Ứng dụng xác suất để giải các bài toán tổ hợp

Đ IăH CăĐĨăN NG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUY NăTH ăTH ăNHỂN

NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI Iă
CỄCăBĨIăTOỄNăT ăH P

LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOAăH C

ĐƠăN ngăậ Nĕmă2017


Đ IăH CăĐĨăN NG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUY NăTH ăTH ăNHỂN

NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI Iă
CỄCăBĨIăTOỄNăT ăH P

Chuyên ngành: Ph

ngăphápătoánăs ăc p

Mưăs :ă60.46.01.13

LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOAăH C

Ng

iăh

ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăCAOăVĔNăNUỌI

ĐƠăN ngăậ Nĕmă2017


L IăCAMăĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tácăgi

Nguy năTh ăTh ăNhơn




M CăL C
M ăĐ U ........................................................................................................... 1
1. Lí do ch n đ tƠi .................................................................................. 1
2. M c tiêu nghiên c u c a đ tƠi ............................................................ 1
3. Đ i t
4. Ph

ng vƠ ph m vi nghiên c u ....................................................... 1
ng pháp nghiên c u ..................................................................... 1

5. B c c đ tƠi ......................................................................................... 1
6. T ng quan tƠi li u nghiên c u ............................................................. 2

CH

NGă1. C ăS ăLụăTHUY TăXỄCăSU T .......................................... 3

1.1. CÁC KHÁI NI M M Đ U .............................................................................. 3

1.1.1. Đ đo xác su t vƠ không gian xác su t .......................................... 3
1.1.2. Các đ nh nghĩa c đi n c a xác su t .............................................. 3
1.2. CÁC TệNH CH T C A Đ ĐO XÁC SU T .......................................... 5
1.3. XÁC SU T ĐI U KI N VÀ CỌNG TH C XÁC SU T TOÀN ........... 6
PH N (Đ Y Đ ) ............................................................................................. 6
1.3.1. Xác su t đi u ki n .......................................................................... 6
1.3.2. Công th c xác su t toƠn ph n ........................................................ 8
1.3.3. Công th c Bayes ............................................................................ 8
1.4. BI N NG U NHIểN VÀ HÀM PHỂN PH I .......................................... 9
1.4.1.Bi n ng u nhiên .............................................................................. 9
1.4.2. Phơn ph i xác su t vƠ hƠm phơn ph i xác su t............................ 10
1.4.3. Bi n ng u nhiên r i r c, bi n ng u nhiên liên t c tuy t đ i ........ 11
1.5. Kǵ V NG VÀ PH

NG SAI C A BI N NG U NHIểN .................. 12

1.5.1. KǶ v ng (Expectation) ................................................................. 12
1.5.2. Ph

ng sai (Variance) ................................................................. 14

1.6. LU T S L N D NG Y U ................................................................... 17

1.6.1. Đ nh nghĩa.................................................................................... 17
1.6.2. Lu t s l n d ng y u .................................................................... 17
NGă2.

CH

NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI IăCỄCăBĨIăTOỄNăT ă

H P ................................................................................................................ 23
2.1. NGUYÊN LÍ DIRICHLET ....................................................................... 23
2.1.1. Nguyên lí Dirichlet 1 ( Nguyên lí chim b cơu) .......................... 23
2.1.2. Nguyên lí Dirichlet m r ng ........................................................ 23
2.1.3. Nguyên lí Dirichlet đ i ng u ....................................................... 24
2.2. M T ụ T

NG V Lụ THUY T RAMSEY ....................................... 25

2.3. S RAMSEY BÉ ...................................................................................... 26
2.4. TệNH X P X C A S RAMSEY .......................................................... 27
2.5.

NG D NG XÁC SU T Đ N Lụ THUY T RAMSEY ...................... 28

2.6. Đ NH Lụ RAMSEY ................................................................................. 29
2.7. PH

NG PHÁP XÁC SU T .................................................................. 30

2.7.1. Tính trực giác v i ph

ng pháp xác su t .................................... 30

2.7.2. Các ví d minh h a ...................................................................... 32
CH

NGă3. M TăS ăVệăD ăMINHăH A ................................................ 35

3.1. NGUYÊN LÍ BAO HÀM - LO I TR

VÀ

NG D NG. ..................... 35

3.2. TệNH B C C A NHịM ABEL H U H N SINH ................................ 39
K TăLU N ..................................................................................................... 41
TĨIăLI UăTHAMăKH O ............................................................................. 42


