 1− x

=

4( x − 1)

−2( x + 1)
x −5
+
−
( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)

=

4( x − 1) − 2( x + 1) − ( x − 5)
( x + 1)( x − 1)

x −1
=
( x + 1)( x − 1)
1
Vậy B = x + 1
=

1
x +1

Câu 3.Rút gọn biểu thức:

B=

x
2 x
1
−
−

x −1 x −1
x + 1 với x ≥ 0 và x ≠ 1

B=

x
2 x
1
−
−
x − 1 ( x − 1)( x + 1)
x +1

B=

x ( x + 1) − 2 x − ( x − 1) x + x − 2 x − x + 1
=
( x − 1)( x + 1)
( x − 1)( x + 1)

x − 2 x +1
( x − 1) 2
B=
=
=
( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

x −1
x +1

x− x
x −1
−
x + 1 .Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
Câu 5.Cho biểu thức G = x − 1
Điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
G=

x− x
x −1
−
=
x −1
x +1

x ( x − 1) ( x − 1)( x + 1)
−
= x − ( x − 1) = 1
x −1
x +1

Câu 6.Cho biểu thức:
Có
P=
=

P=

2+ x 2− x
+

x +1
x − 1 điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P

(2 + x )( x − 1) (2 − x )( x + 1)
+
( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)

( x + x − 2) + (− x + x + 2) 2 x
=
x −1
x −1

Câu 9.Rút gọn biểu thức
Với x ≥ 0 và x ≠ 4 ta có:

A=(

x
2
x+4
+
):
x +2
x −2
x + 2 với x ≥ 0 và x ≠ 4


A=(
=(

x
2
x+4
+
):
x +2
x −2
x +2

x ( x − 2)
2( x + 2)
x +2
+
).
( x + 2)( x − 2) ( x − 2)( x + 2) x + 4

x−2 x +2 x +4 x +2
.
( x + 2)( x − 2) x + 4
1
=
x −2
=

=

x +2
x−4

1

1
x −2
+
)
x −2
x +2
x với x > 0 và x ≠ 4..Rút gọn biểu thức
Câu 10.
1
1
x −2
B=(
+
)
x −2
x +2
x
B=(

=

( x + 2) + ( x − 2) x − 2
.
( x − 2)( x + 2)
x

2 x ( x − 2)
=
x ( x − 2)( x + 2)
( x > 0; x ≠ 4)

=

2
x +2

Câu 11.Rút ngắn biểu thức:

P=(

1
1
a +1
−
):
a −1
a + 1 a −1

1
1
a +1
−
):
a −1
a + 1 a −1
ĐK: a ≥ 0; a ≠ 1
P=(

a + 1 − ( a − 1) a + 1
:
( a − 1)( a + 1) a − 1

2 a −1
=
.
a −1 a +1
2
=
a +1
=

Câu 12.Rút gọn các biểu thức sau:
B=(
=

1
1
x −2
+
)
x −2
x +2
x

( x + 2) + ( x − 2) x − 2
.
( x − 2)( x + 2)
x

2 x ( x − 2)
=
x ( x − 2)( x + 2)

( x > 0; x ≠ 4)
=

2
x +2

B=(

1
1
x −2
+
)
x −2
x +2
x với x > 0 và x ≠ 4.


A=

Câu 13: Cho biểu thức
Giải.

a +1
a −1
−
a −1
a + 1 (với a ∈ R, a ≥ 0 và a ≠ 1).Rút gọn biểu thức A.

a +1

a − 1 ( a + 1) 2 − ( a − 1) 2 a + 2 a + 1 − a + 2 a − 1 4 a
−
=
=
=
a −1
a −1
a −1
a −1
a +1
1
1
1
B=(
−
):
(x > 0; x ≠ 1)
x
−
1
x
x
−
x
Câu 15. Rút gọn biểu thức :
A=

B=(
=

1
1
1
−
):
=
x −1
x x− x

x − ( x − 1) x − x
.
1
x ( x − 1)

1
x− x
.
=1
1
x− x

Câu 16. Rút gọn các biểu thức:
Giải.
Q=
=

Q=(

1
+

x +4

1
x +4
)
x −4
x

x −4+ x +4
x +4
2 x
x +4
.
=
.
( x + 4)( x − 4)
x
( x + 4)( x − 4)
x
2
x −4

Câu 17.Rút gọn các biểu thức:

Q = (1 +

1+ x 1
).
x − 1 x với x > 0, x ≠ 1.

