DE THI HSG HUYEN QUE SON
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (117.86 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
<b>PHÒNG GD&ĐT</b>
<b>KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN</b>
NĂM HỌC 2009-2010
Mơn: Tốn - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút <i>(Không kể thời gian giao đề)</i>
ĐỀ CHÍNH THỨC
<i><b>Bài 1: ( 2,5 điểm)</b></i>
a. Cho:
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
- Thực hiện rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a + b = c thì a4<sub> + b</sub>4<sub> + c</sub>4<sub> = 2a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> + 2b</sub>2<sub>c</sub>2<sub> + 2a</sub>2<sub>c</sub>2
<i><b>Bài 2: ( 1,5 điểm)</b></i>
a<i><b>. </b></i>Chứng minh: a2<sub> + b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub></sub><sub> ab + ac + bc với mọi số a, b, c.</sub>
b. Chứng minh <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>c</i>
<i>ab</i>
<i>b</i>
<i>ac</i>
<i>a</i>
<i>bc</i>
với mọi số dương a, b, c.
<i><b>Bài 3: (1,5 điểm)</b></i>
Giải phương trình:
6
42
12
4
20
8
8
72
16
2
6
4 2 2 2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i><b>Bài 4: (3,0 điểm)</b></i>
Cho hình vng ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB
và MF vng góc với AD.
a. Chứng minh DE CF; EF = CM
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
<i><b>Bài 5: (1,5 điểm)</b></i>
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung
điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>PHÒNG GD&ĐT</b> NĂM HỌC 2009-2010
Mơn: Tốn - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút <i>(Không kể thời gian giao đề)</i>
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b>
B i 1: ( 2,5 i m)à đ ể
5
4
2
)
2
)(
5
(
2
2
1 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i>
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25
)
2
)(
5
(
15
8
)
2
)(
5
(
2
)(
4
2
(
2
5 2 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i> <sub>0,25</sub>
2
3
2
)(
5
(
)
3
)(
5
(
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i> <sub>0,25</sub>
( 2) 1 1
1
2 2
<i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i>
0,25
A nguyên khi và chỉ khi 1
2
<i>x</i> nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
x=3, hoặc x=1.
0,25
Đặt P = a4<sub> + b</sub>4<sub> + c</sub>4<sub> - 2a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> -2 b</sub>2<sub>c</sub>2<sub> - 2a</sub>2<sub>c</sub>2
= (a2<sub> + b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> )</sub>2<sub> - 4a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> - 4b</sub>2<sub>c</sub>2<sub> - 4a</sub>2<sub>c</sub>2 0,25
Thay c2<sub> = (a+b)</sub>2<sub> vào ta được:</sub>
= (2a2<sub> + 2b</sub>2<sub> + 2ab )</sub>2<sub> - 4(a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> + b</sub>2<sub>c</sub>2<sub> + a</sub>2<sub>c</sub>2<sub>) </sub> 0,25
= 4[(a2<sub> + b</sub>2<sub> + ab)</sub>2<sub> - a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> - c</sub>2<sub>(a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>)]</sub> <sub>0,25</sub>
Thay c2<sub> = (a+b)</sub>2<sub> vào ta được:</sub>
= 4[ (a2<sub>+b</sub>2<sub>)</sub>2<sub> +2(a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>)ab + a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> - a</sub>2<sub>b</sub>2<sub> -(a+b)</sub>2<sub> (a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>)]</sub>
= 4[ (a2<sub>+b</sub>2<sub>)</sub>2<sub> +2(a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>)ab -(a+b)</sub>2<sub>(a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>)]</sub>
0,25
= 4(a2<sub>+b</sub>2<sub>)[ (a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>) +2ab -(a+b)</sub>2<sub>]</sub>
= 0 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
B i 2: ( 1,5 i m)à đ ể
2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc) 0,25
2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc 0 0,25
(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2
0 …) nên có đpcm
0,25
Câu b
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>abc</i>
<i>ab</i>
<i>abc</i>
<i>ac</i>
<i>abc</i>
<i>bc</i>
2
2
2 <sub>(</sub> <sub>)</sub> <sub>(</sub> <sub>)</sub>
)
( 0,25
Nhân hai vế với số dương abc được:
<sub>(</sub><i>bc</i><sub>)</sub>2 <sub>(</sub><i>ac</i><sub>)</sub>2 <sub>(</sub><i>ab</i><sub>)</sub>2 <i>a</i>2<i>bc</i> <i>b</i>2<i>ac</i> <i>c</i>2<i>ab</i>
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (<i>bc</i>)2 (<i>ac</i>)2 (<i>ab</i>)2
<i>ab</i>
<i>c</i>
<i>ac</i>
<i>b</i>
<i>bc</i>
<i>a</i>2 2 2
đpcm
0,25
<i><b>Bài 3: (1,5 điểm)</b></i>
6
6
)
6
(
4
4
)
4
(
8
8
)
8
(
2
2
)
2
( 2 2 2 2
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
6
6
6
4
4
4
8
8
8
2
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <sub>0,25</sub>
6
6
4
4
8
8
2
2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> 6
3
4
2
8
4
2
1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
)
6
)(
4
(
24
5
)
8
)(
2
(
16
5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 0,25
(5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
(5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3<sub> + 50x</sub>2 <sub>+ 80x + 24x</sub>2<sub> + 240x + 24.16</sub>
8x2 + 40x = 0
0,25
8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25
<i><b>Bài 4: (3,0 điểm)</b></i>
<i><b>Câu a: 1,25 điểm</b></i>
DF = AE DFC = AED 0,25
ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
0,25
EDC + ADE = 900<sub> nên DE </sub><sub></sub><sub> CF</sub> 0,25
MC = MA (BD là trung trực của AC)
0,25
MA = FE nên EF = CM
0,25
<i><b>Câu b: 1,0 điểm</b></i>
MCF =FED MCF = FED 0,25
Từ MCF = FED chứng minh được CM EF 0,25
Tương tự a) được CE BF 0,25
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui. 0,25
<i><b>Câu c: 0,75 điểm</b></i>
ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,25
ME.MF lớn nhất khi ME = MF 0,25
Lúc đó M là trung điểm của BD 0,25
<i><b>Bài 5: (1,5 điểm)</b></i>
Trong BMF có AD//MF nên:
<i>BD</i>
<i>BM</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>
0,25
Trong CAD có AD//ME nên: 0,25
A B
C
D
M
E
F
A
B D M C
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<i>CD</i>
<i>CM</i>
<i>CA</i>
<i>CE</i>
Chia vế theo vế được:
<i>CM</i>
<i>CD</i>
<i>BD</i>
<i>BM</i>
<i>CE</i>
<i>CA</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>
.
. 0,25
<i>BD</i>
<i>CD</i>
<i>CE</i>
<i>CA</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>
. (BM=CM) 0,25
AD là phân giác nên:
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>BD</i>
<i>CD</i>
0,25
Thay vào trên được:
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>CE</i>
<i>CA</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>
.
<i>BF</i> <i>CE</i>
<i>CE</i>
<i>BF</i>
1
</div>
<!--links-->