1

M ăĐ U
1. Líădoăch năđ ătƠi
Hi n nay trong ch

ng trình tốn

b c ph thơng, ph n t h p ậ xác

su t lƠ m t trong nh ng n i dung quan tr ng, nó th
đ thi cao đẳng vƠ đ i h c

n

c ta. Mặc dù

ng xu t hi n trong các

m c đ khơng khó nh ng h c

sinh v n gặp khó khăn khi gi i quy t các bƠi tốn nƠy. Cịn trong các kǶ thi
Qu c gia vƠ Qu c t , các bƠi tốn t h p ln có mặt vƠ lƠ m t th thách thực
sự v i các thí sinh, th m chí quy t đ nh thƠnh tích đ i v i các đ i tuy n dự
thi. Trong thực t có nhi u bƠi tốn xác su t th
các kỹ thu t tính tốn c a t h p. Ng

ng đ

c gi i nh

ng d ng

c l i, theo cách nhìn khác thì ta có th

ng d ng các kỹ thu t tính tốn c a xác su t đ gi i các bƠi tốn t h p, nên
tơi ch n đ tƠi: “

ng d ng xác su t đ gi i các bƠi toán t h p” lƠm đ tƠi

lu n văn t t nghi p b c h c cao h c Tốn c a mình, nhằm ph c v cho công
tác gi ng d y c a tơi nói chung vƠ luy n thi h c sinh gi i nói riêng

Đ

c sự đ nh h

ng c a TS. Cao Văn Nuôi, tôi đư ch n đ tƠi:

" NG D NG XÁC SU T Đ GI I CÁC BÀI TOÁN T H P " lƠm
đ tƠi lu n văn th c sĩ c a mình.
2. M cătiêuănghiênăc uăc aăđ ătƠi
Nghiên c u v lỦ thuy t xác su t vƠ ng d ng các kỹ thu t tính
tốn c a lỦ thuy t xác su t đ gi i các bƠi toán t h p
3. Đ iăt
-Đ it

ngăvƠăph măviănghiênăc u
ng:

ng d ng xác su t đ gi i các bƠi toán t h p

- Ph m vi nghiên c u: Xác su t, t h p vƠ ng d ng c a lỦ thuy t xác
su t trong t h p
4. Ph

ngăphápănghiênăc u

• Đ c sách vƠ tƠi li u tham kh o.
5. B ăc căđ ătƠi


2

Trong lu n văn nƠy,
• Ch

ng 1 : C s lỦ thuy t xác su t

• Ch

ng 3 : M t s ví d minh h a

• Ch

ng 2 :

ng d ng xác su t đ gi i các bƠi tốn t h p

6. T ngăquanătƠiăli uănghiênăc u

• Ch ng minh các khái ni m h u ích trong vi c cung c p cơu tr l i

cho m t trong nh ng v n đ lỦ thuy t c a xác su t vƠ t h p hay cho k t qu
ch ng minh m t cách t ng quát h n.

• Đ tƠi mang Ủ nghĩa v mặt lỦ thuy t, s lƠ tƠi li u tham kh o cho các

sinh viên.


3
CH

NGă1

C ăS ăLụăTHUY TăXỄCăSU T
1.1. CỄCăKHỄIăNI MăM ăĐ U
1.1.1. Đ ăđoăxácăsu tăvƠăkhôngăgianăxácăsu t

Xét  lƠ m t t p khác r ng,  là  - đ i s các t p con c a  và  lƠ đ đo
xác đ nh trên . N u đ đo  th a mãn:

 ( )  1

Thì ta nói  lƠ m t đ đo xác su t trên 
Khi đó ta g i b ba (  ,,  ) lƠ m t không gian xác su t.
Trong tr

th

ng h p không gian m u h u h n hoặc vô h n đ m đ

ng l y  = (  ) v i (  ) lƠ l p t t c các t p con c a  vƠ th

 = P (P lƠ vi t tắt c a t Probability). Khi đó ng

c, ng

i ta

ng kí hi u

i ta g i:

-/ T p ch ch a m t ph n t c a không gian m u {  } lƠ bi n c s c p.
-/ T p A   lƠ bi n c .