 x −1 + x + 1 1
2 x 1
2
Q=
=
.
=
(0 < x ≠ 1)
.
x −1 x
x −1
 ( x − 1)
 x
1
1
P=(
−
)( x x + x )
x
x
+
1
Câu 18.Rút gọn biểu thức:
với x>0
1
1
P=(
−
)( x x + x)
x

x
+
1
Với x > 0 có

=
=

x +1− x
.x ( x + 1)
x ( x + 1)
1
.x.( x + 1) = x
x ( x + 1)

Câu 19.Cho biểu thức:
Rút gọn P
P=(

1
a −1

1

−

a

):(

a +1
a −2

P=(

−

1
1
a +1
a +2
−
):(
−
)
a −1
a
a −2
a − 1 Với a>0;a ≠ 1;a ≠ 4

a +2
a −1

)

=

a − a + 1  ( a + 1)( a − 1) ( a + 2)( a − 2) 
:
−

÷
a ( a − 1)  ( a − 2)( a − 1) ( a − 2)( a − 1) ÷


=

( a − 2)( a − 1)
a −2
=
a ( a − 1) ( a − 1) − (a − 4)
3 a
1

.


Câu 20.Rút gọn biểu thức:
Rút gọn biểu thức:

B=

B=

3
4
12
+
−
( x ≥ 0; x ≠ 4)
x −2

x +2 x−4

3
4
12
+
−
( x ≥ 0; x ≠ 4)
x −2
x +2 x−4

3( x + 2) + 4( x − 2) − 12
( x + 2)( x − 2)
=
7 x − 14
= ( x + 2)( x − 2)
7( x − 2)
=
(
x
+
2)(
x
−
2)
=

Câu 21. Rút gọn biểu thức
Với x ≥ 0 và x ≠ 1 ta có:
A=(

A=(

7
x +2

3 x
1
x +1
−
− 3).
x −1
x +1
x + 2 với x ≥ 0 và x ≠ 1

3 x
1
x +1
−
− 3).
x −1
x +1
x +2

=

3 x ( x + 1) − ( x − 1) − 3( x − 1)( x + 1) x + 1
.
( x − 1)( x + 1)
x +2

=

3x + 3 x − x + 1 − 3x + 3 x + 1
.
x −1
x +2

2( x + 2) x + 1
.
x −1
x +2
2
=
x −1

=

Câu 22. Cho biểu thức
 4 x
8x   x − 4
1
P = 
−
:
+
÷

÷
x

 2− x 4− x  x+2 x


÷
÷
 với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 Rút gọn P

GIẢI
Ta có:
 4 x
8x   x − 4
1
P = 
−
: 
+
÷
÷
x
 2− x 4− x   x +2 x
=
=
=

4 x .(2 + x ) − 8 x
(2 − x )(2 + x )

:

x − 4 + ( x + 2)

x ( x + 2)

−4 x + 8 x
2 x −2
:
(2 − x )(2 + x ) x ( x + 2)
4 x

2+ x
2x
=
x −1

.

x ( x + 2)
2 x −2


÷
÷



P=

Vậy
Câu 23.

2x

x −1

1   a +1
a +2
 1
P=
−
−
÷
÷: 
a   a −2
a −1 ÷
 a −1
 . Rút gọn biểu thức P
Cho biểu thức

GIẢI
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
a − ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) − ( a + 2)( a − 2)
:
a ( a − 1)
( a − 2)( a − 1)

P=
=

1
(a − 1) − ( a − 4)
1
( a − 2)( a − 1)

:
=
.
3
a ( a − 1) ( a − 2)( a − 1)
a ( a − 1)

=

a −2
3 a

Câu 24.Rút gọn các biểu thức sau:
N =(

1
1
3 a
+
):
(a > 0; a ≠ 4)
a +2
a −2 a−4

GIẢI
1 Ta có:
N =(
=

1

1
3 a
+
):
a +2
a −2 a−4

a −2+ a +2 a−4
.
( a + 2)( a − 2) 3 a

2 a a−4
.
a−4 3 a
2
=
3
=

CÂU 25.
 3+ x 3− x
36 
x −5
Q = 
−
−
:
( x > 0; x ≠ 9; x ≠ 25)
÷
÷

3− x 3+ x x −9  3 x − x

a/ Rút gọn

b/ Tìm x để Q < 0
GIẢI
a Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:


 3+ x 3− x
36 
x −5
Q = 
−
−
:
÷
÷
 3− x 3+ x x −9  3 x − x
=

(3 + x ) 2 − (3 − x ) 2 + 36 3 x − x
.
(3 − x )(3 + x )
x −5

=

(9 + 6 x + x) − (9 − 6 x + x ) x (3 − x )
.

(3 − x )(3 + x )
x −5

=

(12 x + 36)(3 − x ) x
12 x
=
(3 − x )(3 + x )( x − 5)
x −5

b Với x > 0 thì 12 x > 0
Do đó
12 x
< 0 <=> x − 5 < 0 <=> 0 ≤ x < 25
x −5
Kết hợp với điều kiện, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x ≠ 9
Q < 0 <=>

Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0;25)\{9}
**Câu 26. Cho biểu thức A:
2
3
5 x −7
2 x +3
+
−
):
( x > 0; x ≠ 4)
x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2 5 x − 10 x

Rút gọn biểu thức A.
≠
Với x>0;x 4 , biểu thức có nghĩa ta có:
A=(

A=(

2
3
5 x −7
2 x +3
+
−
):
x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2 5 x − 10 x

=

2(2 x + 1) + 3( x − 2) − (5 x − 7)
2 x +3
:
( x − 2)(2 x + 1)
5 x ( x − 2)

=

2 x +3
5 x ( x − 2)
.
( x − 2)(2 x + 1)

2 x +3

=

5 x
2 x +1

.
• PP LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU
RỒI ĐƠN GIẢN HAY QUY ĐỒNG

Câu 1.Rút gọn biểu thức
Với điều kiện đã cho thì

P=

x 2
2x − 2
+
x − 2 với x > 0, x ≠ 2
2 x+x 2

x 2
2( x − 2)
x
+
=
+
2 x ( 2 + x ) ( x − 2)( x + 2)
2+ x

P=

x y+y x
xy

Câu 2.Chứng minh rằng:
x y+y x
xy

:

1
=
x− y

xy ( x + y )
xy

:

2
=1
x+ 2

1
= x− y
x− y
; với x>0;y>0 và x ≠ y

.( x − y ) = x − y


Câu 3. Rút gọn biểu thức:

B=

a b +b a
a −b
+
ab
a+ b

a b +b a
a −b
ab ( a + b ) ( a + b )( a − b )
+
=
+
ab
a+ b
ab
a+ b
B = a + b + a − b = 2 a với a,b, là số dương.

a + a 
a −5 a 
A =  3 +
3
−

÷
÷
a + 1 ÷
a − 5 ÷



Câu 4. Rút gọn biểu thức
với a ≥ 0, a ≠ 25
B=


a + a 
a −5 a
A =  3 +
3
−
÷
a + 1 ÷
a −5




÷
÷
 với a ≥ 0, a ≠ 25

a ( a + 1) 
a ( a − 5) 

=  3 +
3−
÷
÷
÷
a + 1 
a − 5 ÷


= (3 + a )(3 − a )
= 9−a
 a + a  a − a 
P =  1 +
÷1 +
÷,
a + 1 ÷
1 − a ÷



Câu 5. Rút gọn biểu thức:
với a ≥ 0; a ≠ 1

Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có

a ( a + 1)  
a ( a − 1) 
P = 1 +
 1 +
 = 1+ a 1− a = 1−

a
+
1
1
−
a




(

Câu 6. Rút gọn biểu thức:

M =(

)(

)

( a)

2

= 1− a

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
)

a +1
1 − a với a ≥ 0; a ≠ 1

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
)
a +1
1 − a với a ≥ 0; a ≠ 1
a ( a + 1)
a ( a − 1)
=(
+ 1)(1 +
)
a +1
1− a
M =(

= ( a + 1)(1 − a )
= 1− a

Câu 7. Rút gọn biểu thức:

M =(

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
)
a +1

1 − a với a ≥ 0; a ≠ 1

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
)
a +1
1 − a với a ≥ 0; a ≠ 1
a ( a + 1)
a ( a − 1)
=(
+ 1)(1 +
)
a +1
1− a
M =(

= ( a + 1)(1 − a )
= 1− a

Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi):


 a− a   a+2 a 
P = 1 +
÷
÷. 1 − a + 2 ÷
÷
a
−

1


 với a ≥ 0; a ≠ 1

 a− a   a+2 a 
P = 1 +
÷.  1 −
÷
a −1 ÷
a +2 ÷


 với a ≥ 0; a ≠ 1

a ( a − 1)
a ( a + 2)
)(1 −
)
a −1
a +2
= (1 + a )(1 − a )
= (1 +

= 12 − ( a ) 2 = 1 − a

P=(

2
1

1
+
):
x−4
x +2
x +2

Câu 9. Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.