-/ N u A, B   và A  B thì ta nói B lƠ bi n c kéo theo c a A
-/ N u A, B  
nhau.

và A  B =  thì A vƠ B g i lƠ hai bi n c xung khắc

-/ N u A   và B =  \ A thì A vƠ B g i lƠ hai bi n c đ i nhau.
-/ T p  đ

-/ T p  đ

c g i lƠ bi n c chắc chắn (surely event).
c g i lƠ bi n c không th (hay b t kh ) (the imposible event).

1.1.2. Cácăđ nhănghƿaăc ăđi năc aăxácăsu t
a. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Gi s xác su t c a các bi n c s c p lƠ đ ng kh năng vƠ t p  (th

ng

g i lƠ không gian m u) có s ph n t h u h n. Gi s n lƠ s t t c các k t qu có


4
th x y ra trong m t thí nghi m ng u nhiên đ bi n c A nƠo đó x y ra vƠ m lƠ s

t t c các tr

ng h p bi n c A có th x y ra.

Khi đó xác su t c a bi n c A theo đ nh nghĩa c đi n c a xác su t lƠ :
P ( A) 

m
n

Ta d dƠng th l i rằng v i đ nh nghĩa c đi n c a xác su t nh th thì nó

th a mưn các tiên đ c a m t đ đo xác su t trên  - đ i s l p t t c các t p con

c a .

Víăd . M t l p có 10 h c sinh n vƠ 20 h c sinh nam. Ch n ng u nhiên ba
h c sinh tham gia cơng tác c a tr

ng. Tính xác su t đ ch n đ

c 1 n vƠ 2 nam ?

Gi i.
G i A lƠ bi n c ch n đ
S tr

c 1 n vƠ 2 nam.

ng h p thu n l i đ A x y ra lƠ C101 .C202 .

S t t c các tr

ng h p có th x y ra lƠ : C302 .

Xác su t c a bi n c A lƠ
P ( A) 

C101 .C202
.
C302

Đ nhănghƿaăhìnhăh căc aăxácăsu t
Ta kí hi u G lƠ mi n khơng gian m u c a m t thí nghi m ng u nhiên v bi n
c A nƠo đó vƠ g đ

c kí hi u lƠ mi n bi u di n bi n c g x y ra.

Đ nh nghĩa theo hình h c xác su t c a bi n c A lƠ :
P ( A) 

meas( g )
.
meas(G )

trong đó Meas(g) lƠ đ đo c a mi n g
Rõ rƠng, đ nh nghĩa hình h c c a xác su t th a mưn các tiên đ c a m t đ
đo xác su t.
Víăd . Ch n ng u nhiên m t đi m trong hình trịn đ n v tơm O. Tính xác
su t đ đi m đó thu c hình trịn tơm O bán kính

Gi i. Ta có

1
.
2


5
G = B(O; 1)
Trong đó B(O; 1) lƠ hình trịn tơm O bán kính bằng 1
g = B(O;
G i A lƠ bi n c đi m đ
Ta có :

1
)
2

c ch n thu c B(O,

  1 
Area  B  O;  
Area ( g )
  2  
P ( A) 

Area (G )
Area ( B(O;1))

1

)
2

1
.
4  1.

4

Đ nhănghƿaăxácăsu tătheoăth ngăkê
Trong m t thí nghi m ng u nhiên có n tr
tr

ng h p x y ra vƠ trong đó có m

ng h p bi n c A x y ra. Đ nh nghĩa theo th ng kê c a bi n c A lƠ :
P ( A)  lim

n 

Trong thực t v i n đ l n, ng

m
n

i ta x p x :

P ( A) 

m

.
n

Ví d . Ki m tra 1000 b nh nhơn nh p vi n th y có 100 ng

i b b nh đ mắt.

Tính xác su t đ m t b nh nhơn b đ mắt.
Gi i. G i A lƠ bi n c c a m t b nh nhơn b b nh đ mắt.
Ta có :
P ( A) 

100
1
 .
1000 10

1.2. CỄCăTệNHăCH TăC AăĐ ăĐOăXỄCăSU T
Vì đ đo xác su t lƠ m t đ đo nên nó có t t c các tính ch t c a m t đ đo trên
các vƠnh. NgoƠi ra nó cịn có thêm m t s tính ch t đặc bi t khác. Trong ph n nƠy
ta ch đ c p đ n các tính ch t đặc bi t c a đ đo xác su t vƠ không nhắc l i các tính
ch t c a đ đo trên vƠnh đư bi t . Ta kí hi u (  ,,  ) lƠ m t khơng gian xác su t.
Tínhăch tă1. V i m i bi n c A   ta có 0   ( A)  1.


6
Ch ngăminh. Th t v y,  ( A)  0 do đ nh nghĩa c a đ đo. H n n a, ta có A  

nên  ( A)   ()  1

Tínhăch tă2. V i m i bi n c A   ta có :

 ( AC )  1   ( A)

Ch ngăminh. Th t v y, do A AC   nên :

 ( A)   ( AC )   ( A AC )   ()  1

T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.

Tínhăch tă3. V i m i bi n c A, B   ta có :

 ( A B)   ( A)   ( B)   ( A B)

Công th c nƠy đ

c g i lƠ công th c c ng xác su t.

Ch ngăminh.ăTa có :

 ( A B)   ( A)   ( B \ A)

 ( B)   ( B \ A)   ( A B)

(1.2.1)
(1.2.2)

Tr (1.2.1) cho (1.2.2) suy ra đi u ph i ch ng minh.

Chú Ủ. N u A, B   và A B   thì  ( A B)   ( A)   ( B)

1.3. XỄCăSU TăĐI UăKI NăVĨăCỌNGăTH CăXỄCăSU TăTOÀN
PH Năă(Đ YăĐ )ă
1.3.1.ăXácăsu tăđi uăki n

Cho h {An }nN   .Ta nói h nƠy lƠ h đ y đ các bi n c n u vƠ ch n u nó

th a mưn:

1/  ( An )  0, n.

2/ Ai  Aj  , i  j

3/  Ai  .
n

i 1

Đ nhălíă1.3.1 Xét B   và  ( B)  0 . L p B ={ A B \A  } t o thƠnh 1  -

đ i s con c a  - đ i s 


7
Ch ngăminh. Do  ( B)  0 nên B   .   B  B  B nên B  
V i m i E  B ta có  A   sao cho E = A B nên:
E C  CB ( A B)  AC  B  B,

(Chú Ủ rằng E C

đơy lƠ ph n bù c a E trong B).

V i m i dưy {E n }nN  B ta có:








i 1

i 1

i 1

i 1

 Ei  ( Ai  B)  ( Ai )  B   (vì  Ai  )

trong đó, Ei  Ai  B, Ai  , i.

Đ nhălíă1.3.2. V i m i A   hƠm t p:
 B ( A) 

 ( A B)
, (B  ,  ( B)  0 )
 ( B)

lƠ m t đ đo xác su t vƠ đ

Ch ngăminh. Ta có:

 B ( A) 

c g i lƠ xác su t đi u ki n v i đi u ki n B.

 ( A B)
 0, A ,  ()  0
 ( B)

V i m i dưy {Ai }iN*  , ta cũng có:
 B ( Ai ) 


i 1

[( Ai )  B]


i 1



 ( B)

  ( A  B]


i 1

i

 ( B)

   B ( Ai )




[( Ai  B)]


i 1

 ( B)




i 1

 ( Ai  B]
 ( B)

i 1

H n n a,  B ( B)  1 nên  B lƠ m t đ đo xác su t trên B. Không gian

(B; B;  B ) là không gian xác su t con c a không gian xác su t (  ,,  ).
Đ đo  B đ

c g i lƠ xác su t đi u ki n v i đi u ki n B.


8
T cơng th c tính xác su t đi u ki n ta suy ra:
 ( A B)   ( B). ( A)

Công th c nƠy đ

c g i lƠ công th c nhơn xác su t.

1.3.2. Côngăth căxácăsu tătoƠnăph n

Đ nhălỦă1.3.3 V i m i bi n c E trong không gian xác su t (  ,,  ) có h

các bi n c đ y đ {An }nN , ta ln có cơng th c xác su t toƠn ph n:
 ( E )    ( Ai ). A ( E )
n

i 1

i

Ch ng minh. Ta có:
E  E    E  ( Ai )  ( Ai  E ).
n

n

i 1

i 1

Vì ( Ai  B)  ( Aj  B)  ( Ai  Aj )  , i  j nên:
 ( E )  [

( Ai  E )]    ( Ai  B)


n
i 1

i 1

=   ( Ai ). Ai ( E ), ( do công th c nhơn xác su t).


i 1

1.3.3. Côngăth c Bayes

Đ nhălỦă1.3.4. V i m i E  ,  ( E )  0 , ta ln có công th c:
 E ( Aj ) 

 A ( E ). ( Aj )

  ( A ).


j

i 1

Công th c nƠy đ

i

Ai

( E ),

c g i lƠ công th c Bayes.

Ch ngăminh. Ta có:
 E ( Aj ) 

 ( E  Aj )
=
 (E)

 A ( E ). ( Aj )

  ( A ).


i 1

j

i

Ai

, ( do công th c xác su t toƠn ph n)

( E ),

Víăd . Có hai cái h p:
-/ H p th nh t: ch a 1 viên bi đ , 2 viên bi xanh, 3 viên bi trắng;
-/ H p th hai: ch a 2 viên bi đ , 3 viên bi xanh, 4 viên bi trắng.
Ch n ng u nhiên m t h p vƠ l y ra m t viên bi trong h p đó.


9
a/ Tính xác su t đ ch n đ
b/ Bi t bi ch n đ

c bi mƠu trắng.

c lƠ bi mƠu trắng, tính xác su t đ nó thu c h p th hai.

Gi i.

a/ G i Ai, i  1; 2 lƠ bi n c ch n đ

c h p th i, B lƠ bi n c ch n đ

c bi

trắng.
Ta có:
1
P ( A1 )  P ( A2 )  .
2
PA1 ( B) 

3 1
4 1
 ; PA2 ( B)   .
6 2
8 2

Dùng công th c xác su t toƠn ph n, có:

P ( B)  PA1 ( B).P ( A1 )  PA2 ( B).P ( A2 )
1 1 1 1 1
= .  . 
2 2 2 2 2

b/ Ta c n tính PB ( A2 )
Dùng cơng th c Bayes có:
PB ( A2 ) 

P ( A2 ).PA2 ( B)
P ( B)

1 1
.
1

2
 2
1
2
2

1.4. BI NăNG UăNHIểNăVĨăHĨMăPHỂNăPH I
1.4.1.ăBi năng uănhiên

Cho (  ,,  ) lƠ không gian xác su t vƠ (X;) lƠ m t không gian đo đ

Ta g i ánh x :

c.

 :  X

lƠ m t bi n ng u nhiên X ậgiá tr n u vƠ ch n u nó lƠ m t ánh x ( - ) ậ
đo đ

c, nghĩa lƠ v i m i B   ta có  1 ( B)  
*/ N u X =  và  = ( ) là  -đ i s Borel c a  thì ta nói  lƠ m t đ i

l

ng ng u nhiên.


10
*/ N u X = n, n > 1và  = (n ) là  -đ i s Borel c a n thì ta nói  là

vect ng u nhiên.
1.4.2.ăPhơnăph iăxácăsu tăvƠăhƠmăphơnăph iăxácăsu t

Cho  lƠ m t bi n ng u nhiên, v i m i B  () ta g i:
 ( B)   ( 1 ( B))

lƠ đ đo nh c a  qua ánh x  vƠ nó lƠ m t đ đo xác su t trên ().
 còn đ

c g i lƠ phơn ph i xác su t c a  .

HƠm s :

F ( x)   [(; x)]  [ 1 (; x)], x  .

đ

c g i lƠ hƠm phơn ph i xác su t c a  .
Đ nhălíă1.4.1. HƠm phơn ph i xác su t F c a đ i l

ng ng u nhiên  có các

tính ch t:

a/ Đ n đi u không gi m, nghĩa lƠ n u x1  x2 thì F ( x1 )  F ( x2 ) .
b/ F ()  lim F ( x)  1, F ()  lim F ( x)  0.
x

x

Ch ngăminh.

a/ Ta có: (; x1 )  (; x2 ) nên  [(; x1 )]   [(; x2 )] .
Suy ra:

b/ Ta có:

F ( x1 )  F ( x2 ) .

F ()  lim F ( x)  lim  [(; n)]
x

n 

= [ lim( ; n)] ,
n 

= ( R)   ()  1

F ()  lim F ( x)  lim  [(; n)]
x

n 


11
= [ lim (; n)] ,
n 

= ()   ()  0 .

1.4.3.ăBi năng uănhiênăr iăr c,ăbi năng uănhiênăliênăt cătuy tăđ i

Đ nhăănghƿaă1.4.1. Bi n ng u nhiên  đ

c g i lƠ bi n nh u nhiên đ n gi n

( hay có phơn ph i đ n gi n) n u vƠ ch n u hƠm phơn ph i xác su t c a nó lƠ
hƠm đ n gi n, nghĩa lƠ hƠm phơn ph i xác su t c a nó có d ng:
F ( x)    i . Ai ( x),
n

i 1

trong đó Ai  (),  i  , i, n  ,
/

0, n eˆ u x  Ai
 Ai ( x)  
/

1, n eˆ u x  Ai .

Bi n ng u nhiên  đ

c g i lƠ bi n ng u nhiên r i r c n u vƠ ch n u hƠm

phơn ph i xác su t c a nó lƠ hƠm r i r c, nghĩa lƠ nó có d ng:
F ( x)    i . Ai ( x).


i 1

Víăd . Đ i l

ng ng u nhiên  có Im(  ) =  vƠ có hƠm kh i l

mass function) pk  P (  k)  e   .
g i lƠ đ i l

k
k!

,   0 lƠ đ i l

ng ( the

ng ng u nhiên r i r c vƠ đ

c

ng ng u nhiên có phơn ph i Poisson v i tham s  .

Đ nhănghƿaă1.4.2. Bi n ng u nhiên  đ

c g i lƠ có phơn ph i tuy t đ i liên

t c n u vƠ ch n u t n t i hƠm f ( x) không ơm sao cho hƠm phơn ph i xác su t c a
nó có d ng:

F ( x)   f (t )dt
x



Hàm f (t ) đ

c g i lƠ hƠm m t đ c a 

Đ nhălíă1.4.2. HƠm m t đ c a đ i l
a/ f ( x)  0

ng ng u nhiên  có các tính ch t:


12
b/ P (a    b)   f (t )dt  F (b)  F (a )
b

c/



a





f (t )dt  1

Ch ngăminh.
a/ Khẳng đ nh a/ t đ nh nghĩa.
b/ Ta có

P (a    b)  P (  b)  P (  a )  F (b)  F (a )



=

b



f (t ) dt  

a



f (t ) dt   f (t ) dt
b

a

(do tính ch t c a tích phơn)
c/ Dùng khẳng đ nh b/ có:







f (t )dt  P (  R)  P ()  1

Víăd . Bi n ng u nhiên  có hƠm m t đ đ
1  x  
 

 
1
f ( x) 
.e 2 
2 .

(  ; ).

đ

2

c cho b i:

,  0

c g i lƠ bi n ng u nhiên có phơn ph i chu n (phơn ph i Gauss) tham s

1.5. KǵăV NGăVĨăPH

NGăSAIăC AăBI NăNG UăNHIểN

1.5.1.ăKǶăv ng (Expectation)

Cho ( ; ; P) lƠ m t không gian xác su t vƠ  lƠ đ i l

ng ng u nhiên.

N u t n t i   P (d ) thì ta nói  có kì v ng vƠ kì v ng c a nó đ
E ( )    P (d )   xP (dx),

trong đó, P  P  1.
*/ N u  lƠ đ i l



c xác đ nh b i:

R

ng ng u nhiên r i r c có Im(  ) = {xi i  N} và

pi  P (  i ) lƠ hƠm kh i l

ng thì kì v ng c a nó lƠ:

E(  ) =  xi pi


i 0


13
n u t ng đó h i t tuy t đ i.
*/ N u  lƠ đ i l
v ng c a nó lƠ:

ng ng u nhiên liên t c tuy t đ i có hƠm m t đ
E(  ) =







f (t ) thì kì

f (t )dt

n u tích phơn đó h i t tuy t đ i.
Víăd ă1. Cho  lƠ đ i l

ng ng u nhiên có phơn ph i đ u trên t p h u h n

1
{xi i  1; n} , nghĩa lƠ P (  xi )  , i . Tính E(  )
n

Gi i. Ta có:

E(  ) =  xi Pi   .xi  . xi
n

n

i 0

i 0

1
n

1
n

n

i 0

Ví d nƠy ch ng t kǶ v ng lƠ khái ni m m r ng c a khái ni m trung bình
c ng.

Víăd ă2. Cho  lƠ đ i l

ng ng u nhiên có phơn ph i đ u trên đo n h u h n

[a; b], nghĩa lƠ nó có hƠm m t đ :


 0,
f (t )   1
,

b  a

n eˆ u t  [a ; b]
/

n eˆ u x  [a ; b]
/

Tính E(  )

Gi i. Ta có:

E ( )   x. f ( x)dx 
b

a



V y:

1
ba



b

a

xdx 

1 x2 b
.
ba 2 a

b 2  a 2 (b  a )(b  a ) a  b


2(b  a )
2(b  a )
2

E(  ) =

a b
2

*/ăCácătínhăch tăc aăkǶăv ng

M nhăđ ă1.5.1. Gi s  và  lƠ các đ i l
Khi đó, ta có:

ng ng u nhiên có kǶ v ng.

14
a/ E (   )  E ( )  E ( ) .

b/ V i m i k   ta ln có E (k. )  k.E ( ) .
c/ N u  và  lƠ các đ i l

ng ng u nhiên đ c l p, nghĩa lƠ v i m i A,

B  () ta có P[ 1 ( A). 1 ( B)]  P[ 1 ( A)].P[ 1 ( B)] thì E(  . ) = E(  ).E(  ).
Ch ngăminh.
a/ Do

E (   )   (   ) P (d )    d ( )    d ( )


nên a/ đ





= E( ) + E( ).

c ch ng minh.

b/ Ta có:

E (k. )   ( k)d ( )  k.  (d )  k.E ( ).




c/ Ta có:

E ( .  )   ( . ) Pd ( )   xP ( .n) 1 d ( )   2 x. yP  1.P  1 ( dxdy)


=



x.P  1 (dx)  y.P  1 (dy) ( do Đ nh lí Fubini)

R

R

R

= E(  ).E( ).
M nh đ đ

R

c ch ng minh hoƠn toƠn.

Chú Ủ. N u  = k lƠ hằng s thì E(k) = k
1.5.2. Ph
Cho đ i l
lƠ ph

ngăsaiă(Variance)

ng ng u nhiên  , n u t n t i E (  E )2 thì ta g i đ i l

ng sai c a đ i l
V y:

ng ng u nhiên  vƠ đ

c kí hi u Var(  ).

Var(  ) = E (  E )2

*/ăCácătínhăch tăc aăph

ngăsai

M nhăđ ă1.5.2. N u  lƠ đ i l

ng ng u nhiên có ph

ng sai thì:

ng nƠy


15
Var( )  E ( 2 )  [E ( )]2 .

Ch ngăminh. Ta có:

Var( )  E (  E ) 2  E[ 2  2 E ( )  [E ( )]2 ]
 E ( 2 )  2 E ( ).E ( )  [E ( )]2
 E ( 2 )  [E ( )]2

M nhăđ ă1.5.3. N u  = k (hằng s ) thì Var(  ) = 0
Ch ngăminh. Ta có:

Var(  ) = E(k ậ E(k))2 = E(0) = 0.

(Chú Ủ rằng E(k) = k)

M nhăđ ă1.5.4. N u k lƠ hằng s vƠ  lƠ đ i l
thì

ng ng u nhiên có ph

ng sai

Var(k  ) = k2.Var(  )
Ch ngăminh.Ta có:

Var(k )  E (k 2 2 )  [E (k )]2  k 2 E ( 2 )  k 2 [E ( )]2  k 2Var( )

M nh đ đ

c ch ng minh.

M nhăđ ă1.5.5. N u  và  lƠ hai đ i l

Var(  +  ) = Var(  )+Var(  ).

ng ng u nhiên đ c l p thì

Ch ngăminh. Var(  + ) = E(  +  )2 ậ [E(  + )]2

 E ( 2 )  2 E ( ).E ( )  [E ( )]2  [E ( )]2  2 E ( ).E ( )  [E ( )]2
 Var( )  Var( ).

Víăd ă1. Cho  lƠ đ i l

Tính Var(  ).

Gi i. Ta có:

E ( ) 

ng ng u nhiên có phơn ph i đ u trên đo n [a; b].

a b
2

( Đư tính trong m c kǶ v ng).
Ta có:


16
E ( 2 )   x2 .
b

a

1
1 x3 b
.
dx 
ba
ba 3 a




Suy ra:

b3  a 3 (b  a )(b 2  ab  a 2 )

3(b  a )
3(b  a )
b2  a b  a 2
3

b 2  ab  a 2  a  b 

Var( )  E ( )  [E ( )] 
3
 2 
4(a 2  ab  b 2 )  3(a 2  2ab  b 2 ) a 2  2ab  b 2


12

12
2
( a  b)

12
2

2

2

Víăd ă2. Cho  có phơn ph i Poisson tham s  > 0. Tính E(  ) và Var(  )
Gi i. Ta có:

E( )=  k.e .


k 0

k



k!

 . e .


k 1





 e .


k 1

k 1

(k  1)!



 e

k

(k  1)!



 . k !  .e  .e  


k 0

k



( Vì theo khai tri n Mac Laurin có e   .


k 0

V y
T e   .


k 0

k
k!

E(  ) = 
suy ra
 e  

 k 1
k 0 k !


L y đ o hƠm 2 v có:

e   e   .(k  1)


Suy ra.





k 0

k
k!

k

k!

).


17
E ( ) 2   e  .(e   e )     2

Do đó:

Var( )  E ( 2 )  [E ( )]2     2   2  

Var(  ) = 

Nên:

1.6.ăLU TăS ăL NăD NGăY U
1.6.1.ăĐ nhănghƿa

ng ng u nhiên { n }nN vƠ đ i l

ng ng u

N u t n t i dưy s thực {a n }nN sao cho v i m i   0 tùy Ủ cho tr

c, ta có:

Đ nhănghƿaă1.6.1. Cho dưy đ i l

nhiên  n đ

c xác đ nh nh sau:

 n  fn (1 ;  2 ;...;  n )

trong đó fn lƠ hƠm đ i x ng.

lim P{  n  a n   }  1
n 

thì ta nói dãy { n }nN tuơn theo lu t s l n d ng y u v i dưy hƠm { fn }.
Chú ý. Trong lỦ thuy t xác su t c đi n, ng
n 

1   2  ...   n
n

;

an 

i ta th

1 n
 Ei
n i 1

ng l y:

Dãy { n }nN tuơn theo lu t s l n d ng y u khi vƠ ch khi v i m i   0 cho
tr

c b t kǶ, ta có:

1 n

1 n
lim P   i   Ei     1
n 
n i 1
 n i 1


1.6.2.ăLu tăs ăl năd ngăy u

Đ nhălíă1.6.1. V i m i bi n ng u nhiên  có ph

  0 cho tr

c tùy Ủ, ta ln có:

B t đẳng th c nƠy đ

P (   E   ) 

ng sai h u h n vƠ v i

Var( )

2

c g i lƠ b t đẳng th c Chebyshev.

Ch ngăminh. G i F(x) lƠ hƠm phơn ph i xác su t c a 
Ta có:


18
P (   E   )  

  E 




Đ nh lỦ đ





dF ( x)  

( x  E ) 2



Var( )

2

  E 

dF ( x) 

( x  E ) 2

2



1
2

dF ( x)

E (  E ) 2

2

c ch ng minh hoƠn tồn.

Đ nhălíă1.6.2 ( Đ nh lí Chebyshev) Gi s dưy đ i l

{ n }nN đ c l p đôi m t vƠ có ph

ng ng u nhiên

ng sai đ ng b chặn, nghĩa lƠ t n t i 0 < c < 

sao cho Var ( n )  c, n . Khi đó dưy { n }nN tuơn theo lu t s l n d ng y u, nghĩa lƠ

v i m i   0 cho tr

c b t kì, ta có:

1 n

1 n
lim P   i   Ei     1
n 
n i 1
 n i 1


Ch ngăminh. Do dãy { n }nN đ c l p t ng đơi m t nên có
1 n  1  n


Var   i   2   Var(i ) 
 n i 1  n  i 1


Mặt khác. Var(i )  c, i nên suy ra

1 n  c
Var   i  
 n i 1  n

Áp d ng b t đẳng th c Chebyshev, ta có:

1 n

1 n

1 n
1 n
1  P   i   Ei     1  P   i   Ei   
n i 1
n i 1
 n i 1

 n i 1

1 n 
Var   i 1 i 
n

 1

2
 1

Qua gi i h n khi n   , ta thu đ



c
.
n. 2

c:

1 n

1 n
lim P   i   Ei     1
n 
n i 1
 n i 1


Đ nh lí đ

c ch ng minh hoƠn toƠn.