x ≥ 0
x ≥ 0
<=> 

x ≠ 4
ĐKXD:  x − 4 ≠ 0
2
1
1
2+ x −2
P=(
+
):
=
.( x + 2) =
x−4
x +2
x + 2 ( x + 2)( x − 2)

x

x −2

x
3
=
x −2 2
<=> 2 x = 3 x − 6 <=> x = 6 <=> x = 36(TM )
P=

3
<=>
2

A=(

1
x
1
−
):
x −1 x −1
x +1

Câu 10.Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
Giải.

x ≥ 0

Điều kiện  x ≠ 1

x +1− x
1
1
x +1
A=
:
=
.
=
1
( x + 1)( x − 1) x + 1 ( x + 1)( x − 1)
1
4
P=
−
x −2 x−4
Câu 11. Cho biểu thức

1
x −1

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
Giải.
ĐKXĐ : x ≥0 , x ≠ 4 (0,5 đ)
Rút gọn:
P=
=

1
4

x +2−4
x −2
−
=
=
x − 2 x − 4 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)
1
x +2

Câu 12. Cho biểu thức

(
P=(

x +1
1
−
)( x − 3)
x −9
x +3
.Tìm điều kiện xác định và rút gọn P


Giải.
P=(

x +1
1
−
)( x − 3)

x −9
x +3

Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9


x +1
x −3
P=
−
 ( x − 3)
 ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) 
x + 1 − ( x − 3)
.( x − 3)
( x + 3)( x − 3)
4
=
x +3
=

Câu 13. Cho biểu thức

x +1
2
x −4
−
).( x − 1 +
)
x −2 x−4
x

(với x > 0 và x ≠ 4).

P=(

Chứng minh rằng P = x + 3
P=(

x +1
2
x −4
−
).( x − 1 +
)
x −2 x−4
x

 ( x + 1)( x + 2)
2   ( x − 1) x
x −4
= 
−
.
+
÷

÷

x−4
x−4÷
x

x ÷



=

x+3 x x−4
.
x−4
x

=

x ( x + 3)
x

= x +3

Câu 14.Chứng minh rằng với x > 0 và x ≠ 1 thì
Với x > 0 và x ≠ 1 ta có
x
1
−
=
x −1 x − x
=

x
1
−

=
x −1
x ( x − 1)

x −1
( x − 1)( x + 1)
=
=
x ( x − 1)
x ( x − 1)

Câu 15.Rút gọn biểu thức:
Ta có:
A=
=
=

x
x −1

+

x − 2x
x− x

x
+
x ( x − 1)

=

x x −1
x ( x − 1)

x +1
x

A=

x
x −1

x − 2x
=
x ( x − 1)

( x − 1)2
= x −1
x −1

x
1
−
=
x −1 x − x

x
x − 2x
+
x − 1 x − x Với x > 0; x ≠ 1.

+

x − 2x
x ( x − 1)

x (x − 2 x + 1)
x ( x − 1)

x +1
x


Kế t luận: A = x − 1
Câu 16. Rút gọn biểu thức:
Ta có:
x

A=
=
=

x −1

+

x − 2x
x− x

=

x
x −1

x
x − 2x
+
=
x ( x − 1)
x ( x − 1)

x
x − 2x
+
x − 1 x − x Với x > 0; x ≠ 1.

x − 2x
x ( x − 1)

x (x − 2 x + 1)
x ( x − 1)

( x − 1) 2
= x −1
x −1

Câu 17. Cho biểu thức
Chứng minh rằng
P=(

P=

P=(

x−2
1
x +1
+
).
x+2 x
x +2
x − 1 với x > 0 và x khác 1

x +1
x

x−2+ x
x + 1 ( x − 1)( x + 2)
x +1
).
=(
).
=
x ( x + 2)
x −1
x ( x + 2)
x −1

Câu 18. Cho biểu thức
Giải.
Với

=

+

A=

Q=

Q=

x −1 5 x − 2
+
x − 4 với x>0, x ≠ 4. Rút gọn biểu thức Q.
x +2

x − 1 5 x − 2 ( x − 1)( x − 2) + 5 x − 2
+
=
x−4
x +2
x−4

x −3 x + 2+5 x −2 x+ 2 x
x ( x + 2)
=
=
=
x−4
x−4
( x + 2)( x − 2)

Câu 19. Với x > 0, cho biểu thức
Giải.
B=

x +1
x

B=

x
x −2

x −1 2 x +1
+
x
x + x . Rút gọn biểu thức B.

( x − 1)( x + x ) + (2 x + 1) x x x + 2 x
1
=
= 1+
=
x (x + x )
x x+x
x +1

x +2
x +1

Câu 20: Rút gọn các biểu thức
3+ 3
2 3
1
1
2
b) Q = (
+
)(1 −
)
x −2
x +2
x với x>0 và x khác 4
a ) P = ( 3 − 1)

Giải.
a ) P = ( 3 − 1)

3+ 3
3( 3 + 1) ( 3 − 1)( 3 + 1) 3 − 1
= ( 3 − 1)
=
=
=1
2
2
2 3
2 3

b) Q = (
=(

1
1
2
x +2+ x −2
x −2
+
)(1 −
)=(
)(
)
x −2
x +2
x
( x − 2)( x + 2)
x

2 x
x −2
)(
)=
( x − 2)( x + 2)
x

Câu 21. Rút gọn biểu thức
Với x>0 và x khác 36
B=
B=

2
x +2

B=

x − 12
6
+
( x > 0 va x ≠ 36)
6 x − 36 x − 6 x

x − 12
6
x − 12
6
+
=
+
0,5
6 x − 36 x − 6 x 6( x − 6)
x ( x − 6)
x ( x − 12) + 6.6 x − 12 x + 36
=
0,5
6 x ( x − 6)
6 x ( x − 6)

( x − 6) 2
x −6

B=
=
0,5
6 x ( x − 6)
6 x

Câu 22. Rút gọn:
C =(

C =(

x
1
x
−
)
x ( x + 1)
x ( x + 1) x − 1
x ( x − 1)
=
x ( x + 1)( x − 1)

C=

1
1
x
−
)
2

x + 1 ( x ) + x x − 1 với x>0 và x ≠ 1

1
x +1

Câu 23. Rút gọn biểu thức
x > 0 và x khác 4 có
P=(
=(
=

P=(

1
2
x
−
)
x + 2 x + 2 x x − 2 với x > 0; x ≠ 4.

1
2
x
−
)
x +2 x+2 x x −2

x
2
x

−
)
x ( x + 2)
x ( x + 2) x − 2
x −2
x
.
=
x ( x + 2) x − 2

Câu 24. Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A.

1
x+2

A=(

x +2
x −2
x
−
):
x + 2 x + 1 x −1
x + 1 với x > 0 và x khác 1.


A=(

x +2

x −2
x
−
):
x −1
x + 2 x +1
x +1

 x +2
 x +1
x −2
<=> A = 
−
÷
2
÷. x
(
x
+
1)
(
x
+
1)(
x
−
1)


 ( x + 2)( x − 1) ( x − 2)( x + 1)  x + 1

= 
−
÷
2
2
÷. x
 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) 
=

x − x + 2 x − 2 − ( x + x − 2 x − 2)
( x + 1) ( x − 1)
2

2 x

=

( x + 1) ( x − 1)
2
=
x −1
2
Vậy A= x − 1
2

.

x +1
x

x +1
x

Câu 25. Cho biểu thức:
Với x ≥ 0; x ≠ 4 ta có:
P=

.

P=

x + x 2 x −1 x − 6 x + 4
−
+
x−4
x −2
x +2
với x ≥ 0; x ≠ 4 .Rút gọn biểu thức P.

x + x 2 x −1
x−6 x +4
−
+
x −2
x + 2 ( x − 2)( x + 2)

=

( x + x )( x + 2) − (2 x − 1)( x − 2) + x − 6 x + 4
( x − 2)( x + 2)

=

x x + 2x + x + 2 x − 2x + 4 x + x − 2 + x − 6 x + 4
( x − 2)( x + 2)

=

x x + 2x + x + 2
( x − 2)( x + 2)

=

=

x( x + 2) + x + 2
( x + 1)( x + 2)
=
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
x +1

x −2

x +1
Vậy với x ≥ 0; x ≠ 4 thì P= x − 2

Câu 26. Rút gọn biểu thức:
Giải.

B=(

x
x −1
x +6
x +2
−
−
):(
− 1)
x −2
x +2 x−4
x −2

Đặt ĐK x khác 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp